前K条最短路径算法
[注：为了简便我这里只列出算法的步骤和伪代码，详细的数学证明请参见相关论文。C++代码的算法实现可以在我的sourceforge目录https://https://www.wendangku.net/doc/727259798.html,/projects/ksp下载使用。特别要指出的是葡萄牙教授Martins对此算法有深入研究，发表了为数众多的相关论文，我这里采用的也是基于他早期提出的deletion algorithm。Martins的Fortran代码可以在这个网站http://www.mat.uc.pt/~eqvm/下载，同时这个网站还提供大量相关论文和文献。在此我谨向Martins教授致以敬意。]
前k条最短路径算法
戴维编译
一、算法说明
Deletion Algorithm删除算法的核心是通过在有向图中已有的最短路径上删除某条弧，并寻找替换的弧来寻找下一条可选的最短路径。删除算法实际上是通过在有向图中增加附加节点和相应的弧来实现的。算法描述如下：
1．利用Dijkstra算法求得有向图(N,A)中以开始节点s为根的最短路径树（注意，这里的最短路径树并不是最小生成树，因为Dijkstra算法并不保证能生成最小生成树），标记从开始节点s到结束节点t之间的最短路径
为p k，k=1。
2．如果k小于要求的最短路径的最大数目K，并且仍然有候选路径存在，令当前路径p=p k，转3。否则，程序结束。
3．找出当前路径p中从第一个节点开始的入度大于1的第一个节点，记为n h。
如果n h的扩展节点n’h不在节点集N中，则转4，否则找出路径p中n h后面所有节点中，其对应的扩展节点不在N中的第一个节点，记为n i，转5。4．为节点n h构建一个扩展节点n’h，并把其添加到集合N中，同时从图(N,A)中所有n h的前驱节点连接一条到n’h的弧，弧对应的权重不变，添加这些弧到弧集A中，但n h在p中的前一个节点n h-1除外。计算从开始节
点s到n’h的最短路径，并记n i＝n h+1。
5．对于p中从n i开始的所有后续节点，不妨记为n j，依次执行如下操作：
5.1 添加n j的扩展节点n’j到节点集合N中。
5.2 除了路径p中n j的前一个节点n j-1外，分别连接一条从n j前驱节点到其
扩展节点n’j的弧，弧上的权值保持不变，并把这些弧添加到弧集A中。另外，如果p中n j的前一个节点n j-1具有扩展节点n’j-1的话，也需要连接一条从n’j-1到n’j的弧，权值和弧(n j-1 , n j )的权值相等。
5.3 计算从开始节点s到n’j的最短路径。
6．更新当前最短路径树，求得从开始节点s到结束节点的当前扩展节点t(k)’之间的最短路径为第k条最短路径，令k=k+1，转2继续。
在上述步骤4、5、6中均需要计算从开始节点到当前扩展节点的最短路径，因为程序开始时便生成了以开始节点为根的最短路径树，那么只要在扩充节点时，记录下每个新节点相对于开始节点的最短路径中其前一个节点编号以及从开始节点到当前节点的最短路径长度，就可以很容易求得任意时刻有向图中从开始节点到结束节点（或其扩充节点）之间的最短路径。
扩展节点：上一条最短路径上的节点可能会在求取下一条最短路径的过程中进行扩展，也就是在上次节点集合的基础上增加相应的新节点，这些新的节点均称为扩展节点，其会继承被扩展结点的邻接边关系（具体请参见上述步骤4，5）。一个扩展节点仍然可能会在求取下一条最短路径的时候进行扩展，表现在示例图中就是在一个节点标记后面加一撇表示是在原始节点上扩展，加两撇表示是在上次扩展节点上再扩展，依次类推。
前驱节点：就是最短路径中某个节点的前一个节点。
二、算法示例
下面以图1所示网络图为例，根据上述算法，分别求得其第k条最短路径，求解过程中有向图的变化情况如图1－5所示，粗体路径表示当前状态下的最短路径，不同类型的圈表示不同阶段生成的节点。
图1 k=1时的最短路径
图2 k=2时的最短路径
图3 k=3时的最短路径
图4 k=4时的最短路径
图5 k=5时的最短路径
参考文献：[这个算法在70年代就提出来了，其间历经完善，发表的论文也是五花八门，为了能让初次接触此算法的人有个系统的认识，我这里列举了这个算法在近10多年发展过程中几篇有代表性的论文。]
1. J.A. Azevedo, J.J.E.R.S. Madeira, E.Q.V. Martins and F.M.A. Pires, A shortest paths ranking algorithm, (1990), Proceedings of the Annual Conference AIRO'90, Models and Methods for Decision Support, Operational Research Society of Italy, 1001-1011.
90这篇论文阐述了基于删除算法(deletion algorithm)的原理及方法，并指出了解决此类问题的三类算法，对其中删除算法以及基于最优化原理(Principle of Optimality)的算法进行了实验比较。
2. E.Q.V. Martins and J.L.E. Santos. A new shortest paths ranking algorithm. Investigacao Operacional, 20:(1):47-62,2000.
Martins在他99年这篇文章中对删除算法进行了改进，提出了MS Algorithm，实际上除了数据结构上的变化外，算法没有做实质性的改动。不过对于要从实现上来优化算法的人来说，当然是值得一看的。
3. E.Q.V. Martins. A new improvement for a k shortest paths algorithm. 2000。（忘了出处了，不好意思）
Martins随后又在他的这篇论文中改进了MS Algorithm，并依次详细列举了对早期的删除算法的逐步改进过程，所以这篇文章也是值得一读的。同样，这次改进也是从数据结构角度来改进算法效率的。
4. Victor M. Jimenez and Andres Marzal. Computing the k shortest paths: A new algorithm and a experimental comparison. 1999. （忘了出处了，不好意思）
终于在这篇文章中有人提出了新的算法--递归枚举算法(REA, Recursive Enumeration Algorithm)。论文中分别对新的算法和Martins的算法MSA以及另外一个叫做Eppstein的人的算法(EA)进行了详细的实验比较。我之所以选择Martins的算法也是因为这篇文章对这些算法的对比实验表明，MSA算法在节点小于2000的情况下表现不错，加之MSA简明易懂并且处在不停的完善中:)。
下面是其他相关的论文，好多哦，不过还是建议你访问Martins教授的网站。
Copyright@戴维2006.5 于北京
相关论文：
[1] A. Aggarwal, B. Schieber, and T. Tokuyama. Finding a minimum weight K-link path in graphs
with Monge property and applications. Proc. 9th Symp. Computational Geometry, pp.
189–197.
Assoc. for Computing Machinery, 1993.
[2] R. K. Ahuja, K. Mehlhorn, J. B. Orlin, and R. E. Tarjan. Faster algorithms for th e
shortest path
problem. J. Assoc. Comput. Mach. 37:213–223. Assoc. for Computing Machinery, 1990.
[3] J. A. Azevedo, M. E. O. Santos Costa, J. J. E. R. Silvestre Madeira, and E. Q. V. Martins. An
algorithm for the ranking of shortest paths. Eur. J. Operational Research 69:97–106, 1993.
[4] A. Bako. All paths in an activity network. Mathematische Operationsforschung und Statistik
7:851–858, 1976.
[5] A. Bako and P. Kas. Determining the k-th shortest path by matrix method. Szigma 10:61–66,
1977. In Hungarian.
[6] R. E. Bellman. On a routing problem. Quart. Appl. Math. 16:87–90, 1958.
[7] A.W. Brander and M. C. Sinclair. A comparative study of k-shortest path algorithms. Proc. 11th
UK Performance Engineering Worksh. for Computer and Telecommunications Systems, September
1995.
[8] T. H. Byers and M. S.Waterman. Determining all optimal and near-optimal solutions when solving
shortest path problems by dynamic programming. Operations Research 32:1381–1384, 1984.
[9] P. Carraresi and C. Sodini. A binary enumeration tree to find K shortest paths. Proc.
7th
Symp. Operations Research, pp. 177–188. Athen¨aum/Hain/Hanstein, Methods of Operations Research
45, 1983.
[10] G.-H. Chen and Y.-C. Hung. Algorithms for the constrained quickest path problem and the enumeration
of quickest paths. Computers and Operations Research 21:113–118, 1994.
[11] Y. L. Chen. An algorithm for finding the k quickest paths in a network. Computers and Operations
Research 20:59–65, 1993.
[12] Y. L. Chen. Finding the k quickest simple paths in a network. Information Processing Letters
50:89–92, 1994.
[13] E. I. Chong, S. R. Maddila, and S. T. Morley. On finding single-source
single-destination k shortest
paths. Proc. 7th Int. Conf. Computing and Information, July 1995. http://phoenix.trentu.ca/ jci/papers/icci95/A206/P001.html.
[14] A. Consiglio and A. Pecorella. Using simulated annealing to solve the K-shortest path problem.
Proc. Conf. Italian Assoc. Operations Research, September 1995.
[15] Y. Dai, H. Imai, K. Iwano, and N. Katoh. How to treat delete requests in semi-online problems.
Proc. 4th Int. Symp. Algorithms and Computation, pp. 48–57. Springer Verlag, Lecture Notes in
Computer Science 762, 1993.
[16] M. T. Dickerson and D. Eppstein. Algorithms for proximity problems in higher dimensions. Computational
Geometry Theory and Applications 5:277–291, 1996.
[17] S. E. Dreyfus. An appraisal of some shortest path algorithms. Operations Research 17:395–412,
1969.
[18] El-Amin and Al-Ghamdi. An expert system for transmission line route selection. Int. Power
Engineering Conf, vol. 2, pp. 697–702. Nanyang Technol. Univ, Singapore, 1993.
[19] D. Eppstein. Finding common ancestors and disjoint paths in DAGs. Tech. Rep.
95-52, Univ. of
California, Irvine, Dept. Information and Computer Science, 1995.
[20] D. Eppstein. Ten algorithms for Egyptian fractions. Mathematica in Education and Research
4(2):5–15, 1995. https://www.wendangku.net/doc/727259798.html,/?eppstein/numth/egypt/ .
[21] D. Eppstein, Z. Galil, and G. F. Italiano. Improved sparsification. Tech. Rep. 93-20, Univ. of
California, Irvine, Dept. Information and Computer Science,
1993. https://www.wendangku.net/doc/727259798.html,:80/
TR/UCI:ICS-TR-93-20.
[22] D. Eppstein, Z. Galil, G. F. Italiano, and A. Nissenzweig. Sparsification – A technique for speeding
up dynamic graph algorithms. Proc. 33rd Symp. Foundations of Computer Science, pp.
60–
69. IEEE, 1992.
[23] L. R. Ford, Jr. and D. R. Fulkerson. Flows in Networks. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ,
1962.
23
[24] B. L. Fox. k-th shortest paths and applications to the probabilistic networks.
ORSA/TIMS Joint
National Mtg., vol. 23, p. B263, 1975.
[25] G. N. Frederickson. Ambivalent data structures for dynamic 2-edge-connectivity and k smallest
spanning trees. Proc. 32nd Symp. Foundations of Computer Science, pp. 632–641. IEEE, 1991.
[26] G. N. Frederickson. An optimal algorithm for selection in a min-heap. Information and Computation
104:197–214, 1993.
[27] M. L. Fredman and R. E. Tarjan. Fibonacci heaps and their uses in improved network optimization
algorithms. J. Assoc. Comput. Mach. 34:596–615. Assoc. for Computing Machinery, 1987.
[28] M. L. Fredman and D. E. Willard. Trans-dichotomous algorithms for minimum spanning trees
and shortest paths. Proc. 31st Symp. Foundations of Computer Science, pp. 719–725. IEEE, 1990.
[29] A. V. Goldberg. Scaling algorithms for the shortest paths problem. SIAM J. Computing
24(3):494–504. Soc. Industrial and Applied Math., June 1995.
[30] V. Hatzivassiloglou and K. Knight. Unification-based glossing. Proc. 14th Int. Joint Conf.
Artificial Intelligence, pp. 1382–1389. Morgan-Kaufmann, August
1995. https://www.wendangku.net/doc/727259798.html,/
natural-language/mt/ijcai95-glosser.ps.
[31] G. J. Horne. Finding the K least cost paths in an acyclic activity network. J. Operational Research
Soc. 31:443–448, 1980.
[32] L.-M. Jin and S.-P. Chan. An electrical method for finding suboptimal routes. Int.
Symp. Circuits
and Systems, vol. 2, pp. 935–938. IEEE, 1989.
[33] D. B. Johnson. A priority queue in which initialization and queue operations take O.log log D/
time. Mathematical Systems Theory 15:295–309, 1982.
[34] N. Katoh, T. Ibaraki, and H. Mine. An O.Kn2/ algorithm for K shortest simple paths in an undirected
graph with nonnegative arc length. Trans. Inst. Electronics and Communication Engineers of Japan E61:971–972, 1978.
[35] N. Katoh, T. Ibaraki, and H. Mine. An efficient algorithm for K shortest simple paths. Networks
12(4):411–427, 1982.
[36] P. N. Klein, S. Rao, M. H. Rauch, and S. Subramanian. Faster shortest-path algorithms for planar
graphs. Proc. 26th Symp. Theory of Computing, pp. 27–37. Assoc. for Computing Machinery,
1994.
[37] N. Kumar and R. K. Ghosh. Parallel algorithm for finding first K shortest paths. Computer
Science and Informatics 24(3):21–28, September 1994.
[38] A. G. Law and A. Rezazadeh. Computing the K-shortest paths, under nonnegative weighting.
Proc. 22nd Manitoba Conf. Numerical Mathematics and Computing, pp. 277–280, Congr. Numer.
92, 1993.
[39] E. L. Lawler. A procedure for computing the K best solutions to discrete optimization problems
and its application to the shortest path problem. Management Science 18:401–405, 1972.
24
[40] E. L. Lawler. Comment on computing the k shortest paths in a graph. Commun. Assoc. Comput.
Mach. 20:603–604. Assoc. for Computing Machinery, 1977.
[41] E. Q. V. Martins. An algorithm for ranking paths that may contain cycles. Eur. J. Operational
Research 18(1):123–130, 1984.
[42] S.-P. Miaou and S.-M. Chin. Computing k-shortest path for nuclear spent fuel highway transportation.
Eur. J. Operational Research 53:64–80, 1991.
[43] E. Minieka. On computing sets of shortest paths in a graph. Commun. Assoc. Comput. Mach.
17:351–353. Assoc. for Computing Machinery, 1974.
[44] E. Minieka. The K-th shortest path problem. ORSA/TIMS Joint National Mtg., vol. 23, p. B/116,
1975.
[45] E. Minieka and D. R. Shier. A note on an algebra for the k best routes in a network. J. Inst.
Mathematics and Its Applications 11:145–149, 1973.
[46] D. Naor and D. Brutlag. On near-optimal alignments of biological sequences. J. Computational
Biology 1(4):349–366, 1994. https://www.wendangku.net/doc/727259798.html,/?brutlag/Publications/naor94.html .
[47] A. Perko. Implementation of algorithms for K shortest loopless paths. Networks
16:149–160,
1986.
[48] Y. Perl and Y. Shiloach. Finding two disjoint paths between two pairs of vertices in a graph. J.
Assoc. Comput. Mach. 25:1–9. Assoc. for Computing Machinery, 1978.
[49] J. B. Rosen, S.-Z. Sun, and G.-L. Xue. Algorithms for the quickest path problem and the enumeration
of quickest paths. Computers and Operations Research 18:579–584, 1991.
[50] E. Ruppert. Finding the k shortest paths in parallel. Proc. 14th Symp. Theoretical Aspects of
Computer Science, February 1997.
[51] T. Shibuya. Finding the k shortest paths by AI search techniques. Cooperative Research Reports
in Modeling and Algorithms 7(77):212–222. Inst. of Statical Mathematics, March 1995. [52] T. Shibuya, T. Ikeda, H. Imai, S. Nishimura, H. Shimoura, and K. Tenmoku. Finding a realistic
detour by AI search techniques. Proc. 2nd Intelligent Transportation Systems, vol. 4, pp. 2037–
2044, November
1995. http://naomi.is.s.u-tokyo.ac.jp/papers/navigation/suboptimal-routes/
ITS%95/its.ps.gz.
[53] T. Shibuya and H. Imai. Enumerating suboptimal alignments of multiple biological sequences
efficiently. Proc. 2nd Pacific Symp. Biocomputing, pp. 409–420, January
1997. http://www-smi .
https://www.wendangku.net/doc/727259798.html,/people/altman/psb97/shibuya.pdf.
[54] T. Shibuya and H. Imai. New flexible approaches for multiple sequence alignment. Proc. 1st
Int. Conf. Computational Molecular Biology, pp. 267–276. Assoc. for Computing Machinery,
January 1997. http://naomi.is.s.u-tokyo.ac.jp/papers/genome/recomb97.ps.gz .
[55] T. Shibuya, H. Imai, S. Nishimura, H. Shimoura, and K. Tenmoku. Detour queries in geographical
databases for navigation and related algorithm animations. Proc. Int. Symp. Cooperative Database Systems for Advanced Applications, vol. 2, pp. 333–340, December 1996. http: //naomi.is.s.u-tokyo.ac.jp/papers/databases/codas96.ps.gz.
25
[56] D. R. Shier. Algorithms for finding the k shortest paths in a network. ORSA/TIMS Joint National
Mtg., p. 115, 1976.
[57] D. R. Shier. Iterative methods for determining the k shortest paths in a network. Networks
6(3):205–229, 1976.
[58] D. R. Shier. On algorithms for finding the k shortest paths in a network. Networks
9(3):195–214,
1979.
[59] C. C. Skicism and B. L. Golden. Solving k-shortest and constrained shortest path problems ef-
ficiently. Network Optimization and Applications, pp. 249–282. Baltzer Science Publishers, Annals
of Operations Research 20, 1989.
[60] K. Sugimoto and N. Katoh. An algorithm for finding k shortest loopless paths in a directed network.
Trans. Information Processing Soc. Japan 26:356–364, 1985. In Japanese.
[61] J. W. Suurballe. Disjoint paths in a network. Networks 4:125–145, 1974.
[62] R. E. Tarjan. Data Structures and Network Algorithms. CBMS-NSF Regional Conference Series
in Applied Mathematics 44. Soc. Industrial and Applied Math., 1983.
[63] R. Thumer. A method for selecting the shortest path of a network. Zeitschrift f¨ur Operations
Research, Serie B (Praxis) 19:B149–153, 1975. In German.
[64] M. S. Waterman. Sequence alignments in the neighborhood of the optimum. Proc. Natl. Acad.
Sci. USA 80:3123–3124, 1983.
[65] M. M. Weigand. A new algorithm for the solution of the k-th best route problem. Computing
16:139–151, 1976.
[66] A. Wongseelashote. An algebra for determining all path-values in a network with application to
k-shortest-paths problems. Networks 6:307–334, 1976.
[67] A. Wongseelashote. Semirings and path spaces. Discrete Mathematics 26:55–78, 1979.
[68] J. Y. Yen. Finding the K shortest loopless paths in a network. Management Science 17:712–716,
1971.
[69] J. Y. Yen. Another algorithm for finding the K shortest-loopless network paths. Proc. 41st Mtg.
Operations Research Society of America, vol. 20, p. B/185, 1972.
[70] D. Eppstein. Finding the k shortest paths. SIAM Journal on Computing,
28(2):652–673, April 1999.
最短路径学年论文
摘要：主要介绍最短路径问题中的经典算法——迪杰斯特拉(Dijkstra)算法和弗洛伊德（Floyd）算法，以及在实际生活中的运用。 关键字：Dijkstra算法、Floyd算法、赋权图、最优路径、Matlab 目录 摘要 (1) 1引言 (1) 2最短路 (2) 2.1 最短路的定义 (2) 2.2最短路问题常见算法 (2) 3 Dijkstra算法 (2) 3.1Dijkstra算法描述 (2) 3.2 Dijkstra算法举例 (3) 3.3算法的正确性和计算复杂性 (5) 3.3.1贪心选择性质 (5) 3.3.2最优子结构性质 (6) 3.3.3 计算复杂性 (7) 4 Floyd算法 (7) 4.1Floyd算法描述 (8) 4.2 Floyd算法步骤 (11) 4.3 Floyd算法举例 (11) 5 Dijkstra算法和Floyd算法在求最短路的异同 (11) 6 利用计算机程序模拟算法 (11) 7 附录 (11) 8 论文总结 (13) 9 参考文献 (13)
1 引言 最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。 最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。 2 最短路 2.1 最短路的定义 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图 的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra 在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G 中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由Ford 提出了Ford 算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在的() 0ij w ≥的情况下选择Dijkstra 算法。 定义1若图G=G(V,E)中各边e 都赋有一个实数W(e),称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为G=G(V,E,W)。 定义2若图G=G(V,E)是赋权图且()0W e ≥,()e E G ∈,假设[i,j] 的权记为()i j W ，,若i 与j 之间没有边相连接，那么()i j =W ∞，。路径P 的定义为路径中各边的长度之和，记W （P ）。图G 的结点u 到结点v 距离记为d(u,v)，则u 、v 间的最短路径可定义为 { ()min P 0d(u,v)=,u v W =∞（），不可达时 。 2.2 最短路问题常见算法 在求解网络图上节点间最短路径的方法中,目前国内外一致公认的较好算法有迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。这两种算法中,网络被抽象为一个图论中定义的有向或无向图,并利用图的节点邻接矩阵记录点间的关联信息。在进行图的遍历以搜索最短路径时,以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别,直到获得最后的优化路径。 Dijkstra 算法是图论中确定最短路的基本方法,也是其它算法的基础。为了求出赋权图中任意两结点之间的最短路径,通常采用两种方法。一种方法是每次以一个结点为源点,重复执行Dijkstra 算法n 次。另一种方法是由Floyd 于1962年提出的Floyd 算法,其时间复杂度为 ()3O n ,虽然与重复执行Dijkstra 算法n 次的时间复杂度相同,但其形式上略为简单,且实际运 算效果要好于前者。 3 Dijkstra 算法 3.1 Dijkstra 算法描述
最短路径流程图及算法详解
:算法的设计思想 本算法采用分支定界算法实现。构造解空间树为：第一个城市为根结点，与第一个城市相邻的城市为根节点的第一层子节点，依此类推；每个父节点的子节点均是和它相邻的城市；并且从第一个根节点到当前节点的路径上不能出现重复的城市。 本算法将具有最佳路线下界的节点作为最有希望的节点来展开解空间树，用优先队列实现。算法的流程如下：从第一个城市出发，找出和它相邻的所有城市，计算它们的路线下界和费用，若路线下界或费用不满足要求，将该节点代表的子树剪去，否则将它们保存到优先队列中，并选择具有最短路线下界的节点作为最有希望的节点，并保证路径上没有回路。当找到一个可行解时，就和以前的可行解比较，选择一个较小的解作为当前的较优解，当优先队列为空时，当前的较优解就是最优解。算法中首先用Dijkstra算法算出所有点到代表乙城市的点的最短距离。算法采用的下界一个是关于路径长度的下界，它的值为从甲城市到当前城市的路线的长度与用Dijkstra算法算出的当前城市到乙城市的最短路线长度的和；另一个是总耗费要小于1500。 伪代码 算法AlgBB() 读文件m1和m2中的数据到矩阵length和cost中 Dijkstra(length) Dijkstra(cost) while true do for i←1 to 50 do //选择和node节点相邻的城市节点 if shortestlength>optimal or mincost>1500 pruning else if i＝50 optimal=min(optimal,tmpopt)//选当前可行解和最优解的 较小值做最优解 else if looped //如果出现回路 pruning //剪枝 else 将城市i插入到优先队列中 end for while true do if 优先队列为空 输出结果 else 取优先队列中的最小节点 if 这个最小节点node的路径下界大于当前的较优解 continue
gis计算最短路径的Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解 １最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法
有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 2.4 Dijkstra算法举例说明 如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）
最短路径算法—dijkstra总结
最短路径算法—D i j k s t r a 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
Dijkstra 算法解释 本文引用三篇文章：分别是谢光新-Dijkstra 算法， zx770424 -Dijkstra 算法， 中华儿女英雄 -Dijkstra 算法 有兴趣的朋友请引用原文，由于分类很不相同难以查找，此处仅作汇总。 谢光新的文章浅显易懂，无需深入的数学功力，每一步都有图示，很适合初学者了解。 zx770424将每一步过程，都用图示方式和公式代码\伪代码对应也有助于，代码的理解。 中华儿女英雄从大面上总结了Dijkstra 的思想，并将演路图描叙出来了。起到总结的效果。 希望这篇汇总有助于大家对Dijkstra 算法的理解。
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 简介 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。 算法描述 (这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值) 1．置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边) 2．在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转3 3．对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S=，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k 的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 复杂度分析 Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2) 空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2)
基于Floyd算法的最短路径问题的求解c++
摘要 现实生活中许多实际问题的解决依赖于最短路径的应用，其中比较常用的是floyd 算法。通过floyd算法使最短路径问题变得简单化。采用图的邻接矩阵或邻接表实现最短路径问题中图的存储。采用Visual C++6.0的控制台工程和MFC工程分别实现基于floyd算法求最短路径的应用。 关键词：最短路径；floyd算法；邻接矩阵；MFC工程
目录 1需求分析 (1) 2算法基本原理 (1) 2.1邻接矩阵 (1) 2.2弗洛伊德算法 (2) 3类设计 (2) 3.1类的概述 (2) 3.2类的接口设计 (3) 3.3类的实现 (4) 4基于控制台的应用程序 (7) 4.1主函数设计 (7) 4.2运行结果及分析 (8) 5基于MFC的应用程序 (9) 5.1图形界面设计 (9) 5.1程序代码设计 (11) 5.3运行结果及分析 (20) 结论 (21) 参考文献 (22)
1需求分析 Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。 假若要在计算机上建立一个交通咨询系统则可以采用图的结构来表示实际的交通网络。这个资讯系统可以回答游客提出的各种问题。例如，一位旅客要从A城到B城，他希望选择一条途中中转次数最少的路线。假设图中每一站都需要换车，则这个问题反映到图上就是要找一条从顶点A到B所含边的数目最少的路径。我们只需从顶点A出发对图作广度优先搜索，一旦遇到顶点B就终止。由此所得广度优先生成树上，从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径，路径上A与B之间的顶点就是途径中的中转站数。但是这只是一类最简单的图的最短路径的问题。有时对于旅客来说，可能更关心的是节省交通费用；对于司机来说里程和速度则是他们感兴趣的信息。为了在图上标示有关信息可对边赋以权的值，权的值表示两城市间的距离，或图中所需时间，或交通费用等等。此时路径长度的量度就不再是路径上边的数目，而是路径上边的权值之和。边赋以权值之后再结合最短路径算法来解决这些实际问题。Floyd算法是最短路径经典算法中形式较为简单，便于理解的一种。 2算法基本原理 2.1 邻接矩阵 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：（1）对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），有向图则不一定如此。 （2）在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。 （3）用邻接矩阵法表示图共需要个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需
最短路径问题的算法分析及建模案例
最短路径问题的算法分析及建模案例
最短路径问题的算法分析及建模案例 一.摘要 (3) 二.网络最短路径问题的基础知识 (5) 2.1有向图 (7) 2.2连通性................... 错误！未定义书签。 2.3割集....................... 错误！未定义书签。 2.4最短路问题 (8) 三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。 3.1最短路问题的提出 (9) 3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签 3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。 3.5实例....................... 错误！未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义 3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9) 3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9) 3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9) 3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10) 3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。
1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 思想有很大的区别错误！未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每 次循环都要修改所有顶点的权值，也就 是说源点到各顶点最短路径长度一直 要到Bellman-Ford算法结束才确定下 来。...................... 错误！未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 的限制.................. 错误！未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定 4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。 摘要 近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径 问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等 诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的 一个典型例子。 由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究， 使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最 短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题
弗洛伊德算法求解最短路径
课程设计任务书
目录 第1章概要设计 (1) 1.1题目的内容与要求 (1) 1.2总体结构 (1) 第2章详细设计 (2) 2.1主模块 (2) 2.2构建城市无向图 (3) 2.3添加城市 (4) 2.4修改城市距离 (5) 2.5求最短路径 (6) 第3章调试分析 (7) 3.1调试初期 (7) 3.2调试中期 (7) 3.3调试末期 (7) 第4章测试及运行结果 (7) 附页（程序清单） (10)
第1章概要设计 1.1题目的内容与要求 内容：给出一张无向图，图上的每个顶点表示一个城市，顶点间的边表示城市间存在路径，边上的权值表示城市间的距离。试编写程序求解从某一个城市出发到达任意其他任意城市的最短路径问题。 要求： 1)能够提供简单友好的用户操作界面，可以输入城市的基本信息，包括城市名 称，城市编号等； 2)利用矩阵保存城市间的距离； 3)利用Floyd算法求最短路径； 4)独立完成系统的设计，编码和调试； 5)系统利用C语言完成； 6)按照课程设计规范书写课程设计报告。 1.2总体结构 本程序主要分为四个模块（功能模块见图1.1）：主模块对整个程序起一主导作用，开始构建一城市无向图，对其进行添加城市顶点，以及对原来的距离数据进行修改，整体构建结束可以实现求一城市到其他城市的最短路径问题。 图1.1 功能模块图
第2章详细设计 2.1主模块 用户根据屏幕上显示的操作提示输入要进行操作的模块，通过调用相对应的模块程序，达到用户所想进行操作。程序的总框架大致分为四个模块：1.建立城市无向图2.添加城市模块3.修改城市距离4.求最短路径。具体实现过程见2.2：建立城市无向图2.3：添加城市2.4：修改城市距离2.5：求最短路径。流程图中通过输入n，由n的值来选择调用相对应子函数，实现所选择的功能，调用完后可以返回调用主函数进行下一次选择，从而实现反复调用子函数而实现四个模块的功能等。 图2.1 主模块流程图
实验四图的最短路径弗洛伊德算法实现
数据结构与算法课程实验报告实验四：图的相关算法应用 姓名：王连平 班级：09信科2班 学号：I09630221
实验四图的相关算法应用 一、实验内容 求有向网络中任意两点之间的最短路。 二、实验目的 掌握图和网络的定义，掌握图的邻接矩阵、邻接表和十字链表等存储表示。掌握图的深度和广度遍历算法，掌握求网络的最短路的标号法和floyd算法。 三、问题描述 对于下面一张若干个城市以及城市间距离的地图，从地图中所有可能的路径中求出任意两个城市间的最短距离及路径，给出任意两个城市间的最短距离值及途径的各个城市。 四、问题的实现 4.1数据结构的抽象数据类型定义和说明 1） typedef struct ArcCell{//储存弧信息 int Distance; ArcCell *info;//此项用来保存弧信息，，在本实验中没有相关信息要保存 }ArcCell,AdjMatrix[ MAX_VERTEX_NUM][ MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{//储存顶点信息 string vexs[ MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量
AdjMatrix arcs;//邻接矩阵 int vexnum , arcnum;//图的当前顶点数和弧数 }MGraph; 顶点信息和弧信息都是用来建立一个有向网G 2） d[v][w];//G中各对顶点的带权长度 若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点 4.2主要的实现思路 首先通过一个函数（CreateDN）建立图的邻接矩阵储存方式,一次输入某条弧的起点，终点，和权值。通过调用Locate函数来找到该弧在邻接矩阵中的相应位置。 其次运用弗洛伊德算法来求各定点的最短路劲，具体思路为：如果从v到w有弧，则存在一条长度为arcs[v][w]的路径，该路径不一定是最短路径。考虑路径（v,u,w）是否存在，若存在，比较（v,w）和（v,u,w）的长度，取较短者为从v到w的中间点序号不大于0的最短路径。以此类推，每次增加一个点，从而求出任意两点间的最短路径。这样，经过n次比较后，所求得的必为从v到w的最短路径。按此方法，可以同时求得任意两点间的最短路径。 五、主要源程序代码（包含程序备注） #include 第25卷第7期V ol.25No.7 控制与决策 Control and Decision 2010年7月 Jul.2010移动机器人路径规划技术综述 文章编号:1001-0920(2010)07-0961-07 朱大奇,颜明重 (上海海事大学水下机器人与智能系统实验室，上海201306) 摘要:智能移动机器人路径规划问题一直是机器人研究的核心内容之一.将移动机器人路径规划方法概括为:基于模版匹配路径规划技术、基于人工势场路径规划技术、基于地图构建路径规划技术和基于人工智能的路径规划技术.分别对这几种方法进行总结与评价,最后展望了移动机器人路径规划的未来研究方向. 关键词:移动机器人；路径规划；人工势场；模板匹配；地图构建；神经网络；智能计算 中图分类号:TP18；TP273文献标识码:A Survey on technology of mobile robot path planning ZHU Da-qi,YAN Ming-zhong (Laboratory of Underwater Vehicles and Intelligent Systems，Shanghai Maritime University，Shanghai201306, China．Correspondent：ZHU Da-qi，E-mail：zdq367@https://www.wendangku.net/doc/727259798.html,) Abstract:The technology of intelligent mobile robot path planning is one of the most important robot research areas.In this paper the methods of path planning are classi?ed into four classes:Template based,arti?cial potential?eld based,map building based and arti?cial intelligent based approaches.First,the basic theories of the path planning methods are introduced brie?y.Then,the advantages and limitations of the methods are pointed out.Finally,the technology development trends of intelligent mobile robot path planning are given. Key words:Mobile robot；Path planning；Arti?cial potential?eld；Template approach；Map building；Neural network; Intelligent computation 1引言 所谓移动机器人路径规划技术,就是机器人根据自身传感器对环境的感知,自行规划出一条安全的运行路线,同时高效完成作业任务.移动机器人路径规划主要解决3个问题:1)使机器人能从初始点运动到目标点;2)用一定的算法使机器人能绕开障碍物,并且经过某些必须经过的点完成相应的作业任务;3)在完成以上任务的前提下,尽量优化机器人运行轨迹.机器人路径规划技术是智能移动机器人研究的核心内容之一,它起始于20世纪70年代,迄今为止,己有大量的研究成果报道.部分学者从机器人对环境感知的角度,将移动机器人路径规划方法分为3种类型[1]:基于环境模型的规划方法、基于事例学习的规划方法和基于行为的路径规划方法;从机器人路径规划的目标范围看,又可分为全局路径规划和局部路径规划;从规划环境是否随时间变化方面看,还可分为静态路径规划和动态路径规划. 本文从移动机器人路径规划的具体算法与策略上,将移动机器人路径规划技术概括为以下4类:模版匹配路径规划技术、人工势场路径规划技术、地图构建路径规划技术和人工智能路径规划技术.分别对这几种方法进行总结与评价,展望了移动机器人路径规划的未来发展方向. 2模版匹配路径规划技术 模版匹配方法是将机器人当前状态与过去经历相比较,找到最接近的状态,修改这一状态下的路径,便可得到一条新的路径[2,3].即首先利用路径规划所用到的或已产生的信息建立一个模版库,库中的任一模版包含每一次规划的环境信息和路径信息,这些模版可通过特定的索引取得;随后将当前规划任务和环境信息与模版库中的模版进行匹配,以寻找出一 收稿日期:2009-08-30；修回日期:2009-11-18. 基金项目:国家自然科学基金项目(50775136)；高校博士点基金项目(20093121110001)；上海市教委科研创新项目(10ZZ97). 作者简介:朱大奇(1964?),男,安徽安庆人,教授,博士生导师,从事水下机器人可靠性与路径规划等研究；颜明重(1977?),男,福建泉州人,博士生,从事水下机器人路径规划的研究. 单源最短路径的Dijkstra算法： 问题描述： 给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。算法描述： Dijkstra算法是解单源最短路径的一个贪心算法。基本思想是：设置顶点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist做必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。 源代码： #include //-------------------------------------数据声明------------------------------------------------//c[i][j]表示边(i,j)的权 //dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度 //prev[i]记录从源到顶点i的最短路径上的i的前一个顶点 //--------------------------------------------------------------------------------------------- void Dijkstra(int n, int v, int dist[], int prev[], int c[][LEN]) { bool s[LEN]; // 判断是否已存入该点到S集合中 for (int i = 1; i <= n; i++) { dist[i] = c[v][i]; s[i] = false; //初始都未用过该点 if (dist[i] == MAX) prev[i] = 0; //表示v到i前一顶点不存在 else prev[i] = v; } dist[v] = 0; s[v] = true; for (int i = 1; i < n; i++) 最短路径算法及其路径规划中的应用 摘要： 这篇文章把徒步运动的路径规划问题转化为求解图中任意两点间的最短路径问题，进而针对此问题介绍了Floyd算法，对该算法的时间花费进行分析，并介绍了在实际问题中如何灵活运用该算法解决路径决策中遇到的问题。 关键词：路径规划、最短路径、决策、Floyd算法 将实际地图的转化为有向图 在策划一次徒步旅行时，设计正确的旅行的线路特别重要，首先我们必须先要得到那个地区的地图，以便进行后续的线路规划。当我们拿到某一地区的地图时，我们可以把地图上的每一条线路用线段表示，用顶点表示地图上的岔路口，即多条线段的交点，这样就形成了一个由点和线段组成的图。我们可以在每条线段上标上数字，表示两点之间的实际距离，或者表示通过这条路径所需的时间。当然，如果两点之间没有线段相连，我们可以认为距离为无穷大，用∞表示。有时候某些线路是单向的，即只能从一个方向到另一个方向，不能逆行。这种情况在具体的路径设计中非常常见，比如，在繁华的都市内会有一些单行道，在山区景点中，常会出现一些上山索道，这些都是单向线路的常见例子。有时候，沿某条线路的两个方向所需的时间不同，这种例子更为常见，比如上山与下山，顺风与逆风等等。对于这两种情况，我们可以在表示路径的线段上加上箭头表示该路径的方向，形成有向图。 到达v2的距离为8，而从v2到v1的距离为3。 从点v1到v0的距离为5，而从v0到v1的距离 为∞。这种带有箭头的有向图，比不带箭头的无 向图能够表示更一般的情形，可以说无向图只是 有向图的一种特殊情况。 如果我们知道任意两点间的最短路径，这对 我们进行路径规划将会有很大的帮助，但当地图 较为复杂时，凭直觉估计最短路径的方法往往不 可靠，这时就必须借助计算机的强大计算能力，寻找最短路径。下面，我们就以 这种有向图为工具，来探究寻找最短路径的方法。 1．3．2路径规划方法的概述 路径规划是智能机器人领域中的一个重要分支，根据不同实验要求 规划出各自的最 优路径是路径规划研究的意义所在。在本实验系统中，路经规划主 要考虑一下两个方面 的问题：对于主臂，运动目标是在起始位置和目标位置间做直线运动，直线已是两点间 的最短距离，因此它的路经规划相对简单：对于从臂，在运动过程 中始终视主臂为其要 避碰的障碍物，它路径规划的目的则是要规划出一条与主臂无碰撞 的最短路径。 机器人的路径规划基本方法大体可分为3种类型112l： (1)基于环境模型的路径规划，它能够处理完全已知环境下机器人的 路径规划，但 当环境发生变化时，该方法无能为力。具体方法为：栅格法、可视 图法和自由空间法等。 (2)基于传感器信息的路径规划法，其实现了机器人在动态未知环境 中运动的重要 技术。具体方法为：人工势场法、栅格法、模糊逻辑法等。(3)基于 行为的路径规划法，它把导航问题分解为许多相对对立的导航单元，且这 些单元都有传感器和执行器，它们协调工作，共同完成运动任务。 栅格法将移动机器人工作环境分解成一系列具有二值信息的网格单元，用尺寸相同 的栅格对机器人运行环境进行划分，若某个栅格范围内不含任何障 碍物，则称此栅格为 自由栅格，反之称为障碍栅格。 人工势场法借鉴了物理势场的原理，把机器人所在的环境表示为一 种抽象的力场。 势场中包含斥力级和引力级，不希望机器人进入的区域和障碍物区域属于斥力级，目标 区和希望机器人进入的区域为引力级。引力级和斥力级的周围由一定的算法产生相应的 势场。机器人在势场中具有一定的抽象能力，它的负梯度方向表示机器人系统所受的抽 象力的方向，正是这个抽象力的作用，促使机器人绕过障碍物，朝目标前进。 模糊逻辑控制是以模糊集合论、模糊逻辑、模糊语言变量以及模糊推理为基础的一 种非线性的计算机数字控制技术。其特点为：可以将获得的不确定的数据经过处理得到 精确的数据结果。基于实时传感信息的模糊逻辑算法参考人的驾驶经验，通过查规则表 得到规划信息，实现局部路径的规划【B15l。该方法克服了势场法易产生局部极小问题， 适用于时变未知环境下的路径规划，实时性较好。 随着智能控制方法理论的逐渐成熟，当机器人面对比较复杂的工作环境时，将智能 控制方法应用到机器人的路径规划中可以大大提高机器人对环境的适应性。主要应用的 智能控制方法有人工神经网络法、遗传算法和蚁群算法等等。 人工神经网络是由大量简单的神经元相互连接而形成的自适应非线性动态系统，其 不依赖于被控模型，比较适合不确定和高度非线性的控制对象，并具有较强的学习和适应能力。采用神经网络的路径规划算法需要先将环境地图映射称神经元网络，并设置神 经元的值来表征不同的地图状况，在通过对神经网络的训练来获取最优的神经元集合以 组成最优路径。 最短路径算法在物流运输 中的应用 Last revision date: 13 December 2020. 本科生毕业设计（论文）题目：线性表的设计和实现 学生姓名：张三 学号： 1153 院系：基础科学学院信息技术系 专业年级： 2012级信息与计算科学专业 指导教师：李四 年月日 摘要 随着现代物流业的发展，如何优化和配置物流的运输路径成为了一个热点的问题。其中，最具代表性的问题就是如何在一个道路网络中选择两点之间的合适路径，使其距离最短。为了解决这个问题，本文介绍了两种最常用的最短路径求解方法——DIJKSTRA算法与FLOYD算法，分析了它们的适用范围以及时间复杂度。最后，对一个具体的航空公司物流配送问题进行了求解，得到了理论最优路径。 关键词：最短路径问题；DIJKSTRA算法；物流运输 ABSTRACT With the development of modern logistics industry, how to optimize and configure the transport path of logistics has become a hot issue. Among them, the most representative problem is how to select the appropriate path between two points in a road network to minimize the distance. In order to solve this problem, this paper introduces two most common shortest path solutions —— Dijkstra algorithm and Floyd algorithm, and analyzes their application range and time complexity. Finally, a specific airline logistics distribution problem is solved, and the theoretical optimal path is obtained. Keywords：Minimum path problem；Dijkstra algorithm；Logistics transportation 数据结构课程设计报告撰写要求 （一）纸张与页面要求 1．采用国际标准A4型打印纸或复印纸，纵向打印。 2．封页和页面按照下面模板书写（正文为：小四宋体1.5倍行距）。 3．图表及图表标题按照模板中的表示书写。 （二）课设报告书的内容应包括以下各个部分：（按照以下顺序装订） 1.封页(见课设模版) 2、学术诚信声明，所有学生必须本人签字，否则教师拒绝给予成绩。 2.任务书(学生教师均要签字,信息填写完整) 3.目录 4.正文一般应包括以下内容: （1)题目介绍和功能要求（或描述） 课程设计任务的详细描述(注意不能直接抄任务书),将内容做更详细的具体的分析与描述； （2) 系统功能模块结构图 绘制系统功能结构框图及主要模块的功能说明； （3) 使用的数据结构的描述: 数据结构设计及用法说明; （4) 涉及到的函数的描述 ; （5) 主要算法描述( 程序流程图) （6) 给出程序测试/运行的结果 设计多组数据加以描述（包括输入数据和输出结果） （7) 课程设计的总结及体会 （8) 参考文献 格式要求：[1]作者，等. 书名.出版地：出版社，出版年 5.附录：程序清单 (应带有必要的注释) 沈阳航空航天大学 课程设计报告 课程设计名称：数据结构课程设计 课程设计题目：利用弗洛伊德（Floyd)算法求解 最短路径 院（系）：计算机学院 专业：计算机科学与技术(物联网方向) 班级：34010105 学号： 姓名： 指导教师： 说明：结论（优秀、良好、中等、及格、不及格）作为相关教环节考核必要依据；格式不符合要求；数据不实,不予通过。报告和电子数据必须作为实验现象重复的关键依据。 数据通信与计算机网络大作业 Dijkstra 最 短 路 径 算 法 【摘要】 摘要:最短路径分析在地理信息系统、计算机网络路由等方面发挥了重要的作用, 对其进行优化很有必要。本文分析了传统 的最短路径算法(即Dijkstra 算法)的优化途径及现有的优化算法, 然后在Dijkstra 算法的基础上, 采用配对堆结构来实现路 径计算过程中优先级队列的一系列操作, 经理论分析与实验测试结果对比, 可以大大提高该算法的效率和性能。 【关键词】 最短路径; Dijkstra 算法; 【正文】 随着计算机网络技术和地理信息科学的发展, 最短路径问题无论是在交通运输, 还是在城市规划、物流管理、网络通讯等方面, 它都发挥了重要的作用。因此, 对它的研究不但具有重要的理论价值, 而且具有重要的应用价值。研究最短路径问题通常将它们抽象为图论意义下的网络问题, 问题的核心就变成了网络图中的最短路径问题。此时的最短路径不单指“纯距离”意义上的最短路径, 它可以是“经济距离”意义上的最短路径, “时间”意义上的最短路径, “网络”意义上的最短路径。关于最短路径问题, 目前所公认的最好的求解方法, 是由F.W.Dijkstra 提出的标号法, 即Dijkstra 算法。 1 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是求最短路径的最基本和使用最广泛的算法。在求从网络中的某一节点(源点)到其余各节点的最短路径时, 经典Dijkstra 算法将网络中的节点分成三部分: 未标记节点、临时标记节点和最短路径节点(永久标记节点)。算法开始时源点初始化为最短路径节点, 其余为未标记节点, 算法执行过程中, 每次从最短路径节点往相邻节点扩展, 非最短路径节点的相邻节点修改为临时标记节点, 判断权值是否更新后, 在所有临时标记节点中提取权值最小的节点, 修改为最短路径节点后作为下一次的扩展源, 再重复前面的步骤, 当所有节点都做过扩展源后算法结束。具体算法描述如下: 设在一非负权简单连通无向图G=移动机器人路径规划技术综述
单源最短路径的Dijkstra算法
最短路径算法及其在路径规划中的应用
路径规划概述
最短路径算法在物流运输中的应用
数据结构课程设计-Floyd算法求解最短路径
dijkstra最短路径算法