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华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

第七章多元函数微分学

作业1 多元函数

1．填空题

（1）已知函数22,y f x y x y x ?

?+=- ???，则(),f x y =()()

222

11x y y -+；（2）49

arcsin

222

2-+++=y x y x z 的定义域是(){}

22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是

(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+?<<≤+；

（4）函数???

??=≠=0,

0,sin ),(x y x x xy

y x f 的连续范围是全平面；

（5）函数2222y x z y x

+=-在2

2y x =处间断.

2．求下列极限（1

）00

x y →→；

解：0000

lim 6x t t y t →→→→===-

（2）22()

lim (e

x y x y x y -+→+∞→+∞

+）.

解：3

y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y

x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞

→+∞

??+=+-?

?））由于1lim e lim lim 0t

t t t t t t t e e

-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t

t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，

故22()

2()

lim (e

lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞

→+∞→+∞

→+∞

??+=+-=??））

3．讨论极限2630

0lim y x y

x y x +→→是否存在.

解：沿着曲线()()3

,,0,0y kx x y =→,有3

36626262000

lim lim 1x x y kx x y kx k

x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26

0lim y x y

x y x +→→不存在

4．证明??

???=+≠++=0,00,2),(22222

2y x y x y x xy

y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y

都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续. 解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡

从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线

()(),,0,0y kx x y =→,有22

22222000

222lim lim 1x x y kx xy kx k

x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0

lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.

作业2 偏导数

1．填空题

（1）设22),(y x y x y x f +-

+=，则=

)4,3(x f 2

；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ?

?=+

?，则10

x y f y

==?=

?12

；（3）设2

sin x u xz y =+，则42u

x y z

?=??? 0 ；

（4）曲线22

:44

x y z y ?+=

?Γ??=?

在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π.

2．设2

e x

u =，证明 02=??+??y

u y x u x

. 证:因为2223

12,x

y y

u u

x e e x y y y

??-==?? 所以22222322

1222220x x x x

y y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ??--+=+=+=??

3. 设x

z ln =，求22x z ??，y

x z ???2.

解：ln ln x y

z e

?=，

从而2

2ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ?????--??=?=?+?= ?????

2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy

????+=??+??=??

4．设y x z u arctan =，证明 0222

222=??+??+??z

y u x u . 解：因为()()22222222222

1022,1u yz u yz x xyz z x

y x y x x x y x y y ??-?-=??===?+???+++ ???

()()2222222222221

022,1u x xz u xz y xyz z y

y x y y x x y x y y ?--?-?=??==-=?+???+++ ???

22arctan ,0,u x u

z y x

??==?? 所以()()

2222222222222200u u u xyz xyz

x y z x y x y ???-++=++=???++ 5．设函数()()222

1sin ,

0,0,

x x y x f x y x

x ?+≠?=??=?.

（1）试求(),f x y 的偏导函数；

解：当()()()3

222

21110,,42sin cos x x f x y x xy

x x y x x x -≠=+++?

()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211

,42sin cos x f x y x xy x y x x

=+-+

当()()()

()222

001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x

→→+--≠===-

()()()0

00,0,00

0,lim

lim 00

y y y f y y f y f y y y ?→→+?--===?-?，

()()()322211

,42sin cos x f x y x xy x y x x

=+-+

（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.

()()20

lim ,lim 2sin

00,3y y x x y y f x y x y f x

→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→?

?=+-+???

?不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续

作业3 全微分及其应用

1．填空题

（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的

必要条件；

（2）函数2

z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ?=?=-时有全增量

z ?=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；

（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ?，全微分为dz ，则),(y x f 在点

),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ?=+；

（4）2

x x u +=

在点)1,0(处的d u =dx ；

（5）x

y u cos )

(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ??

-?+

????

；（6）z

x u )(=,则d u =()ln z x z z x dx dy dz y x y y ??

???

；

（7）2221

y x u ++=

,则d u = ()()3

2222

12x y z -++ .

2．证明：(

),f x y =()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，

但在()0,0 处不可微.

证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是

lim

x x y y ?→?→?→?→=不存在，从而在()0,0处不可微.

3．设函数()()22

2222

221sin ,0,0,0

x y x y x y f x y x y ?++≠?+=?

?+=?

试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；

证：因为 ()()()

()220

01sin

0,00,00,0lim

lim 0,0,000

0x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又

()()

()

sin lim

lim

0x x y y x y x y ?→?→?→?→?+??+?==

所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的

（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.

证：当()2

222222

121

0,,2sin

cos x x x y f x y x x y x y x y

+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ?→?→?→?→??

=- ?+++?

?不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续

作业4 多元复合函数的求导法则

1．填空题

（1）设2

ln ,,32y

z u v u v y x x

=-，则 z x ?=?()()

22ln 3232y y y x x x y x ----；（2）设2

,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则

?=?()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()2

u x y z x y =-=+，则u x ?=?()()222ln z x y x y x x y x y ?

?+--+??-?

?；

（4）设2sin z x y x ==，则

d z

x =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ??=

???

其中f 具有一阶连续偏导数，求,

u x ??u y ??和u

z ??；解：

111,f u f x y y ?=?=?121222222211,u x x u y y

f f f f f f y y z y z z z z

?--?--=?+?=+=?=?? （2）设(),,,u f xyz =()(),,,z yt t yx ?ψ==，

其中,,f ?ψ均可微，求u x ??和u

??. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ??ψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ??ψψ=++++????

()()1322231321f f dx f f f ?ψ??ψ=+++++

所以

1322231321,u u

f f f f f x y

?ψ??ψ??=+=++?? 3．验证下列各式（1）设()

z f x y =

-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ??+=??；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f

?-?==+??

所以2222

11121121z z z xyf y f z x x y y x x f y f f yf y

''?????-+=++== ?????? （2）设()23y z xy x ?=

+，其中?可微，则220z z

x xy y x y ??-+=??. 证：因为()()222,33z y z y

y xy x xy x x y x

????''=-+=+?? 所以2

2z z x xy y x y ??-+=??()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ??????''-+-++ ? ?????

()()22222033

y y x y xy y x y xy y ??''=-+--+=

4．设22,,y z xf x x ??= ??

?其中函数f 具有二阶连续偏导数，求

2z x y ???. 解：因为22

1212222,z y y f x f f f xf f x x x ???-=++?=+- ????

所以22212212222222222z y y y y y y

f xf f f xf f f x y y x x x x x x

????=+-=+?--?

??????? 3

1222224y yf f x

4．设)()(x

y x x y u ψ?+=其中函数

ψ?,具有二阶连续偏导数，试证：

022

22222

=??+???+??y u y y x u xy x u x . 证：因为222

223432,u y y u y y y x x x x x x x ?ψψ??ψ?-?'''''''=+-=++??

222322211,,u y y u u x y x x x y x y x x

?ψ??ψ?ψ''''???'''''''=---=+=+???? 从而左边

222

234323222120

y y y y y x xy y x x x x x x x x ?ψ??ψ??ψ''''??????''''''''''=+++---++= ? ? ???????

作业5 隐函数求导法

1．填空题

（1）已知3

30x y xy +-=，则d d y x =22

x y

x y --；（2

）已知20x y z ++-=，则

x y ?=?

（3）已知x

z y =，则d z =2ln ln z dy yz zdx

xy yz y

--；

（4）已知222

cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydy

；

（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则

d z =

1212

1zf dx f dy

xf f ---.

2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22z

??．

解：21

212

0,yF z z z F F y y x x x F yF -????

?+?+=?= ????+?? ()()[]()

2212212212222

1212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '?+++-+????????=-=- ???++??()

()

()()()

22221121112222122212

1212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++??-??

3．求由方程组22

222

2320

z x y

x y z ?=+??++=??所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x . 解：由已知()2222222602460dz xdx ydy

dz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=?=+?????+-+=++=???

()()2260

6,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=?+???==-?+++++=??

4．设函数()z f u =，又方程()()d x

y u u P t t ?=+

?确定u 是,x y 的函数，

其中()f u 与()u ?均可微；()(),P t u ?'连续，

且()1u ?'≠. 试证：()()0z z

P y P x x y

??+=??. 证：因为

()(),z u z u

f u f u x x y y

????''=?=?????， ()()()(),1P x u u u

u P x x x x u ?????'=?+=

'???- ()()()(),1P y u u u

u P y y y y u ??-???'=?-='???- ()

()()()()()()()()()

011P x P y z z

P y P x P y f u P x f u x y u u ??-??''+=+=''??--

5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin x

z f y =满足方程22222e x z z

z x y

??+=??，

求()f u .

解：因为

()()()()222sin ,sin sin x x

x z z f u e y f u e y f u e y x x ??''''==+?? ()()()()222cos ,cos (sin )x

x x z z f u e y f u e y f u e y y y

??''''==+-?? ()()222222

()e ,()0x x

z z f u e f u f u f u x y

??''''+==?-=?? 特征方程为()2

121210,1

,1,u

r r r f u c e c e --===-=+

作业6 方向导数与梯度

1．填空题

（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2

49z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；

（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l

的方向导数是

c o s c o s c o s

αβγ++

，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()x

u yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l 的方向导数是23

；

（6）函数)ln(22z y x u ++

=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方

向导数是

. 2．求2

z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角. 解：{}

2,2,2{2,0,0}A

gradu

x y z a =-=

{}

2,2,2{0,2,0}B B

gradu x y z a =-=

夹角余弦为cos 02

A B A B

gradu gradu gradu gradu π

???=

=?=

3．求二元函数2

z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快？沿那个方向z 的值不变？解：(){}

()

{}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-

l =

，{3,3}5z

?=-?=-? z

在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；

沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变

4．设x 轴正向到l 得转角为α，求函数(

)22220

,0,

x y f x y x y +>=+=?

在点()0,0处沿着方向l 的方向导数. 解：{

}cos ,sin ,cos l αααα==

由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：

()(

)00

,0,0lim x y f x y f f

l ρρρ

→→→→-?===?

cos sin sin 22

ααα

作业7 偏导数的几何应用

1．填空题

（1）已知曲面2

4z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P

的坐标是(1,1,2)；

（2）曲面e 23z

z xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；

（3）由曲线223212

x y z ?+=?=?绕y

轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M

处的指向内侧的单位法向量为0,?????；（4）曲面2

2321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是

122

146

x y y -+-==

-；（5）已知曲线2

,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P

的坐标是()1,1,1--或11

1,,3927??--

???

． 2．求曲线2

sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π

t =处的切线和法平面方程.

解：切点为{

}

111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t t

??=--=- ???

，

从而切线为111

10222,11012

x z x y z y +-=?-

--?==?-=

??，法平面为110,022x z x z ??

--=-= ???

3．求两个圆柱面的交线22

x y x z ?+=?Γ?+=??

在点M 处的切线和法平面的方程.

解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z =

{}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =?=--

，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz = 切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为

000

x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ??=-+ ???

在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法

线方向的方向导数.

解：2222,M

M x y gradz

a b ????

=--=?????????

2222,M x y n a b a b ??

==????????

指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为

(2a z n gradz n n

?=?=-?

6．证明：曲面y z xf x ??

???

在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，

则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ????????????''=--=?? ? ? ?

?????????????

切平面为()

()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ????????

''--+---=??

? ? ?????????

令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

作业8 多元函数的极值

1．填空题

（1）函数3

42z x x xy y =-+-的极值是 0 ；

（2）函数4

2z x y x xy y =+---的极值点是()()1,1,,1,1--；

（3）函数3

339z x y x y x =-++-的极值点是()()1,0,3,2-；

（4）函数(

)

22222z x y

x y =+-+的极值是()()1,01,01f f =-=-；

（5）函数()

22e 2x z x y y =++的极值是2

e -

. 2．证明：函数()

1e cos e y y z x y =+-有无穷多个极大值点，但无极小值点. 证：因为由()

1sin 0,cos 0y y y y x y z e x z e x e ye =-+==--=

得驻点坐标为(),;11k

x k k Z y π=∈=--

又()

1cos ,(cos 2),sin y y y xx yy xy z e x z e x y z e x =-+=--=-

故()

()()()()()

()()()1

1111

1110

11k k k k k k AC B e e

e e ++---------=-+--=-+

只有当k 为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时()()()1

110k k A e +--=-+<

因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。 3．求函数ln 3ln z x y =+在条件2

25x y +=下的极值. 解：令(

)

ln 3ln 25L x y x y λ=+++- 则22221313

20,20,25,22x y L x L y x y x y x y λλλλ--=

+==+=+=?==

从而

22min 2

2575553

25,,,,4ln ln 3442222

x y x y z λ

-=?=

====+ 4．求函数()22

,f x y x y =-在圆域2

4x y +≤上的最大值与最小值.

解：先求圆内部的驻点20,200x y f x f y x y ====?==得驻点，再求圆周上的有约束极值，令(

)

4L x y x y λ=-++-

则220,220,x y L x x L y y λλ=+==-+=22

40x y +-=

若0λ=则必有0,0,x y ==2

40x y +-=矛盾，若0λ≠则必有0,2,x y ==±或2,0,x y =±= 由于()()()0,00,2,04,0,24f f f =±=±=-

从而要求的最大值为4，最小值为 4.-

5．在半径为R 的半球内求一个体积为最大的内接长方体.

解：设在第一卦限内的顶点坐标为(),,x y z ，则2

4,V xyz x y z R =++=

令()

22224L xyz x y z R λ=+++-，则由

420,420,420x y z L yz x L xz y L xy z λλλ=+==+==+=，2222x y z R ++=

可得3

max 9x y z V R ===

=3R = 6．求椭圆222

1x y R x y z ?+=?++=?

的长半轴和短半轴.

解：由对称性，得知椭圆的中心点为()0,0,1，从而问题转化为求在约束条件

222

x y R x y z ?+=?

++=?下d =()222

1d R z =+-的最值取()(

)()2

11L R z x y R

x y z λμ=+-++-+++-

由()20,20,210,x y z L x L y L z λμλμμ=+==+==-+=

从而，当0λ≠时x y =，由约束条件

112,x y z R d ====

当0λ=时0,1z μ==，由约束条件

2x y d R =-==

于是椭圆222

x y R x y z ?+=?++=?和短半轴为R .

第七章《多元函数微分学》测试试卷

1．单项选择题（每小题3分）

（1）二重极限2

2400

lim x y xy x y →→+值为（ D ）

（A ）0；（B ）1；（C ）

；（D ）不存在. （2）二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存

在，则),(y x f （ D ）

(A)在该点可微； (B) 在该点连续可微； (C)在该点沿任意方向的方向导数存在；(D) 以上结论都不对. （3）函数()()0,2

>-=a ay x y x f 在()0,0处（ A ）

(A) 不取极值； (B) 取极小值； (C) 取极大值； (D)是否取极值依赖于a . （4）在曲线2

,,x t y t z t ===的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ B ）

（A ）只有1条；（B ）只有2条；（C ）至少有3条；（D ）不存在. （5）设()v u f z ,=，其中e ,x

u v x y -==+，下面运算中（ B ）

:e x z f f I x u v -???=-+???，2

22:v f y x z II ??=??? (A)I 、II 都不正确； (B) I 正确，II 不正确； (C) I 不正确，II 正确； (D) I 、II 都正确. 2．填空题（每小题3分）

（1）已知理想气体状态方程RT PV =，则=????????P

T V V P 1-；（2）设y x y x y x z -+++=arctan

22，则d z =()()22

x y dx x y dy x y -+++；

（3）函数x

u =

在点)1,1,1(的梯度为{}1,1,0-；（4）已知

=z y z x ?，其中?为可微函数，则z z x y x y ??+=??z ；

（5）已知曲面xy z =上的点P 处的法线l 平行于直线2

21326:1-=

--=-z y x l ，则该法线的方程为

122

211

x y z -++==

-- 3．设),(y x x yg x y xf z +??

??=，其中g f ,均为二阶可微函数，求y x z ???2.

解：因为

212211z y y

f xf y

g yg f f yg g x x y x

?-''''''=+?+?+?=-?++? 所以212z y

f f y

g g x y x x ????'''=-?++ ??????

1222112222222111y x x y x x

f f f

g yg g f g g g x x x x y y x y y

--''''''''''''''''=?--?++?+?=-+-- 4．设y x v xy u ==,，试以新变量v u ,变换方程022

2222=??-??y

z y x z x ，其中z 对各变量有二阶连续偏导数.

解：222222221111,z z z z z z z z y y y y x u v y x u u v y y v u v y ????

????????=?+?=?+?+?+? ? ???????????????

22222222232222,z z z x z z z x x z x z z x x x x x y u v y y u u v y y v y v u v y ???????-???-???-=?+?=?+?+?-?+? ? ???????????????

?从而22

2220z z x y x y

??-==??

5．已知()()z y x y x f z ,,,?==，其中?,f 均为可微函数，求d d z

. 解：对函数取全微分得，1212,,dz f dx f dy dx dy dz ??=+=+ 从而22121112221

,,dz dx

dz dx

dy dz f dx f dz f dx f dz f dx ???????-+-+=

=+?

=-+

112

122112122

()(),

f f dz f dz f f dx dx f ??????++=+=+ 6．设n 是曲面2

y x z +=在()3,2,1P 处指向外侧的法向量，求函数

z y x u 2

2233++=

在点P 处沿方向n 的方向导数. 解：{}{}22

12,,12,2,1,,,

333P n x y n -??

=-=-=?

???

指向下侧在此即抛物面的外侧， ()2226

6233

xdx ydy zdz x

x y z dx

++-++=

= 从而

221,,333P u gradu n n ?-??=?=?=??

? 7．在第一卦限内作椭球面122

2222=++c

z b y a x 的切平面，使该切平面与三个坐标平面

围成的四面体的体积最小，求切点的坐标. 解：设切点为()000,,x y z ，则切平面为

000

2221xx yy zz a b c

++= 222

000

6a b c V x y z =在222

0002221x y z a b c ++=的最值问题与(),,f x y x xyz =在122

2222=++c

z b y a x 下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。令()222222,,1x y z L x y x xyz a b c λ??=+++- ???

则2222220,0,0,x y z x y z

L yz L xz L xy a a a

λλ

=+==+=

=+=

与约束条件结合推得222

22,,333

a b c x y z === 由于在第一卦限，从而切点为 8．设??

???=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222

y x y x y x y x y x f

（1）求

x f ??，y

f ??；

（2）

f ??，y f ??是否在原点连续？),(y x f 在原点是否可微？说明理由. 解：（1）当2

0,(,)()sin

x y f x y x y x y +≠=++

x f ??()2

22222221122()sin ()cos x x y x y x y x y x y -=+++?+++， y f ??()

2222222212()12()sin cos y x y x y x y x y x y -+=+++++ 当2

0,(,)x y f x y +=在此为分段点，用定义求偏导数

()()22

20011sin 0sin 00,0lim 0,0,0lim 0x y x y y x y x f f x y

→→--====

（2）

x f ??，y

f ??在原点因为二重极限不存在从而不连续，但

()2

sin

000,0,00,00,0x y x y f x y f f x f y

ρρ→→+--?-?-

--=2

22220112sin sin lim 0,2xy xy x y ρρρ

ρ→?? ? =+=≤+ ?

9．已知z y x ,,为常数，且2

e 3x

y z ++=，求证：2

e 1x y z ≤.

解：令2

e ,,x

u y v z t ===，则问题化为在约束条件3,0,0,0u v t u v t ++=≥≥≥下(),,f u v t uvt =的最大值为1

令()3L uvt u v t λ=+++-，则0,0,0,u v t L vt L ut L uv λλλ=+==+==+=

()30uvt u v t λ?+++=，

结合约束条件1uvt uv vt tu u v t λ?=-===?===

由于该实际问题的最大值一定存在，又可能点唯一，因此最大值为()1,1,11f = 从而2

e 1x

y z ≤

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

大一高数基础练习题

大一高数基础练习题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-

《高等数学》（理工类） 1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈ 2.已知0x +→时，arctan3x 与 cos ax x 是等价无穷小，则a =______；0arctan 33 lim 1,3x x a ax a →===； 3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21 (2cos 2sin 2)x x dx x -； 4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e - 5．设函数?? ??? ≥ +<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2 π=x 处连续； 12π-； 6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y y e x -+ 7．函数x x e x f --= 111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+==1x =； 8 ．定积分1 1 sin )x dx -?＝________ ；0 22π=? 9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则AMB = _______； 3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==，则a b ?＝_________。(751)-，，二、计算题（每小题6分，共42 分） 1．求极限220ln(1)1 lim 2 sin 2x x arc x →+=。

【高等数学基础】形成性考核册答案(附题目)

【高等数学基础】形成性考核册答案【高等数学基础】形考作业1答案：第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2 )()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f = ，x x g =)( C. 3 ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，1 1)(2--=x x x g 分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2 ()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、()f x x = =，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等； C 、3 ()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等 D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21 ()11 x g x x x -= =+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。故选C ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称 ()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称故选C ⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A. )1ln(2 x y += B. x x y cos = C. 2 x x a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()( )()2 2 ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数 B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C 、()()2 x x a a y x y x -+-= =，所以为偶函数

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为（ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面积为（D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）

(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为（ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值为（ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2

2006高数(非数学专业)理工类竞赛卷标准答案

学号: 院系：高等数学竞赛(理工类)试题姓名： ( 2006年7月6日晚 7?00 ~ 9?００）一二三四五六七八总分一、单项选择题（每题4分共2０分） 1．方程x e x =--21在),0(+∞内实根的个数为( Ｂ）。 A. 0 B. １Ｃ． 2 D ． 3 2. 若)(x f 在]1,0[上连续且可导，1)0()1(=-f f ,?'=1 02)]([dx x f I , 则有( C ）。 A. Ｉ = 1 B. I < 1 C. Ｉ≥1 D ． I = ０３．设(,)f x y 连续，且(,)(,),D f x y xy f u v dudv =+??其中D 是由 0y = 2,1y x x ==所围区域,则(,)f x y 等于( D )。 A.xy ； B. 2xy ; C. 1xy +; D. 1 8 xy +。 4. 设f 在Ω上可积，且Ω区域具有轮换对称性（即若(,,)x y z ∈Ω,则(,,),(,,)y z x z x y ∈Ω∈Ω）,则（Ａ）。Ａ． (,,)(,,)(,,)f x y z dv f y z x dv f z x y dv Ω Ω Ω ==?????????； B. 1 (,,)2(,,)f x y z dv f x y z dv Ω Ω=?????? 其中1Ω为Ω的0z ≥部分区域； C. (,,)0f x y z dv Ω =???;

Ｄ. 以上结论均不成立。５．设函数(),(),()p x q x f x 都连续，且11223()()()y c y x c y x y x =++是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解，则（Ｂ )。 A. 123y y y +-是方程的解Ｂ. 123,,y y y 线性无关 C ． 123,,y y y 可能线性无关，也可能线性相关。 D ． 123,,y y y 线性相关二、填空题(每题４分共20分) 1.设函数x x x x x x x f ++-+-+=22ln 21 2arctan )(2 22,则 =')(x f 2 。 2.设a 为常数,则 ?+∞→=a n n n dx x x 1 sin lim a 。 ξξ ξξξ1sin ][1sin 1sin a n a n dx x x a n n =-+=? +在n 和a n +之间，于是,a a dx x x a n n n =?=?+∞→∞→ξ ξ ξ/1/1sin lim 1sin lim 3.=+?dx x x x )ln 1( x x c + 。 4. 直线1: 211 x y z L -==绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程为 2222(12)x y z z +=++ 。 5．设),2,1(0 =>n a n ，且数列}{n a 单调,若级数∑∞ =+1 1n n n a a , 收敛,级数∑∞ =1 n n a 是收敛还是发散? 收敛。三、计算与证明题（共5０分)

高数A1习题册答案

习题一一、 1. × 2. \/ 3. × 4. × 5. × 6. \/ 7. × 二、 1. A 2. D 3. B 4. A 三、 1. 直线y x = 2. [-1，3） 3. 1[,0]2 - 4. 奇 5. 2 log 1 y y y =- 6. 3,,sin u y e u v v x === 四、 1(2)3f x x += +，2 2 1()1f x x =+， 11(())1211x f f x x x +== ++ +，11()()2f f x x =+ 习题二一、 1. ∨ 2. × 3. × 4. ∨ 5. ∨ 6. × 7 × 8 × 二、 1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. C 三、 1) lim 1x x x - →=-，0 lim 1x x x + →=

lim x x x →不存在 2) 1lim ()2x f x + →=，1 lim ()2x f x - →= 1 lim ()2x f x →= 2 lim ()5,lim ()0x x f x f x →→== 习题三一、 1. × 2. × 3. ∨ 4. × 5. 二、 1. C 2. B 3. D 4. D 三、 (1) 2131 lim 11 x x x →-+=+ (2) 22 11112 lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ (3) 2 02lim 2h hx h I x h →+== (4) 23 I = (5) 0I = (6) 422 lim 13 x x I x →-==- (7) 1 1133lim 213 n n I +→∞-==- (8) 111 lim (1)2212 n n →∞- =+ (9) 23 211132 lim lim 111x x x x x I x x x →→++-+==-=--++

高数理工类习题册答案(下册)

习题一一．??? √√√√ 二．A D C 三．xoy 面 (-2,3,0) -2a a b + a b - 坐标面四．11cos ,cos 22αβγ-=== （1122 -）五．（1）（－1，3，3）（2）（3） cos 333 αβγ=== 习题二一．????√ 二．C D 三．1．（－4，2，－4） 2. －10, 2 3. 7 4. 4π 5. 四．152S = 五． 5，－8，2）习题三一．?√? 二．CDDCC 三．1．2± 2. 2223x y z ++= 3. 225y z x += 4. 3 π 四．1．由xoz 面上的曲线22z x =绕z 轴旋转得到的 2．由xoy 面上的曲线22 194 x y +=绕x 轴旋转得到的

习题四一．?√? 二．BD 三．1．点（4 17,33--），过点（417,,033 --）平行于z 轴的直线 2．221,(0,0,3),13 x y z ?+=?=? 3． 2 (1)21y x z x ?=-?=-? 四．3sin x y z ααα?=???=???=?? 五．在xoy 平面的投影曲线2210x y x y z ?+++=?=? 在yoz 平面的投影曲线22(1)0 x y z z x ?+--=?=? 在xoz 平面的投影曲线22(1)0 x x z z y ?+--=?=? 习题五一． DCC 二． 1. 375140x y z -+-= 2.（1，－1,3） 3. 103 4. －4, 3 三． 78120x y z +++=

四．93160x y z -+-= 五．面方程：330y x x y =+= 或

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学(下)练习题和答案

高等数学一、填空、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????.

重庆理工大学高数理工类习题册答案第二册

习题一一．??? √√√√ 二．A D C 三．xoy 面 (-2,3,0) -2a a b + a b - 坐标面四．11cos ,cos 222αβγ-= == （11,222 -）五．（1）（－1，3，3）（2）（3）cos αβγ= == 习题二一．????√ 二．C D 三．1．（－4，2，－4） 2. －10, 2 3. 7 4. 4 π 5. 四．152 S = 五． 5，－8，2）习题三一．?√? 二．CDDCC 三．1．2± 2. 2 2 2 3x y z ++= 3. 22 5y z x += 4. 3 π 四．1．由xoz 面上的曲线2 2z x =绕z 轴旋转得到的 2．由xoy 面上的曲线22 194 x y +=绕x 轴旋转得到的习题四一．?√? 二．BD 三．1．点（417,33- -），过点（417,,033 --）平行于z 轴的直线 2．221 ,(0,0,3),13 x y z ?+=? =?

3． 2 (1)21 y x z x ?=-?=-? 四．3sin x y z ααα?=?? ? =?? ?=?? 五．在xoy 平面的投影曲线221 0x y x y z ?+++=?=? 在yoz 平面的投影曲线22(1)0x y z z x ?+--=?=? 在xoz 平面的投影曲线22(1)0 x x z z y ?+--=?=? 习题五一． D CC 二． 1. 375140x y z -+-= 2.（1，－1,3） 3. 10 3 4. －4, 3 三． 78120x y z +++= 四．93160x y z -+-= 五．面方程：330y x x y =+= 或习题六一． D B A C 二．1．123 010 x y z ---== 2. 111 213 x y z ---==-，参数方程：12,1,13x t y t z t =-=+=+ 3．－1 三．直线方程： 111 925 x y z ---==- 四．510x y z ++-=

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

(完整版)高等数学试题及答案

《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120 分钟一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

高等数学模拟试题及答案

武汉大学网络教育入学考试专升本高等数学模拟试题一、单项选择题 1、在实数范围内，下列函数中为有界函数的是( b ) A.x y e = B.1sin y x =+ C.ln y x = D.tan y x = 2、函数2 3 ()32 x f x x x -= -+的间断点是( c ) A.1,2,3x x x === B.3x = C.1,2x x == D.无间断点 3、设()f x 在0x x =处不连续，则()f x 在0x x =处( b ) A. 一定可导 B. 必不可导 C. 可能可导 D. 无极限 4、当x →0时，下列变量中为无穷大量的是（ D ） A.sin x x B.2x - C. sin x x D. 1sin x x + 5、设函数()||f x x =，则()f x 在0x =处的导数'(0)f = ( d ) A.1 B.1- C.0 D.不存在. 6、设0a >，则2(2)d a a f a x x -=? ( a ) A.0 ()d a f x x -? B.0 ()d a f x x ? C.0 2()d a f x x ? D.0 2()d a f x x -? 7、曲线2 3x x y e --= 的垂直渐近线方程是( d ) A.2x = B.3x = C.2x =或3x = D.不存在 8、设()f x 为可导函数，且()() 000 lim 22h f x h f x h →+-=，则0'()f x = ( c ) A. 1 B. 2 C. 4 D.0 9、微分方程''4'0y y -=的通解是( d ) A. 4x y e = B. 4x y e -= C. 4x y Ce = D. 412x y C C e =+ 10、级数 1 (1) 34 n n n n ∞ =--∑的收敛性结论是（ a ） A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 无法判定

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α，因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

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