高一数学教案：苏教版高一数学指数函数1
§ 17指数函数
江苏省启东中学黄群力
［教学目标］理解指数函数的概念和意义，观察指数函数图象变化规律和底数的关系，结合函数定义域和值域加深对指数函数图象和性质的认识。［学习指导］
重点：对指数函数图象和性质理解掌握，并能运用。
难点：对图象和性质的深刻认识和把握。
教材分析：
1、指数函数图象和性质：
函数八a x(a .0,a=1,x. R)叫指数函数，它的图象和性质见表
2、学习的注意问题
①定义域是R。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数
a>0的前提下，x可以是任意实数。
②规定a>0, a z 1的原因是：在y = a x中，若a= 1,则y = 1,它是一个常
数函数。为了保证当x取分数时a x有意义，必须要求a>0;但是a= 0 时，a x只有x>0有意义，且y= a x= 0也有常数函数。
3、学习方法、解题技巧、思维方法
①当底数a大小不定时，必须分“ a>1 ”和“ 0 ②当0 的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。当0 ③熟悉指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关 系。 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； 由y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。 ［例题分析］ 例1. （I）指数函数f（x） =a x（a>0且a z 1）的图象过点（3, n ），则f（-3）=丄 分析：先求出y=a x解析式，再代入即可。 是指数函数①y二a x，②y二b x，③科二C，④y二d x图象，则a、b、C、d与1的大小关系是（B） A: a 解答：法一、根据指数函数图象位置与底数关系可选（B） 法二、x=1与指数函数①②③④的交点纵坐标分别为a、b、c、d，根据a、b、c、d位置即可判断出a、b、c、d大小，选（B） 评注：法二比法一更简单易懂，法二中x=1称为指数函数特征线。熟练运 用特征线比较底数大小带来极大方便。 例2.([)若(a2a ■ 2)x(a2a 2严，求X取值范围. 分析：首选构造指数函数y =(a2? a 2)x ..2 1 2 7 . -a a 2 = (a ) 1 4 ???在R上是增函数，从而问题解决。 解答：T a2a = (a ■ —)2— 1 4 ?y =(a2a 2)x在R上是增函数 1 ?x > 1-x ? x — 2 (II)已知：0 A: x a曲a B : a x< a y C : a x a y D : a x y a a 解答：对于A：T 二=(Z)a.百。=1 ? x a■ y a y y y 对于B:根据指数函数性质知，正确。 对于D：T a x< a0= 1,而y a y0= 1 ? a x：：y a 综上所述，选(B) 例3.求下列函数定义域及值域 1 2x 一 ①y孑：②y令:③?厂1;@ y=i°x1「 (a>0 分析：由于指数函数y=a x(a>0且a^ 1)的定义域R, ???函数y=a f(x) 且a z 1)与函数f(x)的定义域相同，利用指数函数单调性求值域。 解答：①令x —4工0 ???定义域：'x/x = 4f 1 T^L_-0 ? 2门=1 ?值域： x -4 ②定义域：R T x _0 ??? y =（ 2）HI =（ 3）x_（-3 ）= 1 ???值域fy/y ③定义域：R T y =（2x）2 3 42 2x^（2x1）2又T 2x0 ?y>1 ?值域：:y/y 1; ④令竺一10 ? 口_0 Z.x< —1 或x> 1 x+1 x+1 ???定义域:汉/X：：: 一1或X_1 值域：：y/ y 一1且y = 10』 评注：求与指数函数有关值域时，注意充分充分考虑并利用指数函数本身要求并利用好单调性，第①小题切不能漏掉y > 0. 例4.求函数y=4」—2」1 , X，［-3,2］的最大值和最小值。 解答：T y =（1）x—（1）x，（扩一》."［（孑冷2得 4 2 2 2 2 2 4 令t =d）x? y 7 J）2弓 2 2 4 又T x ［-3,2］「. 1乞t 乞8 即：-< ^157 ?值域：［? , 57］ 4 4 4 评注：通过指数运算，配凑成二次式，从而解决问题。 ［本课练习］ 2函数y =（丄）?门值域是（B） 3 A：（―乂, 0） B : （0, 1〕C : ［1 ,+乂）D : （―乂, 1〕 3函数y二a~ 1（a ? 0且a"）图象必过点（D） A: （0, 1） B : （1, 1）C : （2, 0）D : （2, 2） 4当x>0,函数f（x）=（a2-1）x值总大于1,则a的范围（C）