26.6.三角形的内切圆
三角形的内切圆
一、教学目的
1．使学生理解并掌握三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形的内心概念，掌握三角形内切圆的作法。
2．使学生学会利用三角形内心的性质解题。
二、教学重点、难点
重点：三角形内切圆的作法、三角形的内心与性质。
难点：三角形与圆的位置关系中的“内”与“外”、“接”与“切”四个概念的理解和运用。
三、教学过程
复习提问
1．确定圆的条件是什么？
2．叙述角平分线的定义、性质和判定方法。
引入新课
联系实际激发学生学习兴趣。从一块三角形的材料上裁下一块圆形用料，怎样才能使圆的面积尽可能大呢？这是具有实用价值和理论意义的问题。现在来研究这个问题的解法。
新课
1．三角形内切圆的作法
解决这个问题，实际就是在三角形内部作一个圆使其三边都与它相切。
例1作圆，使它和已知三角形的各边都相切。
引导学生结合图7-48，写出已知、求作，
然后师生共同分析寻找作法。要抓住作圆的要点，
出圆心和半径。设问如下：
（1）作圆的关键是什么？（找圆心）
（2）假设所作⊙I和三角形三边都相切，
那么圆心I应当满足什么条件？（I到三边距离相等）
（3）这样的点I 应在什么位置？（既在∠B平分线上，又在∠C平分线上，那就是两条角平分线的交点）。
（4）圆心I在确定后半径如何找？（I到任一边如BC的距离ID就可作为圆的半径）让学生找出作法思路后,教师归纳并简要板书作法,并用直尺圆规重新画出准确图形。
成这个题目后，启发学生得出如下结论：
和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个。
2．三角形的内切圆、三角形的内心、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
讲解这些概念时，采用观察（图形）、类比的方法。介绍三角形的内切圆及圆的的外切三角形概念时，要和三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，使学生明确“接”和“切”是说明多边形的顶点和边与圆相切的关系：多边形的顶点都在圆上的叫“接”；多边形的边都与圆相节的叫“切”的含义。还使学生弄清“内心”与“外心”的区别。
3．三角形内心的应用
由于内心是三个内角平分线的交点，所以如果三角形内心已知时，“过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角”，这实际上就是内心的性质；还有“三角形内心到三边距
离相等”；“由内心可作三角形的内切圆”等，这都要求学生记住。由此引出一条重要的辅助线：连结内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这一内角。
例2（教材P114）就是直接利用这个性质来解的题目。
补充例题
△ABC中,E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D，求证：DE=DB=DC。小结
1．回顾三角形的内切、三角形的内心、圆外切三角形的定义。
2．三角形内心性质及其应用。
练习：
作业：
思考题：
四、教学注意问题
1．区别“内”与“外”，“接”与“切”。
2．充分注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用。
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 关系定义圆心实质半径图示外接圆 经过三角 形各顶点 的圆 外心 三角形各 边垂直平 分线的交 点 交点到三 角形各顶 点的距离 内切圆 与三角形 各边都相 切的圆 内心 三角形各 内角角平 分线的交 点 交点到三 角形各边 的距离 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？ 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些？ (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC）。
(2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] （a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。 5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1）
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
《切线》word版 公开课一等奖教案 (2)
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 福建省泉州市九年级数学下册《28.2.3 切线（2）》教案华东师大 版 教学目标: 通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。 教学重点: 切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。 教学难点: 三角形的内心及其半径的确定。 教学过程 （一）复习导入： 请同学们回顾一下， 1.如何判断一条直线是圆的切线？ 2.圆的切线具有什么性质？ （经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 圆的切线垂直于经过切点的半径。） 你能说明以下这个问题？如右图所示，PA是 BAC 的平分线，AB是⊙O的切线，切点E， 那么AC是⊙O的切线吗？为什么？ (二)实践与探索问题： 1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。 2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等吗？为什么？ 3、切线长的定义是什么？ P O F E C B A
通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论： 从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。 这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 (三)拓展与应用 ： 例:右图，PA 、PB 是，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切线，切点为P ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm =，70P ∠=?， （1）求PEF 的周长； （2）求EOF ∠的度数。 解：（1）连结PA 、PB 、EF 是⊙O 的切线 所以PA PB =，EA EQ =，FQ FB = 所 以 PEF 的周长24OE EP PF FB PA PB cm =+++=+= （2）因为PA 、PB 、EF 是⊙O 的切线 所以PA OA ⊥，PB OB ⊥，EF OQ ⊥ AEO QEO ∠=∠，QFO BFO ∠=∠ 所以180110AOB P ∠=?-∠=?, 1 552 EOF AOB ∠= ∠=? （四）练习：P58第10题. 小结：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。 这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 作业：P48第11、12题。 三角形的内切圆 教学目标： 通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法， 能用内心的性质解决问题。 教学重点 ：三角形的内切圆的画法和内心的性质。 O B Q O F E B A
任意三角形的外接圆与内切圆半径
任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法 圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。 一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：由题意得；2132==c R ；22 131252=-+=-+=c b a r 。 二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()2222151413x x --=-，得x=5 33； 再得：AD ＝5 56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 1514132 15561521++=?? 得： r ＝4 ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于 E ，连接CE 。则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14 556 213=R ，得R ＝865。
例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求 外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则 CD ＝17－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝ AC 2－CD 2， 即：()()2222172 513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 2517132151721++=?? 得： r ＝2 26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2 213。 三、小结 例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++= ?2 1公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。 求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。 例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。 中考题 1.直角三角形的外接圆半径为5cm ，内切圆半径为1cm ，则此三角形的周长是( ) A 、24cm B 、 22cm
AutoCAD绘制三角形的内切圆
绘制三角形的内切圆 一、教学目标 1．掌握直线段的基本绘制方法。 2．掌握圆的绘制方法。 3．掌握对象捕捉的设置。 二、任务分析 每一张机械图样都是由简单的基本图形元素组成的，包括直线、圆、圆弧、矩形等，在AutoCAD 2007中掌握这些基本图形的画法是整个CAD绘图的基础。本任务将通过绘制如图2-1所示的“三角形内切圆”介绍在AutoCAD 2007中直线和圆的绘制方法以及精确捕捉绘图辅助工具的使用。 图2-1 三角形内切圆 三、实践操作 1．选择下拉菜单“文件”｜“新建”命令，新建一个“无样板公制”（acadiso）文件。 2．绘制任意三角形 （1）单击“绘图”工具栏的按钮，启动直线命令绘制第一条直线，命令行的显示操作如下： 命令: _line 指定第一点: // 移动鼠标光标在绘图区适当位置单击鼠标左 键拾取一点，作为直线的起点指定下一点或[放弃(U)]: // 移动鼠标光标在绘图区适当位置单击鼠标 左键拾取一点，作为直线的终点指定下一点或[放弃(U)]: // 按下回车键。结束操作，绘制结果如图2-2所示。
图2-2 第一条直线 （2）设置对象捕捉 “对象捕捉”功能是专用于精确捕捉图形对象特征点的工具，具体设置步骤如下： 1）移动鼠标光标到“状态栏”的按钮上，单击鼠标右键，系统弹出如图2-3所示下拉菜单。 图2-3 设置菜单 2）单击“设置”选项，系统会弹出“草图设置”对话框，此时系统在“对象捕捉”状态下。 3）在对话框上分别单击特征点选项前面的小方格，使系统默认的对象特征点“中点”“圆心”“延伸”“最近点”处于未选中状态（方格为是选中状态）。设置结果如图2-4所示。
《圆内接四边形》公开课教案
《圆内接四边形》公开课教案 一、教学目标： A 识记圆的内接四边形的概念 B 掌握圆内接四边形的性质 C 运用圆内接四边形的性质解决有关问题 二、前提测评： 1. 如图(1)，△ABC叫⊙O的_________三角形，⊙O叫△ABC 的____圆。 2. 如上图(1),若的度数为 1000,则BOC=___,A=___ 3. 如图(2)四边形ABCD中, B与1互补, AD的延长线与DC所夹2=600 , 则1=___,B=___. 4. 判断: 圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600( ) 三、达标教学(导读提纲) 1. 如图(3),四边形ABCD的各顶点都在⊙O上,所以四边形ABCD是⊙O的____四边形, ⊙O叫四边形ABCD的____圆. 2. 什么叫圆内接多边形?多边形的外接圆呢? 3. 你能解决下列问题吗?如上图: (1) ∵ 所对圆心角为1
所对圆心角为2, 2= 的度数+ 的度数=______度. BAD+BCD= 2+ 1=_______ (2)为什么DCE=A? 4. 如何概述归纳第3题的结论? 学生先讨论，教师然后归纳为： 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 例1：如图4，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1相交于点C，与⊙O2相交于点D，经过点B 的直线EF与⊙O1 相交于点E，与⊙O2相交于点F。求证：CE∥DF 分析：要证CE∥DF，可用下列三种方法： (1) 证内错角相等，两直线平行 (2) 证同位角相等，两直线平行 (3) 同旁内角互补，两直线平行 以上三种方法都行，但用方法(3)较好。 证明：连结AB ∵ABEC是⊙O1的内接四边形 BAD=E 又∵ADFB是⊙O2的内接四边形 BAD+F=1800
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式
一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 22-=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ? --? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---= -+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有：2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)( 4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以： 2 222222 2222)(4) 2(12) (cos 12sin 2a c b c b abc bc a c b a A a A a R -+-= -+-= -==
三角形的内切圆——与内切圆半径有关的计算
B 三角形的内切圆 ——与内切圆半径有关的计算 【学习目标】 1．理解三角形内切圆的有关概念。 2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。 3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。 【预备知识】 1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。 2.内切圆的性质 （Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。 （Ⅱ） 设S 是△ABC 面积，a, b ，c 是三角形三边长，r 为三角形 内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________ 3. 切线长定理 这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。从圆外一 ________________________________。 C
【中考衔接】 (天津中考)已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。 （Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1； （Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2； （Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n －1均与AB 边相切，求r n . 拓展路径1： C B A C B A C B A 拓展路径2： C B A C B A C B A 小结： 类比，由特殊到一般，等面积转化。
三角形的高、中线与角平分线(全国优质课一等奖)
2008年全国第六届初中数学优质课比赛教案 课题：§7.1.2三角形的高、中线与角平分线 教材：人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册第65～66页 授课教师：临川一中陈良琴 [教材分析] 1、本节教材的地位与作用： 学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔．本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线． 通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别．另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础．故学好本节内容是十分必要的． 2、教学重点： 能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．3、教学难点： 在钝角三角形中作高． 4、教学关键： 运用好数形结合的思想，特别是研究三角形的角平分线、中线、高时，从折叠、度量入手，获得三种线段的直观形象，以便准确理解上述基本知识。 [教学目标] 基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标： （1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点． （2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心． [学情分析] 七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养． [教学过程] 本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7 A B C O A B C O D A B C O D A B C O D E
三角形的内切圆(教学设计)
C B C B 4.7三角形的内切圆 【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真 正的阶梯是永远拼搏！ 【学习目标】 1.理解三角形内切圆的概念，掌握三角形内切圆的性质，能准确辨析内心和外心的不同 2.掌握画三角形的内切圆的方法，能借助三角形内切圆的性质解决有关几何问题。 3.应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。 【学习过程】 一、情境创设 试一试： 一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。 分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已 知三角形铁皮的各边都相切． ②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。 二、探求新知 ⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，这个三角形叫做 ． ⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆． 小结：①一个三角形的内切圆是唯一的； ②内心与外心类比： 例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相 切于点D 、E 、F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。
C 三.再攀高峰 探究活动一 问题：如图，有一张三角形纸片，其中BC=6cm ，AC=8cm ，∠C =90°．今需在△ABC 中剪出一个半圆，使得此半圆直径在三角形一边上，并且与另两边都相切，请设计出所有可能方案，并通过计算说明如何设计使得此半圆面积最大，最大为多少？ 探究活动二问题：如图1，有一张四边形ABCD 纸片，且AB=AD=6cm ，CB=CD=8cm ，∠B=90°． （1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径； （2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）． 四、达标测试 1．如图1，⊙O 内切于△ABC ，切点为D ，E ，F ．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE ，OF ，DE ，DF ，那么 ∠EDF 等于（ ） A ．40° B ．55° C ． 65° D ． 70° 图1 图2 图3 2．如图2，⊙O 是△ABC 的内切圆，D ，E ，F 是切点，∠A=50°，∠C=60°则∠DOE=（ ） A ．70° B ．110° C ．120° D ．130° 3．如图3，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=（ ） A ．112.5° B ．112° C ．125° D ．55° 4．下列命题正确的是（ ） A ．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B ．三角形的内心不一定在三角形的内部
初中数学九年级《圆的切线证明及计算》公开课教学设计
圆的切线证明及计算（教案） 一、教学目标： 1、复习直线和圆的位置关系，以d和r的关系强化学生对切线判定定理的理解。 2、使学生把握好切线判定和切线性质的基本要素，理解切线问题中常用的辅助线———过 切点的半径。 3、通过对切线长定理的推导分析，提高学生对图形知识的系统化认识，在实际解题中提高 学生对两条切线的边、角关系的理解与应用。 4、强化基础知识的同时，通过中考切线问题考试热点的讲解，提高学生对切线证明及切线 计算问题的理解;对考试中常见的动点问题，提出动点问题静态化的思考。 5、 二、教学重点：整固切线的有关定理；理解切线问题中常用的辅助线 三、教学难点：切线的证明思想，对动点问题的分析思考方法 四、教学过程： 1.回顾知识要点： 通过演示回顾直线和圆的位置关系，用距离d和半径r的关系引导学生对切线判定定理、和切线性质定理进行理解。把握好判定中的两个要素，理解切线问题中一般辅助线的作法。 学生对知识要点表格的完成达到对知识要点的巩固，并在d=r ?直线l与⊙O相切的条件下扼要说明切线的判定定理和切线的性质定理，使学生记住关键字词，理解解题中的一般方法。 2.基础练习： 通过对简单题型的练习，认识切线定理的一般应用方法，在同一图形变换不同的问法，分别从边和角的角度进行理解。进一步巩固切线问题中辅助线的作法。 例1．如图，直线AB与⊙O相切于点A，若∠OBA = 36°， 则∠AOB=（） 例2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2， 若∠OBA = 30°，则OB的长为（） A ．B．4 C ．D．2 d＞r ?直线l与⊙O相离 d 三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就 是直角三角形的斜边. 例 1 已知：在AABC 中.AB=13, BC = 12, AC=5 求 AABC 的外接圆的半径. 解:VAB=13, BC = 12, AC=5, .-.AB 2=BC :+AC \ A ZC = 90° , .?.AB 为△ ABC 的外接圆的直径， ???△ABC 的外接圆的半径为. 2、一般三角形 ① 已知一角和它的对边 例 2 如图，在ZXABC 中，AB=10, ZC=100° , 求 AABC 外接圆00的半径.（用三角函数表示） 分析： 利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径 BD,连结AD. 则ZD=180° -ZC=80Q , ZBAD=90° .?沏=竺=旦 sinD sin 80° ??.△ABC 外接圆。。的半径为盘 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一 边，都可以利用本题的方法求岀三 角形的外接圆的半径. 例 3 如图，已知，在AABC 中，AB = 10, ZA=70° , ZB=50° 求AABC 外接圆00的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° , ZDBA=90° ???△ABC 外接圆O0的半径为￥厲? ② 已知两边夹一角 例 4 如图，已知.在AABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60° 求AABC 外接 圆00的半径. 分析：考虑求岀AB,然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD ?作AE 丄BC,垂足为E. 则 ZDBA=90° , ZD=ZC=60° , CE=1AC=1, AE=的， /.AD= AB 10 sinD sin 60° BE=BC-CE=2, AB= y/AE 2 + BE 2 = 41 r c 三角形的外接圆和内切圆 1、一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2、下列说法正确的是（ ） A ．三点确定一个圆 B ．三角形有且只有一个外接圆 C ．四边形都有一个外接圆 D ．圆有且只有一个内接三角形 3.如右图，I 是ABC ?的内心，则下列式子正确的是（ ） A 、∠BIC=?180-2∠A B 、∠BIC=2∠A C 、∠BIC=?90+∠A/2 D 、∠BIC=?90-∠A/2 4、等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍． A ． 2 3 B ． 3 3 C ． 3 D ． 2 1 5.ABC ?外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ?的外心是ABC ?的 。 6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ． 7. 等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,，则R r := ． 8.ABC ?的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=?135，则ABC ?为 9、设I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心 ，∠A=80°，则∠BIC= ，∠BOC= 。 10、．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。 11、如图11，⊙I 切△ABC 于D 、E 、F ，∠C=60°，∠EIF=100°，则∠B= 。 12、．如图12，⊙O 内切于Rt △ABC ，∠C=90°，D 、E 、F 为切点。若∠AOC=120°，则∠OAC= ， ∠B= ；若AB=2cm ，则AC= ,△ABC 的外接圆半径= ，内切圆半径= 。 13、如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 14.已知：如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，若 ∠FDE=70°，求∠A 的度数． A B C I E F 图11 A E B D O 图12 A B C O D · I A B C 三角形的外接圆和内切圆 重点：外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点：知识的综合运用。 知识回顾： 1、 什么是三角形的外接圆与内切圆？ 2、如何画一个三角形的外接圆与内切圆？ 画圆的关键：确定圆心；确定半径 3、性质有哪些？ (1)外接圆性质： 锐角三角形外心在三角形内部。 直角三角形外心在三角形斜边中点上。 钝角三角形外心在三角形外。 有外心的图形，一定有外接圆。 直角三角形的外心是斜边的中点。 外接圆圆心到三角形各个顶点的距离相等（OA=OB=OC ）。 (2)内切圆性质： 三角形一定有内切圆，圆心定在三角形内部。 一般三角形的内切圆半径：r=2S/(a+b+c)，r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p] （a、b、c是3个边，S是面积，p=(a+b+c)/2） 直角三角形的内切圆半径：（a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边） r=(a+b-c)/2 两直角边相加的和减去斜边后除以2 r=ab/(a+b+c) 两直角边乘积除以直角三角形周长 注意： 等边三角形的内心、外心重合。 主体部分：(未完成) 小结： 1、掌握外接圆和内切圆、外心和内心的知识。 2、会画三角形的外接圆和内切圆。 3、解决三角形的外接圆、内切圆半径的问题。 4、有关证明题。 练习： 1、△ABC中，∠A=55度，I是内心，则∠BIC＝（ 117.5 ）度。 2、△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、E、F，则∠FDE＝（62.5）度。 3、三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的半径为（1cm）。 4、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆半径（6.5cm）内切圆半径（2cm）。 5、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比（2:1） 三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝ 33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7 https://www.wendangku.net/doc/797602299.html, 《切线长定理及三角形的内切圆》导学案 学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点） 教学流程 一、 知识准备： 1、 只限于演的有几种位置关系？分别是哪几种？ 2、 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？ 3、 角平分线的判定和性质是什么？ 二、 引入课题 过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？从而引入课题。 三、 自学新知： 1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题 （1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？ （2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？ 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ （4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。 （5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。 四．当堂检测 1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。 2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆； 内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。 4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是 圆一三角形外接圆、内切圆2018.12.16 3、 下列命题正确的是（） A .三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B. 三角形的内心不一定在三角形的内部 C. 等边三角形的内心，外心重合 D. —个圆一定有唯一一个外切三角形 4、 小颖同学在手工制作时，把一个边长为12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上 ，若三角形的三个顶点恰好都 在这个圆上，则圆的半径为 _______________ 。 5、 等边三角形的外接圆的半径等于边长的 _____________ 倍。 6、 直角三角形的两条直角边分别为 5和12,那么它的外接圆的半径为 _______________ ，内切圆半径为 ___________ . 7、 若三角形的三边长为 5、12、13,则其外接圆的半径等于 ________________ ，其内切圆的半径为 ____________ 。 &在平面直角坐标系中 A B 的坐标分别为 3,0、 0,4，则Rt ABO 内心的坐标是 _______________________ . 9、 如图，在 RtiABC 中，/ C=90°, BC=5 O O 与Rt 心ABC 的三边 AB BC AC 分相切于点 D E 、F ,若O O 的半径r = 2,贝V Rt ABC 的周长为 _____________________ . 10、 如图，O O 内切于 RtiABC ，/ C=90°, D E F 为切点。若/ AOC=120，贝U NOAC = , N B = _________ ；若 AB=2cm 贝U AC= , △ ABC 的外接圆半径 = ______ ，内切圆半径= _________ 。 11、 如图，已知 AABC , ￡B =40 . （1） 在图中，用尺规作出 「ABC 的内切圆O O,并标出O O 与边AB , BC , AC 的切点D , E , F （保留痕迹，不必 写作法）； （2） 连接EF , DF ，求Z EFD 的度数. 12、如图，AB 是O O 的直径，点 C 在AB 的延长线上，AD 平分/ CAE 交O O 于点D,且AE ± CD 垂足为点 E. （1）求证：直线 CE 是O O 的切线.（2）若BC=3 CD =3.2，求弦AD 的长. 1、三角形内心是 三角形外心是 ______________ 2、如图，在.'ABC 中，/ A=66° ,它是 ,它是 的交点。 I 是内心，则/ BIC 的大小为 B （2）「二 "（9） F （10） 课题：北师大版九年级下册3.7节 《切线长定理》教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 切线长的概念；切线长定理 2.内容解析 本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合.切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性.让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程.它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据. 基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是切线长定理 二、目标与目标解析 1.目标 （1）使学生理解切线长定义. （2）使学生掌握切线长定理，并能初步运用. 2.目标解析 （1）通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识. （2）学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力. （3）通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验成功. 三、教学问题诊断分析 学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，在本章《圆》前面已经学习了切线的定义、判定与性质、圆的对称性.因此学生对前面圆的相关知识都有一定的认识，这对本节课的学习有一定的帮助，学习过程不会很困难，理解也不很困难，但书写证明过程有一定的难度.在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用轴对称图形的性质证明垂径定理的经验，和尺规作图等动手操作能力，经历了对数学问题进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程. 同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力. 本节课的教学难点是：切线长定理的灵活运用 教学过程设计: （一）复习提问，引入新课 切线的性质和切线的判定。 （二）观察、猜想、证明，形成定理 1、提出问题： 过平面内的一点作圆的切线，可以作出几条切线？（注意分类讨论） 2.切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P 到⊙O的切线长． 注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 3、观察 变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系． 4、猜想 引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB? (PA＝PB)． 5、证明猜想，形成定理．三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆与内切圆半径的求法
人教版九年级数学《切线长定理及三角形的内切圆》优质课导学案
三角形内切圆和外接圆(已整理)
北师大版九年级数学下册《三章 圆 ：7 切线长定理》公开课教案_7