二次不等式及其应用
第2讲：二次不等式及其应用
【复习要求】
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系； 3. 进一步领悟“转化”的思想，掌握“转化”的方法，懂得“转化”的根据；
4. 进一步领悟分类讨论思想，并学会简单讨论，懂得如何利用“讨论”的依据进行讨论；
【复习重点】
1. 掌握相关二次不等式的解法及分式不等式的解法；
2. 掌握含有参数不等式的求解；
3. 掌握二次方程根的分布，并学会解决相关问题；
【复习重点】
1. 数形结合思想与转化化归思想的灵活掌握；
2. 分类讨论思想的灵活运用；
【知识梳理】
1、区间的概念与常见表示：
（1）集合{}
x a x b ≤≤叫做闭区间，表示[],a b ；
（2）集合{}x a x b <<叫做开区间，表示(),a b
（3）集合{}{}x a x b x a x b ≤<<≤或叫做半开半闭区间，分别表示为[)(],,,a b a b
在上述所有的区间中a ，b 叫做区间的端点，以后我们可以用区间表示不等式的解集。 （4）把实数集R 表示为(),-∞+∞；把集合{}{}{}{}
,,x x a x x a x x b x x b ≥>≤<和分别用区间[)()(](),,,,,,a a b b +∞+∞-∞-∞和。 2、一元二次不等式的解集步骤：
①看二次项系数；②看能否直接因式分解，不行则计算△；③写解集；其中：学会数形结合： 20ax bx c ++=
的根的判别式（0a ≠） 2
40b ac ?=->
240b ac ?=-=
240b ac ?=-<
2(0)y ax bx c a =++>
的图像
20(0)ax bx c a ++>> 解集：{}12x x x x x <>或 解集：1x x ≠ 解集：x=R 20(0)ax bx c a ++<> 解集：{}12x x x x <<
解集：?
解集：? 20(0)ax bx c a ++≥> 解集：{}12x x x x x ≤≥或 解集：x=R
解集：x=R
20(0)ax bx c a ++≤> 解集：{}12x x x x ≤≤
解集：1x x =
解集：?
注意：突出配方法和因式分解法，重视一元二次函数、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集（三个二次）之间的关系在解题中的作用，如未指明a 是否为零，应对其讨论；那么自己讨论下当0a <的情况。 3、二次方程的根的分布
设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为
()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下
面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况
两个负根即两根都小于0
()120,0x x <<
两个正根即两根都大于0
()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<
大致图象
>a
得出结论
()00200b a f ?>???
-?? ()0
0200
b a f ?>???
->??>?? ()00 大致图象 得出结论 ()0 0200b a f ?>??? - 0200 b a f ?>??? ->??f 综合结论不讨论a ()0 0200 b a a f ?>???- ??>?? ()00200 b a a f ?>???->? ??>?? ()00 分布 情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象 0>a 得出 结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 大致图象 0 得出结论 ()0 20b k a f k ?>??? - 20 b k a f k ?>??? ->??k f 综合结论不讨论a ()0 20b k a a f k ?>???-?? ()0 20 b k a a f k ?>???->???>?? ()0 k k k 分布情况两根都在()n m,内两根有且仅有一根在 ()n m,内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m,内，另一根在()q p,内， q p n m< < < 大致图象 0 > a 得出结论 () () 2 f m f n b m n a ?> ? ? > ? ? > ? ? ?<-< ?? ()()0< ?n f m f () () () () f m f n f p f q ?> ? < ? ? < ? ?> ? 或 ()() ()() f m f n f p f q < ?? ? < ?? 大致图象 0 < a 得出结论 () () 2 f m f n b m n a ?> ? ? < ? ? < ? ? ?<-< ?? ()()0< ?n f m f () () () () f m f n f p f q ?< ? > ? ? > ? ?< ? 或 ()() ()() f m f n f p f q < ?? ? < ?? 综合结论不讨 论a ——————()()0< ?n f m f ()() ()() ?? ? ? ? < < q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n f m f n >???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了 方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2 220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所 以()()()2 2212mx m x x mx -++=--，另一根为 2m ，由213m < <得2 23 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数 的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程2 4260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范 围。分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15 314 m -<<-；②由0?=即()2 164260m m -+=得出1m =-或3 2 m = ，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =?-，故3 2 m =不满足题意；综上分析，得 出15 314 m -<<-或1m =- 【典型例题】 类型1：常系数二次不等式的求解问题 例1、解下列不等式 ()1(1)(3)52x x x －－＜－ ()22(11)3(1)x x x ≥＋＋ ()23(21)(3)3(2)x x x ＋－＞＋ 223(4)331-2 x x x -+＞ 21 (5)1(1)3 x x x x -+-＞ 答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(2){x|1x }≤≤32 (3)?(4)R(5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式． 类型2：二次不等式中参数值（范围） 例2、求解下列有关参数问题： （1）、若不等式032 ＞++bx ax 的解为32 1 ＜＜x - ，求实数a 、b 的值。 （2）、已知不等式20ax bx c ++＞的解集为{|}()x x R αβα+ ∈＜＜，求2 0cx bx a ++＞的解集； （3）、已知关于x 的二次不等式01)1(2 ＜-+-+a x a ax 的解集为R ，求a 的取值范围。 （4）、设关于x 的不等式2 (2)2(2)40a x a x -+-+＞的解集为R ，求实数a 的取值范围。 （5）、若同时满足不等式2 20x x -->和2 2(52)50x a x a +++<的整数值只有-2，求实 数a 的取值范围。 答案：（2）,;b c a a αβαβ+=- =22010c b cx bx a x x a a ++?++＞＜ 211 ()10(1)(1)0()x x x x x αβαβαββααβ ?-++?--?＜＜＞＞∵＞ （5）解：2 20x x -->解集为(,1)(2,)-∞-?+∞， 22(52)50x a x a +++<因式分解为()502x x a ? ?++< ?? ? 讨论：①当52a -<- 解集为5,2a ? ?-- ?? ? ②当52a -=-解集为?③当52a ->-解集为5,2a ?? -- ??? ，综上：运用数轴分析的得到[)3,2a ∈- 例3、已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >－的解集为()13， 。 （1）若方程()60f x a +=有两个相等的实数根，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围。 解析：（1）依题意可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0∴f(x)= a(x-1)(x-3)-2x 由f(x)+6a=0有两个相等的实数根，即方程ax 2-(2+4a)x+9a=0有两个相等的实数根，∴△＝ 0∴a=1，a=－ 51∵a<0∴f(x)=5 356512---x x 。 （2）f(x)= a(x-1)(x-3)-2x=a(x-a a a a a 14)212 2++-+且a<0∴?? ???<>++-001 42a a a a ∴a 的取值范围为)0,32()32,(+----∞ 。 类型3：含有参数的二次不等式的求解问题 例4、求解下列不等式： （1）解关于x 的不等式：()0122 >+++x a ax （2）解关于x 的不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 （3）解关于x 的不等式：2 2 210x x a -+-≥ （4）解关于x 的不等式：0)2)(2(>--ax x 【课后练习】 求解下列不等式问题： （1）01)1(2 <++-x a a x （2）01)1(2 <++-x a ax （3）012 <++x ax 类型4：二次方程根的分布问题 例5、若关于x 的方程2 (3)0x m x m +-+=分别满足下列条件，求m 的取值范围。 （1）有两不等的正根； （2）有两个小于1的不等根； （3）一根小于1，一根大于1； （4）在(0,2)内有两个不等根； （5）在(0,2)内仅有一个根； （6）一根在(2,0)-内，一根在(0,4)内 答案：略 例6、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。 解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ? 1 22 m -<< 即为所求的范围。 例7、已知集合{} 2|540A x x x ≤＝－＋与{ } 2 |220B x x ax a ≤＝－＋＋,若B A ?，求a 的取值范围. 解：{}41|,41,0)1)(4(452≤≤=∴≤≤≤--=+-x x A x x x x x 设 222++-=a ax x y （*） 当=B ?，即方程（*）无解，显然A B ?成立，由0 当≠B ?，且A B ?成立，即：{}{}41||21≤≤?≤≤x x x x x x 根据图像得出： ??? ????≤--≤≥++-≥++-4 221024*24021*2122 a a a a a ，解得)2(718 1 ≤≤a 综合（1）（2）两式，得a 的取值范围为(]7/18,1-。 类型5*、二次不等式的恒成立问题（备用） 例8、一元二次不等式类型的恒成立问题（在后面学习二次函数再重点介绍） （1）已知不等式2 2 (45)4(1)30m m x m x +---+＞对于一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围； （2）设2()f x ax bx c =++，若7 (1)2 f = ，问是否存在，,,a b c R ∈，使得不等式2213 ()2222 x f x x x + ≤≤++对一切实数x 都成立，证明你的结论； （3）是否存在实数x ，使得不等式2 12x px x p +++＞对满足||2p ≤的所有实数p 恒成立，若存在，求出x 的取值范围；若不存在，说明理由； （4）2 (2)0a x a -+＞在[0,1]x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是？ 答案：（1）119m ≤＜； （2）解析：转化成函数问题，()f x 函数图象夹在另外两个函数之间，故不防先看另外两 函数关系（即交点问题）22 132222x x x +=++交点3(1,)2?-?7(1)23 (1)2f a b c f a b c ? =++=????-=-+=?? 51,2b a c ?=+= 25 ()2 f x ax x a ?=++-?现在按照恒成立问题解决： 222 22221533222222535322222222 x ax x a x x a ax x a x x ax x a x x ??+≤++-≤++=?????????++-≤++++-≤++????两组恒成立检验成立 ∴3 ,1,12 a b c = == （3）3-1x x ＞或＜；（4）02a ＜＜ 【课后练习】 A 组 一、选择题 1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是11,23?? --???? ， 则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )． A ．(2,3) B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.11,32?? ??? D.11,,32????-∞?+∞ ? ????? 解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－1 2＋????－13＝b a ，－12× ????－13＝－1 a .解得a ＝－6， b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 A 2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )． A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D ．(－1,2) 解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故这个不等式的解集是 (－2,1)． 答案 B 3．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )． A.315, 22?? ??? B ．[2,8] C ．[2,8) D ．[2,7] 解析 由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜15 2，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜ 8. 答案 C 二、填空题 4．若2 10ax bx ＋－ ＜的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________． 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理． 解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-?? ?????b a a ()()1211122×得 a b ==-1212，． 5．若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为________． 解析 (等价转化法)将原不等式化为：m (x 2－1)－(2x －1)＜0.令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，则 原问题转化为当－2≤m ≤2时，f (m )＜0恒成立，只需??? ?? f －＜0，f ＜0 即可，即 ? ???? －x 2－－x －＜0，x 2－－x －＜0，解得－1＋72＜x ＜1＋3 2. 答案 ? ?? ?? －1＋72，1＋ 32 【点评】 本题用改变主元的办法，将m 视为主变元，即“反客为主”法，把较复杂问题转化为较简单问题、较常见问题来解决. 三、解答题 6．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围． 思路分析 第(2)问将不等式f (x )＜5－m ，x ∈[1,3]恒成立转化为m ＜g (x )， x ∈[1,3]上恒成立，再求g (x )的最小值即可． 解析 (1)由题意可得m ＝0或? ???? m ＜0， Δ＝m 2 ＋4m ＜0?m ＝0或－4＜m ＜0 ?－4＜m ≤0. 故m 的取值范围为(－4,0]． (2)∵f (x )＜－m ＋5?m (x 2－x ＋1)＜6， ∵x 2－x ＋1＞0， ∴m ＜6 x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立， 记g (x )＝6 x 2－x ＋1 ，x ∈[1,3]， 记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数． 则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜6 7. 所以m 的取值范围为? ???－∞，6 7. 【点评】 本题体现了转化与化归思想，解这类问题一般将参数分离出来，转化为求构造函数的最值问题，通过求最值解得参数的取值范围. 7．一个服装厂生产风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为 p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x (元)． (1)该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解析 (1)由题意知，月利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500， 由月利润不少于1 300(元)，得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45. 故该厂月产量20～45件时，月利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500＝－2????x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数． 故当x ＝32或33时，y 最大为1 612. 所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元． 8．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解析 原不等式可化为 ax 2＋(a －2)x －2≥0?(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0?x ≤－1； (2)当a ＞0时， 原不等式化为????x －2a (x ＋1)≥0?x ≥2 a 或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为??? ?x －2 a (x ＋1)≤0. ①当2a ＞－1，即a ＜－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2 a ； ②当2 a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a ＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式等价于2 a ≤x ≤－1. 综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为????－1，2 a ； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为????2 a ，－1； 当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]； 当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪????2a ，＋∞. B 组 1、不等式的 解是_______________； 答案：22x -＜＜ 2、已知不等式组22430680 x x x x ?-+??-+??＜＜的解集是不等式2 290x x a -+＜的解集的子集，则实 数a 的取值范围是________________； 答案：(2)0 9(3)0f a f ??? ? ≤≤≤ 3、若方程2 (2)50x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围为_____________； 答案：-5-4x ≤≤ 4、若不等式2 2 41-2ax x a x ++＞对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是_____________； 答案：2a ＞ 5、对于实数x ，若1,n x n n N +∈≤≤，规定：[]x n =，则不等式[][]2 440750x x -+≥的解集为____________； 提示：[]152x ≥ ，或[]5 2 x ≤803x x ?≥或≤＜ 6、已知不等式2 364ax x -+＞的解集为{}|1x x x b ＜或＞， （1）求,a b 的值； （2）解不等式：2 ()0ax ac b x bc -++＜ 答案：（1）1,2a b ==（2）(2)()0x x c --＜，从而讨论，从略 7、解不等式：2 || 40x x x -+≥ 答案：) (]3,00,2?-?? 8、解关于x 的不等式：22 12()x ax a a R -∈＞ 提示：因式分解(4)(3)0x a x a +-＞从而讨论，从略 9、设不等式2 220x ax a -++≤的解集为M ，如果[]1,4M ?，求实数a 的取值范围。 提示：分0,=00?＞，＜讨论，答案：181, 7a ? ?∈- ??? 10、设2 ()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f ＞，(1)0f ＞； （1）求证：0a ＞，且21b a -＜＜-； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根。 答案：（1）(0)0f ＞0c ?＞，(1)0320f a b c ?++＞＞，而0a b c ++=消去b 得出：0a c ＞＞，又由而0a b c ++=消去c 得0,20a b a b ++＜＞得：21b a -＜＜- （2）2 2 2 2 =4124()34()0b ac a c ac a c ac ???-=---=+-??＞，且 (0)0f ＞， (1)0f ＞，从而，得证！ 含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 课时作业17 一元二次不等式的应用 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．不等式(1－|x |)(1＋x )>0的解集为( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |－1 【答案】 (0,8) 【解析】 不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2 －8a <0，∴0 如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路 解：对于高中“解一元二次不等式”这一块， 通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。 以下分别详细探讨。 例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。 解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。 两部分的乘积大于等于零， 等价于以下两个不等式组： （1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”） 解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。 解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方， 那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解， 如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。 体会：以上三种解法，都是死板板地去解； 至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。 下面看“数形结合”法。 解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像 开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)， 显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时， 图像在x 轴的上方； 当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0， 即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。 领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”； 对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。 在实数范围内左边无法进行因式分解。 配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。 无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。 用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。 即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。 3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习 以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。 解一元二次不等式的步骤： 1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）; 2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）; 3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集 二．自主探究 在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。 【题型一】对根的大小讨论 例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ). 对应练习：解关于的不等式 2x a x a --<0 (a R ∈ ). 【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论 例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈ 对应练习：012 <+-ax x 【题型三】对首项系数a 的讨论 例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈ 对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈ 训练（2）：函数()f x = R ，则实数m 的取值范围. 课堂小结： 含参数的一元二次不等式需讨论一般分为 1：对二次项系数进行讨论； 2：对所对应方程根的个数进行讨论； 3：对所对应方程根的大小进行讨论； 注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定. 三．巩固性练习及作业 1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ） A.（-3a, 4a ） B.(4a , -3a) C.(-3, 4) D.(2a , 6a) 2、22210x x x m -+->解关于的不等式 一元二次不等式 一元二次不等式：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式不等式 题型一、解一元二次不等式 1.一元二次不等式的解法（大于取两边，小于取中间） (1)通过对不等式的变形，使不等式右边为0，左边二次项系数为正 (2)对不等式的左边进行因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式; (3)求出相应一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实数根; (4)画出对应的二次函数的简图 (5)根据图象写出不等式的解集 例1. ; 例2. 2532<--x x 263-2≤+x x 091242>+-x x 01062>-+-x x 02322>--x x 0532>+-x x 题型二、含参数的一元二次不等式及其解法 | 1.解含参数的不等式时，应对参数进行讨论 (1)以二次项系数是否为0进行讨论，以确定不等式是否为元二次不等式 (2)转化为标准形式(即右边为0，左边二次项的系数为正数)后，再对判别式与0的大小作为分类标准进行讨论; (3)如果判别式大于0，但对应方程的两实根的大小还不能确定，此时，再以两实数根大小为分类标准进行讨论 2.含参数的不等式的解题步骤 (1)将二次项系数转化为正数 (2)判断对应的二次方程是否有根(如果可以直接分解因式，此步可省去) (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异实根，要分析两根的大小) 注意 1.当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0这决定了不等式是否为二次不等式 ￥ 2.含参数的一元二次不等式的讨论顺序为:(1)二次项系数;(2)判别式;(3)若有实数根，两实数根的大小顺序 3.对参数的讨论还应注意以下几个方面:(1)对参数分类时，要目标明确，讨论时要不重不漏;(2)最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为空集时，也是其中一类，不要随便丢掉 4.并不是所有含有参数的不等式都要进行分类讨论 一元二次不等式 参考例题（2） 1．(1)解不等式 121≤-x x （}0,1|{>-≤x x x 或） (2)不等式11<-x ax 的解集为}21|{> 含参数一元二次不等式练习题st 含参数一元二次不等式练习题 一、选择题： 1．(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 2．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5] D ．[－3，－2)∪(4,5] 3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ． ? ?????－∞，－1311 B ．(－∞，－1) C. (1，＋∞) D .? ?????－∞，－1311∪(1，＋∞) 4．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1， 实数a 的取值范围是________． 10．(2012·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f (x )＝??? x ＋5，x ＜3，2x －m ，x ≥3， 且f (f (3))＞6，则m 的取值范围为________． 12．若关于x 的不等式x 2＋12x －? ?????12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________． 13．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 三，解答题 14.解下列不等式： (1)x 2－2ax －3a 2＜0(a ＜0)． (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． (3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 含参数的一元二次不等 式的分类讨论 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 复习引入： 一元一次的分类讨论： 2(2)(31)2(2)0k x k x x +--+->、 含参数的一元二次不等式——分类讨论 1. 优先考虑十字相乘，若两根大小不确定，即分121212 ,,x x x x x x >=<三种情况． 2. 若不能十字相乘，则考虑按判别式?的正负分类，即分0,0,0?>?=?<三 种情况，结合图像法求解。 3. 按二次项系数正负是否确定：当二次项系数含参数时，按2x 项的系数a 的符号分类，即分0,0,0a a a >=<三种情况． 综合提高题 1. 集合{}{}2222(1)0,540A x x a x a a B x x x =-+++<=-+≥，且A B ?，求a 的范围 2. 集合{}(){ }22320,10A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤，且A B ?，求a 的范围 3. 设全集U=R ，集合{}{}22(41)40,21A x x a a B x a x a =-++≤=≤≤+，且B A ?，求a 的范围 4. 集合{}{}22540,220A x x x B x x ax a =-+≤=-++≤，且B A ?，求a 的范围 含参数的一元二次不等式—恒成立和无解问题（数形结合） 1. 220x x a ++>的解集为R ，求a 范围 2. 220x x a ++≥的解集为R ，求a 范围 3. 210x ax -+≥的解集为R ，求a 范围 4. ()2140x k x +-+>的解集为R ，求a 范围 5. 2(1)10ax a x a +-+->恒成立，求a 范围 23.一元二次不等式的应用 教学目标班级：_____ 姓名：____________ 1.掌握运用一元二次不等式解决实际问题的方法. 2.掌握简单的数学建模思想. 教学过程 运用一元二次不等式解决实际问题的一般方法： 1.寻找已知条件，搞清量与量之间的关系. 2.挖掘不等关系，建立一元二次不等式. 3.解不等式，解决问题. 例1：要在长为800m，宽600m的一块长方形地面上进行绿化，其中四周中花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪（如图阴影部分所示），要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度x的取值范围. 练1：某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元（征税率10个百分点），计划可收购a万担.政策为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x个百分点，预测收购量可增加x2个百分点. x )0 ( （1）写出降税后税收y（万元）与x的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2％，试确定x的取值范围. 练2：汽车在行驶中，由于该惯性，刹车后还会继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了.事故现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两车型的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）之间分别有如下关系：201.01.0x x s +=甲，2 005.005.0x x s +=乙.问：甲、乙两车有无超速现象？ 作业：某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知该商品每件售价提高1元，销售量就要减少10件.问（1）售价每件定为多少元时，才能使得每天的利润最大？ （2）售价每件定为多少元时，才能保证每天的利润不少于300元？ 一元二次不等式的应用(一) 【学习目标】 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法. 【学习重点】 简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法 【学习难点】 正确串根（根轴法的使用）. 【课前预习案】 1.解不等式：. 2. 解不等式031 ≥-+x x 3解不等式. 4.解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； 【课堂探究案】 探究一：分式不等式的解法 例1.解下列不等式 （1）23 +-x x <0 （2）11 2-+x x ≤1. （3）x x 1-≥2 变式1. （1）22-1<+x x （2）02 6 2≥--+x x x 探究二：一元高次不等式的解法 例2．解下列不等式 073 <+-x x 253 >+-x x （1）（x+1）(x-3)(x-5)0≥ (2)()()()01313<++-x x x 变式2．解下列不等式 （1）()032<-+x x x （2）()032≥-+x x x 总结：一元高次不等式的解法：“穿针引线法”，具体步骤如下： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过，即“奇穿偶不穿”）； ④根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集。 【课后检测案】 1.函数y = 261x x --的定义域是 2.不等式 21+-x x >1的解集是 . 3.解不等式： 112-+x x ≤1. 4.不等式21+-x x >1的解集是 . 3.解不等式 （1）(x +1)(1-x )(x -2)>0; （2）x (x -1) 2(x +1) 3(x +2)≥0. （3）(x -3)(x +2)(x -1) 2(x -4)<0. 一元二次不等式的解法（一） 学习目标： 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型； 2．掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。 3．培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式。比如： . 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：)0(02>>++a c bx ax 或 )0(02><++a c bx ax . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 （ （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程)0(02 >=++a c bx ax ，计算判别式?; ①0>?时，求出两根21x x 、，且21x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0=?时，求根a b x x 221-==； ③0--x x ； （3）0652 >--x x （4）0442 >+-x x ； （5）0542 >-+-x x ； （6）23262x x x -++<- 举一反三： 【变式1】解下列不等式 （1）02322 >--x x ； （2）02232 >+--x x （3）01442 ≤+-x x ； （4）0322 >-+-x x . （5）()()() 221332x x x +->+ 【变式2】解不等式：（1）6662<--≤-x x （2）18342 <-≤x x 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 例2 不等式02 <-+n mx x 的解集为)5,4(∈x ，求关于x 的不等式012 >-+mx nx 的解集 举一反三： 【变式1】不等式0122 >++bx ax 的解集为{} 23<<-x x ，则a =_______, b =________ 【变式2】已知关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为)2,1(，求关于x 的不等式0 12 >++ax bx 的解集. 类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题 例3 已知关于x 的不等式03)1(4)54(2 2 >+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 举一反三： 【变式1】 若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为空集，求m 的取值范围. 【变式2】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解为一切实数，求m 的取值范围. 【变式3】若关于x 的不等式01)12(2≥-++-m x m mx 的解集为非空集，求m 的取值范围. 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()044222 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ????? >21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 当4±=a 即Δ＝0时，解集为? ????? ≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-?,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为?? ????????----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=? 所以当3±=m ，即0=?时，解集为? ????? =21|x x ； 当33<<-m ，即0>?时，解集为??????? ???+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> - 1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元， 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？ 解：设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 一 元二次不等式 参考例题（2） 1． (1)解不等式121≤-x x (2)不等式11 <-x ax 的解集为}21|{> （2）若不等式 13642222<++++x x m mx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围. 4．（1）已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ， ①若A B ，求实数a 的取值范围.； ②若A B ?，求实数a 的取值范围.； ③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值. （2）已知}031| {≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围. (3) 关于x 的不等式2 )1(|2)1(|2 2-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B ， 若B A ?，求实数a 的取值范围. （4）设全集R U =，集合}3|12||{},01 | {<+=≥+-=x x B x a x x A ，若R B A = ， 求实数a 的取值范围. （5）已知全集R U =，}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ， 若C B A ?)( ，求实数a 的取值范围. 23.4 一元二次方程的应用 情境切入 学海导航 完全解读 知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤 列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：（1）审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； （6）答：写出答案． 友情提醒：列方程解应用题应该注意的一些问题 （1）要注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注 意挖掘题目中隐含的等量关系； （2）注意语言与代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转 化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系； （3）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写 成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致． 例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售 价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 . 思维点击：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月 平均涨价率为x ，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ）（1+x ）即50×（1—10%）×（1+x ）2 ，由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。 解：设4、5月份两个月平均涨价率为x ，由题意，得 50×（1—10%）×（1+x ）2=64.8。整理，得（1+x ）2=1.44. 解得：120.220%, 2.2x x ===-（不合题意，舍去）。 所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。 解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。 例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四 个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 思维点击：设截去正方形的边长x 厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和 宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式. 解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得 一元二次不等式解法一、知识梳理 1．“三个二次”的关系 2.常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 口诀：大于取两边，小于取中间． 二、例题讲解 题型一 一元二次不等式的求解 命题点1 不含参的不等式 例1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3 2 ， ∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3 2，＋∞)． 命题点2 含参不等式 例2 解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 解 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0得(x －a )(x －1)＝0， ∴x 1＝a ，x 2＝1， ①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1含参数的一元二次不等式的解法
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