第三章-多维随机变量及其分布测试题答案
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）
1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
222
13,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ?
+-≥≥?++++=???其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1
《
(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-． 3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是1 3αβ+=; 当=α 29 ，=β 1 9 时X 与Y 相互独立． 4．设二维随机变量的密度函数2,01,02 (,)3 0,xy x x y f x y ?+≤≤≤≤?=??? 其他,则(1)P X Y +≥=__ 65 72 ____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为2 3,02 (,)80,x x f x y ?≤≤?=???其他，设A= （X>b ）与B=（Y>b ）相互独立，且3 ()4 P A B ?= ,则6．在区间(0,1)随机取两个数，则事件“两数之积大于1 4 ”的概率为_ _ 31 ln 444 - . 7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34 (0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=, 则(max{,}0)P X Y ≥=_ 5 7 . 8．随机变量(,) (0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 . 9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ， ()D X Y -= 37 . 10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+==== 0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分） 1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）. A .???>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F B .?????>>??=--., 0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞---y x t s dsdt e y x F ),( D .?? ???>>=--.,0,0,0,),(其他y x e y x F y x 2．设平面区域D 由曲线1 y x = 及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）． A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．12- 3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）． A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布 B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布 C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布 D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）． A ．X 与Y 不相关 B ．(,)()()X Y F x y F x F y =? C ．X 与Y 相互独立 D ．1XY ρ=- 5．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）． A ．1 B ．12 C ． 23 D ．34 三、计算题（第一题20分，第二题24分） 1．已知2(),(),(1,2,3),a b P X k P Y k k X Y k k ===-==与相互独立. (1)确定a,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布列； (3)求X-Y 的概率分布. 解：(1)由正则性()1k P X k ==∑有，6 12311 a a a a + +=?= ()1k P Y k =-=∑有，36 14949b b b b ++=?= (2)(X,Y)的联合分布律为 (3) X-Y 的概率分布为 2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0 (,)0,x y ke x y p x y -+?>>=??其他 (1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)求(01,02)P X Y <≤<≤. 解：（1）∵0 (34)0 1x y ke dx dy ∞ ∞-+?=? ∴4000 11433()()430 ||112y y x x e dx k e e dy k k e ∞ -∞∞ ∞---=--??= =? ∴k=12 （2）143(34)(,)1212(1)(1)1200 y x y x u v F x y e dudv e e ---+==?--?? 43(1)(1)0,0y x e e x y --=-->> ∴34(1)(1),0,0 0,(,)x y e e x y F x y ?--?-->>??? =其他 （3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+-- 3 8(1)(1)e e --=-- 3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为1 2 1,0 ()20,0x X e x p x x ?≥?=?? 1 31,0 ()3 0,0x Y e y p y y ?≥?=?? ，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z X Y p z p x p z x dx ∞ -∞ = -? ∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值 3363620 00 111()[]|236z z z x z x z x x z Z p z e e dx e e dx e e -------=?==-?? 3 6 (1)z z e e --=-- 当z<0时，()0Z p z = 所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0, 0z z Z e e z p z z --?? --≥=?? 4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0 (,)0,x y e x y p x y --?>>=??其他，分别求下 列概率密度函数. (1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =. 解：（1）因为3430()(,)123x y x X p x p x y dy e dy e ∞ ∞ ----∞= ==?? 3440 ()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞ ∞ ----∞ = ==?? 所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z = 当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤ 34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==-- 所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ---- 0347,0z z z z e e e z --- 当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->> 7z e -= 所以70, 0()7,0M z z p z e z - z z z z e e e z --- ()0,X x x p x ≤≤?=??其他， (5),5 ()0,y Y e y p y --?>=??其他 ，求XY ρ. 解：因为X,Y 相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以0XY ρ= 6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y x p x y <<< 和Y 的边际密度函数. 解：2 0()(,)33,01x X p x p x y dy xdy x x ∞ -∞= ==< 1 22 3()(,)3(1),012Y y p y p x y dx xdx y x y ∞ -∞= ==-< 1．已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立. 证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0 所以E(XY)= E(X) E(Y) 即X 与Y 不相关. 又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)≠P(X=1) P(Y=1) 所以X 与Y 不独立. 2．设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ=====,证明 22(max{,})1E X Y ≤证明：因为()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ===== 所以2222()()()1,()()()1E X D X E X E Y D Y E Y =+==+= ()(,)()()E XY Cov X Y E X E Y ρ=+= 2222221 max(,)[||]2 X Y X Y X Y =++-因 所以2222222211 (max(,))[()()(||)1(||)22E X Y E X E Y E X Y E X Y =++-=+- 由柯西施瓦兹不等式有222()()()E XY E X E Y ≤ 所以22221(max(,))1(||)12E X Y E X Y =+-≤+又因为22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ+=++=++=+ 22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ-=+-=+-=- 所以22(max(,))11E X Y =≤=+ 3．设二维随机变量),Y X （的联合概率密度为：1 (1), 1,1(,)4 0,xy x y p x y ?+< 其他 证明X 与Y 不独立，而2X 与2Y 相互独立． 证明：因为1 1 11 ()(,)(1),1142X p x p x y dy xy dy x ∞-∞-= =+=-< 1 11()(,)(1),1142Y p y p x y dx xy dx y ∞ -∞-= =+=-< 则 22(,)(,)(F u v P X u Y v P X Y =≤≤=≤≤≤≤ 所以当0,0(,)0u v F u v <<=时，； 当11 111 1,1(,)(1)14u v F u v xy dxdy --≥≥=+=??时，； 当1 11 1,01(,)(1)u v F u v xy dxdy -><<= +=?时，； 当111 01,1(,)(1)4u v F u v xy dxdy <<>= +=?时， 当01,01(,)(1)u v F u v xy dxdy ≤<≤<= +=时，； 所以1,0101,1(,)01,011,1,10,0,0u v u v F u v u v u v u v ?>< <<>?=≤<≤<≥≥??< 所以0,(,)1,01p u v u v ?? =≤<≤<其他 所以1 0()1U p u v ==≤< 1 0()1V p v du u ==≤< 故()()(,)U V p u p v p u v = 所以U 与V 独立，即2X 与2Y 相互独立．