基本不等式同步练习1苏教版必修5
南京市高三数学单元检测——不等式
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．已知集合}21|{≤-=x x A ，}086|{2
<+-=x x x B ，则A B I 等于（ ）
A ．[)4,1-
B ．（2，3）
C ．(]3,2
D ．（－1，4） 2．“b a >”是“
b
a 1
1<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．若0,0>>b a ，则不等式a x
b <<
-1
等价于（ ） A ．a x x b 1001<<<<-或 B ．b x a 1
1<<-
C ．b x a x 11>-<或
D ．a
x b x 1
1>-<或
4．某种产品的年产量情况是：第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，且p >0，
q >0，如果这两年的年平均增长率为x %，则有（ ）
A ．2p q x +=
B ．2p q x +≥
C ．2p q x +≤
D ．2
p q
x +> 5．对于01a <<,给出四个不等式：
①1log (1)log (1)a a a a +<+ ②1
log (1)log (1)a a a a
+>+
③1
11a
a
a
a
+
+< ④111a
a
a
a
+
+>
其中成立的是（ ）
A ．①与③
B ．①与④
C ．②与③
D ．②与④
6．已知函数2
cos 4sin 6y x x θθ=?-?+对一切实数x 恒有0y >，且θ是三角形的一个内角，则θ适合的条件是（ ） A ．06
π
θ<<
B ．03
π
θ<<
C ．
6
2
π
π
θ<<
D ．
3
2
π
π
θ<<
7．若2
2
2
2
14a b x y +=+=，，则by ax +的最大值是（ ）
A ．
5
2
B ．2
C
D ．2
8．若不等式2
0x mx n ++<的解集为(1，2)，则不等式22
0x mx n
x nx m
++≥-+的解集是（ ） A ．{|1123}x x x x ≤-≤≤≥或或 B ．{|1123}x x x x ≤-≤≤≥或或
C ．{|1123}x x x x <-<<>或或
D ．{|1123}x x x x <-≤≤>或或 9．设x y ∈，R +，19=+y x ，则
11
1=+y
x 的最小值是（ ） A ．12 B ．16 C ．18 D ．20
10．设a b ，为实数，不等式|2||2|ax x b +≥+的解集为R ，则a b ，应满足的充要条件是（ ）
A ．2
4a > B ．4a b ?= C ．2
4a >且4a b ?= D ．2
4a >或4a b ?= 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．函数x x f 2log 2)(-=
的定义域为______________。
12．不等式2
(1)|23|0x x x -+-≥的解集是__________________。
13．直角△ABC 的周长为8，则此三角形的面积的最大值为 。 14．已知不等式|1||2|x x k +-->的解集不是空集，则k 的取值范围是_______________。
15．设数列{}n a 的通项公式为2
n a n kn =+，且数列{}n a 满足123n a a a a <<<< 则实数k 的取值范围是_______________。 16．不等式3)61 (log 2≤++ x x 的解集为 。 三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解关于x 的不等式： )0(1 21≥>--a a x a 。 18．（本小题满分14分） 巨幅壁画最高点离地面14米，最低点离地面2米，若从离地面1.5米处观赏此画，问离墙多远时，视角最大? 19．（本小题满分14分） 已知2 ()23||2f x x x b x a =++-<， ，求证：8||4|)()(|+<-a a f x f 。 20．（本小题满分14分） 若10< 22 2)(1b a x b x a +≥-+。 21．（本小题满分16分） 设函数)1(3 1)(23 <<+++= b c d cx bx x x f ，且函数)(x f 在1=x 处有极值，方程01)(=+'x f 有实根。 （Ⅰ）证明：0≥b ； （Ⅱ）证明：13-≤<-c ； （Ⅲ）若m 是方程01)(=+'x f 的一个实根，判断)4(-'m f 的正负并加以证明。 A B C D 参考答案 二、填空题： 11．（0，4] 12．}31|{-=≥x x x 或 13．8（3－） 14．(3)-∞， 15．(3)-+∞， 16．{}(331---+U 三、解答题： 17．解：不等式可化为 01 1 <--+x a ax ，即0)1)(1(<-+-a ax x ， (1)若0=a ，则不等式的解集是}1|{>x x ； (2)若0>a ，则不等式可化为0)1)(1(<-- -a a x x ， ①当210< a 时，a a ->11，不等式的解集为}11|{<<-x a a x ； ③当2 1 =a 时，不等式的解集为φ。 18．解：设)0)((>=x m x CD ，∴12.50.5AC BC ==，， 12.50.5 tan tan AC BD ADC BDC DC x CD x ∠= =∠== ，， ∴tan tan()ADB ADC BDC ∠=∠-∠ tan tan 1tan tan 12.50.512.50.51ADC BDC ADC BDC x x x x ∠-∠= +∠?∠-=+? x x x x 425125.05.12112 2 + =?+= 0x >Q ，∴25 54x x +≥（当且仅当5.2=x 时，等号成立）。 即5.2=x 米时，ADB ∠tan 的值最大，此时ADB ∠最大。 答：当离墙2.5米时，视角最大。 19．证明：2 2 |()()||23(23)|f x f a x x b a a b -=++-++ |()()2()|x a x a x a =+-+- |||2|2|2|x a x a x a =-?++<++ 2|22|2(|||22|)x a a x a a =-++<-++ 2(2|2|2)4||8a a <++<+。 20．证明：∵ 22222 (1)()211a b x a xb a b ab x x x x -+-+=+--- 2ab ≥ 2||20ab ab =-≥， ∴ 22 2)(1b a x b x a +≥-+。 21．解：（Ⅰ）（Ⅱ） c bx x x f ++='2)(2 。 ∵函数)(x f 在1=x 处有极值， ∴2 (1)1210f b c '=+?+=。 又∵方程01)(=+'x f 有实根，∴0)1(4)2(2 ≥+-=?c b 。 即2121010c b b c b c < ++=??--≥? ， ，， )3()2()1( 把(2)代入(1)，得1 21112 c b b c ----<<<<，。 ∴111333 b c - <<-<<-，。 把(2)代入(3)，得0b ≥或2b ≤-，3c ≥或1c ≤-。 ∴0≥b ，13-≤<-c 。 （Ⅲ）2 2 ()2(1)()(1)f x x bx c x c x c x c x '=++=-++=--Q ， 又∵()10f m '+=，∴()10f m '=-<，∴1c m <<， ∴443c m c -<-<-<， ∴(4)(4)(41)0f m m c m '-=---->。 即)4(-'m f 的符号为正。 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 人教版必修五《不等式》单元测试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式x 2≥2x の解集是( ) A ．{x |x ≥2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |x ≤0或x ≥2} 2．下列说法正确の是( ) A ．a >b ?ac 2>bc 2 B ．a >b ?a 2>b 2 C ．a >b ?a 3>b 3 D ．a 2>b 2?a >b 3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域の是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2) 4．不等式x －1 x ＋2 >1の解集是( ) A ．{x |x <－2} B ．{x |－2 第三章 不等式 一、选择题. 1. 若 a ∈R ，则下列不等式恒成立的是( )． A. a 2 + 1＞a B. 1 1 2+a ＜1 C. a 2 + 9＞6a D. lg (a 2 + 1)＞lg|2a | 2. 下列函数中，最小值为 2 是( )． A. y = x x 5 5+，x ∈R ，且 x ≠0 B. y = lg x + x lg 1 ，1＜x ＜10 C. y = 3x + 3-x ，x ∈R D. y = sin x + x sin 1，2 π0＜＜x 3. 不等式组 表示的平面区域的面积等于( )． A. 28 B. 16 C. 4 39 D. 121 4. 不等式 lg x 2＜lg 2x 的解集是( )． A. ??? ??11001， B. (100，＋∞) C. ?? ? ??11001，∪(100，＋∞) D. (0，1)∪(100，＋∞) 5. 不等式(x 4 - 4)-(x 2 - 2)≥0 的解集是( )． A. x ≥2，或 x ≤-2 B. -2≤x ≤2 C. x ＜-3，或 x ＞3 D. -2＜x ＜2 6. 若 x ，y ∈R ，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )． A. 10 B. C. D. 7. 若 x ＞0，y ＞0，且 28 1x y +=，则 xy 有( )． A. 最大值 64 B. 最小值164 C. 最小值12 D. 最小值 64 8. 若 ，则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是( )． x ≤3 x + y ≥0 x - y + 2≥0 x ≤2 y ≤2 x + y ≥1 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三）线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标（y x,)代入 必修五数学不等式单元测试卷 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ） 1. 若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式中一定成立的是( ) A.a +b ≥b ?c B.ac ≥bc C. c 2a?b >0 D.(a ?b)c 2≥0 2. 不等式组{x +3y +6≥0 x ?y +2<0 表示的平面区域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x >?1，则x +4 x+1的最小值是( ) A.1 B.3 C.4 D.5 4. 不等式1 x <3等价于（ ） A.x >1 3或x <0 B.0 7. 若关于x 的不等式xe x ?ax +a <0的解集为(m,?n)(n <0)，且(m,?n)中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ） A.[1 e 2,?1 e ) B.[ 23e 2 ,?1 2e ) C.[1e 2,?2 e ) D.[ 23e 2 ,?1 e ) 8. 三个数(2 5 )?1 5，(6 5 )?1 5，(6 5 )?2 5的大小顺序是（ ） A.(6 5 )?1 5<(6 5 )?2 5<(2 5 )?1 5 B.(6 5)?2 5<(6 5)?1 5<(2 5)?1 5 C.(6 5)?1 5<(2 5)?1 5<(6 5)?2 5 D.(2 5)?1 5<(6 5)?1 5<(6 5)?2 5 9. 已知a ，b ，c ，d 是四个互不相等的正实数，满足a +b >c +d ，且|a ?b|<|c ?d|，则下列选项正确的是( ) A.a 2+b 2>c 2+d 2 B.|a 2?b 2|<|c 2?d 2| C.√a +√b <√c +√d D.|√a ?√b|<|√c ?√d| 10. 若直线l:x =my +n(n >0)过点A(4,?4√3)，若可行域{x ≤my +n √3x ?y ≥0y ≥0的外接圆的面 积为64π3，则实数n 的值为（ ） A.8 B.7 C.6 D.9 11. 若|log a 1 4 |=log a 1 4 ，|log b a|=?log b a ，则a ，b 满足的条件是（ ） A.a >1，b >1 B.01 C .a >1，0 第三章 不等式 一、选择题 1．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log πsin 5 2π ，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2 B ．ab 2＜a 2b C ． 21ab ＜b a 21 D ． a b ＜b a 3．若对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1 B ．｜a ｜≤1 C ．｜a ｜＜1 D ．a ≥1 4．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[0，1)∪(1，＋∞) D ．[－1，0]∪[1，＋∞) 5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11 -x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2) 6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )． A B C D 7．设变量x ，y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2＋＋－ 则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．设变量x ，y 满足?? ? ??5 －－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )． A ．[ 21，3 4 ] B ．[ 3 4 ，2] C ．[ 2 1 ，2] D ．[ 2 1 ，＋∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题) 第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ： 用分析法证明：要证 2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3. 不等式与不等式组综合检测题 一、选择题 1、下列各式中不是一元一次不等式组的是（ ） A.1,35y y ?<-???>-? B.350,420x x ->??+? D.50,20,489x x x ->??+? 的解集是（ ） A ．3≤x B ．31≤ 描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式组的集合意义，能用平面区 域表示二元一次不等式组． 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面 与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的 区域或不等式的图象． 对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断 出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这 两个区域的边界（boundary）． 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域． （1） ；（2）． 解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画 成虚线． ② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平 面区域内，不等式表示的区域如图． 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0 一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接： 1、检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解： 1．如果那么当且仅当时取“=”号）. 2．如果那么（当且仅当时取“=”号） 3、在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 三、课堂总结与反思： 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置： 见讲义 管理人员签字：日期：年月日 作1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差 备注： 基本不等式复习 知识要点梳理 知识点：基本不等式 1．如果（当且仅当时取“=”号）. 2．如果（当且仅当时取“=”号）. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ①一正：函数的解析式中，各项均为正数； ②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 类型一：利用（配凑法）求最值 1．求下列函数的最大（或最小）值. （1）求的最小值； （2）若 （3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知 类型二：含“1”的式子求最值 2．已知且，求的最小值. 变式1：若 变式2： 变式3：求函数 类型三：求分式的最值问题 3. 已知，求的最小值 变式1：求函数 高中数学必修五 不等式单元测试 时间： 60 分钟 满分： 100 分 2019 年 5 月 一、选择题（每题 5 分，共 40 分） 1、已知集合 Ρ { x x 2 2 x ≥ 3} ， Q { x 2 x 4} ，则 ΡI Q A ． 3,4 B ． 2,3 C ． 1,2 D ． 1,3 2、若 a b 0 ， c d 0 ，则一定有 a b a b C ． a b D ． a b A ． d B ． d d c d c c c 3、关于 x 的不等式 x 2 2ax 8a 2 0 （ a 0 ）的解集为 (x 1, x 2 ) ， 且 x 2 x 1 15 ，则 a 5 B ． 7 C ． 15 15 A ． 2 4 D ． 2 2 4、若 2x 2 y 1，则 x y 的取值范围是 A ． [ 0,2] B ． [ 2,0] C ． [ 2, ) D ． ( , 2] 5、若正数 x, y 满足 x 3 y 5xy ，则 3x 4 y 的最小值是 24 28 C ． 5 D ． 6 A ． B ． 5 5 6、小王从甲地到乙地的往返时速分别为 a 和 b （ a b ），其全程的平均时速为 v ，则 A ． a v ab B ． v = ab C ． ab < v < a b D ． v = a b 2 2 7、设 0 a b ，则下列不等式中正确的是 A ． C ． a b a b B ． a a b ab 2 ab b 2 a ab a b D ． a b b 2 ab a b 2 x y 1(a 0, b 0) 过点 (1,1)，则 a b 的最小值等于 8、若直线 b a A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 5 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题 （每题 8 分，共 32 分） 9、不等式 x 2 3x 4 0 的解集为 ___________．（用区间表示）高中数学必修五基本不等式题型(精编)
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