《方案设计题专题》

一. 教学内容：

方案设计题专题

二. 重点难点：

1. 重点：培养学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等。

2. 难点：把实际问题中所涉及到的数学问题转化、抽象成具体的数学问题。

三. 具体内容：

题型1设计图形题

几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是根据线段间的关系来分割，有时根据其它的某些条件来分割，做此类题一般用尺规作图。

题型2设计测量方案题

设计测量方案题渗透到几何各章节之中，例如：测量底部不能直接到达的小山的高，测量池塘的宽度，测量圆的直径等，此类题目解法不惟一，是典型的开放型试题。

题型3设计最佳方案题

此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、几何联系在一起。

【典型例题】

[例1] （07鄂尔多斯）有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图所示；乙公司每月通话收费标准如下表所示。

月租费通话费

25元0.15元/分钟

（1）观察图15，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为元；

（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？

解：（1）20；0.2

（2）通话时间不超过100分钟选甲公司合算

设通话时间为t 分钟（100t >），甲公司用户通话费为1y 元，乙公司用户通话费为2y 元。 则：1200.2(100)0.2y t t =+-=，2250.15y t =+

当12y y =即：0.2250.15t t =+时，500t = 当12y y >即：0.2250.15t t >+时，500t >

当12y y <即：0.2250.15t t <+时，500t <

答：通话时间不超过500分钟选甲公司；500分钟选甲、乙公司均可；超过500分钟选乙公司。

[例2] （04河北省）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区。

（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金

为y （元），求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；

（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；

（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议。

解：（1）若派往A 地区的乙型收割机为x 台，则派往A 地区的甲型收割机为（30－x ）台；派往B 地区的乙型收割机为（30－x ）台，派往B 地区的甲型收割机为（x －10）台

∴y =1600x +1800（30－x ）+1200（30－x ）+1600（x －10）=200x +74000 x 的取值范围是：10≤x ≤30（x 是正整数） （2）由题意得200x +74000≥79600

解不等式得x ≥28.由于10≤x ≤30，∴x 取28，29，30这三个值 ∴有3种不同分配方案

① 当x=28时，即派往A 地区甲型收割机2台，乙型收割机28台；派往B 地区甲型收割机18台，乙型收割机2台。

② x=29时，即派往A 地区甲型收割机1台，乙型收割机29台；派往B 地区甲型收割 机19台，乙型收割机1台

③ 当x=30时，即30台乙型收割机全部派往A 地区；20台甲型收割机全部派往B 地区 （3）由于一次函数y =200x +74000的值y 是随着x 的增大而增大的，所以，当x =30时，y 取得最大值，如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x =30，此时，

y =6000+74000=80000。

建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A 地区；20台甲型收割要全部派往B 地区，可使公司获得的租金最高。

[例3]（07江西省）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：

方案1 所有评委所给分的平均数。

方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数。

方案3 所有评委所给分的中位数。 方案4 所有评委所给分的众数。 为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验。下面是这个同学的得分统计图：

（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；

（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。

解：（1）方案1最后得分：

1

(3.27.07.83838.49.8)7.710+++?+?+=；

方案2最后得分：1

(7.07.83838.4)88++?+?=；

方案3最后得分：8；

方案4最后得分：8或8.4。

（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”， 所以方案1不适合作为最后得分的方案。

因为方案4中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案。

[例4] （厦门）某中学要召开运动会，决定从初三年级全部的150名的女生中选30人，组成一个彩旗方队（要求参加方队的同学的身高尽可能接近）。现在抽测了10名女生的身高，结果如下（单位：厘米）：

166 154 151 167 162 158 158 160 162 162

（1）依据样本数据估计，初三年级全体女生的平均身高约是多少厘米？ （2）这10名女生的身高的中位数、众数各是多少？

（3）请你依据样本数据，设计一个挑选参加方队的女生的方案。（请简要说明） 解：（1）因为（166+154+151+167+162+158+158+160+162+162）÷10=160（厘米），所以九年级全体女生的平均身高约是160厘米。

（2）这10名女生的身高的中位数是161厘米，众数是162厘米。

（3）先将九年级中身高为162厘米的所有女生挑选出来作为参加旗队的女生，如此进行下去，直至挑选到30人为止。

[例5]（07乐山）如图所示，小山上有一棵树。现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB 。

要求：

（1）画出测量示意图；

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）； （3）根据（2）中的数据计算AB 。

A

B

解：（1）测量图案（示意图）如图示

（2）测量步骤：

第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠， 第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C D ，之间的距离CD m =， 第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AFE β=∠， 第四步：用皮尺测出测角仪的高h （3）计算：

令AE x =，则

tan x HE α=

，得tan x

HE α=

又

tan x EF β=

，得tan x EF β= HE FE HF CD m -===

tan tan x x m αβ

∴-=

解得

A

E F

H D

[例6] （4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征。

特征1：_________________________________________________； 特征2：_________________________________________________。

（2）请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征

图（10.2）

解：（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面

积都等于4个单位面积；等

（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可以得满分。

[例7] （07福建福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案。图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的

图案，既是轴对称图形又是中心对称图形。种植花草部分用阴影表示。请你在图

③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案。

提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种。

①②③④⑤

解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一（满分8分）

【模拟试题】

1. 一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60o的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案。某同学为此提供了如图所示的五种设计方案。其中可以满足园艺设计师要求的有（）

A. 2种

B. 3种

C. 4种

D. 5种

2. 光明中学的6名教师带领8名市三好学生到苏州园林参观学习，发现门票有这样几种优惠方案。（1）学生可凭学生证享受6折优惠。（2）20人以上的团体队可享受8折优惠。（3）通过协商可以享受9折优惠。请同学们根据上述优惠途径，设计出五种不同的优惠方案，并说明最佳方法。

3. 班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给结对的山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元。

（1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？

（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案。

4. 今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香蕉各2吨；

（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来（6分）

（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？（4分）

5. 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34

甲乙

价格（万元/台）7 5

每台日产量（个）100 60

（1）按该公司要求可以有几种购买方案？

（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？

6. 已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元。

（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？

（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由。

【试题答案】

1. C

2. 解：设计五种优惠方案的方法及注意点： 方法（2）不可以采用；部分或全部学生使用方法（1），其余学生和所有老师使用方法（3）。 最佳方法为：8名学生使用方法（1），6名老师使用方法（3）。

3. 解：（1）设买了x 支圆珠笔，则有5x+6（22－x ）=120，解得：x=12，22－x=10 圆珠笔、钢笔各买了12、10枝。

（2）答案不惟一。如：圆珠笔、钢笔各买了19、3枝等等。 4. 解：（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车（10－x ）辆，依题意，

得???≥-+≥-+13)10(230)10(24x x x x 解这个不等式组，得???≤≥75

x x

75≤≤∴x 是整数，∴x 可取5、6、7，既安排甲、乙两种货车有三种方案：

① 甲种货车5辆，乙种货车5辆； ② 甲种货车6辆，乙种货车4辆； ③ 甲种货车7辆，乙种货车3辆；

（2）方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共10辆，所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择① 运费最少，最少运费是16500元；

方法二：方案①需要运费

2000×5+1300×5=16500（元） 方案②需要运费

2000×6+1300×4=17200（元） 方案③需要运费

2000×7+1300×3=17900（元）

∴ 该果农应选择① 运费最少，最少运费是16500元 5. 解：（1）设购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（6－x ）台。

由题意，得75(6)34x x +-≤，

解这个不等式，得2x ≤，即x 可以取0、1、2三个值， 所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案： 方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台； 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；

（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二。 6. 解：（1） 设甲队单独完成需x 天，则乙队单独完成需要（2x －10）天。

根据题意有11

210

x x

+

-=

1

12

解得x1=3（舍去），x2=20

∴乙队单独完成需要2x－10=30（天）

答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需要20天、30天

（没有答的形式，但说明结论者，不扣分）

（2）设甲队每天的费用为y元，则由题意有

12y+12（y－150）=13800，解得y=650

∴选甲队时需工程费用650×20=13000，选乙队时需工程费用500×30=15000

∵13000 <15000

∴从节约资金的角度考虑，应该选择甲工程队

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