复数的四则运算

复数的四则运算

一、复数的加、减运算及其几何意义

1.规定复数的加法法则如下：

设z 1=a +b i,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R)是任意两个复数，那么它们的和

(a +b i)+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i.

特别地，当z 1,z 2都是实数时，把它们看作复数时的和就是这两个实数的和.

对任意的z 1,z 2,z 3∈c ，有:

z 1+z 2=z 2+z 1,

(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).

2.复数加法的几何意义 设1OZ ,2OZ 分别与复数a +b i,c +d i 对应，则1OZ =(a ,b ),2OZ =(c ,d ).由平面向量的坐标运算法则，得

1OZ +2OZ =(a +c ,b +d ).

这说明两个向量1OZ 与2OZ 的和就是与复数（a +c )+(b +d )i 对应的向

量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，如图,

规定复数的减法是加法的逆运算，即把满足

(c+d i)+(x+yi)=a+b i

的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+b i(a,b∈R)减去复数c+d i(c,d∈R)的差。记作（a+b i)-(c+d i).

根据复数相等的含义，c+x=a,d+y=b.

因此

x=a-c,y=b-d,

所以

x+yi=(a-c)+(b-d)i.

即

(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.

这就是复数的减法法则.可以看出，两个复数相减，类似于两个多项式相减.

二、复数的乘、除运算

1.规定复数的乘法法则如下：

设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积

(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i+bd i2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

特别地，当z1,z2都是实数时，把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.

对任意的z1,z2,z3∈c，有:

z1z2=z2z1,

(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3),

z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 2z 3.

2. 规定复数除法的法则如下：

（a +b i)÷(c +d i)=i 2

222d c ad bc d c bd ac +-+++，(a ,b ,c ,d ∈R ，且c +d i ≠0). 在进行复数除法运算时，通常先把（a +b i)÷(c +d i)写成c +d i 的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c -d i,化简后计算即可.

这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数）,从而使分母“实数化”.在复数范围内，实系数一元二次方程a x 2+b x+c =0(a ≠0)的求

根公式为： (1)当0≥Δ时，;2422a

ac b b x -±-= (2)当Δ<0时，.i 2422?-±-=a ac b b x