垂直平分线的性质

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垂直平分线的性质

概念

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 学习目标

要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一

些问题。

能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理

1. 如图，△ABC 中，∠CAB =120o，A B ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F

，则∠EAF 等于（ ）

A ．40o

B ．50o

C ．60o

D ．80o

2. 如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上 A ．AB B ．AC C ．BC D ．不能确定

3. 下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA =EB ，PA =PB ；②若PA =PB ，EA =EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA =PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若

EA =EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

基 础 知 识 随 堂 练 习 B

E

F

2

4. 如图，Rt△ABC 中，90ACB ∠=，BD=CD ，7.8AB =， 3.9AC =，则图中有（ ）个60的角． Ａ．2

Ｂ．3

Ｃ．4

Ｄ．

5

5. 把16个边长为a 的正方形拼在一起，如图，连接BC ，CD ，则△BCD 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．任意三角形

6. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定

7. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，B C ，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°

8. 已知线段AB 和它外一点P ，若PA =PB ，则点P 在AB 的

____________________；若点P 在AB 的____________________，则PA =PB ．

9. 如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF =12，BF =3，则

BC =__________．

E

B

F

A

3

10. 已知：△ABC 中，边A B ，AC 的垂直平分线相交于点P ．

求证：点P 在BC 的垂直平分线上．

11. ⑴作一个钝角三角形，利用尺规作这个三角形三条边的垂直平分线； ⑵作直角三角形和锐角三角形，利用尺规作三角形三条边的垂直平分线； ⑶你发现三角形三条边的垂直平分线与三角形的形状有怎样的位置关系？

12. 如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，BC =CD ，A C ，BD 相交于E ，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？

13. 如图，△ABC 中，AB =AC ，点P 、Q 、R 分别在A B ，B C ，AC 上，且PB =QC ，

QB =RC ．

求证：点Q 在PR 的垂直平分线上．

E D

C

B

A

A

B

C

P Q

R

线段的垂直平分线的性质

§13.1.2线段的垂直平分线的性质 教学目标 1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质． 2．探究线段垂直平分线的性质． 3．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．重点难点; 重点： 1．轴对称的性质． 2．线段垂直平分线的性质． 难点：体验轴对称的特征． 教学过程 一、创设情境，引入新课 上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？ 今天继续来研究轴对称的性质． 二、导入新课：观看投影并思考． 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、 C′分别是点A、 B、C的对称点，线段AA′、BB′、 CC′与直线MN有什么关系？ 图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂 直． AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？ △ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别 是点A、B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′ B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点．对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系． 我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样， 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段． 归纳图形轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称， 那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线． 下面我们来探究线段垂直平分线的性质． [探究1] 如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2， P3，…是L上的点， 分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B 的距离，你有什么发现？ 1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中 点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、 AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2… 讨论发现什么样的规律． 探究结果： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…

垂直平分线的性质

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 学习目标： 1.掌握线段垂直平分线的性质和判定. 2.运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题. 一、自主回顾： 1.如图1，△ABC和△A′B′C′关于直线MN轴对称，则直线MN与线段A A′有怎样的关系？ 2.直线MN与线段B B′、CC′又有怎样的关系？ 图1 图2 二、合作探究： 1.如图2，直线l垂直平分线段AB,P 1,P 2 ,P 3 ，是上的点，分别量一量点,P 1 , P 2,P 3 到点A与B的距离，你有什么发现？ 2.证明你发现的结论. 已知：直线ＭＮ垂直平分_____,垂足为Ｃ，点C在直线 ＭＮ上. 求证：AC=________. 3.如右图，若PA=PB，那么点P在线段 A B AB的垂直平分线上吗？你能证明吗？ O B A P3 P1 P2 P M N C B A

通过上述的证明你又能得到什么结论？ 三、学以致用： 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水。 修在河边什么地方，可使水泵站到张村、李庄的距离相等？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。 四、达标检测： 1、如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ， AB ＝5，那么AC ＝_________. 2. 如右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、 BC 的垂直平分线，它们交于P 点，请问PA 和 PC 相 等吗?为什么? 3.△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，垂足为E, 交AB 于点D ，AE=5cm ，△CBD 的周长为24cm ， 求△ABC 的周长。 五、分层巩固： A 组：P 65 6、9 、12 B 组：P 62 2 P 65 6 C 组：P 65 1 张村 李庄 l A B E D C B A

线段的垂直平分线的性质教学设计(公开课)

《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢？

线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应该先怎样呢？（把文字语言转化成符号语言） A B l P P P

线段垂直平分线的性质

线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课

教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字 在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对 称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我 们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线 段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成． 进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?” 教师演示线段垂直平分线的性质： 定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 同时，教师板演本节的题目： 1．3 线段的垂直平分线(一) 第二环节：探究新知 第一环节提出问题后，有学生提出了一个问题：“要证‘线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等’，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗?何况不可能呢．” 教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。 通过讨论和思考，有学生提出：“如果一个图形上每一点都具有某种性质，那么只需在图形上任取一点作代表，就可以了．” 教师肯定该生的观点，进一步提出：“我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．” 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB． 分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等． M 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°P

线段的垂直平分线,及性质

轴对称（二）——线段的垂直平分线及性质教学目标：⒈探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；⒉探索并理解线段垂直平分线的两个性质；⒊通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法⒋在数学学习的活动中，养成良好的思维品质。 教学重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质 教学难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。教学方法：小组讨论法、引导发现法 教学工具：多媒体、三角板、圆规 教学过程：一、创设情境，引入新课 ⒈什么样的图形是轴对称图形呢？下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴． ⒉前节课我们探讨了轴对称图形，今天我们一起来研究轴对称图形有什么性质？如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称) ⒊如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是

图 3 点A 、B 、C 的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN 有什么关系? 下面我们来动手做一轴对称的图形，从图形中能得到结论？ ⒋实验探究：⑴折一折：要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A 和点A'，折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A 和点A'关于直线MN 对称．连结点A ，A'，交直线MN 于点P 。 ⑵说一说：观察图形，线段AA'与直线MN 有 怎样的位置关系?你能说明理由吗?类似地， 点B 与点B'，点C 与点C'是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗? ⑶想一想：上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢? ⒌合作探究：⑴课本32P 探究，能用我们已有的知识来证明这个结论吗？反过来，如果PA=PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上？（课本33P 探究）如果成立，试证明之。（利用判定两个三角形全等） （1） 证法一： 证明：过点P 作已知线段AB 的垂线PC ． ∵PA ＝PB ，PC ＝PC ， ∴Rt △PA C ≌Rt △PBC (HL 定理)．

垂直平分线的性质与判定强化练习题

垂直平分线的性质与判定强化练习 1如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2题 2如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，． 下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED A C ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．A E CE = 3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定 4、线段的垂直平分线上的点_____________________________________． 5、到一条线段的两个端点的距离相等的点，______________________． 6、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。 3题 4题 7、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。 8在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）． 9如图4，AB=AD ，BC=CD ，AC 、BD 相交于点E ．由这些条件可以得出若干结论，请你写出其中三个正确结论（不要添加字母和辅助线，不要求证明）．

垂直平分线的性质与判定

12.1.2轴对称—垂直平分线的性质与判定 一、知识回顾： 1．垂直平分线的定义： 经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 二、探究新知： 2、已知：如下图，直线l垂直平分线段AB，垂足为c，点p是直线l任一点 求证：PA＝PB 证明： 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离3．思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？ 已知：如图，PA＝PB 求证：点P在线段AB的垂直平分线上（提示：做辅助线，构造全等三角形）证明：线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。练习 三、例题评析： 例1 如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求ΔABD的周长？ A E 若AB=AC,则点A 在线段的 若直线ED是线段BC 的垂直平分线,则图

例2、三角形中，分别画出边AB ,BC的垂直平分线，若这两条垂直平分线交于点O，则点O是否在AC的垂直平分线上。说明理由。 四、课堂练习： 1、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。 2、如图，AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 五、课后作业： 1、如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修 建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边中线的交点处 C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处 D.在A、B两内角平分线的交点处 C B A

2．下列语句正确的有（）句 ①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③两个图形关于某条直线对称，对称点一定在直线的两侧；④两个轴对称图形对应点连线的垂直平分线就是它的对称轴。 A、1句 B、2句 C、3句 D、4句 3．设A，B关于直线MN对称，则垂直平分。 4．如果O是线段AB的垂直平分线与AB的交点，那么= 。 5．设MN是线段AB的垂直平分线，当点P在MN上运动时，PA，PB的长度都随之变 化，但总保持。 6、如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。 7．如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？六、应用与拓展： 1、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D 点，求：△BCD的周长。

线段的垂直平分线的性质

线段的垂直平分线的性质 知识点:1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 2、逆定理就是: 3、在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半。 典例分析:例1:如图1,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,△BCE 的周长等于50,求BC 的长、 变式1:如图1,在△ABC 中, AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,若∠BEC=70°,则∠A= 变式2: 如图3,在Rt △ABC 中,AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2,∠B =15° 求:AC 的长。 [变式练习1] 如图4,在Rt △ABC 中,AB 的垂直平分线交BC 边于点E 、若BC=2+2,AE=2, ∠B =22、5° 求:AC 的长、 例2: 如图 5,在△ABC 中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N 、 (1) 求△AEN 的周长、 (2) 求∠EAN 的度数、 (3) 判断△AEN 的形状、 [变式练习3]:如图7,在△ABC 中, BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC 边于点 E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N 、 (1) 求△AEN 的周长、 (2) 求∠EAN 的度数、 [如图分线交BC 求练习 (1)如已,那 么(A)CD AB 垂直(C)CD 以上说法(2)如的交点正好在三角形的一条边上, 那么这个三角形就是( ) (A)直角三角形 (B)锐角三角形(C)钝角三角形 (D)以上都有可能 (3)在ABC ?中,AC AB =,AD 为角平分线,则有AD______BC (填⊥或//),=BD _____、 如果E 为AD 上的一点,那么=EB _______、 如果?=∠120BAC ,8=BC ,那么点D 到AB 的B C A E D 图1 A E D C B 图3 A E D C B 图4 A B C D E M N 图5 A C 图8

线段的垂直平分线的性质和判定精选优秀练习

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定 一、选择题（共8小题） 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5， CD 边垂直平分线的交点 ，连接EC；则∠AEC等于（） F， ： 第1题图第2题图第5题图 第6题图第7题图第8题图 B

二、填空题（共10小题） 9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ． 10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ． 11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________. 12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度． 13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm． 14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ． 15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ． 17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ． 18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度． 第10题图第12题图第13题图第14题图 第15题图第16题图第17题图第18题图 三、解答题（共5小题） 19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O． （1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来； （2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明． 20．如图，在△AB C中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长． 21.如图，已知：在ABC 中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.

垂直平分线的性质与判定练习题

1 / 2 垂直平分线的性质·练习 1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于 （ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 2、如图，在Rt ABC △中，90ACB D E ∠=o ，，分别为AC AB ，的中点，连DE CE ，．下列结论中不一定正确的是 （ ） A ．ED BC ∥ B ．ED AC ⊥ C ．ACE BCE ∠=∠ D ．A E CE = 3、△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等于 （ ） A.37.5° B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定 4、如图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC=5cm ，则AB+BD+AD= cm ；AB+BD+DC= cm ；△ABC 的周长是 cm 。 4题 5题 5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，DE 是AB 的垂直平分线， 垂足为D ，交BC 于E ，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ 。 6、在△ABC 中，∠C ＝90°，用直尺和圆规在AC 上作点P ，使P 到A 、B 的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）． 7、如右图，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N 。 (1) 求△AEN 的周长。 (2) 求∠EAN 的度数。 (3) 判断△AEN 的形状。 8、如图，已知AOB ∠和AOB ∠内两点M 、N 画一点P 使它到AOB ∠的两边距离相等，且到点M 和N 的距离相等。 A B C D E M N

线段的垂直平分线的性质

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 线段的垂直平分线的性质 知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 2、逆定理是： 3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 典例分析：例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长. 变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A= 变式2： 如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。 [变式练习1] 如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BC=2+2，AE=2,∠B =22.5° 求：AC 的长. B C A E D 图1 A E D C B 图3 A E D C B 图4

例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数. (3) 判断△AEN 的形状. [变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数. 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* [变式练习4] 如图8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交 BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. 求:∠EAN 的度数. A B C D E M N 图5 C 图7 图8

垂直平分线的性质

13．1.2 线段的垂直平分线的性质 教学目标 1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质． 2．探究线段垂直平分线的性质． 3．会画一条直线的垂线． 教学重点;1．轴对称的性质．2．线段垂直平分线的性质． 教学难点：体验轴对称的特征． 教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽．那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？ 今天继续来研究轴对称的性质． Ⅱ．导入新课：观看投影并思考． 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别 是点A、?B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？ 图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直． AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？ △ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、 B、C的对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN对折后，点A与A′重合，于是有AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°．所以AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外，MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点． 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，?对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段． 归纳图形轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，?那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

线段的垂直平分线的性质教学设计(优质课公开课)

洛阳市第二中学 《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是

怎样定义的呢？ 线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应 A B l P P P

八年级数学(线段的垂直平分线的性质)

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 一、新课导入 1.导入课题： 前面我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称的意义和性质，这节课我们一起运用轴对称来探索线段垂直平分线的性质和判定. 2.学习目标： (1)能述出线段垂直平分线的性质. (2)能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题. （3）能说出线段垂直平分线的判定方法. 3.学习重、难点： 重点：线段垂直平分线的性质. 难点：线段垂直平分线的性质与判定的运用. 二、分层学习 1.自学指导： (1)自学内容：探究线段垂直平分线上的点与两个端点的距离有什么关系？ (2)自学时间：10分钟. (3)自学方法： 通过作图、猜想、验证，得出结论. (4)探究提纲： ①如图，直线l 垂直平分线段AB ，P 1、P 2、P 3是l 上的点. a.P 1到端点A 、B 的距离是什么？分别表示为P 1A 、P 1B. b.量一量这两个距离，你能猜想出什么结论？ P 1A= P 1B c.你能用什么方法来证明你的猜想，试写出论证(或说明). 证明：∵l ⊥AB ，∴∠P 1CA=∠P 1CB. 又CA=CB ，P 1C= P 1C ， ∴△P 1CA ≌△P 1CB (SAS). ∴P 1A= P 1B. d.P 2，P 3分别到A 、B 点的距离也满足上述关系吗？ 满足 e.由折叠的方法能否验证你的结论？试试看. ②归纳：线段垂直平分线的性质. 文字语言叙述：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何语言叙述：∵l 垂直平分AB ，P 是l 上一点;∴PA=PB. ③如图，在△PAB 中，如果PA=PB ，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上？请证明这个结论？

垂直平分线的性质

1 垂直平分线的性质 概念 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 学习目标 要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一 些问题。 能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理 1. 如图，△ABC 中，∠CAB =120o，A B ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，则∠EAF 等于（ ） A ．40o B ．50o C ．60o D ．80o 2. 如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上 A ．AB B ．AC C ．BC D ．不能确定 3. 下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA =EB ，PA =PB ；②若PA =PB ，EA =EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若PA =PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若 EA =EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 基 础 知 识 随 堂 练 习 B E F

2 4. 如图，Rt△ABC 中，90ACB ∠=，BD=CD ，7.8AB =， 3.9AC =，则图中有（ ）个60的角． Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ． 5 5. 把16个边长为a 的正方形拼在一起，如图，连接BC ，CD ，则△BCD 是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．任意三角形 6. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，B C ，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95° 8. 已知线段AB 和它外一点P ，若PA =PB ，则点P 在AB 的 ____________________；若点P 在AB 的____________________，则PA =PB ． 9. 如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF =12，BF =3，则 BC =__________． E B F A

线段的垂直平分线性质与判定练习

A B C D E 线段的垂直平分线性质与判定练习 一、知识点1：线段垂直平分线的性质： 例1如图，在ΔA B C 中，AB =AC =32，MN 是AB 的垂直平分线，且有BC =21，求ΔBCN 的周长。 对应训练： 1、如图，在ΔABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE =3cm ，ΔABD 的周长为13cm ，求ΔABC 的周长。 2、已知△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是60cm 和38cm ， 求△ABC 的腰长和底边的长 3．如图7，△ABC 中，BA =BC ，∠B =120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，求证：AD =12 DC ． 4、△ABC 中，∠C =90°，∠A=15°,AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E,AD=3,则CD= ． 二、知识2：线段垂直平分线的判别： 例2、如图，四边形ABCD 是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD,CB=CD (1) 小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条 对角线A C ⊥BD,垂足为E,并且BE=ED ，你同意小明的判断吗？请说明理由 (2) 设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b 的式子表示四边形ABCD 的面积 对应训练：如图，已知：AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上的 一点，求证：BE=CE 。 A B C M N D

课堂检测： 1、已知：?ABC 是等腰三角形，ED 为腰AB 的垂直平分线，?BCD 的周长为24cm ，?ABC 腰长为14cm ，求底边BC 的长。 A E D B C 2．已知：如图３，△ＡＢＣ中，ＡC ＝４，ＢＣ＝８，ＡＢ的垂直平分线交ＢＣ于Ｄ，Ｅ是垂足，且ＢＤ＝５，求△ＡＢＣ的面积。 3、已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ的中垂线交ＢＣ于Ｄ，ＡＣ的中垂线交ＢＣ于Ｅ，Ｍ、Ｎ为垂足，若Ｂ Ｄ＝３，ＤＥ＝４，ＥＣ＝５，求证：∠Ｂ＝４５° 4、已知，D 是直角?ABC 斜边AC 的中点，ED AC ⊥于D 交BC 于E ，∠∠=EAB BAC ::25，求： ∠ACB 的度数。 C A B D E M N A D B E C

《线段的垂直平分线的性质与判定》案例

《线段的垂直平分线的性质与判定》案例 教学目标： 1、掌握线段垂直平分线的性质和判定。 2、理解线段垂直平分线的性质的推导过程。 3、培养学生逆向思维能力和严谨的学习品质。 重点与难点： 重点：线段垂直平分线的性质与判定。 难点：理解线段垂直平分线的性质的推导过程。 教学过程： ＜一＞创设情境 线段AB的垂直平分线与线段AB的对称轴有什么关系？ ＜二＞探究新知 1.直线I是线段AB的垂直平分线，P是I上一点，试观察PA.PB的长度 有什么关系？ 2.不论P点在直线I上怎样移动，上述结论还成立吗？你能说一说理由 说明：1、因为I是线段AB的直平分线，从而点A与点B关于直线I对称,

于是沿I折叠时A与B重合，又P对称在对称轴I上，所以PA=PB. 2、 在探究新知问题2的过程要培养学生用运动的、变化观点来分析事物，让P 点在L上移动，在这个过程中采用让学生量一量，测一测，运用由“特殊”到“一般”的思维方法来实现这一教学目标。 3、通过上述分析，你能得出什么结论？ 由此得出：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的端点的距离相 等。 阅读与分析 反过来，和两点A，B的距离相等的点是否在线段的直平分线上？ 设P点和A，B两点的距离相等，作/ APB的平分线PC(由折叠得到)。在关于直线PC的轴反射下，射线PB与PA重合，又由于PA= PB因此B点与A重合。从而A, B两点关于直线PC对称，因此PC是线段AB的垂直平分线。 (1)你能根据上述短文画出几何图形？ (2)通过上述的阅读与分析你得到什么结论？ 由此得出：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ＜三〉应用新知

【北师大版】初二八年级数学下册《线段垂直平分线的性质与判定》说课稿

北师大版八年级数学下册 精编说课稿

线段垂直平分线的性质与判定 一、说教材： 线段的垂直平分线的性质是北师版八年级数学内容，它是在认识了轴对称性的础上进行的。是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。 二、说教学目标： 知识目标：了解线段的垂直平分线的性质，会利用线段的垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、计算作用。 能力目标：自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质，培养学生的观察力、实验推理能力。 情感目标：要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣，在实际操作动手中感受几何应用美。 三、说重点与难点： 重点：线段的垂直平分线性质的引入证明及运用。因为线段的垂直平分线性质是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据所以是本节教学的重点。 难点：线段的垂直平分线的两个性质的关系。互逆对学生来说易混淆所以我把这定为重点。 四：说教法与学法 教法：我采用探究发现法完成本节的教学，在教学中以学生参与为主，便于激发学生学习热情，体验成功的喜悦，通过学生自己动手使学生在获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样更有

利于调动学生积极性，激发学生兴趣，使学生变被动学习为积极主动愉快学习，也符合数学教学的直观性和可接受性。 学法：在教学中，把重点放在学生如何学这一方面，我认为学生在学习中运用发现法，开拓自己的创造性思维，实现由学生自己发现感受“线段的垂直平分线的两个性质”通过学生自己看、想、议、练等活动，让学生自己主动“发现”几何图形的性质，而不是老师灌输几何图形的性质，这样做有利于活跃学生的思维，帮助他们探本求源，让每位学生都学有价值的数学。 五、说教学设计： 我结合教材内容，对如何导入新课，引出定理以及证明进行了探索。在导入新课这一环节上我先让学生做一条线段AB的垂直平分线EF，在EF上取一点P，让学生量出PA、PB的长度，引导学生观察、讨论每个人量得的这两个长度之间有什么关系：得到什么结论？学生回答：PA=PB。然后再让学生取一点试一试，这两个长度也相等，由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理。在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来，使学生通过作图、观察、量一量再得出结论。从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程。在教学时，引导学生分析性质定理的题设与结论，画图写出已知、求证，通过分析由学生得出证明性质定理的方法，这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程，只有学生动脑思考了，才能真正理解线段垂直平分线的性质定理，以及证明方法。在此基础上再提出如果有两点到线段的两端点的距离相等，这样的点应在什么样的直线

线段的垂直平分线的性质

线段的垂直平分线的性质 知识点：1、垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分 2、逆定理是： 3、在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。 典例分析：例1如图1,在厶ABC中，已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC 于点E,A BCE 的周长等于50，求BC的长. 变式1:如图1 ,在厶ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若/ BEC=7C° , 则/ A= 变式2 : 如图3，在Rt A ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2,Z B =15° 求：AC的长。 如图4,在Rt△ ABC中, AB的垂直平分线交BC边于点E.若BC=2+i 2 , AE=2,/ B =22.5 AB=AC,BC=12,Z BAC=12C° ,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1)求厶AEN的周长. (2)求/ EAN的度数. ⑶ 判断△ AEN的形状. 图1 B 求：AC的长. M D E N / 4 图5

[变式练习3]:如图7,在厶ABC中，BC=12, / BAC =100° ,AB的垂直平分线交BC边于 点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1)求厶AEN的周长. (2)求/ EAN的度数. [变式练习4] 如图8,A ABC中,/ BAC =70° , BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. 求：/ EAN的度数. 练习 (1)如图，已知：AC AD, BC BD，那么() (A) CD垂直平分AB ( B) AB垂直平分CD (C) CD与AB互相垂直平分(D)以上说法都正确 (2 )如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是( ) (A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)以上都有可能 (3)在ABC中，AB AC , AD为角平分线，则有AD ___________ BC填或// ), BD . 如果E为AD上的一点，那么EB _________ .如果BAC 120 , BC 8,那么点D到 AB的距离是______ .

垂直平分线的定义和性质

垂直平分线的定义 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中占有绝大部分的非常重要的一部分。 垂直平分线的性质 1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。 垂直平分线的逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 巧计方法：点到线段两端距离相等。 可以通过全等三角形证明。 垂直平分线的尺规作法 方法之一：（用圆规作图） 1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点(两交点交与线段的同侧)。 3、连接这两个交点。 原理：等腰三角形的高垂直等分底边。 方法之二： 1、连接这两个交点。原理：两点成一线。 等腰三角形的性质： 1、三线合一( 等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角平分线相互重合。 )

练习： （1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）依据角平分线的性质解答； （3）连接BD、CD，利用角平分线及线段垂直平分线的性质可求出BD=DH，DG=DC，依据HL定理可判断出Rt△BDG≌Rt△CDH，根据全等三角形的性质即可得出结论． 解答：解：（1）相等． ∵D是线段BC垂直平分线上的一点， ∴D点到B、C两点的距离相等； （2）相等． ∵点D在∠BAC的角平分线上， ∴D点到∠BAC两边的距离相等； （3）BG=CH． 连接BD、CD， ∵D是线段BC垂直平分线上的点， ∴BD=DH，