大学物理第二章质点动力学习题答案
习 题 二
2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。
[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv
(1) 由牛顿第二定律 t
v
m ma f d d == 即 t
v m kv d d ==- 所以
t m k
v v d d -= 对等式两边积分 ⎰⎰-=t
v v t m k v v 0
d d 0 得 t m
k
v v -=0ln
因此 t m
k
e v v -=0
(2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m
ma f d d d d d d d d ==== 即 x v
mv kv d d =-
所以 v x m
k
d d =-
对上式两边积分 ⎰⎰=-00
0d d v s
v x m k
得到 0v s m
k
-=-
即 k
mv
s 0=
2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明
小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为
[证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向
下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得
即 t
v m
ma kv F mg d d ==--
整理得
m
t
kv F mg v d d =--
对上式两边积分 ⎰⎰=
--t v
m
t kv F mg v
00
d d 得 m
kt
F mg kv F mg -=---ln
即 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
-m kt
e k
F
mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。
[解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。
此时 2
T kv mg =
即 k
mg
v =
T 有牛顿第二定律 t
v m kv mg d d 2=- 整理得
m
t
kv mg v d d 2=
- 对上式两边积分 mgk
m t kv mg v t v
21d d 00
2⎰⎰=-
得 m
t
v
k mg v k mg =
+-ln
整理得 T 22221
111v e
e
k mg e
e v kg
m t kg m t kg
m t kg m t
+-=+-=
2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1⨯=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。
[解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力
由上面两式得()()
()
N 1082.71085.110
63781063788.9132732
6
3
2
32
e 2
e ⨯=⨯+⨯⨯⨯
⨯=+=h R R mg
f
(2) 由牛顿第二定律 h
R v m f +=e 2
(3) 卫星的运转周期
2-5 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。 [解] 设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则 所以 2gR GM =
代入第一式中 3
12
2
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=ωgR r 解得 m r 71022.4⨯=
2-6 两个质量都是m 的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。
[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同
(1)每个星球所受的合力 (2) 设运动周期为T 联立上述三式得 Gm
R R
T π4= 所以，每个星球的运行周期
2-7 2-8
2-9 一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下
落距离s 时对桌面的瞬时作用力。
[解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s 段对桌面的压力1N ，
另一部分是正在下落的x d 段对桌面的冲力2N ，桌面对x d 段的作用力为2
N '。显然 t 时刻，下落桌面部分长
s 。设再经过t d ，有x d 落在桌面上。取下落的x d 段链条
为研究对象，它在t d 时间之内速度由gs v 2=变为零，根据动量定理
p t N d d 2
=' (1) x v p d 0d λ-= (2) t v x d d = (3)
由(2)、(3)式得 λsg N 22
-=' 故链条对桌面的作用力为
2-10 一半径为R 的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为
m 的小球正以角速度ω沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平
面距离碗底的高度。
[分析] 小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。
[解] 设小球的运动水平面距碗底的高度为h ，小球受力如图所示，则 由以上四式得 ⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=R g R h 2
1ω 2-11 自动步枪连发时每分钟射出120发子弹，每颗子弹的质量为m ＝7.90g ，出口速率为735s m ，求射击时(以分钟计)抢托对肩的平均压力。
[解] 取t ∆时间之内射出的子弹为研究对象，作用在子弹上的平均力为N '，根据动量定理得
所以 N 6.117351090.722060120
3=⨯⨯⨯==∆-∆=∆∆=
'-mv t
tv m
t
p N 故枪托对肩部的平均压力为
2-12 水力采煤是利用高压水枪喷出的强力水柱冲击煤层。设水柱直径为
D =30mm ，水速v =56s m ，水柱垂直射到煤层表面上，冲击煤层后速度变为零。求水柱
对煤层的平均冲力。
[解] 取长为dx 的一段水柱为研究对象，设它受到的煤层的作用力为N '，根据动量定理 p t N d d ='
所以 ()22
2
4
d 2d 0d d v D t v D x t p N ρπρπ-=⋅⋅-=='
故水柱对煤层的平均冲力
2-13 F ＝30+4t 的力作用在质量为10kg 的物体上，求： (1)在开始两秒钟内，此力的冲量是多少?(2)要使冲量等于 300s N ⋅，此力作用的时间为多少?(3)若物体的初速度为10
m ，方向与F 相同，在t =6.86s 时，此物体的速度是多少?
[解] 根据冲量定义 (1)开始两秒钟此力的冲量 (2)?当s N 300⋅=I 时 解得 s 86.6=t
(3) 当s 86.6=t 时，s N 300⋅=I ，根据动量定理 因此 s m 4010
10
103000=⨯+=+=
m mv I v 2-14 质量为m 的质点，以不变速率v 沿图示三角形ABC 的水平光滑轨道运动。求质点越过角A 时，轨道作用于质点
冲量的大小。
[解] 如图所示，质点越过A 角时动量的改变为
由图知p ∆的大小
根据动量定理 mv p I 3=∆=
2-15 质量为m 的质点在xOy 平面内运动，其运动
方程
j i r t b t a ωωsin cos +=，试求：(1)质点的动量；(2)从t ＝0到ω
π
2=
t 这段时间内质点受到
的合力的冲量；(3)在上述时间内，质点的动量是否守恒?为什么?
[解] 质点的速度
j i r
v t b t a t
ωωωωcos sin d d +-==
(1) (1) 质点的动量
(2) 由(1)式得0=t 时，质点的速度
ω
π
2=t 时，质点的速度为
根据动量定理 解法二：
(3) 质点的动量不守恒，因为由第一问结果知动量随时间t 变化。
2-16 将一空盒放在台秤盘上，并将台秤的读数调节到零，然后从高出盒底h 处将石子以每秒n 个的速率连续注入盒中，每一石子的质量为m 。假定石子与盒子的碰撞是完全非弹性的，试求石子开始落入盒后t 秒时，台秤的读数。
[解] t 秒钟后台秤的读数包括下面两部分，一部分是已落入盒中的石子对称盘的压力1N ，另一部分是正下落的石子对秤的冲力2N ，显然
取t ∆时间下落的石子为研究对象，设它们所受到的平均冲力为N '，根据动量定理
所以 gh nm N 22
-=' 故t ∆时间下落的石子对称的冲力 因此秤的读数为
2-17 一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g ，在A 、B 两位置处的速率都是20s m ，A v 与x 轴成045角，B v 与y 轴垂直，求质点由 A 点运动到B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。
[解] 由题意知，质点由A 点到B 点动量的改变为 根据动量定理，作用在质点上的外力的冲量
所以 ()()()()s N 739.0283.0683.0222y 2x 2
y 2x ⋅=-+-=∆+∆=+=p p I I I
冲量与x 轴之间的夹角
2-18 若直升飞机上升的螺旋浆由两个对称的叶片组成，每一叶片的质量m ＝136kg ，长l =3.66m 。当它的转速n =320min r 时，求两个叶片根部的张力(设叶片是均匀薄片)。
[解一] 设叶片的根部为原点O ，作径向Or 轴，在叶片上距O 点为r 处取一线元r d ，则r m d d λ=，其两边所受的张力如图所示。根据圆周运动沿径向的动力学方程，有
即 r r l
m T d d 2
ω=
对上式积分，并考虑到叶片的外端r 趋近于l 时，张力0=T ，则 因此距O 点为r 处叶片中的张力为
式中负号表明T 指向O 点。取r =0，代入题中所给数据，得叶片根部张力 [解二] 任意时刻t 叶片的动量 经过d t 时间，叶片动量的改变 叶片根部所受的作用力
2-19 如图所示，砂子从h ＝0.8m 处下落到以=0v 3s m 的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg 的砂子，求传输带对砂
子作用力的大小和方向。
[解] 如图所示，设t ∆时间内落下的砂子的质
量
为
m ∆，则m ∆的动量改变
显然有 gh v 21= 由图可知
根据动量定理 p F ∆=∆t 所以
2-20 矿砂从传输带A 落到另一传输带B ，其速度大小为1v ＝4s m ，2v ＝2s m 方向如图所示。设传输带的运送量t m ∆∆＝2000h kg ，求矿砂作用在传输带B 上的力的大小和方向。
[解] 取t ∆时间内落下的矿砂m ∆为研究对
象，建立如图
所示的坐标系，其动量的改变为
()22111122x cos sin sin cos θθθθv v m mv mv p -∆=∆+∆-=∆
根据动量定理 p F ∆=∆t 所以 ()()
N 1079.315cos 230sin 43600
2000cos sin 2002211x x -⨯=-=-∆∆=
∆∆=
θθv v t m
t p F 故矿砂作用在传输带B 上的力 与竖直方向的夹角
2-21 质量为m 的质点，当它处在r =-2i +4j +6k 的位置时的速度v =5i +4j +6k ，试求其对原点的角动量。
[解] 质点对原点的角动量为
2-22 一质量为m ＝2200kg 的汽车v =60h km 的速率沿一平直公路行驶。求汽车对公路一侧距公路为d ＝50m 的一点的角动量是多大?对公路上任一点的角动量又是多大?
[解] 根据角动量的定义式v r L m ⨯=
0y
x
(1) s m kg 1083.150360*********sin 263⋅⨯=⨯⨯⨯===mvd rmv L θ (2) 对公路上任一点r ∥v ，所以
2-23 某人造地球卫星的质量为m ＝l802kg ，在离地面2100km 的高空沿圆形轨道运行。试求卫星对地心的角动量(地球半径61040.6⨯=地R m)。
[解] 设卫星的速度为v ，地球的质量为M ，则
()h
R v m
h R Mm
G
+=+地地2
2
(1) 又 g R M
G
=地
(2) 联立两式得 地地R h
R g
v +=
卫星对地的角动量 ()()地地地⋅+=⋅+=h R g m v h R m L
2-24 若将月球轨道视为圆周，其转动周期为27.3d ，求月球对地球中心的角动量及面积速度(221035.7⨯=月m kg ，轨道半径R =81084.3⨯m)。
[解] 设月球的速度为v ，月球对地球中心的角动量为L ，则 月球的面积速度为
2-25 氢原子中的电子以角速度s rad 1013.46⨯=ω在半径10103.5-⨯=r m 的圆形轨道上绕质子转动。试求电子的轨道角动量，并以普朗克常数h 表示之(s J 1063.634⋅⨯=-h )。
[解] 电子的轨道角动量
2-26 海王星的轨道运动可看成是匀速率圆周运动，轨道半径约为km 1059⨯=R ，绕太阳运行的周期为T =165年。海王星的质量约为kg 100.126⨯=m ，试计算海王星对大阳中心的角动量的大小。
[解] 海王星对太阳中心的角动量 联立两式得到
2-27 质量为m 的质点开始处于静止状态，在外力F 的作用下沿直线运动。已知
T
t
F F π2sin
0=，方向与直线平行。求：(1)在0到T 的时间内，力F 的冲量的大小；(2)
在0到2T 时间内，力F 冲量的大小；(3)在0到2T 时间内，力F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。
[解]由冲量的定义⎰=1
2
d t t
t F I ，在直线情况下，求冲量I 的大小可用代数量的积分，
即
(1) 从t ＝0到 t=T ，冲量的大小为： ⎰=
=T
t F I 01d ⎰-=T
T
T
t T F t T t F 0
000]2cos [2d 2sin
πππ=0 (2) 从t =0到 t =T /2，冲量的大小为 (3) 初速度00=v ，由冲量定理 0mv mv I -=
当 t =T /2时，质点的速度m TF m I v π0
==
又由动能定理，力F 所作的功
(4) 质点的加速度)/2sin()/(0T t m F a π=，在t =0到t =T /2时间内，a >0，质点作初速度为零的加速运动，t =T /2时，a =0，速度达到最大；在t =T /2到t =T 时间内，a <0，但v >0，故质点作减速运动，t =T 时 a =0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一周期的相似运动。总之，质点作速度方向不变的变速直线运动。
2-28 角动量为L ，质量为m 的人造地球卫星，在半径为r 的圆形轨道上运行，试求其动能、势能和总能量。
[解] 将人造地球卫星看作质点，因为卫星作圆周运动，所以v r ⊥，由()v r L m ⨯=知，
所以卫星的动能 m
r L rm L m mv E 222
2
k 212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛==
选无穷远处为势能零点，由牛顿运动定律得：
所以 r GMm
mv E 22
12k =
= 又 r
GMm
E -=p
所以 22
k p 2mr L E E -=-=
所以 2
2
p k 2mr L E E E -=+=
2-29 一质量为1m 与另一质量为2m 的质点间有万有引力作用。试求使两质点间的距离由1x 增加到d x x +=1时所需要作的功。
[解] 万有引力 02
21r F r m m G
-=
两质点间的距离由x 增加到d x x +=1时，万有引力所作的功为 故外力所作的功
此题也可用功能原理求： Λ＝外p E E A ∆=∆=
2-30 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为2r k f =，k 为常数。若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r 时的势能。
[解]由势能的定义知r 处的势能p E 为:
2-31 设地球的质量为M ，万有引力恒量为0G ，一质量为m 的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。求它从距地心1R 下降到2R 处时所增加的动能。
[解] 由动能定理，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，而此功又等于这一过程中地球与飞船系统势能增量的负值，即：
2-32 双原子中两原子间相互作用的势能函数可近似写成()6
12p x
b
x a x E -=
，式中a 、b 为常数，x 为原子间距，两原子的势能曲线如图所示。(1)x 为何值时()0p =x E ?x 为
力；(3)何值时()x E p 为极小值?(2)试确定两原子间的作用假设两原子中有一个保持静止，另一个沿x 轴运动，试述可
能发生的运动情况。
[解] (1) 当()x E p =0时，有：
即 b a
x =6 或
01
6=x
故 0)(p 161
=∞→=）
（时，或x E x b
a x p E (x )为极小值时，有
0d )
(d p =x x E 即 0612713=+-x b
x a
所以 ∞=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=26
121x b a x 或
(2)设两原子之间作用力为()x f ，则 在一维情况下，有
(3)由原子的受力情况可以看出可能发生的运动情况为:当x 时，两原子 间的作用f (x )>0，它们互相排斥，另一原子将远离；当x >x 2 时f (x )<0，它们又 互相吸引，另一原子在远离过程中减速，直至速度为零，然后改变方向加速靠近静止原子，再当x 时，又受斥力，逐渐减速到零，原子又将远离。如此循环 往复。若开始时两原子离得很远，则f (x )趋于零，两原子互不影响。 2-33 两核子之间的相互作用势能，在某种准确程度上可以用汤川势 ()000p r r e r r E r E -⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=来表示，式中0E 约为50MeV ，0r 约为m 105.115-⨯。(1)试求两个柱子 之间的相互作用力F 与它们之间距离r 之间的函数关系；(2)求0r r =时相互作用力的值； (3)求02r r =，05r r =，010r r =时作用力的值，并通过比较解释什么是短程力。 [解] (1) ()()0 00000p 11d d d r r r r e r r r r E e r r E r r r dE r f --⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-- =- = ()r f <0为引力 (2) 当0r r =时，N 1092.3222300 1000⨯===-r E e r E F (3) 当02r r =时，N 1054.08343121230020200 0002⨯===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-F e r e E e r r r r E F 当05r r =时，040505000 00 52532561515F e r e E e r r r r E F ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=- 当010r r =时，0701001000 00 52001110011110110F e r e E e r r r r E F ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=- 由以上的计算结果知，当r 增大时，F 值迅速减小，即F 只在r 比较小的范围内(数量级均为m 1014-)有明显作用，这种力就叫做短程力。 大学物理第2章质点动力学习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第2章 质点动力学习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ f 1 N 1 m 1T a F N 2 m 2 T a N 1 f 1 f 2 第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30?的斜面底部以初速v 0=10m·s -1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30? 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1) 22 mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?- 2(2) s ∴= 把式（2）代入式（1）得， 22 0.198 u = 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 22 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-= 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα= ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v v r v mg mg r mg α αα ωαα α=-===+==-=-? ? 得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为 T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为θ 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两 习题2－2图 习题二 2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。 [解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律t v m ma f d d == 即t v m kv d d ==- 所以t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0d d 0 得t m k v v -=0ln 因此t m k e v v -=0 (2)由牛顿第二定律x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即x v mv kv d d =- 所以v x m k d d =- 对上式两边积分??=- 000d d v s v x m k 得到0v s m k -=- 即k mv s 0 = 2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉 降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ??=--t v m t kv F mg v 00 d d y 得m kt F mg kv F mg -=---ln 即??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即 2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时2 T kv mg = 即k mg v = T 有牛顿第二定律t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2 =- 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21 d d 00 2??=- 得m t v k mg v k mg = +-ln 整理得T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解]卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2)由牛顿第二定律h R v m f +=e 2 (3)卫星的运转周期 2-5试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。 [解]设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则 习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ⎰⎰-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ⎰⎰=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0= 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明 小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向 下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =-- 对上式两边积分 ⎰⎰= --t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2⎰⎰=- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1⨯=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v ? 方向为X 轴，平行斜 面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2sin 2 1 t g y α= 由①、②式消去t ，得 220 sin 21 x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F ? ??+= a m f P ???=+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1 -=+ ??-=+t v v dt m KV mg dV 01 dt m KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ??? ?? ????-+==-0000 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02-??????-+-=- 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K + ?-????????-+=+?- )1ln(1 1)(0 22 02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln()(022 0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++= )1ln(0 220mg KV g K m K mV +-= 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 大学物理2-1第二章(质点动力学)习题答案 习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0 v 水平射入沙土 中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙 土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由 牛 顿 第 二 定 律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=- 000d d v s v x m k 得到 v s m k -=- 即 k mv s 0= 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 t v m ma f F mg d d ==-- 即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d = -- 对上式两边积分 ? ? =--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg - =---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 mg F f 第 2 章自测题 一、填空题 1、设作用在质量为 1 kg 的物体上的力F＝3t ＋5(SI )。如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0 到 2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝__________ 。 2、某质点在力F＝(3＋4x) i (SI) 的作用下沿x 轴作直线运动，在从x＝0移动到x ＝7m的过程中，力 F 所做的功为_____ 。 3、一质量为 1 kg的物体，置于水平地面上，现对物体施一水平拉力F＝2t (SI) ，由静止开始运动，物体与地面之间的滑动摩擦系数μ＝0.16 ，则 2 秒末物体的速度大小v＝_。 4 、一质点在恒力为 F -4i 5j 8k (SI) 的作用下产生位移为 r 2i 5j 9k (SI) ，则此力在该位移过程中所做的功为。 5、质量为0.5Kg 的质点，在OXY坐标面内运动，运动方程为x 3t2,y 2t (SI)，从t 1s到t 3s 这段时间内，外力对该质点所做的功为。 二、计算题 1. 质量m = 2.0kg 的物体沿x 轴无摩擦地滑动，t = 0 时物体静止于1m 处。( 1) 若物体在力 F 5 t2(SI)的作用下运动了 2 s，它的速率增为多大？( 2)若物体在力 F 5 x 2(SI)的作用下移动到 2 m 处，它的速率又增大为多少？ 2. 质量m = 1.0kg 的质点，在Oxy 坐标平面内运动，其运动方程为x 2t2，y 3t (SI) ，从1s 到 2 s 这段时间内，外力对质点做的功为多少？ 3. 质量为5千克的物体沿X轴运动，物体受到与F反向大小为1 牛的摩擦力 的作用。开始时物体静止在坐标原点，(1) 当物体在力F=t 的作用下运动了 2 秒，它的速率增大为多少？(2) 当物体受到F＝X+1的作用下移动2ｍ，它的速 率又增大为多少？ 4. 一颗子弹水平穿过质量分别为2m 和m，并排放在光滑水平面上的静止木块 A 和B，设子弹穿过两木块所用时间均为t ，木块对子弹的阻力恒为F，子弹穿 过A 的速度为多少？ 和B后，A与B 5. 如图所示，质量m 1kg 的物体，用一根长l 1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量m0 10g 的子弹以v0 300m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v 30m/s ，设穿透时间极短。求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量． 大学物理2-1第二章（质点动力学）习题答案 2—1质量为m 的子弹以速率V 。水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为 k ，忽略子弹的重力,求：（1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2）子弹射入沙土的最大深度。 因此 mv . S k 2—2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘 滞阻力为f= kv(k 为常数）.若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降的速率 V 与时间 的关系为 ［解］设任意时刻子弹的速度为 V ，子弹进入沙土的最大深度为的阻力 f= - kv （1) 由牛顿第二定律 f ma dv m —— dt 即 dv kv m - dt 所以 dv k dt V m 对等式两边积分 V dv k t —dt V) V m Q 得 V k In - t V Q m s ，由题意知，子弹所受 k t V Q e m 由牛顿第二定律 dv ma m dt dv kv mv — dx dv dx m — dx dt dv mv — dx 所以 对上式两边积分 得到 k dx m k S dx m Q k S m dv V Q Q dv V) mg F k kt ［证明］任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为 y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 mg mg F f ma m dv dt 率的平方成正比，即 F kv 2 .求跳伞员的运动速率 V 随时间t 变化的规律和极限速率 V T 。 ［解］设运动员在任一时刻的速率为v,极限速率为V T ,当运动员受的空气阻力等于运 动员及装备的重力时,速率达到极限。 整理得 mg F kv ma m- dv dt mg F kv m dv dΓ 对上式两边积分 dv t dt O mg F kv 得 mg F In mg F kv kt m F kt 即 mg V k 1 e m 第2章质点动力学习题解答 2-1如图所示，电梯作加速度大小为a 运动。物体质量为m ，弹簧的弹性系数为k ，•求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a 、b ）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c ）。 解：（a ）ma mg N =- )(a g m N += （b ）ma N mg =- )(a g m N -= （c ）ma mg F =- )(a g m F += 2-2如图所示，质量为10kg 物体，•所受拉力为变力2132 +=t F （SI ），0=t 时物体静止。该物体与地面的静摩擦系数为20.0=s μ，滑动摩擦系数为10.0=μ，取10=g m/s 2，求 1=t s 时，物体的速度和加速度。 解：最大静摩擦力)(20max N mg f s ==μ max f F >，0=t 时物体开始运动。 ma mg F =-μ，1.13.02+=-= t m mg F a μ 1=t s 时，)/(4.12s m a = dt dv a = ，adt dv =，⎰⎰+=t v dt t dv 02 01.13.0 t t v 1.11.03+= 1=t s 时，)/(2.1s m v = 2-3一质点质量为2.0kg ，在O x y 平面内运动，•其所受合力j t i t F 232+=（SI ），0=t 时， 速度j v 20=（SI ），位矢i r 20=。求：（1）1=t s 时，质点加速度的大小及方向；（2）1=t s 时质点的速度和位矢。 解：j t i t m F a +== 22 3 2 2 3t a x = ，00=x v ，20=x ⎰⎰=t v x dt t dv x 02 23，2 3t v x = ⎰⎰ ⎰==t x t x dt t dt v dx 03 2 02，28 4+=t x t a y =，20=y v ，00=y ⎰ ⎰ =t v y tdt dv y 02 ，22 2 +=t v y ⎰⎰ ⎰+==t y t y dt t dt v dy 02 0)22(，t t y 26 3+= （1）1=t s 时，)/(2 32 s m j i a += （2）j t i t v )22(223++=，1=t s 时，j i v 2521+= j t t i t r )26()28(34+++=，1=t s 时，j i r 6 13817+= 2-4质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。 解：依题意kv f -=， 质点动力 学习题答案 欧阳光明（2021.03.07） 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速 度0v 运动，0v 的方向与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方 向为X 轴，平行斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0=① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 由①、②式消去t ，得 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力 数值为f KV =，K 为常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += y 分量：dt dV m KV mg =-- 即 dt m KV mg dV 1 -=+ mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=⇒-① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵dt dy V = ∴Vdt dy = 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦③ 0t t =时，max y y =， 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面， 链子的一端由极小的一段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 解：链条在运动过程中，其部分的速度、加速度均相同，沿链条 方向，受力为 m xg l ，根据牛顿定律，有 图2-4 通过变量替换有 m dv xg mv l dx = 0,0x v ==，积分00 l v m xg mvdv l =⎰⎰ 由上式可得链条刚离开桌面时的速度为v gl = 2-5 升降机内有两物体，质量分别为1m 和2m ，且2m ＝21m ．用细绳连 接，跨过滑轮,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速a ＝1 2 g 上升时，求：(1) 1m 和2m 相对升降机的加速度．(2)在地面上观察1m 和2m 的加速度各为多少? 解: 分别以1m ,2m 为研究对象，其受力图如图所示． (1)设2m 相对滑轮(即升降机)的加速度为a '，则2m 对地加速度 a a a -'=2；因绳不可伸长，故1m 对滑轮的加速度亦为a '，又1m 在 水平方向上没有受牵连运动的影响，所以1m 在水平方向对地加速度亦为a '，由牛顿定律，有 题2-5图 第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30︒的斜面底部以初速v 0=10m·s -1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30︒ 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1) 22 mv mv f s -=-⋅ 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅- 20 (2) (31) v s g u ∴= - 把式（2）代入式（1）得， () 22 2 20 0.198 3v v u v v -= =+ 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 2 2 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-= 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα= ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )2cos 2cos /m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v gr v g r r v mg mg r mg α αα αωααα α=-===+==-=-⎰ ⎰得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为θ的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两者间摩擦系数为μ，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。 习题2－2图 A o B r D C T α 质点动力进修题答案 【1 】 2-1一个质量为P 的质点,在滑腻的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 活动,0 v 的偏向与斜面底边的程度线AB 平行,如图所示,求这质点的活动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ,斜面支撑力N .树立坐标：取0v 偏向为X 轴, 平行斜面与X 轴垂直偏向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 偏向： 0=x F t v x 0=① Y 偏向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2sin 2 1 t g y α= 由①.②式消去t ,得 2 20 sin 21x g v y ⋅= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛,初速度为0v ,物体受到的空气阻力数值为 f KV =,K 为常数.求物体升高到最高点时所用时光及上升的最大高度. 解：⑴研讨对象：m ⑵受力剖析：m 受两个力,重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+⇒ 即 dt m KV mg dV 1 -=+ ⎰⎰-=+t v v dt m KV mg dV 01 0 dt m KV mg KV mg K 1 ln 10-=++ )(0KV mg e KV mg t m K +⋅=+- mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=⇒-① 0=V 时,物体达到了最高点,可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵dt dy V = ∴Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ⎰⎰⎰ ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-+==-0000 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=- 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦③ 0t t =时,max y y =, )1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K + ⋅-⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎣⎡-+=+⋅- 第2章 质点动力学习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ˆ)133(ˆ)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ˆ6ˆ12/22+== , j i a m F ˆ12ˆ24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/︒===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ˆsin ˆcos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)ˆsin ˆcos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况 如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ 2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2 f 1 N 1 m 1 g T a F N 2 m 2g T a N 1 f 1 f 2 习题二 2-1 质量为m的子弹以速率 v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v，子弹进入沙土的最大深度为s，由题意知，子弹所受的阻力f= - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d = = 即 v m kv d == - x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d = = = = 即 x v mv kv d d = - 所以v x m k d d= - 对上式两边积分⎰ ⎰= -0 00 d d v s v x m k 得到 v s m k - = - 即 k mv s0 = 2-2 质量为m的小球，在水中受到的浮力为F，当它从静止开始 沉降时，受到水的粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v与时间的关系为 ⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - - =-m kt e k F mg v1 [证明] 任意时刻t小球的受力如图所示，取向下为y轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 t v m ma f F mg d d = = - - 即 t v m ma kv F mg d d = = - - 整理得 m t kv F mg v d d = - - m，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F=。求跳伞员的运动速率 v随时间t变化的规律和极限速率 T v。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v，极限速率为 T v，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时2 T kv mg= 即 k mg v= T大学物理第2章质点动力学习题解答
大学物理 第2章 质点动力学 习题答案
大学物理第二章质点动力学习题答案
大学物理第二章质点动力学习题答案
大学物理习题精选-答案——第2章 质点动力学
大学物理2-1第二章(质点动力学)习题答案
大学物理第2章质点动力学习题及答案
大学物理2-1第二章（质点动力学）习题答案
大学物理第2章 质点动力学习题(含解答)
2021年大学物理习题精选-答案——第2章 质点动力学
大学物理第2章质点动力学习题答案
大学物理习题精选-答案——第2章 质点动力学
大学物理第2章质点动力学习题解答
大学物理2-1第二章(质点动力学)习题(含答案)答案