燕尾模型必会的11道题目答案版

平面几何常考五大模型---等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、 燕尾

平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝） 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。 模型一：等积变化原理：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。 b S 1︰S 2 =a ︰b ； 模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）:如下图，三角形AED 占三角形ABC 面积的 23×14=1 6 模型二：等积变化原理之四边形应用 S 4 S 3 s 2 s 1O D C B A 1414 23213 S S =S S S S DO OB S S +== + 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） (1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b 2 （2）S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2 ︰ab ︰ab （3）S 2=S 4 ； （4） 141423213 S S =S S S S DO OB S S +== + :

模型四：相似三角形性质 ① a b c h A B C H === ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2 ︰A 2 h h H c b a C B A a c b H C B 模型五：燕尾定理 F E D C B A S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ； 【例1】：如右图，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少？ 【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD 的面积是4， S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比，三角形ABC 的面积是ABD 的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。

小学五年级奥数 燕尾模型(一)

燕尾模型（一） 模块一：基本的燕尾模型 1. 认识燕尾模型 2. 边长比推导面积比【例1】(★★) 如图，已知△ABD的面积是15 ，△ACD的面积是20，△BCD的面 积 是14. 求△CDE的面积是多少？ 1. 二合一模型 2．燕尾模型: ABE BD ABD BD AEC DC ADC DC 【例2】(★★★) 如图，△ABC中，BD∶DC＝2∶3，AE∶EC＝5∶3，则ABG : AGC : BGC ________ 【例3】(★★★) 如图，已知BD＝3 DC，EC＝2AE，BE与AD相交于点O，则四 边形 OECD的面积占△ABC面积的几分之几？ 找燕尾、化连比、求1份 【拓展】(★★★) 如图，△ABC中，BD DC＝2 3，AE EC＝5 3，则 AF: FB _____

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【例4】(★★★)【例5】(★★★) 如图，E在AC上，D在BC上，且AE∶EC＝2∶3, B D∶DC＝1∶2，AD与BE交于点F.四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积＿＿＿. 在△ABD中，BD∶DC＝3∶2，AE∶E C ＝3∶1，求OB∶OE＝？ 【例6】(★★★★) 知识大总结两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三 .，，. 角形的面积分别是3，7，7，则四边形ADPE的面积是多少？ 2.应用：线段比推导面积比. 3.结论：已知两条边长的线段比，必然可求三部分面积关系. 注意：份数的统一. 【超常大挑战】(★★★★) 【今日讲题】

请证明燕尾模型：ABE BD AEC DC 例2，例3，例5，超常大挑战 【讲题心得】 __________________________________________________________________. 【家长评价】 ________________________________________________________________. 2

几何图形 五大模型

直线形面积计算的五大模型 一、等积变换模型 （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比 等于他们底的比） AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ??= 1h 为公共的高，所以 1 2 ::BD DC s s = （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。 底和高均不同，所以 ()21 ::)(ABD CDE BD DC h s s h ??=?? 比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6， 那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6） 二、鸟头定理（共角定理） 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。 BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ??=??所以 E :E :D A B A C D A A B A A C s s ?? ∠=??A 为公共角，所以 推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型 1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 1 2 4 3 ::s s s s =或者1 3 4 2 s s s s ?=? 1 4 2 3 1 2 4 3 +AO:OC s s s s s s s s == =：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。 2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理） 22 13 :a b s s =： 22 1324 ::a b s s s s =：：：ab ：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2 (a+b) 四、相似模型 相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型） 下面的比例关系适用如上两种模型： 1、 AD AE DE AF AB AC BC AG === 2、 22 ::ADE ABC s s AF AG ??= 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下： （1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

燕尾模型学习资料

燕尾模型 燕尾模型，研究的是怎样把一个三角形内部两个成燕子尾巴关系的三角形（其实两个三角形的关系是共边）面积的比转化成线段长度之间的比。 一、燕尾模型基本结论 如下图，燕尾模型的基本结论为：S1：S2=L1:L2=S3：S4=（S1+S3）：（S2+S4），其中S3：S4=（S1+S3）：（S2+S4）=L1：L2 是共高得到的结论，S1：S2=L1：L2是燕尾模型的结论。 需注意，一个三角形内部，内部某个点与三个顶点分别相连后，会形成左、右、下三个燕尾三角形，并会形成（左、右）（左、下）（右、下）三组燕尾。这三组燕尾就是燕尾模型研究的对象！

虽然燕尾模型研究的是左、右、下这三个燕尾三角形，但是上面这个图显然无法把两个燕尾三角形的面积比转成成线段的比，所以燕尾模型中最常见的图为下图： 图中，根据燕尾模型的结论，有：S△AGB：S△AGC=BE：EC， S△AGB：S△BGC=AF：FC， S△AGC：S△BGC=AD：DB 以上就是燕尾模型的基本结论。 二、燕尾模型常考图形 其实，燕尾模型经常考察的图形是下面这个图。即只画出三个顶点中两个顶点出发的两条线AD、BE交于一点O，并且告诉我们两条线AD、BE分三角形两条边成的两条线段的比BD：DC，AE：EC(即两个外比）。

比如说，已知三角形ABC中，BD：DC=1:1，AE：EC=1：2。接下来我们就来看一下，这样一个图形中，在就知道这两个外比的情况下，能推出什么样的结论。 对于这个图，因为是在考燕尾模型，所以一定首先要首先作出辅助线，构造出三个燕尾三角形，如下图虚线， 此时根据BD：DC=1：1，AE：EC=1:2两个外比，我们可以解决下面三个问题：（1）另一个外比AF：FB （2）图中三条线BE、AD、CF分成的S1、S2、S3、S4、S5、S6六个小三角形的份数关系 （3）三个内比，即AG：GD，CG：GF，BG：GE 而求解这三个问题的过程是统一的，基本思路就2步：（1）求三个燕尾三角形S左（三角形ABG）、S右（三角形AGC）、S下（三角形BGC）的连比（2）用份数表示每个三角形的面积。 下面我们按照这两步的思路（先求三个燕尾三角形连比，再用份数表示）来分别解决上面的三个问题。

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

燕尾定理详细解析.题库教师版

燕尾定理详细解析.题 库教师版 https://www.wendangku.net/doc/7c6592868.html,work Information Technology Company.2020YEAR

燕尾定理： 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ??=． O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题证明一下燕尾定理： 如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC == S 3 S 1S 4S 2E D C B A 【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底， 所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==. 【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中 点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． 例题精讲 燕尾定理

F E D C B A 3332 1F E D C B A A B C D E F 【解析】 方法一：连接CF ， 根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以551212 DCEF ABC S S = =△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1 13 3 ABD ABC S S ==△△， 1121 2233 ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以 11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111 22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△， 而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5 12 ． 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积 . 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此 我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1152 ABD ABC S S ==△△． 根据燕尾定理， 12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD S CD ==△△, 所以17.54 ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△， 所以阴影部分面积是30107.512.5--=． (法二)连接DE ，由题目条件可得到1103 ABE ABC S S ==△△， 112 10223 BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以 1 1 ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.52 23 232 DEF DEA ADC ABC S S S S =?=??=???=△△△△， 而211032 CDE ABC S S =??=△△．所以阴影部分的面积为12.5．

几何五大模型一

几何五大模型 一、等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等。 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。 3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。 二、共角定理模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 三、蝴蝶定理模型 （说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。） 四、相似三角形模型 相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模 等积变形: 等积变形是小学几何里面一个非常重要的思想，小学所以的几何题，或多或少的都会用到等积变形的思想，几何五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的。

一半模型 平行四边形、梯形、任意四边形中的一些一半模型。 一、 模型归纳总结 1、等面积变换模型 (1)直线AB 平行于CD ，可知BCD ACD S S ??=； 反之，如果BCD ACD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD ．如图A (2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ::ABD ACD S S BD CD =△△如图 B D C B A D C B A 图A 图B (3)一半面积关系 S 4 S 3 S 2S 1 A B C D D C A 1 2 S S =阴影长方形 1324 S S S S +=+

【例1】、如图，每一个正方形四边中点的连线构成另一接小正方形，则阴影部分面积为原正方形面积的几分之几? 第8题 【例2】、如右图，过平行四边形ABCD 的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ B C G H

小学奥数几何燕尾模型

燕尾定理： 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么， ::ABO ACO S S BD DC ??= O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题 证明燕尾定理： 如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC == S 3 S 1S 4S 2E D C B A 【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =； 三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =； 三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =； 综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==. 例题精讲 燕尾定理

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在 BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 3332 1F E D C B A A B C D E F 【解析】 方法一：连接CF ， 根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以55 1212 DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到11 33ABD ABC S S ==△△， 1121 2233ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111 22323212DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△， 而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于5 12 ． 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积 . 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步 判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1 152 ABD ABC S S ==△△． 根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD S CD ==△△, 所以1 7.54 ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△， 所以阴影部分面积是30107.512.5--=． (法二)连接DE ，由题目条件可得到1 103 ABE ABC S S ==△△， 112 10223 BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以 11ABE BDE S AF FD S ==△△，

第五讲 燕尾模型

1 第五讲 燕尾模型 【拓展1】 如图的大三角形被分成五个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是（ ）。 【拓展2】 如图所示，BC=3BD ，AC=4EC ，已知三角形AFE 的面积比三角形BFD 的面积大37.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是（ ）平方厘米。 【拓展3】 如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，AF=2BF ，CE=3AE 。连接CF 交DE 于P 点，求EP DP 的值。 【拓展4】 在平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是CD 边上的三等分点。BD 与AE 交于点G ，BD 与AF 交于点H ，求图中阴影部分的面积与空白部分的面积的比。 【拓展5】 如图所示，在四边形ABCD 中，AB=3BE ，AD=3AF ，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为（ ）。

2 【拓展6】 如图，△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大9平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？ 【拓展7】如图，△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知四边形MNFD 的面积是3.8平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？ 【拓展8】 如图在△ABC 中，DC DB =EA EC =FB FA =13，求S△GHI S△ABC 的值。 【拓展9】 如图在三角形ABC 中，F 是AB 上的四等分点，E 是AC 上的三等分点，D 是BC 的中点。CF 交BE 于点P ，AD 交CF 于点Q ，BE 交AD 于点R 。那么△PQR 的面积与△ABC 的面积之比。 【拓展10】 如图所示，△ABC 的面积是210，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，F 分别是AB 的四等分点（靠近B 点）。求△PMN 的面积是多少？

小学奥数几何五大模型燕尾模型

燕尾定理： 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么， ::ABO ACO S S BD DC ??= O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题 证明燕尾定理： 如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC == S 3 S 1S 4S 2E D C B A 【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =； 三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =； 三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =； 综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==. 例题精讲 燕尾定理

【例 1】 （2009 年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 3332 1F E D C B A A B C D E F 【解析】 方法一：连接CF ， 根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以5512 12 DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到113 3 ABD ABC S S ==△△， 1121 2233 ADE ADC ABC S S S ==?=△△△，所以11 ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111 22323212 DEF DEB BEC ABC S S S S =?=??=???=△△△△， 而211323CDE ABC S S =??=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512 ． 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积. 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系， 由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是 一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1152 ABD ABC S S ==△△． 根据燕尾定理， 12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BD S CD ==△△, 所以17.54 ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△， 所以阴影部分面积是30107.512.5--=． (法二)连接DE ，由题目条件可得到1103 ABE ABC S S ==△△， 112 10223 BDE BEC ABC S S S ==?=△△△，所以 11ABE BDE S AF FD S ==△△，

几何五大模型之五(燕尾定理)

燕尾定理 燕尾定理： 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O， 那么， :: ABO ACO S S BD DC ?? = O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题 如右图，D是BC上任意一点，请你说明： 1423 ::: S S S S BD DC == S 3 S 1 S 4 S 2E D C B A 【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有 14 :: S S BD DC =； 三角形ABE与三角形EBD同高， 12 :: S S ED EA =； 三角形ACE与三角形CED同高， 43 :: S S ED EA =，所以 1423 :: S S S S =； 综上可得， 1423 ::: S S S S BD DC ==. 例题精讲

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在 BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积 . 【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =， AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？ O E D C B A 【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于 点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ． X Q P A B C 【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分

小学数学知识图形五大模型

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型

二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形的对应份数为()2 a b +。

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC 可推导出 若△ABC 和△ADE 中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则ADE ABC S S ??=AE AD AC AB ?? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 四、相似模型

五年级奥数燕尾模型

共边定理（燕尾定理） 有一条公共边的三角形叫做共边三角形。 共边定理：设直线AB 与PQ 交于点M ，则S PM PAB S QM QAB ?=? 特殊情况：当PQ ∥AB 时，易知△PAB 与△QAB 的高相等，从而S △PAB=S △QAB 知识框架 燕尾模型

【例 1】 如图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ． O F E D C B A 【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB . O F E D C B A 【例 2】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积. 例题精讲

B 【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是2 200c m ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A A B C D E F F E D C B A 【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占 ABC △ 面积的几分之几？ O E D C B A 【例 4】 如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为

几何五大模型之五(燕尾定理)精编版

燕尾定理 燕尾定理： 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么， ::ABO ACO S S BD DC ??= O F E D C B A 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 通过一道例题 如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC == S 3 S 1S 4S 2E D C B A 【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =； 三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =； 三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =； 综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==. 例题精讲

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在 BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积 . 【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =， AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？ O E D C B A 【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于 点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ． X Q P A B C 【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分 的面积各是多少?

(完整版)五年级下册数学扩展专题练习几何.燕尾模型(a级).学生版全国通用(无答案)

共边定理（燕尾定理） 有一条公共边的三角形叫做共边三角形。 共边定理：设直线与交于点，则 S PM PAB S QM QAB ?= ? 特殊情况：当∥时，易知△与△的高相等，从而△△ 知识框架 燕尾模型

【例 1】 如图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ． O F E D C B A 【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB . O F E D C B A 【例 2】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A 【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积. 例题精讲

B 【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且 :3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ． F E D C B A A B C D E F F E D C B A 【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占 ABC △ 面积的几分之几？ O E D C B A 【例 4】 如图所示，在ABC △中，12CP CB =，1 3 CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为 6，则ABX △的面积等于 ．

五年级下册数学竞赛试题- 14讲 图形-五大模型 全国通用(含答案)

图形-五大模型（一） 【名师解析】 一、等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等。 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。 3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。 二、共角定理模型（共角定理） 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如： 依次称之为A 字型鸟头、X 字型鸟头、歪脖型鸟头、直脖型鸟头。 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图(或D 、E 分别在BA 、CA 延长线上。 则有： ADE ABC S AD AE AD AE S AB AC AB AC ?=?= ?△△ 三、蝴蝶定理模型（风筝模型） （说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。） 四、相似三角形模型（沙漏模型） 五、燕尾定理模型 【例题精讲】 例1、三角形ABC 中，BD 是DC 的2倍，AE 是EC 的3倍。三角形DEC 的面积为3平方厘米，求三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？ E A D C B 练习、在下图中，已知CF=2DF ，DE=EA ，△BCF 的面积为2，四边形BFDE 的面积为4，求△ABE 的面积。 F E D C B A 例2、(1)在下图中，2AB BD AC CE ==，，如果2 9ADE S cm D =，求ABC S D ？

E D C B A 练习、如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =， 12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． D E A B C 例3、正方形ABCD 边长为6 厘米，BC CF AC AE 3 13 1= =，．三角形DEF 的面积为多少平方厘 米？ B D 练习、如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ． S G F E D C B A 例4、一个长方形，被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积是20亩、25亩和30亩．问另一个 长方形的面积是多少亩？

燕尾模型

燕尾模型 知识框架 共边定理（燕尾定理） 有一条公共边的三角形叫做共边三角形。 S PM 共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则PAB S QAB QM 特殊情况：当 PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB 脑袋转转：水陆各半。（打一拉丁美洲国家名）Page1of13

例题精讲 【例1】如图，三角形ABC中，BD:DC 4:9，CE:EA 4:3，求AF:FB． A E F O B D C 【巩固】如图，三角形ABC中，BD:DC 3:4，AE:CE 5:6，求AF:FB. A E F O B D C 【例2】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC 1:2，AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等于． A E F B D C

脑袋转转：水陆各半。（打一拉丁美洲国家名）Page2of13

共边模型 【巩固】如图，已知BD DC，EC 2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积. A E F B D C 【例3】如图，三角形ABC的面积是20 2 E 在AC 上，点D在BC上，且0cm， AE:EC3:,BD5 :DC2:3，AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等于． A A A E F E E F F B C B C B D C D D 【巩固】如图，已知BD 3DC，EC 2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几？ A E O B D C

脑袋转转：水陆各半。（打一拉丁美洲国家名）Page3of13