数系的扩充
数系的构造与逐步扩充：自然数系——整数系和分数系——实数系——复数系
从自然数到有理数，两个方向的需求：
（1）作为度量工具的有理数，度量时间、长度、面积、体积等能任意细分的量：度量单位——分数单位——分数。
问题1
：为什么把叫做“有理数”？“有理”在哪里？——因为它的加法和乘法与自然数的加法和乘法有同样的规律！只要我们按照如下定义行事
bd bc ad d c b a +=+，bd ac d c b a =?，1=a a ，b a bc ac =。 在此定义下，就可以证明：自然数的算术基本规律，即交换律、结合律、分配律等，在有理数范围内仍然成立。
问题2：为什么不把加法定义为d b c a d c b a ++=+？
逻辑上允许，但从创造一个恰当的度量工具的角度看，没有意义。例如，4
22121=+，从度量的角度看是不合适的。 （2）数学内部的需求：自然数集中，加法和乘法的“逆运算”不能通行。为此，需要引进符号0以及―1，―2，―3，……，并定义a ＜b 时，a －b ＝－(b －a )，以及在“使算术运算的运算律保持不变”的原则下，定义(－1)×(－1)＝1。
问题3：为什么不是(－1)×(－1)＝－1？
与引入0和负整数的数学需求类似，分数的引进使得除
法消除了障碍：定义符号b a ，称为分数，它服从b ×b a =a （b
≠0）。
这样，全体有理数——整数和分数、正数和负数——的纯算术意义就清楚了。在这一扩展了的数的范围内，不仅形式上的运算律成立，而且保证加、减、乘、除的封闭性——这个封闭的数的范围叫做域。
上述数的范围的扩充过程，反映了数学推广过程的一个重要特性——使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。非常幸运，从自然数到有理数的这一推广，完全满足了用数来表示度量结果的实际需要。
从有理数到无理数，也可以看成是两个方面需求的结果：
（1）度量线段中发现的存在着不可公度线段——每一条这样的线段都对应着借助于单位长度而给出的一个数，这样的数就是无理数。“这是科学史上极其重要的事件，它很可能标志着数学上严格推理的起源。肯定地说，从希腊人的时代直到今天，它一直深刻地影响着数学和哲学。”（柯朗，什么是数学，72）
（2）从数学内部的需求看，与有理数域的扩充类似，为了解像x 2=2这样的方程，需要构造一个比有理数域更广的实数域。
从实数到复数，主要是数学内部的需求：
最早要求应用复数的是为了解二次方程。16世纪，意大利数学家卡尔丹在解三次方程时使用了复数。那时，数学家们对复数的意义充满疑惑，并一直想要搞清楚复数的意义——寻找几何表示，使它“看得见”。直到十九世纪初，高斯给出了复数a+b i（a，b为实数）的几何意义，复数才有了合法地位。
引进一种新的数，就要定义它的运算；定义一种运算，就要研究它的运算律。对于引进的“虚数单位”i，它服从i2=－1，现在有
问题1：根据已有的数系扩充理论，要使符号i能像对实数那样进行加、乘运算，它应该有怎样的一般形式？
对于复数a+b i（a，b为实数），根据一以贯之的原则，即“使算术运算的运算律保持不变”，应如何定义关于它的运算？
问题2：类比用数轴上的点表示实数，如何对复数作出几何解释（复数的几何表示）？由复数的几何表示出发，你能发现和提出哪些问题？得出哪些有用的结论？（复数的模，共轭复数及其性质，复数加法的平行四边形法则，复数的“三角形不等式”，复数的三角表示，等。）
数系扩充与复数概念
数系的扩充与复数的引入 教学目标： 1.知识与技能：了解数系扩充的必要性；理解虚数单位i的产生及意义 2.过程与方法：掌握复数的分类，理解虚数单位与实数进行四则运算的规律，复数与复数的运算规律。 3?情感、态度与价值观：从运动发展的眼光观察事物，体验数系的不断变化扩大 教学重点： 复数的概念，虚数单位i，复数的分类以及复数在实际生活中的应用 教学难点： 虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点，复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后得到的 学情分析： 高二的学生在复数的概念以前，已经经历了实数从N、Z、Q、R的扩充过程，对数系扩充的过程方法、注意事项有一定的了解，因此在介绍新知识之前，可以先回顾一下以前是如何进行扩充的，然后给出新的问题，为什么现在又要进行扩充 教学过程： 一、知识回顾及问题提出 数的概念是从实践中产生和发展起来的?早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实 等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3, 4等数以及表示“没有”的数0?自然数的 全体构成自然数集N * 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各 种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数?这样就把数集扩充到有理数 集Q.显然N^Q.如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起，构成整数集Z,则 有z^Q、N= Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集* 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数?所谓无理数，就是无限不循环小数?有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数（包括整数、有
最新数系的扩充和复数的概念教案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?
第三章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
§3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 知识点一 复数的有关概念 1．复数 (1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． (2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集 (1)定义：全体复数所成的集合叫做复数集． (2)表示方法：通常用C 表示． 3．复数的分类 复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )??? 实数(b ＝0). 虚数(b ≠0)??? ?? 纯虚数(a ＝0)， 非纯虚数(a ≠0). 思考 用图示法表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系． 答案 如图所示．
知识点二 两个复数相等 复数相等的充要条件：如果两个复数的实部与虚部分别对应相等，那么我们就说这两个复数相等，即a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d . 思考 两个复数能否比较大小？若a ＋b i>0，则a ，b 的取值范围是什么？ 答案 两个复数若不全是实数，则不能比较大小． 由a ＋b i>0，知b ＝0，a >0. 1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( × ) 2．复数z ＝b i 是纯虚数．( × ) 3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ ) 4．复数可以分为两类：实数与虚数．( √ ) 一、复数的概念 例1 (1)若复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．3或－1 C ．－1 D ．－2 答案 A 解析 由????? lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得????? m ＝3或m ＝－1， m ≠－2且m ≠－1， 即m ＝3. (2)下列说法正确的是( ) A ．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B ．若复数z ＝3m ＋2n i ，则其实部与虚部分别为3m,2n C ．在复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )中，若x ≠0，则复数z 一定不是纯虚数 D ．若a ∈R ，a ≠0，则(a ＋3)i 是纯虚数 答案 C 解析 A 错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数． B 错，只有当m ，n ∈R 时，才能说复数z ＝3m ＋2n i 的实部与虚部分别为3m,2n . C 正确，复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )为纯虚数的条件是x ＝0且y ≠0，只要x ≠0，则复数z 一定
数系的扩充(教案及教学设计说明)
课题：数系的扩充 授课教师：吴晶 教材：苏教版选修1-2第三章第一节 【教材分析】 教材地位和作用： 数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，体现了数学发生发展的客观需求.通过学习，学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入虚数的必要性，体会人类理性思维在数系扩充中的作用，有助于提高学生的数学素养.复数的引入是中学阶段数系的最后一次扩充.学习复数的一些基本知识，为学习复数的四则运算和几何意义做好知识储备. 教材处理办法： 精心设计制作教学课件，直观形象地展示数系扩充的过程.化抽象为具体，使学生真实体验数系扩充的必要性及数系扩充要遵循的法则.在这个过程中了解复数、虚数、纯虚数、复数的实部、虚部等相关概念就水到渠成了. 重点： 数系扩充的过程和方法，复数的相关概念. 难点： 数系扩充的过程和方法，虚数的引入. 【教学目标】 知识目标： 了解数系的扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；了解复数的相关概念. 能力目标： 发展学生独立获取数学知识的能力和创新意识. 情感目标： 初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观. 【教学方法】 教学方法： 开放式探究，启发式引导，互动式讨论，反馈式评价. 学习方法： 自主探究，观察发现，合作交流，归纳总结. 教学手段： 结合多媒体网络教学环境，构建学生自主探究的教学平台. 【教学程序】
以问题为载体，以学生活动为主线. 创设情境→建构数学→知识运用→归纳总结→巩固作业 创设情境： 用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路-------笛卡尔. 名人名言引入，投影出为数系扩充作出贡献的一些数学家的照片和名字.让学生把自己所了解的一些数学家作简要介绍，教师适时总结：他们都是科学巨匠，他们都曾为人类文明的进步做出过巨大贡献，同时，他们也为数的概念的发展做出过巨大贡献.回忆学过的数的类型. 建构数学： 数的概念来源于生活，为了计数的需要产生了自然数；为了表示相反意义的量，有了负数；为了解决测量、分配中的等分问题，有了分数；为了度量（例如边长为1km 的正方形田地的对角线长度）的需要，产生了无理数. 数的概念的发展一方面是生产生活的需要，另一方面也是数学科学本身发展的需要.矛盾是事物发展的根本动力.看以下几个方程： 1x 2x 1201x 22 =+===+x 规定： （1）i 2=-1 虚数单位：i （2）实数可以与i 进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立. 找到了方程012=+x 的解. 设计意图：适当了解一些与数系扩充有关的数学伟人和数学史，激发学生学习兴趣，引入新课. 设计意图：认识到数系扩充的必要性. 发展学生求知、求实、勇于探索的情感和态度，体会数学体系的系统性和严密性.
第三章 数系的扩充与复数的引入(B)
第三章 数系的扩充与复数的引入(B) 一、选择题 1、复数1＋2i 3等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1 D ．3 2、若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不对 3、若－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p 等于( ) A ．0 B ．i C ．－i D ．1 4、复数(1＋2i )2 3－4i 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 5、设i 是虚数单位，则5i 2－i 等于( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．1－2i D ．－1＋2i 6、如图，设向量，，，所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，那么( ) A ．z 1－z 2－z 3＝0 B ．z 1＋z 2＋z 3＝0 C ．z 2－z 1－z 3＝0 D ．z 2＋z 4－2z 3＝0 7、设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则z z ＋z ＋z 等于( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1 D ．4 8、复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i
C ．1＋2i D ．1－2i 9、定义运算????a c b d ＝ad －bc ，则符合条件??? ?1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 等于( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i 10、若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为( ) A ．±2 3 B ．±33 C ．±3 D ．±32 11、如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1) D ．(－3，3) 12、已知z 是纯虚数， z ＋21－i 是实数，那么z 等于( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 二、填空题 13、设z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋2i ，复数z 1和z 2在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________． 14、若复数z ＝23＋2i 对应的点为Z ，则向量所在直线的倾斜角θ＝________. 15、下列命题，正确的是________．(填序号) ①复数的模总是正实数； ②虚轴上的点与纯虚数一一对应； ③相等的向量对应着相等的复数； ④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数． 16、在复平面内，复数 2i 1－i 对应点的坐标为________． 三、解答题
数系的扩充教学设计说明
《数系的扩充与复数的概念》 教学设计 -----高中人教A版选修2-2 王 海 艳
唐山市第六十二中学 【教材分析】 本章《数系的扩充与复数的概念》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。 【学情分析】 在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。 【三维目标】 知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。 情感、态度与价值观：
（１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法； （２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点； （３）感受人类理性思维的作用。 【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件 【教学难点】数集扩充的必要性和过程 【教学设计】 设计思想 知识来源于实际生活。教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。 媒体设计 本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。 设计特色 （１）重视数学的人文价值。（２）知识建构采用合作探究模式。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题
数系的扩充和复数的概念教案
§3.1.1数系的扩充和复数的概念教案 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程； 2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观：1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践水平，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会使用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的相关概念． 难点：复数的相关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
【问题探究】 探究一、复数的引入 引导1：因为解方程的需要，人们引入了一个新数i ，并规定： （1）=2i 1- ； （2）实数能够与i 实行加法和乘法运算： 实数a 与数i 相加记为：i a +； 实数b 与数i 相乘记为：bi ； 实数a 与实数b 和i 相乘的结果相加记为：bi a +； （3）实数与i 实行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。 引导2：复数的相关概念： （1）我们把形如bi a +()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做 虚数单位 ， 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．． 字母 C 表示。 （2）复数的代数形式： 复数通常用小写字母z 表示，即bi a z +=()R b a ∈,，这个表示形 式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部。 例1请说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部。 引导：考虑复数的相关概念.对于复数(),z a bi a b R =+∈，a 叫实部，b 叫虚部. 解： 变式再练：请说出复数)12(,231, 0,6,84-++-i i i 的实部和虚部。点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这里我们引入的数i 及引入数i 后实数与i 进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的规定要合理，要有一定的依据基础. ；，虚部是的实部是虚部是的实部是； ，虚部是的实部是3 1031;0,553232----+i i . 120)12(5;2 3212314066300024884)1(--+-+-，虚部是的实部是）（，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是）（； ，虚部是的实部是）；（，虚部是的实部是解：i i i
2020-2021年高二数学选修第三章数系的扩充与复数的引入 新课标 人教版
2019-2020年高二数学选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入 新课 标 人教版 一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.是复数为纯虚数的（ ） A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 2.设，则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．（ ） A ． B ． C ． D ． 4．复数z 满足，那么＝（ ） A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2i D ．1－2i 5.如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ） A. 2 B.23 C.2 D.－23 6.集合｛Z ︱Z ＝｝，用列举法表示该集合，这个集合是（ ） A ｛0，2，－2｝ B.｛0，2｝ C.｛0，2，－2，2｝ D.｛0，2，－2，2，－2｝ 7.设O 是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ） 8、复数，则在复平面内的点位于第（ ）象限。 A ．一 B.二 C.三 D .四 9.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数，则有（ ） 10.设i 为虚数单位，则的值为（ ） A ．4 B.－4 C.4i D.－4i 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。） 11.设（为虚数单位），则z= ；|z|= .
12.复数的实部为 ，虚部为 。 13.已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 14.设，，复数和在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为原点，则的面积为 。 三.解答题（本大题共6小题，每小题74分，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（本小题满分12分） 已知复数z=(2+)).当实数m 取什么值时,复数z 是: （1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。 2025100)21(])11()21[(16i i i i i +-+-+?+、计算 （本小题满分13分） 17．（本小题满分13分） 设∈++-=m i z m m ,)12(14R ，若z 对应的点在直线上。求m 的值。 18．（本小题满分14分） 已知关于的方程组???-=+--+--=+-i i b y x ay x i y y i x 89)4()2(, )3()12(有实数，求的值。
《数系的扩充》说课稿
数系的扩充的说课稿 （江苏省宿迁中学 陆明明） 1 教材内容分析 1.1 本质、地位及作用 复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．但是，复数它完全没有按照教科书所描述的逻辑连续性．实际的需要使实数具有某种实在感．可是，复数的情形却不一样，是纯理论的创造． 新课程中复数内容突出复数的代数表示，同时也强调了复数的几何意义．它的内容是分层设计的：先将复数看成是有序实数对，再把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义．同时，复数作为一种新的数学语言，也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想． 本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性．另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础．因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容． 1.2 教学重点难点 根据教学内容分析及学生已有的认知基础，本节课的教学重点、难点确定为： 重点：感受数系扩充的过程，理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件． 难点：数系扩充的过程与原则． 2 教学目标分析 遵循新课标，本节课的教学目标确定如下： 2.1 知识与技能 理解复数的概念及复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件． 2.2 过程与方法 让学生回忆并感知数系扩充的过程，感悟数系扩充的基本方法，领悟复数的有关理论． 2.3 情感、态度与价值观 通过问题情境感受虚数引入的必要性，体会人类理性思维的作用，形成学习数学知识的积极态度． 3 教学问题诊断分析 根据历史相似性原理，结合学生已有的认知基础，预测学生在学习本节内容可能产生的认知障碍与学习困难：为什么要引入i ？如何引入？i 是什么？ 根据教与学的关系，学生的学可以促进教师的教与学．教师通过学习数系的扩充历史，了解数系扩充的原则与方法，从而为虚数单位i 的引入奠定理论基础；虚数的引入虽然最先由于数学本身的需要，但也只有当高斯用i a b 表示一个向量的时候，复数在解决实际问题中才得到广泛的应用，渐渐地才被大家接受．因此，i 是人类理性思维的产物，是一种创造． 4 教法特点 结合以上教学问题诊断分析，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式．通过设置问题串， 让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用． 5 教学设计流程 从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动．在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品
第三章 数系的扩充与复数的引入(B)
实用文档 第三章 数系的扩充与复数的引入(B) 一、选择题 1、复数1＋2 i 3等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1 D ．3 2、若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不对 3、若－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p 等于( ) A ．0 B ．i C ．－i D ．1 4、复数(1＋2i)2 3－4i 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i
5、设i是虚数单位，则 5i 2－i 等于( ) A．1＋2i B．－1－2i C．1－2i D．－1＋2i 6、如图，设向量，，，所对应的复数分别为z1，z2，z3，z4，那么( ) A．z1－z2－z3＝0 B．z1＋z2＋z3＝0 C．z2－z1－z3＝0 D．z2＋z4－2z3＝0 7、设z＝1＋i (i是虚数单位)，则z z＋z＋z等于( ) A．－1－i B．－1＋i C．1 D．4 实用文档
实用文档 8、复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z 等于( ) A ．2＋i B ．2－i C ．1＋2i D ．1－2i 9、定义运算?????? a c b d ＝ad －b c ，则符合条件??????1 z －1z i ＝4＋2i 的复数z 等于( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i 10、若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为( ) A ．±2 3 B ．±3 3 C ．± 3 D ．±3 2 11、如果复数z ＝3＋a i 满足条件|z －2|<2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1) D ．(－3，3)
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±
数系的扩充和复数的概念
《》教学设计 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的 分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念． 【教学难点】复数概念的理解． 【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简 明扼要的概括和总结） 自然数整数有理数无理数实数 2．提出问题 我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题 我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问
题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数，并给出它的两条性质 根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：（1）； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）． 5．提出复数的概念 根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如的数，我们把它们叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：N* N Z Q R C． 【巩固练习】 下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？ 例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m的值．
第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念 3．1.1数系的扩充和复数的概念 预习课本P102～103，思考并完成下列问题 (1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？ (2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？ [新知初探] 1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，实部是a，虚部是b. ②表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋b i(a，b∈R)． (2)复数集 ①定义：全体复数所成的集合． ②表示：通常用大写字母C表示． [点睛]复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b而非b i. (3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数相等 在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d . 3．复数的分类 对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下： 复数z ? ???? 实数(b ＝0)， 虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数). [点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( ) (3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．在2＋7，2 7i,8＋5i ，(1－3)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：C 3．若a －2i ＝b i ＋1，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝________. 答案：5 4．设m ∈R ，复数z ＝－1－m ＋(2m －3)i. (1)若z 为实数，则m ＝________； (2)若z 为纯虚数，则m ＝________. 答案：(1)3 2 (2)－1
数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念教学设计
3.1.1数系的扩充和复数的概念（人教版） 华南师范大学陈栩林（仅供参考） 一、教学内容 数系的三次扩充过程，复数的引入过程，复数概念的知识 二、教学目标 知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要 2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的 充要条件 过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律 2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式 情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思 维的作用 2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法 三、教学重点 引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件 四、教学难点 虚数单位i的引进和复数的概念 五、学生分析 学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。 六、教学方法及教学用具 启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识 七、教学过程 （一）问题引入 问题：若223 x y +=，3 xy=，求（1）x+y的值；（2）求x和y的值
生（独立完成）：求出x+y=3或-3 师：既然和能够求出来，那能不能求出x 和y 的值呢？ 生：30?=-<3-的存在，我们求不了x 、y 的值 师：事实上在实数范围内x 和y 确实不存在？为什么会这样呢？假设x 和 y 是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么 呢？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容《数 系的扩充和复数的引入》 （二）回顾数系的扩充历程 师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。大家记得吗？从 小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。现在就让我们来回顾 一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。 原因1 原因2 规律 自然数（N ） 计数 1、实际需要、运算矛盾 2、引入新数解决问题，运算保持，运算律不变 整数（Z ） 具有相反意义的量 减法在N 不能完全运算 有理数（Q ） 测量，分配 除法在Z 不能完全运算 实数（R ） 单位正方形对角 线长 开平方在Q 不能完全运算 1、 类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法 生：引入新数，使得平方为负数 师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子 引入那么多，只要引入平方为多少就行呢？ （引导学生找到1-，因为任何一个负数都可以写成正数与-1的乘积） 2、 历史重现： 在历史上数学家们碰到我们前面这个问题的时候一开始是解决不了的，导致 在此问题上徘徊了百年之久，直到18世纪末，数学家才认识到解决21x =-的重要性，于是他们就像我们一样引入新的数，使得引入的数的平方等于1-，并把这个数记为英文字母i ，就是虚构、想象的意思。
第三章 数系的扩充与复数的引入教材分析
《第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析 数系的扩充与复数的引入是选修1－2与选修2－2的内容，是高中生的共同数学基础之一．数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时了数学产生、发展的客观需求，复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充． 《课标》将复数作为数系扩充的结果引入，体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化．这部分内容的学习，有助于学生体会理论产生与发展的过程，认识到数学产生和发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的全新意识和创新能力．复数的内容是高中数学课程中的传统内容．对于复数，《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系；理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；了解复数的代数表示法及其几何意义；能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 本章内容分为2节，教学时间约4课时． 第一节数系的扩充和复数的概念 本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义（几何表示和向量表示）． ●教学目标 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件． （3）了解复数的代数表示法及其几何意义． ●教学重点 （1）数系的扩充过程． （2）复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件． （3）复数的几何意义． ●教学难点 （1）虚数单位i的引进． （2）复数的几何意义． ●教学时数 本节教学，建议用2课时．第1课时处理数系的扩充和复数的概念；第2课时研究复数的几何意义． ●课标对本节内容的处理特点 数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标定位上存在差异： （1）《课标》将复数作为数系扩充的结果引入．《大纲》教科书先安排复数的概念，再研究复数的运算，最后介绍数系的扩充．《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程． （2）《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．从这上点上看，《课标》要求提高了． （3）在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》
2020年高考数学 第三章数系的扩充与复数的引入 本章提升测评
第三章本章提升测评 一．选择题 1．（2016课标全国Ⅱ（文），2，★☆☆）设复数z 满足z+i=3-i ，则= ( ) A ．- 1+2i B ．1-2i C ．3+2i D ．3-2i 2．（2016山东（理），1，★☆☆）若复数z 满足2z+=3- 2i ，其中i 为虚数单位，则z= ( ) A ．1+2i B ．1-2i C.- 1+2i D ．-1-2i 3．（2016课标全国Ⅱ（理），1，★☆☆）已知z=(m+3)+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．（-3，1） B ．（-1，3） C ．(1，+∞) D ．（-∞，-3） 4．（2016课标全国Ⅲ，2，★☆☆）若z= 1+2i ，则=( ) A ．1 B ．-1 C.i D ．-i 5．（2016课标全国l （理），2，★☆☆）设(1+i)x =1+yi ，其中x ，y 是实数，则lx+yil=( ) A ．1 B ．2 C ．3 D.2 6．（2016山东（文），2，★☆☆）若复数z=i -12，其中i 为虚数单位，则z - =( ) A.1+i B ．1-i C.- 1+i D ．-1-i 7．（2015湖北，1，★★☆）i 为虚数单位，i ???的共轭复数为 ( ) A ．i B ．-i C.l D ．-1 8．（2015广东，2，★★☆）若复数z=i(3 - 2i)（i 是虚数单位），则z - = ( ) A.2 -3i B.2+3i C.3+2i D.3 - 2i 9．（2014山东，1，★☆☆）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a-i 与2+bi 互为共轭复数，则(a+bi)2= ( ) A.5 -4i B.5+4i C.3-4i D.3+4i 10．（2014天津．1．★★☆）i 是虚数单位，复数=++i i 437 ( ) A.1-i B ．-1+i c ．i 25312517+ D ．i 7257 17+-
第三章 数系的扩充与复数的引入
第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课） 学习目标 . 学习重难点 重点：复数的的概念，复数的几何意义以及复数的四则运算. . 学习过程 一、双基必备： 1．复数集C 、实数集R 、有理数集Q 、整数集Z 和自然数集N 之间的关系为： 2．已知1510z i =+，234z i =-，12 111 z z z =+，求z . 二、自主探究： 探究任务：复数这一章的知识结构 问题：数系是如何扩充的？本章知识结构是什么？ 新知： 试试：若122,34z a i z i =+=-，且1 2 z z 为纯虚数，求实数a 的值. 变式：（1） 12z z 对应的点在复平面的下方（不包括实轴），求a 的取值范围.（2）12 z z 对应的点在直线0x y +=，求实数a 的值. 反思：若复数(,)a bi a b R +∈是实数，则 是虚数，则 ；是纯虚数，则 ； 其模为 ；其共轭复数为 . 若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则 . 三、合作探究： 例1 已知m R ∈，复数2(2) (23)1 m m z m m i m += ++--，当m 为何值时， （1）z R ∈？（2）z 是纯虚数？（3）z 对应的点位于复平面第二象限？（4）z 对应的点在直线30x y ++=上？ 变式：已知 11m ni i =-+，其中,m n 是实数，i 是虚数单位，则m ni += 小结：掌握复数分类是解此题的关键.在计算时，切不可忘记复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的一个必要条件是0b ≠，计算中分母不为0也不可忽视. 例2 设存在复数z 同时满足下列条件： （1）在复平面内对应的点位于第二象限； （2）28()zz iz ai a R +=+∈；试求z 的取值范围 变式：已知复数z 满足||28z z i +=+，求复数z 小结：复数问题实数化是解决复数问题的主要方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a bi a b R =+∈，由复数相等得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量. 例3 在复平面内 （1）复数22(24)(22)z a a a a i =-+--+，（2）满足|1||1|4z z ++-=的复数z ，对应的点的轨迹分别是什么？ ※ 动手试试 练1. 已知复数26(2)2(1)1m z i m i i =+----，当实数m 取什么值时，复数是（1）零； （2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数. 练2. 若2222log (32)log (21)1x x i x x --+++>，则实数的值（或范围）是 . 四、总结提升 复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，其转化的依据主要就是复数相等的充要条件.基本思路是：设出复数的代数形式(,)z a bi a b R =+∈，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量.根据复数相等一般可解决如下问题：（1）解（3）求轨迹问题. 学习评价 1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
第三章数系的扩充与复数的引入单元试卷含答案详解
第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 分. 目 1 ，，则>＋ ＋ ±1 A. 2. A C 3 A 1 B. C. 4. A C 5. 为( A C 6. A C ＋＋，3－ 的 1 三象限 x||x ) ] 16 则平面上对应的点分别为 ＋
14.如果i (,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则 2 22,,,,,,,,z z z z z z z z z z ?中是虚数的有 _______个，是实数的有 个，相等的有 组 三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i z z +-＝1． 16．（6分）若∈R ，试确定是什么实数时，等式32 － －1＝(10－－22 )i 成立． 17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==， 且 12z z -= 12z z += 18．（10分）设是虚数，z z 1 +=ω是实数，且－1<ω<2. (1)求||的值及的实部的取值范围；
(2)设z z M +-= 11，求证： 为纯虚数； （3）求2 M -ω的最小值. 19.（12分）证明：在复数范围内，方 程 （i 为虚数单位）无 解.
第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 答题纸 得分： 一、选择题 二、填空题 11． 12． 13. 14. 15. 三、解答题 16. 17. 18.
19. 第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A版选修2-2) 答案
1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3 ＝a －i ，b ＋i 2 ＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D. 2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋＝1＋i ＋ ＝1＋i ＋2i ＝1＋3i. 3.A 解析:由复数性质知：i 2 ＝－1，故i ＋i 2 ＋i 3 ＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1. 4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1. 5.A 解析: 法一：因为 1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i ) ＝2－a ＋(2a ＋1)i 5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2. 法二：因为 1＋a i 2－i ＝i (a －i ) 2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析： i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为2 5 . 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以????? m 2 ＋m ＋1＝3， m 2 ＋m －4＝－2， 解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝ ＝ ，设在复平面内z 对应的点的坐标为(，)，则 ＝，＝. 法一：易知－＝1，即复数z 对应的点在直线－＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限． 法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要 >1，若在第二象限，需要 <0，且 >0，即 <－1且 >1， 无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限． 10.C 解析：∵ ＝|cos 2 －sin 2 |＝|cos 2|，且∈R ，∴ ∈[0,1],∴ ＝[0,1]． 在中，∈R 且|－1 i |<2，∴ |＋i|<2， ∴2 ＋1<2，解得－1<<1，∴＝(－1,1)．∴ ∩＝[0,1)． 二、填空题 11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ?+=++-=z z z 6-2i.