广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷五含解析
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模拟
测试卷(五)
(时间:90分钟满分:150分)
一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)
1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()
A.{-1,0,1,2}
B.{-1,0,1}
C.{-1,0,2}
D.{0,1}
2.点(√3,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
3.已知a=(4,2),b=(6,y),且a⊥b,则y的值为()
A.-12
B.-3
C.3
D.12
4.若a
a >1
b
;③a
b
+b
a
>2;④a2 中,正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知α是第二象限角,sin α=5 13 ,则cos α=() A.-5 13B.-12 13 C.5 13 D.12 13 6.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 () A.y=x-2B.y=x-1 C.y=x2-2 D.y=lo g1 2 x 7.不等式组{x-3y+6≥0, x-y+2<0 表示的平面区域是() 8.一个容量为20的样本数据,分组后,组距与频数如下, 则样本在(10,50]上的频率为() A.1 20B.1 4 C.1 2 D.7 10 9.cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°=() A.1 2B.-√3 2 C.cos 50° D.√3 2 10.函数y=log 2(x 2-3x+2)的递减区间是 ( ) A .(-∞,1) B .(2,+∞) C .(-∞,3 2) D .(3 2,+∞) 11.从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,其和为奇数的概率为 ( ) A.1 5 B.25 C.35 D.45 12.将函数y=sin (x -π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向左平移π 3个单位,得到的图象对应的 解析式是 ( ) A .y=sin 1 2x B .y=sin (1 2x -π 2) C .y=sin (1 2 x -π6) D .y=sin (2x -π 6) 13.已知l ,m ,n 为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列判断正确的是 ( ) A .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B .若m ⊥α,n ∥β,α⊥β,则m ⊥n C .若α∩β=l ,m ∥α,m ∥β,则m ∥l D .若α∩β=m ,α∩γ=n ,l ⊥m ,l ⊥n ,则l ⊥α 14.函数f (x )=log 2x+x-2的零点所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 15.已知向量AC ????? ,AD ????? 和AB ????? 在正方形网格中的位置如图所示,若AC ????? =λAB ????? +μAD ????? ,则λ+μ= ( ) A .2 B .-2 C .3 D .-3 二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分) 16.函数y=a x-1+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点 . 17.等差数列{a n }中,a 2=3,a 3+a 4=9,则a 1a 6= . 18.某学院A ,B ,C 三个专业共有1 200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院A 专业有380名学生,B 专业有420名学生,则该学院C 专业应抽取 名学生. 19.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则∠A的度数为. 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分) 20.已知向量a=(cosx,-1 2 ),b=(√3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在[0,π 2 ]上的最大值和最小值. 21.如图,直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)ABC-A1B1C1中,点G是AC的中点. (1)求证:B1C∥平面A1BG; (2)若AB=BC,AC=√2AA1,求证:AC1⊥A1B. 22.已知函数f(x)=1+1 x -xα(α∈R),且f(3)=-5 3 . (1)求α的值; (2)求函数f(x)的零点; (3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性,并给予证明. 答案： 1.A 【解析】因为集合M={-1,0,1},N={0,1,2}, 所以M ∪N={-1,0,1,2}. 2.C 【解析】∵点(√3,4)在直线l :ax-y+1=0上,∴√3a-4+1=0,∴ a=√3,即直线l 的斜率为√3,直线l 的倾斜角为60°. 3.A 【解析】因为a =(4,2),b =(6,y ),且a ⊥b , 所以a ·b =0, 即4×6+2y=0, 解得y=-12. 故选A . 4.C 【解析】对于①,根据不等式的性质,可知若a 对于②,若a a ab < b ab ,即1b <1 a ,故正确; 对于③,若a b >0,b a >0,根据基本不等式即可得到a b +b a >2,故正确; 对于④,若a 13, ∴cos α=-√1-(513)2 =-12 13.故选B . 6.A 【解析】∵y=x -1是奇函数,y=lo g 12 x 不具有奇偶性,故排除B,D; 又函数y=x 2-2在区间(0,+∞)上是单调递增函数,故排除C.故选A. 7.B 【解析】由题意可知,(0,0)在x-3y+6=0的下方,满足x-3y+6≥0; (0,0)在直线x-y+2=0的下方,不满足x-y+2<0. 故选B . 8.D 【解析】根据题意,样本在(10,50]上的频数为2+3+4+5=14, 所求的频率为P=14 20=7 10. 故选D . 9.D 【解析】cos 40°sin 80°+sin 40°sin 10°=cos 40°cos 10° +sin 40°sin 10°=cos(40°-10°)=√3 2. 10.A 【解析】由x 2-3x+2>0,得x<1或x>2,又y=log 2(x 3-3x+2)的底数是2,所以在(-∞,1)上递减.故选A . 11.C 【解析】从1,2,3,4,5中随机取出两个不同的数,共有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)10种,和为奇数的有6种,故P=6 10=3 5. 12.C 【解析】将函数y=sin (x -π 3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得函数y=sin (1 2x -π 3),再将所得的图 象向左平移π 3 个单位,得函数y=sin [1 2 (x +π3 )-π 3 ],即y=sin (1 2 x -π 6 ). 故选C . 13.C 【解析】可采用排除法.A 中平行于同一平面的两条直线可以平行,可以相交,也可以异面,所以A 错误;B 中直线m ,n 可以相交,可以平行,也可以异面,所以B 错误;D 中条件可推出m ,n ?α,且l ⊥ m ,l ⊥n ,但m ,n 不一定相交,故不能推出l ⊥α,所以D 错误.故选C . 14.B 【解析】函数f (x )=log 2x+x-2的图象在(0,+∞)上连续不断, f (1)=0+1-2<0,f (2)=1+2-2>0, 故函数f (x )=log 2x+x-2的零点所在的区间是(1,2).故选B . 15.A 【解析】设小正方形边长为1.以A 为原点,AD 所在直线为x 轴,与AD 垂直的直线为y 轴建立直角坐标系,那么AD ????? =(1,0),AB ????? =(1,2),AC ????? =(2,-2),那么{λ+μ=2,2λ=-2, 解得λ=-1,μ=3,所以λ+μ=2.故选A . 16.(1,2) 【解析】当x-1=0,即x=1时,y=2. ∴函数y=a x-1+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点(1,2). 17.14 【解析】由等差数列的通项公式可得,a 3+a 4=2a 1+5d=9,a 1+d=3, 所以a 1=2,d=1, 所以a 1a 6=2×7=14. 18.40 【解析】抽样比为1∶10,而C 学院的学生有1 200-380-420=400(名),所以按抽样比抽取40名. 19.90° 【解析】根据正弦定理,可得 sin B cos C+sin C cos B=sin 2A ?sin(B+C )=sin 2A ,而 sin(B+C )=sin A ,所以sin A=sin 2A ,所以sin A=1,所以∠A=90°. 20.【解】f (x )=(cosx,-1 2)·(√3sin x ,cos 2x )=√3cos x sin x-1 2cos 2x=√3 2sin 2x-1 2cos 2x=cos π 6sin 2x-sin π 6cos 2x=sin (2x -π 6). (1)f (x )的最小正周期为T=2πω= 2π2 =π,即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π 2,∴-π 6≤2x-π 6≤5π6 . 由正弦函数的性质知, 当2x-π 6=π 2,即x=π 3时,f (x )取得最大值1. 当2x-π 6 =-π 6 ,即x=0时,f (x )取得最小值-1 2 , 因此,f (x )在[0,π 2]上的最大值是1,最小值是-1 2. 21.证明:(1)如图,连接AB 1,交A 1B 于点O ,连接OG.在△B 1AC 中,∵ G ,O 分别为AC ,AB 1的中点, ∴OG ∥B 1C. 又∵OG ?平面A 1BG ,B 1C ?平面A 1BG , ∴B 1C ∥平面A 1BG. (2)∵在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,BG ?平面ABC , ∴AA 1⊥BG. ∵G 为棱AC 的中点,AB=BC , ∴BG ⊥AC. ∵AA 1∩AC=A ,∴BG ⊥平面ACC 1A 1,∴BG ⊥AC 1. 设AC=2,则AG=1,AA 1=√2. 在Rt △ACC 1和Rt △A 1AG 中, tan ∠AC 1C=tan ∠A 1GA=√2, ∴∠AC 1C=∠A 1GA. 又∠AC 1C+∠C 1AC=90°, ∴∠A 1GA+∠C 1AC=90°,∴A 1G ⊥AC 1. ∵BG ∩A 1G=G , ∴AC 1⊥平面A 1BG. ∵A 1B ?平面A 1BG ,∴AC 1⊥A 1B. 22.【解】(1)由f (3)=-5 3 ,得1+1 3 -3α=-5 3 ,解得α=1. (2)由(1),得f (x )=1+1 x -x. 令f (x )=0,即1+1 x -x=0,也就是x 2-x -1x =0, 解得x=1±√5 2 . 经检验,x= 1±√5 2 是1+1 x -x=0的根, 所以函数f (x )的零点为 1±√5 2 . (3)函数f (x )=1+1 x -x 在(-∞,0)上是减函数. 证明如下: 设x 1,x 2∈(-∞,0),且x 1 则f (x 1)-f (x 2)=(1+1x 1 -x 1)?(1+1x 2 -x 2)=(x 2-x 1)(1 x 1x 2 +1). 因为x 1 x -x 在(-∞,0)上是减函数.