浅析线性方程组的解法
目录
摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I
1.1引言 (1)
1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1)
1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1)
第二章线性方程组理论基础 (2)
2.1 线性方程组概念 (2)
2.2 线性方程组的解的情况分析 (2)
2.3 齐次线性方程组解的结构 (4)
2.4非齐次线性方程组解的结构 (4)
第三章线性方程组的数值解 (5)
3.1 迭代法 (5)
3.1.1 Jacobi方法 (6)
3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8)
第四章全文总结和展望 (10)
4.1 全文总结 (10)
4.2 未来展望 (10)
参考文献 (11)
致谢................................................................. 错误！未定义书签。
线性方程组的求解方法
学生：指导教师：
摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。
关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法
THE METHOD OF CALCULATING THE SYSTEM OF LINEAR
EQUATIONS
Student:Supervisor:
Abstract：This article introduced the research status of the solving methods of linear equations solution based on the analysis of the research background and significance of the structure of linear equations solution and then started a study on linear equations,including the basic concept of linear equations solution, structure and structure forms of homogeneous and non-homogenous linear equation solutions.Similar triangles matrix theorem, the most commonly used method in Jacobi of iteration method, and convergence of iteration method were used to discuss the numerical solution of linear equations and then, gauss-seidel method were used to validate its outcome so that we got the common way to get the numerical solution of linear equations. the article got a conclusion and a prospect tonthe resaerch and relevant methods.
Key word：Linear equations; numerical solution; iterative method; Jacobi method; Gauss - Seidel method
第一章绪论
1.1 引言
随着科技和社会的不断进步，数学领域也得到了极大的发展，很多大量的科学技术，通过化简和处理，最后几乎都演变成线性方程组的求解，线性方程组的求解，就是一次方程组的求解，通过将复杂问题转换成线性方程组，大大简化了问题的难度，因此，大量的学者将目光投向对线性方程组进行研究，分析线性方程组解的结构形式，并对线性方程组的求解方法进行剖析和处理，目前，线性方程组已经应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域，因此，对线性方程组的求解方法，不仅有助于数学和计算领域的发展，也为未来更复杂、更先进的计算提供了理论基础。
1.2 线性方程组解的求解方法的研究现状
线性方程组从提出至今，已经拥有很悠久的历史，世界上对线性方程组研究最早的国家是我国，我国的《九章算术》早于公元一世纪就提出了用于求解三元线性方程组的“方程术”法，也是我国最早的数学方面的著作；于公元263年，我国的刘徽在《九章算术》的基础上，提出了《九章算术注》，拓展和更正了《九章算术》，并提出了求解线性方程组的“互乘消除法”和“配分比例法”，大大简化了线性方程组的解法，西方的线性方程组的研究，是由德国的莱布尼兹提出了线性方程组系数行列式开始，开创了西方国家的线性方程组研究历史，英国麦克劳林于18世纪就开始对线性方程组解结构展开了研究，之后，瑞士克莱姆在1750年提出了Cramer’s Rule，为齐次线性方程组的求解奠定了基础，1764年，法国贝祖通过对线性方程组解结构进行分析，采用消元法增加了高次方程组的求解，法国的范德蒙在1772年，提出了用二阶子式及余式来展开行列式，巴黎的柯西在行列式方面做出了卓越的贡献，包括柯西不等式、积分公式等，英国的凯莱和西尔维斯特于1860年，一起发明了代数型理论，采用矩阵来求解线性方程组，19世纪，德国的菲罗贝尼乌斯完善了方程组解及矩阵性质的研究，目前，线性方程组已经越来越成熟，并被应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域，从而使复杂的问题简单化，方便问题的求解。
1.3本文对线性方程组解法的研究结构
首先对线性方程组的概念进行阐述，理解其定义；然后对线性方程组解的情况进行分析，得出线性方程组解的结构。将复杂问题转换成线性方程组，大大简化了问题的难度，对线性方程组解的结构研究，有助于数学和计算领域的发展，已经应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、
线性空间等多个领域。本文在对线性方程组的求解方法研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，总结了齐次和非齐次线性方程组解的数值解法。最后，对全文进行了总结和展望。
第二章 线性方程组理论基础
2.1 线性方程组概念
线性方程组指的是在一组含有未知分量的方程组中，所有的未知分量的次数都为1的方程组，如公式(1)所示。
AX B = (1)
其中，A 等于()ij m n a ?，是一个m n ?的系数矩阵，B 等于12(b ,b ,b )T m ，是一个m 个数值组成的矩阵，如果在A 中增加一列由B 组成的常数项列，则A 变成增广矩阵，X 等于12(,,)T n x x x ，是由n 个未知分量组成的矩阵，但所有未知分量的次数均为1次。如果B 等于0，该方程组被称为齐次方程组，如果B 不等于0，该方程组则被称为非齐次方程组。若将11x c =，22x c =，…，n n x c =带入方程组中，各个方程组均成立，则称12(,,)n c c c 为方程组的一个解，一般非齐次线性方程组的解是唯一的，但是往往一个齐次方程组的解并不是唯一的，而是由若干或者无穷多个解构成了方程组的解的集合，在进行方程组的研究时，主要需要考虑的就是如何求解方程组，方程组何时有解，解的集合的构成，以及解的结构几个方面。
2.2 线性方程组的解的情况分析
研究线性方程组的主要目的，就是为了求解线性方程组，矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间、最优化问题求解、积分和微分等多个领域都涉及到线性方程组的求解问题，常用的求解线性方程组的方法有两种，一种是直接消元法，另一种是迭代法。
1. 消元法
消元法就是通过对线性方程组中的未知分量，进行逐步的消除，进而减少线性方程组中未知分量的个数，从而将复杂的方程组化简成为简单的形式，进而求得相应的解。比如像下面的线性方程组就可以利用直接消元法来进行线性方程组的求解，具体的求解步骤如下。
22132292336x y z x y z x y z -+=-??++=??--=?
(2)(3)(4)
(3)3(2)-?可以得到8412y z -=，将其化简之后可以得到23y z -= (5)
(4)3(2)-?可以得到78y z -= (6)
2(6)(5)?-可以得到1313z -= (7)
从而解得1z =-,将z 的值带入到公式(6)中，可以得到1y =，在将z 和y 的值带入到公式(2)中，可以得到3x =,因此，解得该线性方程组的解为
以上就是通过消元法求解的线性方程组的一个实例，这种消元法往往使用于方程组个数较少、相对格式较简单的形式，当线性方程组较为复杂、未知分量及方程组个数较多时，往往利用矩阵，将线性方程组的增广矩阵，通过使用行初等变换，来将其变换成行简化阶梯型矩阵，从而求得相应的方程组解，但是，当系数矩阵的阶数较大时，消元法需要较大的计算量，而且在使用计算机进行存储时，也浪费了大量的存储空间。
2. 迭代法
迭代法也是常用的求解线性方程组的一种常用方法，由于具有程序简单，存储空小的优点，非常适用于未知分量及方程组个数较多时的求解，迭代法就是通过某种极限过程来一步步的逼近线性方程组的解，通过逐次的迭代运算，最终求得线性方程组的解，比如像线性方程组AX = b ，我们可以将其变换成x = Bx + f 的形式，之后，基于此，构造如公式(8)的迭代格式。
(k 1)(k)X
BX f +=+ (8) 其中，k 等于0,1,2,n ，n 代表迭代次数，假设*x 是线性方程组Ax b =的唯一解，则有**x Bx b =+，假设(0)x )为随机选取的初始向量，则根据公式(8)可以构成相应的向量序列{}(k)
x 。 这种求解的方法就是迭代法，但是只有在迭代法收敛的情况下，*
x 才是线性方程组Ax b =的
唯一解，迭代法收敛需要满足，只有在满足这个条件的前提下，迭代法才收敛，否则迭代法发散。
2.3 齐次线性方程组解的结构
本节将对齐次线性方程组解的结构形式进行研究，线性方程组根据常数项的值可以分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组，不论是齐次线性方程组，还是非齐次线性方程组，都有定义，这里，我们先借用公式(1)，来进行定理的描述。
当0B =时，为齐次线性方程组，求的解可以组成一定的基础解系，而且齐次线性方程组的基础解系一定是解空间里的一个极大线性无关组。
定理1：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵A 的秩(A)n r <。
定理2：假设齐次线性方程组有非零解，(A)r n r =<，则该齐次线性方程组必有基础解系，且解向量个数为n r -。
定理3：假设12(n r),,X X X -是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，则1122n r n r k X k X k X --++的线性组合是0AX =的全部解。
本文在对在齐次线性方程组解的相关性质和定理研究的基础上，对求解齐次线性方程组的解的结构时的步骤进行分析，具体步骤如下：
（1） 根据定理1和2，判断齐次线性方程组是否有非零解和基础解系，如果齐次线性方程组存在基础解系，则假设12,X ,,n r X X -为齐次线性方程组的一个基础解系。
（2） 查看齐次线性方程组的基础解系12,X ,
,n r X X -，是否满足是齐次线性方程组的一组解，是否彼此之间是线性无关的，是否齐次线性方程组的任意解都能通过基础解系12,X ,,n r X X -r 来线性描述。
（3） 如果可以满足步骤(1)和步骤(2)的条件，则齐次线性方程组的通解的结构形式为1122n r n r X k X k X k X --=++
2.4 非齐次线性方程组解的结构
本节将对非齐次线性方程组解的结构形式进行研究，即0B ≠时，非齐次线性方程组的解也可以组成一定的基础解系，0Ax =是Ax b =的导出组，非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是它的导出组只有零解，非齐次线性方程组有无穷解的充要条件是它的导出组有无穷多个解。
性质1：假设1q 和2q 是非齐次线性方程组的任意的两个解，那么12q q -一定是非齐次线性方程组的导出组的解向量。
性质2：假设0q 是非齐次线性方程组的一个特解，p 是非齐次线性方程组的导出组的任意的一个解，那么0q p +也一定是非齐次线性方程组的解。
定理4：假设非齐次线性方程组有非零解，(A)r n r =<，假设0q 是非齐次线性方程组的一个特解，12,X ,,n r X X -是非齐次线性方程组的导出方程组的一个基础解系，则01122n r n r q k X k X k X --+++
r 的线性组合是非齐次线性方程组的全部解，其中，12,,
,n r k k k -为任意的常数。 本文在对在非齐次线性方程组解的相关性质和定理研究的基础上，对求解非齐次线性方程组的解的结构时的步骤进行分析，具体步骤如下：
(1) 通过定理4得出的结论，根据非齐次线性方程组的增广矩阵，进行化简和变换，最终变换成行最简形阶梯矩阵的形式。
(2) 根据第一步求出的行最简阶梯矩阵的形式，将其变换成有共同解的阶梯形方程组。
(3) 根据第二步求出的同解的阶梯形方程组，得出一个非齐次线性方程组的导出方程组的基础解系12,X ,,n r X X -和非齐次线性方程组的一个特解0q 。
(4)根据第三步得出的结果，得出非齐次线性方程组的通解结构形式，01122n r n r X q k X k X k X --=+++
第三章 线性方程组的数值解
3.1 迭代法
高斯消元算法及其变形称为求解矩阵问题Ax b =的直接法。如没有舍入误差，他们通过有限步操作，产生完全精确的解x 。
相反，间接法产生一个理想的收敛于解的向量序列。当得到的近似解具有某种特定的精确度或在一定的迭代次数之后计算就停止。间接法本质上几乎总是迭代的：反复应用一个简单的操作生成前面所提到的序列。
对含有成千上万个方程的大型线性方程组，迭代法从计算速度和计算机存储方面看来具有超
过直接法的决定性有点。有时，当精确度要求不严格的话，适当的迭代次数就足以产生一个可接受的解。对稀疏方程组，迭代法通常是十分有效的。在稀疏问题中，A 的非零元有时以稀疏格式存放；在其他情况，根本就不需要存储A 。后面的情况在偏微分方程数值解中是很普遍的。迭代法的另一个有点是他们通常都是稳定的。
为传达一般的想法，我们描述两个基本的迭代法。
3.1.1 Jacobi 方法
Jacobi 方法是求解方程的不动点迭代的一种形式，不动点迭代（FPI ）的第一步是改写方程组，求解未知量。Jacobi 方法的第一步按下列标准形式进行：求解第i 个方程以得到第i 个未知量；然后如不动点迭代一样，从某一初始估计开始进行迭代。
例1 应用Jacobi 方法解方程组35,25u v u v +=+=
通过求解第一个方程组得到u ，求解第二个方程组的到v 。使用初始估计00(u ,v )(0,0)=，
我们有 5352
v u u
v -?=???-?=??
迭代两个方程：
000,0u v ????=??????
??
01105505333,5505222v u v u --??????
??????
??===????????--???????????
?????????
122155552363,55553322v u v u ??-??--??
????????????===??????-????????-??????????????
335510339.52556122u v ??-????
???????
?==??????????-??????????
继续Jacobi 迭代过程表明它收敛到解[]1,2。
现在假设方程组按相反的次序给出。
例2 应用Jacobi 方法解方程组35,3 5.u v u v +=+=
解第一个方程得到第一个变量u ，解第二个方程得到v 。我们从
5253u v v u
=-??=-? 开始，如前一样迭代两个方程，但结果却大不相同：
000,0u v ????=??????
??
0000525535u v v u -??????==??????-?????
?
2121525,5310u v v u --??????==??????--??????
3352(10)25.53(5)20u v --??????==??????--?
?????
在这种情况下Jacobi 方法失败了，是因为迭代发散了。
由于Jacobi 方法不总能成功，所以有必要了解在什么条件下它能成功。其中一个重要的条件由下列定义给出：
定义1：若对每隔1,,ii ij j i i n a a
≠≤≤>∑则称n n ?矩阵()ij A a =是严格对角占优的。也就是
说，每个主对角元在绝对值上要比其它所有元素的绝对值和更大。
定理1：若n n ?矩阵A 是严格对角占优的，则(1)A 为非奇异矩阵；()2对每个向量b 及每个初始估计，应用于Ax b =上的Jacobi 方法收敛到（唯一的）解。
定理1说明，若A 是严格对角占优的，则应用于方程组Ax b =上的Jacobi 方法对每个初始
估计均为收敛到一个解。在例1中，系数矩阵首先是3112A ??=????
， 因为31,21>>，故它是严格对角占优的。在这种情况下，收敛性的到了保证。另一方面，在例2中，将Jacobi 方法用于矩阵1231A ??=????
， 这个矩阵 不是对角占优的，不存在这样（收敛性）的保证。注意到严格对角占优只是一个充分条件，当没有这个条件时，Jacobi 方法仍可收敛。
3.2.2 高斯-赛德尔方法
与Jacobi 方法密切相关的一种迭代叫做高斯-赛德尔方法。高斯-赛德尔方法与Jacobi 方法之间仅有的差别是，前者在每一步用到最新校正过的未知量的值，即便校正发生在当前步。回到例1，我们看到高斯-赛德尔方法像这样：
000,0u v ????=??????
??
01115055333,55553322v u v u -??-??????????????===????????--???????????????????? 1222551053933,35510591822v u v u ??-??-??
??????
??????===??????-????????-?????????????? 2333355555185433.21555555410822v u v u ??-??-????
??????????===??????-????????-??????????????
注意高斯赛德尔与Jacobi 之间的差别：1v 的定义用到1u 而不是0u 。我们看到了用Jacobi 方法得到解[]1,2的方法，但这儿相同的步数会有稍微高的精度。若高斯-赛德尔方法是收敛的，它经常比Jacobi 方法收敛的更快。
例 3 考察方程组123210216244385x x x -????????????-=-????????????-??????
应用高斯-赛德尔迭代。初始向量(0)(0,0,0)T x =.
解 借助尺度化，11,D diag(A),D Ax D b --==这里方程组变为
12311
-0121
1216331
3
5-1288x x x ????????????????????=-????????????????????????
我们把这个方程组记为Ax b =.在高斯-赛德尔算法中,Q 取A 的下三角部分，包括对角线。所确定的迭代公式是
()(1)(Q A)k k Qx x b -=-+
或
()(1)11()(1)22()(1)33100100121
1210006331300051288k k k k k k x x x x x x ---????????????????????????????????=+-??????????????????????????????-???????
? 由此，解下三角方程组得到(k)x 。此例中有关的公式是
()(1)12()()(1)2
13()(k)(k)3
12112112633135288k k k k k k x x x x x x x x --=
+=-+-=-++ 通过计算得到下列迭代，其中(13)x 是正确的：
(1) (5) (10) (13)(1.000000,0.833333,0.187500) (0.622836,0.760042,0.028566) (0.620001,0.760003,0.029998) (0.620000,0.760000,0.030000)
T
T
T
T
x x x x =--=-
=-
=
-
第四章全文总结和展望
4.1 全文总结
线性方程组的求解，已经有很悠久的历史，伴随着计算机技术的飞速发展，通过使用计算机，可以将很多复杂的问题，最终都转换成线性方程组，大大简化了问题的难度，有助于数学和计算领域的发展，已经应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域。因此，对线性方程组的求解过程及解的方法进行研究具有很好的意义。本文在对线性方程组解结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组解的方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程的接的结构以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组接的方法展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的方法的求解步骤和条件。最后，对全文进行了总结，并对线性方程组的未来发展进行了展望。
4.2 未来展望
目前，线性方程组已经成为解决各种问题的基础研究，线性方程组的求解方法已经应用到矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域。往往可以将复杂的问题简单化，通过结合计算机来进行计算，提高了运算的速度和复杂程度，但是，如今的社会，是一个综合成长和发展的社会，学科发展越来越多，处理数据也越来越多和复杂，因此，对线性方程组的求解有了全新的要求，好在计算机及网络的飞速发展，已经具备超高的计算和处理能力，只要对线性方程组的解结构进行充分理解和研究，寻找其中的规律，找到可以快速求解的方法，再结合处理和计算能力超强的计算机，线性方程组将发挥更大的作用，应用领域也将拓展的越来越多，而且随着科技的进步，多媒体技术的演进，在学习和掌握线性方程组的过程，也变得简单而有趣，相关的教学方式也将随之改变，从而使更多的学者和研究人员可以更为深入的对线性方程组进行研究，促
进未来线性方程组的发展，以便为各行各业的计算方面提供解决方案。
参考文献
[1] 王德生著,高等代数与解析几何习题解析[M].大连: 辽宁师范大学出版社, 2002:110-112.
[2] 丁鹤玲著,线性代数[M].北京: 高等教育出版社, 1994:86-89.
[3] 蔡光兴著,线性代数[M].北京: 科学出版社, 2002:79-82.
[4] 杨子胥著,高等代数习题解[M].修订版. 济南: 山东科学技术出版社, 2001:158-169.
[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组,高等代数[M ].北京: 高等教育出版, 2003:80-82.
[6] Kincaid.D&W.Cheney著.数值分析[M].美国.机械工业出版社,2005:167-170.
[7] Timothy,Numerical Analysis[M].人民邮电出版社,2010:79-82101-104.
[8] 陈佘喜,加强线性代数的教学提高学生的数学能力[J].当代教育理论与实践,2013（4）:109-111.
[9] 张震,分段函数的常见问题及解题方法[J].考试周刊,2013(9):72-73.
[10] 李福乐,线性代数教学培养学生创新能力的探讨[J].科技信息,2010(22):111-112.
第二章 线性方程组的数值解法
第二章 线性方程组的数值解法 在科技、工程技术、社会经济等各个领域中很多问题常常归结到求解线性方程组。例如电学中的网络问题，样条函数问题，构造求解微分方程的差分格式和工程力学中用有限元方法解连续介质力学问题，以及经济学中求解投入产出模型等都导致求解线性方程组。 n 阶线性方程组的一般形式为 ?? ???? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L K K K K L L 22112 222212********* （1.1） 其矩阵形式为 b Ax = （1.2） 其中 ????? ???????=??? ?????????=? ? ????? ?????= n n nn n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a A M M L K K K K L L 2121212222111211 ),,2,1,(n j i a ij L =，),,2,1(n i b i L =均为实数，i b 不全为0，且A 为非奇异。 关于线性方程组的数值解法一般分为两类： 1．直接法 就是不考虑计算机过程中的舍入误差时，经有限次的四则运算得到方程组准确解的方法。 而实际中由于计算机字长的限制，舍入误差的存在和影响，这种算法也只能求得线性方程组的近似解。本章将阐述这类算法中最基本的消去法及其某些变形。这些方法主要用于求解低阶稠密系数矩阵方程组。 2．迭代法 从某个解的近似值出发，通过构造一个无穷序列，用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。本章主要介绍迭代法与迭代法。迭代法是解大型稀疏矩阵（矩阵阶数高而且零元素较多）的线性方程组的重要方法。 §1 高斯)(Gauss 消去法 1.1 Gauss 消去法 Gauss 消去法是将线性方程组化成等价的三角形方程组求解。首先举例说明Gauss
关于线性方程组求解的论文
线性方程组的求解问题 摘要:线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支。其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。本文先简要介绍了线性方程组求解的历史，然后给出线性方程组解的结构。重点介绍了解线性方程组的几种方法:消元法，克拉默法则和利用向量空间概念求解线性方程组的方法。最后介绍了如何利用Matlab、Excel等常用电脑软件解线性方程。 关键词:线性方程组克拉默法则 Matlab 1.线性方程组求解的历史 线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。法国数学家范德蒙不仅对行列式理论本身进行了开创性研究，而且把行列式应用于解线性方程组。英国数学家凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解。19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解。 2.线性方程组解的结构 n元线性方程组的一个解(c1,c2,……c n)是一个，维向量，当方程组有无穷多个解时，需要研究这些解向量之间的关系，以便更透彻地把握住它们。 关于齐次线性方程组的解的结构有以下结论: 1)定义1齐次线性方程组的一组解η1，η2……ηt称为该方程组的一个基础解系，如果 a)该方程组的任一解都能表成η1，η2……ηt的线性组合。 b)η1η2……ηt线性无关。 2)齐次线性方程组的两个解的和还是解，一个解的倍数还是解。 3)齐次线性方程组有非零解时必定存在基础解系，并且一个基础解系里有n-r个解，
线性方程组的数值解法实验
线性方程组的数值解法 实验 题目 用Gauss消元法和Seidel迭代法求线性方程组的解。 实验目的 通过本次实验了解Gauss消元法和Seidel迭代法的基本原理，掌握其算法,学会用Matlab编程进行计算，并能用这些方法解决实际问题。 Gauss 顺序消元法的基本原理算法： （1）输入：,. A b （2）对1,2,,1 k n =???-做 1）if0 kk a=then输出算法失败信息，停机； 2）对1,, i k n =+???做 1/; ik ik ik kk a l a a ←= 2; i i ik k b b l b =- 3对1,, j k n =+???做; ij ij ik kj a a l a =- （3）if0 nn a=then输出算法失败信息，并停机else做 1）/; n n n nn b x b a ←= 2）对1,,2,1 i n =-???做 1 ()/; n i i i ij j ii j i b x b a x a =+ ←=-∑ （4）输出方程组的解.X
流程图见附页 Seidel 迭代法的基本原理算法： （1）输入：,; A b （2）输入：初始解向量 ;x （3）对1,2,, i n =???做 1） 1 ()/; n i i ij j ii j j i y b a x a = ≠ =-∑ 2）; i i i e y x =- 3）; i i x y = （4）if 1 {||} max i i n eε ≤≤
数值分析小论文 线性方程组的直接解法
题目：煤层瓦斯含量规律分析 算法：线性方程组的直接接法 组号：22 组员：张玉柱薛洪来孔杰商鹏
煤层瓦斯含量规律分析 张玉柱，薛洪来，孔杰, 商鹏 （河南理工大学安全学院，河南焦作454000） 摘要：通过煤层瓦斯含量预测数学模型的建立，研究对煤层瓦斯含量预测影响的煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素，确定影响瓦斯含量的多元回归方程，为瓦斯含量的预测和估计提供了一定的理论依据。 关键词：瓦斯含量；模拟测试 Mathematical models of gas content predict Yuzhu-zhang, Honglai-xue, jie-kong, peng-shang (School of Safety Science and Engineering, Henan Polytechnic University，Jiaozuo．454000，China) Abstract: Through the gas content prediction mathematical model. Research on the impact of coal seam gas content prediction top bottom elevation, the buried depth, thickness of the overlying strata, volatile gradation factors. Determine the impact of gas content and multiple regression equation for the gas content prediction and estimate provided theoretical basis. Key words：teetonicslly coal；simulation test 0.问题背景 瓦斯是指在煤矿生产过程中，从煤层、岩层和采空区放出的各种有害气体的总称，其中甲烷是瓦斯的主体成分，所以狭义的矿井瓦斯一般是指甲烷，主要来自煤层，它构成威胁煤矿开采的主要危险。它对矿井安全的威胁主要有突出、爆炸、和窒息三种形式，最严重的瓦斯灾害是瓦斯爆炸和瓦斯突出事故，它严重威胁着井下人员的生命和矿井设施的安全[1]。瓦斯含量是影响煤矿安全生产的重要因素，因此，加强煤层瓦斯含量预测方法及瓦斯涌出的影响因素研究，掌握煤层瓦斯含量预测规律，对改善我国煤矿安全生产状况具有积极的意义[2]。本文收集、整理和分析了大量实测数据资料，通过实测和数学方法，研究对瓦斯含量预测影响的煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素，确定影响瓦斯含量的多元回归方程。最后，运用该方法对夏店煤矿回采工作面进行了瓦斯含量预测，结果与现场实测数据基本吻合。根据夏店煤矿的生产实际，对瓦斯含量影响因素进行分析，研究瓦斯含量与煤层顶底板标高、埋藏深度、上覆岩层厚度、挥发分等因素之间的关系，对夏店煤矿防治矿井瓦斯灾害，确保煤矿安全生产具有重要意义。
线性方程组的解法
线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =
线性方程组论文
一类线性方程组的解法 【引言】历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 线性代数有三个基本计算单元：向量(组)，矩阵，行列式，研究它们的性质和相关定理，能够求解线性方程组，实现行列式与矩阵计算和线性变换，构建向量空间和欧式空间。线性代数的两个基本方法是构造（分解）和代数法，基本思想是化简（降解）和同构变换。 【摘要】 线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在 17 世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。 18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。 19 世纪，英国数学家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。 【关键词】：矩阵行列式向量线性方程组增广矩阵矩阵的秩系数矩阵 【正文】 求解非齐次线性方程组
求解线性方程组的直接解法
求解线性方程组的直接解法 5.2LU分解 ① Gauss消去法实现了LU分解 顺序消元结束时的上三角矩阵U和所用的乘数,严格下三角矩阵。 将下三角矩阵的对角元改成1,记为L,则有A=LU, 这事实是一般的,我们不难从消去的第k个元素时的矩阵k行及k列元素的 历史得到这一点.因为从消元的历史有 u kj=a kj-m k1u1j- m k2u2j -…- m k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n m ik=(a ik-m i1u1k- m i2u2k -…-m i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 于是a kj=m k1u1j+m k2u2j+…+m k,k-1u k-1,j+u kj, j=k,k+1,…,n a ik=m i1u1k+m i2u2k+…+m i,k-1u k-1,k+m ik u kk i=k+1,k+2,…,n 从前面两个式子我们可以直接计算L和U(见下段>.将矩阵分解为单位下 三角矩阵和上三角矩阵之积称为矩阵的LU分解.顺序消元实现了LU分 解,同时还求出了g, Lg=b的解. ②直接LU分解 上段我们得到(l ij=m ij> u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 2 诸元素对应乘积,只不过算L的元素时还要除以同列对角元.这一规律很 容易记住.可写成算法(L和U可存放于A>: for k=1:n-1 for j=k:n u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j end for i=k+1:n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk end end 这一算法也叫Gauss消去法的紧凑格式,可一次算得L,U的元素,不需逐步 计算存储.
c语言编程求解线性方程组论文
数值计算小报告题目：线性方程组求解方法比较 姓名和丽 专业软件工程 班级11级软件（2）班 完成日期：2013 年5月18日
摘要 目前在许多实际应用领域,诸如航空、造船以及其它结构工程中,常遇到求解大型线性代数方程组的问题。本文根据线性代数方程组的雅可比迭代法、LU分解法及高斯列主元消去法三种解法进行了比较，用以方便在实际生活应用中更好的作出选择。在第二章中本文详细的介绍了线性代数方程组的三种解法的理论知识与证明过程。为了更加清晰的展现三种方法的不同点以及其各自的优越性，本文在第三章中给出了实例，通过实例的计算与程序的实现，再结合三种方法的优缺点进行了比较。 关键字：线性代数方程组、迭代法、LU分解法、高斯列主元消去法、不同点、比较
目录 第一章绪论 (4) 第二章求解线性方程组的基本理论 2.1 迭代法 (5) 2.2 直接三角分解法 (6) 2.3 高斯消去法 (7) 第三章三种算法求解方程组实例 3.1 迭代法 (8) 3.2 直接三角分解法 (10) 3.3 高斯列主元消去法 (14) 3.4 三种方法的优缺点比较 (16) 参考文献 (17)
第一章绪论 计算数学是数学学科的一大分支，它研究如何借助于计算机求解各类数值问题。应用计算机求解各类数值问题需要经历以下几个主要过程：1、实际问题2、数学模型3、计算方法4、算法设计5、计算求解 目前已有的数学软件可以帮助我们实现上机计算，基本上已经将数值分析的主要内容设计成简单的函数，只要调用这些函数进行运算便可得到数值结果。 数值分析的内通包括线性代数方程组求解、非线性代数方程（组）求解、矩阵的特征值与特征值向量的计算、函数插值、函数逼近、数值积分与数值微分以及微分方程数值解法。 线性方程组的求解从理论上可分为两类：直接法和迭代法。直接法是不考虑计算过程中的舍入误差，经过有限次的运算得到方程组精确解的方法，常见的方法是高斯顺序消去法、高斯列主元消去法和矩阵的LU分解法。迭代法是采用某种极限过程，用线性代数方程组的近似解逐步逼近精确解的方法。迭代法中常见的方法有简单迭代法、J-迭代法、GS-迭代法和SOR-迭代法。 本文主要是分析高斯列主元消去法、矩阵的LU分解法和简单迭代法理论上的异同，并用C语言程序通过具体实例进行了分析比较。 本文将线性方程组的求解过程用计算机实现，本文的编写由以下几个特点： 1、对于难点问题从具体模型引入，淡化抽象的概念与定理，通俗易通； 2、对于具体模型本文给出了多种解题的思想及方法； 3、对问题进行简洁易懂的理论证明，突出了线性代数的理论和基本思想，使数学方法更加利于理解掌握。 4、简要分析了算法的计算效果、稳定性、收敛效果、计算精度以及优劣性。
线性方程组的解法及其应用
线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器 班级： 2010-1班 作者：刘颖 学号： 20100310110105
摘要 线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词： 齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。
Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.
线性方程组的求解方法与应用
湖北民族学院理学院2016届 本科毕业论文(设计) 线性方程组的求解方法及应用 学生姓名：付世辉学号： 0 专业：数学与应用数学指导老师：刘先平 答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project) Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree In the Year of 2016 The calculation method and application of the system of linear equations Student Name: Fu Shihui Student No.: 0 Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding:
摘要 线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密. 关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法
线性方程组的直接解法及matlab的实现
本科毕业论文 （ 2010 届） 题目线性方程组的直接解法及matlab的实现 学院数学与信息工程学院 专业数学与应用数学 班级2006级数学1 班 学号0604010127 学生姓名胡婷婷 指导教师王洁 完成日期2010年5月
摘要 随着科技技术的发展及人类对自然界的不断探索模拟.在自然科学和工程问题中的很多问题的解决常常归结为线性代数问题！ 本文的主要内容是对线性方程组求解方法的探讨,主要介绍了四种求解线性方程组的方法,第一种是教科书上常见的消元法,我们称之为基本法.第二种方法是标准上三角形求解法,即将增广矩阵经过初等变换后化成标准上三角形,然后求解.它改进了一般教科书上的常见方法,与常见方法比较有如下优点:1)规范了自由未知量的选取;2)只用矩阵运算;3)减少了计算量.第三种方法是对特定的方程组（系数矩阵A为n阶对称正定矩阵,且A的顺序主子式均不为零.）的求解方法进行描述,并且为这种线性方程的求解提供了固定的公式化的方法.第四种方法是对现在实际问题中常常会遇到的系数矩阵为三对角矩阵的方程组的求解方法.同时给出这几种方法的数值解法（matlab程序）,由于运用电脑软件求解,所以必须考虑计算方法的时间、空间上的效率以及算法的数值稳定性问题,所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法.但是,基本的方法可以归结为两大类,即直接法和迭代法. 关键词 高斯消去法;三角分解法;乔莱斯基分解法;追赶法
Abstract Systems of linear equations are associated with many problems in engineering and scinence ,as well as with applications of mathematics to the social sciences and the quantitative study of business and economic problems. The main content of this article is the method for solving linear equations, we introduce four methods for solving linear equations in this paper. The first is the elimination method which is commonly found in textbooks, and we call the Basic Law. The second method is Standard on the triangle Solution, that first change Augmented matrix into standards in primary triangle, and then solving. It improves the general textbook on common methods, compared with the common method has the following advantages:1) Specification of the free choice of unknowns; 2)Only matrix operations;3) Reduce the computation. The third method describes a way to solve a Specific equations(N coefficient matrix A is symmetric positive definite matrix, and A are not zero-order principal minor), And for this linear equation provides a fixed formulaic approach. The fourth method is to present practical problems often encountered in the coefficient matrix is tridiagonal matrix method for solving the equations. These methods are given numerical solution of (matlab program), As the use of computer software to solve, it is necessary to consider ways of computing time and space efficiency and numerical stability of algorithms, Therefore, different types of linear equations have a different solution. However, the basic method can be classified into two categories, namely direct methods and iterative methods. Key words Gaussian elimination; Triangular decomposition; Cholesky decomposition method; Thomas algorithm
线性方程组数值解法
. 计算法实验 题目：
班级：学号：：
目录 计算法实验 (1) 1 实验目的 (3) 2 实验步骤 (3) 2.1环境配置： (3) 2.2添加头文件 (3) 2.3主要模块 (3) 3 代码 (3) 3.1主程序部分 (3) 3.2多项式程部分 (3) 3.3核心算法部分 (3) 3.4数据结构部分 (3) 4运行结果 (3) 4.1列主元高斯消去法运行结果 (3) 4.2LU三角分解法运行结果 (3) 4.3雅克比迭代法运行结果 (3) 边界情况调试 (3) 5总结 (3) 输入输出 (3) 列主元高斯消元法 (3) 雅克比迭代法 (3) 6参考资料 (3)
1 实验目的 1.通过编程加深对列主元高斯消去法、LU三角分解法和雅克比迭代法等求解多 项式程法的理解 2.观察上述三种法的计算稳定性和求解精度并比较各种法利弊 2 实验步骤 2.1环境配置： VS2013，C++控制台程序 2.2添加头文件 #include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "stdafx.h" #include
解线性方程组的直接解法
解线性方程组的直接解法 一、实验目的及要求 关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。 二、相关理论知识 求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解 线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法 程序流程图： 输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。 根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行； 对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行； 消元计算； 回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组 （1）LU分解 调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A） 注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。 （2）平方根法
调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ） 输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。 三、研究、解答以下问题 问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答： 程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b
线性方程组解法综述
线性方程组解法综述 Prepared on 22 November 2020
线性方程组解法的研究综述 摘要：这篇论文在说明了线性方程组的应用目的的基础上，提出了线性方程组求解的研究现状，并列举了常用的求解方法，同时说明了它们的应用条件，剖析了各种方法的不足之处。 关键词高斯消元迭代病态方程组 一、问题提出 在自然科学和工程实际应用中，有许多问题的求解最终都转化为线性方程组的求解问题。例如,电学中的网络问题，曲线拟合中常用的最小二乘法、样条函数插值、解非线性方程组、求解偏微分方程的差分法、有限元法和边界元法以及目前工程实践中普遍存在的反演问题等。特别是在图像恢复、模型参数估计、解卷积、带限信号外推、地震勘探等众多领域，都需要求解线性方程组。 由于线性方程组问题在理论上的重要性和在工程实际应用中的大量存在，多年来人们在这方面做了广泛深入的研究和探讨，并取得了许多有价值的成果.由于模型误差、测量误差、计算误差等各种误差的存在，常常使得线性方程组中的系数矩阵和非齐次项信息具有某种程度的近似性(即扰动性)，这种近似性显然会使得线性方程组的求解不容易得到真实的理论解。此时，不同的求解方法由于运算机理不一样，求解过程中误差积累程度就不一样，因此必然会使得不同的求解方法得到的解具有不同的逼近真解的误差程度，尤其对具有病态性的方程组而言，由于病态线性方程组的条件数很大，数据误差以及计算过程中引入的舍入误差往往会使线性方程组的解不稳定，即不管原始数据的误差多么小，都可能造成解的很大变化，使线性方程组的解严重失真。因此，许多现有的方
法都是无效的，病态线性方程组的求解变得相当困难。求解线性方程组的最常用的方法主要有直接法和迭代法两大类，其中直接法中最常用的方法是高斯消元法。但是，该方法求解病态线性方程组时不能得到合理的解，误差很大。 二、研究现状 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类。一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有需要计算机的存储单元较少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但存在收敛性及收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法。当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速一直是应用和体系设计者关心的问题。 三、常用方法比较 1.直接方法 直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法。事实上，由于舍入误差的存在，用直接法一般也只能求得方程组的近似解。直接方法中主要有三种方法：克拉默法则、高斯消元法、LU 分解法。 （1）克拉默法则 设有线性方程组（ n 个未知数 n 个方程）
线性方程组数值解法总结
好久没来论坛，刚刚发现以前的帖子现在那么火很欣慰，谢谢大家支持！ 今天趁着不想做其他事情，把线性方程组的数值解法总结下，有不足的地方希望大神指教！数学建模中也会用到线性方程组的解法，你会发现上10个的方程手动解得话把你累个半死，而且不一定有结果，直接用matlab的函数，可以，关键是你不理解用着你安心吗？你怎么知道解得对不对？ 我打算开个长久帖子，直到讲完为止！这是第一讲，如有纰漏请多多直接，大家一起交流！线性方程组解法有两大类：直接法和迭代法 直接法是解精确解，这里主要讲一下Gauss消去法，目前求解中小型线性方程组（阶数不超过1000），它是常用的方法，一般用于系数矩阵稠密，而有没有特殊结构的线性方程组。 首先，有三角形方程组的解法引入Gauss消去法，下三角方程组用前代法求解， 这个很简单，就是通过第一个解第二个，然后一直这样直到解出最后一个未知数，代码如下：前代法： function [b]= qiandai_method(L,b) n=size(L,1); %n 矩阵L的行数 for j=1:n-1 %前代法求解结果存放在b中 b(j)=b(j)/L(j,j); b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j); end b(n)=b(n)/L(n,n); 上三角方程组用回代法，和前面一样就是从下面开始解x，代码： 后代法： function [y]=houdai_method(U,y) n=size(U,1); %n 矩阵L的行数 for j=n:-1:2 %后代法求解结果存放在y中 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j); end y(1)=y(1)/U(1,1); Gauss消去的前提就是这两个算法： 具体思想是把任何一个线性方程组的系数矩阵A，分解为一个上三角和一个下三角的乘积，即A=LU，其中L为下三角，U为上三角。 那么具体怎么做呢？ 有高斯变换，什么是高斯变换？由于时间有限我不可能去输入公式，所以我用最平白的话把它描述出来。 你先想一下怎么把一个矩阵的某一列的从第j个分量后全部变0？ 高斯变换就是通过每次一个矩阵Li把A的第i列对角线元素以下的都变为0，最后把这么多Li一次左乘起来就是一个矩阵L’=L(n-1)L(n-2)…L2L1，而L’A=U, 那么L=L’的转置，这样就得到了A得分解。 我们要求Ax=b A=LU
浅析线性方程组的解法
目录 摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I 1.1引言 (1) 1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1) 1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1) 第二章线性方程组理论基础 (2) 2.1 线性方程组概念 (2) 2.2 线性方程组的解的情况分析 (2) 2.3 齐次线性方程组解的结构 (4) 2.4非齐次线性方程组解的结构 (4) 第三章线性方程组的数值解 (5) 3.1 迭代法 (5) 3.1.1 Jacobi方法 (6) 3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8) 第四章全文总结和展望 (10) 4.1 全文总结 (10) 4.2 未来展望 (10) 参考文献 (11) 致谢................................................................. 错误！未定义书签。
线性方程组的求解方法 学生：指导教师： 摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。 关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法
线性方程组的直接解法 实验报告
本科实验报告 课程名称：数值计算方法B 实验项目：线性方程组的直接解法 最小二乘拟合多项式 实验地点：ZSA401 专业班级：学号：201000 学生姓名： 指导教师：李志 2012年4月13日
线性方程组的直接解法 一、实验目的和要求 实验目的：合理利用Gauss 消元法、LU 分解法或追赶法求解方程组。 实验要求：利用高斯消元法，LU 分解法或追赶法进行编程，求解题中所给的方程组。 二、实验内容和原理 实验内容：合理利用Gauss 消元法、LU 分解法或追赶法求解下列方程组： ① ?? ?? ? ?????=????????????????????13814142210321321x x x ②??? ? ?? ??????=????????????????????? ?? ? ??--?-2178.4617.5911212592.1121130.6291.513 14 .59103.043 2115x x x x ③?? ??? ??? ? ???????----=????????????????????????????????-55572112112112121 n n x x x x （n=5,10,100,…） 实验原理：这个实验我选用的是高斯消元法。高斯消元法：先按照 L ik =a ik^(k-1)/a kk^(k-1) , a ij^(k)=a ij^(k-1)-l ik a kj^(k-1) [其中k=1,2,…,n-1;i=k+1,k+2,…,n;j=k+1,k+2,…,n+1] 将方程组变为上三角矩阵，再经过回代，即可求解出方程组的解。 三.计算公式 通过消元、再回代的求解方法称为高斯消元法。特点是始终消去主对角线 下方的元素。 四、操作方法与实验步骤 #include "Stdio.h" #define N 3 main() { double a[N][N+1],b[N]; int i,j,k,x=0; for(i=0;i