2016届北京市五中高三上学期期中考试数学(理科)

2016届北京市五中高三上学期期中考试数学（理科）

一、选择题（共8小题；共40分）

1.设集合，，，则

A. B. C. D.

2.已知，则“”是“”的

A.充分非必要条件

C.充要条件

3.已知，

B.必要不充分条件

D.既非充分也非必要条件

，，则等于

A. B. C. D.

4.要得到函数的图象，只需将函数的图象

A.向左平移个单位

B.向右平移个单位

C.向左平移个单位

D.向右平移个单位

5.若的三个内角满足，则

A.一定是锐角三角形

C.一定是钝角三角形

B.一定是直角三角形

D.可能是锐角或者钝角三角形

6.设，满足约束条件，则目标函数的取值范围为

A. B. C. D.

7.如图，为等腰直角三角形，，为斜边高，为线段中点，则

A. B. C. D.

8.已知点，曲线恒过定点，为曲线上的动点且的最小值为，则

A. B. C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）

9.写出命题，的否定______．

10.函数的单调减区间为______．

11.已知正数，满足，则的最小值为______．

12.若向量，，则______．

13.已知，，且，，则的大小为．

14.如图，正方形的边长为，为的中点，射线从出发，绕着点顺时针方向

旋转至，在旋转的过程中，记为，，所经过的在正方形内的区域（阴影部分）的面积，那么对于函数有以下三个结论：

①；

②任意，都有；

③任意且，都有

其中所有正确结论的序号是．

＜

三、解答题（共6小题；共78分）

15.在中，角，，的对边分别为，，，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值．

16.已知向量，，函数

．

（1）求函数的单调增区间；

（2）将函数图象向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图象，试写出的解析式并做出它在上的图象．

17.某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满元的顾客，将获得一次摸奖机会，规

则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的个红球，个黄球，个白球和个黑球．顾客不放

回的每次摸出个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励元，摸到白球或黄球奖励元，摸到黑球不奖励．

（1）求名顾客摸球次停止摸奖的概率；

（2）记为名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望．

18.如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，平面

平面，且，，点是的中点．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）判断线段上是否存在一点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

19.已知函数．

（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程．

（2）讨论函数的单调性．

（3）设，若对恒成立，求实数的取值范围．

20.设集合，，是的两个非空子集，且满足集合中的最大数

小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为．

（1）求值

（2）求的表达式

答案第一部分

1.D 6.D

2.A

7.B

3.D

8.C

4.B

5.C

第二部分

9.，

10.

11.

12.

13.

14.①②

第三部分

15.（1）因为，

所以，

由正弦定理，得．

整理得，

所以．

在中，．

所以，，．

（2）由余弦定理，．

所以，

所以，当且仅当时取“”．

所以三角形的面积．

所以三角形面积的最大值为．

16.（1）

由于得：，所以．所以的图象的对称中心坐标为

（2），列表：

描点、连线得函数在上的图象如图所示：

，得

17. （1） 设“ 名顾客摸球 次停止摸奖”为事件 ，

则，

，

故 名顾客摸球 次停止摸奖的概率为 ．

（2） 随机变量

的所有取值为

．

，

，

，

，

．

所以，随机变量

的分布列为：

．

18. （1） 因为

，点

是 的中点，所以

又因为 ，所以

． 因为平面

平面 ，平面 平面 ，

平面

，所以

平面

．

（2） 因为 平面

，

，

所以

， ， 两两垂直，以

为原点，以 ，

，

分别为 轴， 轴和 轴，如图建立空 间直角坐标系，则

，

，

．

（

），则

，

．

所以

，

， ．

设平面 的法向量为 ，

由

，

，得

令

，得 ．

因为

与平面

所成角的正弦值为 ，

（3） 假设线段 上存在一点

，使得

平面

，

设

，则

，

由

．

设，则所以．．

设平面的法向量为．

因为，．

由，，得

令，得．

因为平面．

所以，即．解得．

所以，此时．

所以当时，平面．

19.（1）由，，得或（舍去）

经检验，时，函数在处取得极值

时，，，，．

所以所求切线方程为，即．

（2）的定义域为．

，

令，得或，当时，，且．

①当时，，．

所以在定义域上单调递增；

②当时，在上单调递减，在上单调递增；

③当时，在和上单调递增，在上单调递减．

（3）由题意知，，即对恒成立．令，则.

令，得

当时，单调递减；时，单调递增．

所以当时，取得最小值.

所以.

又因为，

所以．

20.（1）根据具体数值，结合新定义，列举满足条件的数对：当时，即，此时

，，所以．

当时，即，若，则，或，或；若或，则；所以

．

（2）由定义知，，无共同元素，分别在两部分取相应子集：当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有

种情况，此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有种情况，集合对共有

对，

再求和