第18讲+组合数学【范端喜】.docx

第十八讲 组合数学

组合数学是自招考试中比较难的问题。近几年考试中出现组合数学问题的学校主要是清华大学、北京大学、上海交大、中科大等名校。求解组合数学问题需要敏锐的洞察力、丰富的想象力和必要的技巧，通常没有固定的解题模式可循。

自招考试中组合问题通常有：计数问题、组合恒等式、存在性问题、组合最值等。

解决计数问题的基本方法有：枚举法、利用两个基本原理、算两次方法、利用容斥原理。 证明组合恒等式的常用基本方法有：母函数方法、组合模型法。

解决组合存在性问题的基本方法有：反证法、利用极端原理、构造法等。

解决组合最值问题有估值法等。

真题讲解：

例1、（06复旦）求证：()()()222012n n n n n n C

C C C +++= 。

例2、（09科大）2008个白球和2009个黑球任意排成一列。求证：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为0）。

例3、（08北大）在由若干南方球队和北方球队参加的排球单循环赛中，已知南方队比北方队多9支，所有南方队得到的分数总和是所有北方队得到的分数总和的9倍（每场比赛胜者得一分，负者得零分）。证明：循环赛结束后，某支南方队的积分最高。

例4、（10清华特色）设计一种为一维数轴的全体实数染色的方案，使得数轴上任意两个相

距为1

练习巩固：

1、（03交大）化简1212k n n n k C C C ++++++ 。

11k n k C ++-

2、（08交大）世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A 组，进行主客场比赛。规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分。比赛结束后前两名可以晋级。

（1）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分。于是

甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；

乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线。

问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？乙

（2）若不考虑（1）中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？13分

3、（08交大）30个人排成矩形，身高各不相同。把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b。

（1）a是否有可能比b高？不可能

（2）a和b是否可能相等？可能

4、（09清华）有200件物品，可以用100个相同的箱子装下（每箱装2件）。现不小心将这200件物品弄乱，于是采用如下装法：任取一件物品，装入第一个箱子；再取一件，若能装入第一箱则装入第一箱，否则装入第二箱；再取一件，若能装入第二件所在箱，则装入，否则装入下一箱；以此类推，直到所有物品都装箱。问：至少需准备多少箱子才能确保装下这200件物品？

199

5、（09北大）某次考试共有333名学生做对了1000道题，做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀，考场中每人做对题目数不全同奇偶。问：不及格者与优秀者哪个多？

不及格

6、（10五校）对正六边形的边和所有对角线染色，任意三角形三边染色不同，任意两组三角形染色方式不同，求至少要染多少种颜色。

七

7、（09清华）64匹马，速度各不相同。每场比赛只能有8匹马参赛。问：能否用不超过50场比赛排出所有马的速度大小顺序？若不能，给出证明；若能，给出比赛方案。（所有马速度恒定，不考虑疲劳等因素）

49

8、（10清华特色）长为L 的木棒（L 为整数）可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最小者严格小于最短者长度的2倍。例如长为4的木棒可以锯成22+两段，而长为7的木棒第一次可以锯成34+，第二次可以再将长为4的木棒锯成22+，这时223++三段不能再锯。问：长为30的木棒至多可以锯成多少段？

6

高中排列组合基础题

排列、组合问题基本题型及解法 同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法. 一、相邻问题“捆绑法” 将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法” 该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）. 例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？. 分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2 种方法.则共有52 54A A ＝440种排法. 三、定位问题“优先法” 指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素. 例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种. 分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个 排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共15 45A A ＝480种排法.还可以优先排两端 （位置优先）. 四、同元问题“隔板法” 例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ×××× 一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列 对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和. 例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） （A ）210个 （B ）300个 （C ）464个 （D ）600个 分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、13 33A A 个，合计300个，所以选B 例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个? 【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种， 其中0居首位的有314 544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314 555544C C A C C A ＝11040个. 【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的. ①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325 545C C A 个； ②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法， 再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有3141 5444C C A A 种排法. 综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋3141 5444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3

第五讲 组合图形面积

组合图形的面积 方法与技巧 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1．切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2．仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3．适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4．采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 回顾与复习： 长方形面积= 三角形面积= 正方形面积= 梯形面积= A级 基础点睛 典型例题1：一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？

【巩固练习1】：已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 典型例题2：如图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘 米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。 【巩固练习2】：如图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在 边的中点，求三角形AEF的面积。

典型例题3：求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 【巩固练习3】：求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。

典型例题4：有一种将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是72平方厘米，正方形的面积分别是多少？ 【巩固练习4】：有一种将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是72平方厘米，正方形的面积分别是多少？

B级 培优拓展 典型例题5：四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？ 【巩固练习5】：图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。

初中数学组合 ()

组 合 教学目标： 1、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题； 2、掌握组合数的计算公式； 3、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力； 教学内容：组合的概念及组合数的计算方法 教学重点：组合的概念、组合数 教学难点：解组合的应用题 教学方法：排列与组合结合法 教学过程设计 一、知识回顾 1、排列的概念 一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 2、排列数概念 一般地，从n 个不同的元素中每次取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，称为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，记作m n A 。 3、排列数计算公式：(1)(2)(1)()m n A n n n n m m n =---+≤ !n n A n = ()! ! m n n A n m = - 二、学习新课 课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。 【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问题与原问题有何区别？) 解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为2 3A ，对应的排列为： 甲 乙 乙 甲 甲 丙 丙 甲

丙 乙 乙 丙 变化后的问题对应的可能情况为： 甲 乙 甲 丙 丙 乙 分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有顺序。这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题（引出组合的概念） 组合 一般地，从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 分析：对比排列和组合的定义，同样是从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素，而排列是把取出的m 个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元素的顺序有关，而组合单单是把取出的m 个元素并成一组，与元素的顺序无关。 组合数 同样地类似于排列，我们研究从n 个不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为m n C 。 【问题2】从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的排列？（若改为从3个不同的元素,,a b c 中每次取出2个，共有多少种不同的组合？） 解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为2 3A ，对应的排列为： ab ba ac ca bc cb 变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为2 3C ，对应的组合为： ab ac bc 总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。 通过例题讲解区分排列与组合问题。 【例1】判断下面问题是排列问题，还是组合问题？ (1) 从6个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？ (2) 从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 解：(1)选出的2个风景点，不必明确游览顺序，这是一个组合问题，对应的组合数为2 6C （先

排列组合教案

数学广角 《课题一排列组合》教学设计 教学内容： 《义务教育课程标准实验教科书·数学（二年级上册）》第99页的的内容---排列、组合。 教材分析： 课标中指出数学不仅是人们生活和劳动必不可少的工具，通过学习数学还能提高人的推理能力和抽象能力。排列与组合的思想方法不仅应用广泛，而且是后面学习概率统计知识的基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。本节课我试图在渗透数学思想方法方面探索和研究，通过学生日常生活中简单的事例呈现出来，并运用操作、演示等直观手段解决问题。在向学生渗透这些数学思想和方法的同时，初步培养学生有顺序地、全面地思考解决问题的意识。教学目标： 1使学生通过观察、猜测实验等活动，找出最简单的事物排列数和组合数。 2培养学生初步的观察能力、分析能力及推理能力 3初步培养学生有序的全面思考问题的意识。 情感态度与价值观：通过解决生活中的一些实际问题，感受数学与生活的密切联系培养学生积极思维的品质。 教学重点：有序排列的思想和方法 过程与方法：通过实践活动，经历找排列数与组合数的过程，体验排

列与组合的思想方法。 课时：1课时 教学设计 情景导入 师：同学们喜欢去广场吗？为什么？ 走进新课 师：今天我们也要到一个有意思的地方，哪呢？课件（数学广角）对，那里没有好吃的，好玩的，但是那里有趣的数学问题等待我们开动我们聪明的小脑袋瓜儿解决他们，想去吗？ 在去之前，我们先打扮一下自己，穿上漂亮的衣服，老师这有四件衣服（课件）你喜欢那套衣服，同学们有这么多的选择。那到底能搭配多少套呢？拿出手中的学具摆摆看。 学生分组讨论 汇报交流 同学们表现的真不错，你喜欢那一套，我们就在心理穿上你喜欢的衣服去数学广角了。 展开活动 1、开启大门 数学广角的大门是由1和2 这两个数字摆成的两位数，这道 门的密码可能是那些数？ 生；12、21。 师：这两个数字有什么不同？

排列组合讲解

解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”； 其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式： “在”与“不在” “邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式： “含”与“不含” “至少”与“至多” 在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法. 1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（ C ）

第八讲-组合数学

第八讲 组合数学 组合数学是中学数学竞赛的“重头戏”，具有形式多样，内容广泛的特点.本讲主要围绕组合计数，组合恒等式及组合最值展开 例1．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求圆周上最多可以得到多少个红点？ 解：易见，第k 号点能被染红的充要条件是 ?j ∈N *?{0}，使得a 0?2j ≡k (mod800)，1≤k ≤800 ① 这里a 0是最初染的点的号码，为求最大值，不妨令a 0=1.即2j ≡k (mod25×52). 当j=0,1,2,3,4时，k 分别为1,2,4,8,16，又由于2模25的阶20)2(25=δ，因此，当j ≥5时 2j+20-2j =2j (220-1)≡0(mod 800), 而对?k<20,k ∈N *，及j ≥5,j ∈N *，由于25+(2k -1)，所以 2j+k -2j =2j (2k -1)不为800的倍数. 所以，共存在5+20=25个k ，满足①式。 注：本题解法不止一种，但利用些同余理论，可使解法简洁许多. 例2．集合X 的覆盖是指X 的一族互不相同的非空子集A 1、A 2、…、A k ，它们的并集A 1∪A 2∪…∪A k =X ，现有集合X={1,2,…,n}，若不考虑A 1, A 2,…, A k 的顺序，试求X 的覆盖有多少个？ 解：首先，X 的非空子集共有2n -1个，它们共组成了n 2 1 2--1个非空子集族.其次， 这些子集族中，不合某一元素i 的非空子集组成的非空子集族有( ) n 121 21---个；不含两 个元素的子集组成的族有( ) n 2 2 1 21---个；依次类推，则由容斥原理，X 的覆盖共有 ()() --+--------)12 ()12 ()12 (1 22 1 21 1 221n n n n n =())12()1(1 2 1 ---=-∑n n j n j j 个. 注：有些组合计数问题直接计数较难，但从反面考虑简洁明了.

排列组合基本知识

有关排列组合的基本知识 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法． 这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列,当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－1)…3·2·1＝n！

(三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个 这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的． 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力 (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

【学习实践】《简单的排列组合》教学案例分析

《简单的排列组合》教学案例分析 【教学背景】 在日常生活中，有很多需要用排列组合来解决的知识。如体育中足球、乒乓球的比赛场次，密码箱中密码的排列数，电话机容量超过多少电话号码就要升位等。在数学学习中经常要用到推理，如加法和乘法的一些运算定律的推导过程，能被2、5、3整除的数的推导等。这节课安排生动有趣额活动，让学生通过这些活动进行学习。例1给出了一副学生用数学卡片摆两位数的情境图，学生在进行小组合作学习，先用2个卡片摆，学生通过操作感受摆的方法以后，再用3个卡片摆；然后小组交流摆卡片的体会：怎样摆才能保证不重复、不遗漏。 【教材分析】 “数学广角”是新编实验教材新增设的内容，是新教材在向学生渗透数学思想方法方面做出的新的尝试。排列和组合的思想方法不仅应用广泛，而且是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，这部分内容重在向学生渗透简单的排列、组合的数学思想方法，并初步培养学生有顺序地全面思考问题的意识。 【教学目标】 ．通过观察、实验等活动，使学生找出最简单的事物的

排列数和组合数，初步经历简单的排列和组合规律的探索过程； 2．使学生初步学会排列组合的简单方法，锻炼学生观察、分析和推理的能力； 3．培养学生有序、全面思考问题的意识，通过小组合作探究的学习形式，养成与人合作的良好习惯。 【教学重点】经历探索简单事物排列与组合规律的过程【教学难点】初步理解简单事物排列与组合的不同 【教学准备】多媒体、数字卡片。 【教学方法】观察法、动手操作法、合作探究法等。 【课前预习】 预习数学书99页，思考以下问题： 、用1、2两个数字能摆出哪些两位数？ 2、用1、2、3这3个数字能摆出哪些两位数？可以动手写一写。 3、想一想：你是怎么摆的，先摆什么，再摆什么？有什么好方法才会不遗漏，不重复。 【教学准备】PPT 【教学过程】 …… 一、以游戏形式引入新课 师：同学们，今天老师带大家去数学广角做游戏。在门

高中数学排列组合说课讲解

高中数学排列组合

模块九 排列与组合、二项式定理 第一部分：排列、组合 一。计数原理 加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m 类，每一类的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1+N 2+N 3+…..+N m 种方法。（又称分类计数原理） 乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m 步，每一步的方法数分别是：N 1，N 2，N 3，…..N m ,则完成这件事情共有N 1?N 2?N 3?…..?N m 种方法。（又称分类计数原理） 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。排列数、组合数的定义 ①排列数：从n 个元素中取出m 个排成一列（即排入m 个位置），共有m n A 种排法。 A m n =n （n －1）（n －2）…（n －m +1）.特别的：!n A n n = ②组合数：从n 个元素中取出m 个形成一个组合，共有m n C 种取法。 C m n = ! )!(!m m n n -特别地：1,10==n n n C C 组合数的两个性质： （1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1 -m n . 三。解决排列、组合问题的四大原则及基本方法 1. 特殊优先原则 该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．

作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（ ） Ａ．90种 Ｂ．89种 Ｃ．60种 Ｄ．59种 解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一的5天中任取2天安排甲有2 5C 种；②从剩下的4天中选2天安排乙有2 4C 种；③仅剩2天安排丙有2 2C 种．由分步乘法计数原理可得一共有 222 54260C C C =··种，即选Ｃ． 评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的位置一定要优先考虑． 2.先取后排原则 该原则充分体现了m m m n m n C A A =·的精神实质，先组合后排列，从而避免了不 必要的重复与遗漏． 4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）． Ａ．12种 Ｂ．24种 Ｃ．36种 Ｄ．48种 解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有2 4C 种分法，再将这三组分 配到三所学校有33A 种分法，由分步乘法计数原理知一共有23 4336C A =·种不同分 配方案． 评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有34A 种

组合数学第01讲比赛中的推理(六年级)

组合数学第01讲_比赛中的推理 知识图谱 组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关 一：比赛中的推理 知识精讲 比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理． 在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了． 1．比赛分类： （1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名． （2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场． （3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场． 2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法： （1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”． （2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”． 三点剖析 重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局． 题模精讲 题模一场次计算 例、 某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛 答案： 4

解析： 该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场． 例、 为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加 答案： 6 解析： 由于，故应该邀请6个篮球队参加． 例、 甲、乙、丙、丁与小明五位同学进入象棋决赛．每两人都要比赛一盘，每胜一盘得2分，和一盘得1分，输一盘得0分．到现在为止，甲赛了4盘，共得了2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分；丁赛了1盘，得了2分．那么小明现在已赛了______盘． 答案： 2 解析： 由题意可画出比赛图，已赛过的两人之间用线段连接． 由图看出小明赛了2盘．

组合数学教学大纲

《组合数学》课程教学大纲 课程英文名Combinatorics 执笔人：晁福刚编写日期：2010.7.9 一、课程基本信息 1. 课程编号：07010132 2. 课程性质/类别：限选课/专业基础课 3. 学时/学分：48学时/ 2学分 4. 适用专业：数学与应用数学信息与计算科学专业 二、课程教学目标及学生应达到的能力 组合数学主要研究一组离散对象满足一定条件的安排的存在性，以及这种安排的构造、枚举计数及优化等问题，这是整个离散数学的一个重要组成部分。 《组合数学》课程的教学目标是通过本课程的学习，使学生初步掌握组合数学的基本原理和思想方法。了解和掌握并会应用鸽巢原理、排列与组合、容斥原理、递推关系、生成函数等组合数学基本知识。 三、课程教学内容与基本要求 （一）鸽巢原理（8学时） 1．主要内容： 鸽巢原理的简单形式，鸽巢原理的加强形式，Ramsey问题与Ramsey数，Ramsey 数的推广。 2．基本要求 1．了解鸽巢原理的简单形式和加强形式，会用鸽巢原理解决简单的问题。 2．了解Ramsey问题的历史由来，会求简单的Ramsey数，Schur数。 3．自学内容：无 4．课外实践：无 （二）基本计数问题（10学时） 1．主要内容： 加法原则与乘法原则，排列与组合，多重集合的排列与组合，二项式系数，集合的分划与第二类Stirling数，正整数的分拆，分配问题。 2．基本要求 1．了解加法原则和乘法原则，会求简单的排列组合问题。 2．掌握多重集合的排列和组合技巧。 3．会证明组合恒等式。 4．了解集合的分划与第二类Stirling数，知道两类数之间的关系。 5．知道正整数分拆问题的递推关系及研究进展。 6．知道一些简单的分配问题的解法。 3．自学内容： 排列组合

组合数学基础11

第十一讲 Burnside 引理与 Polya 定理 §1 (置换群基本概念) (本页） §2 (Burnside 引理与循环指标) §3 (Burnside 引理的应用) §4 (Polya 定理及其应用) Redfield-Polya 定理是组合数学理论中最重要的定理之一．自从 1927 年Redfield 首次运用 group reduction function 概念，现在称之为群的循环指标（circle index of a group），至今 60 多年来，他在许多实际计数问题上得到了广泛的应用，它以置换群为理论基础，与生成函数有机地结合在一起，揭示了一类具有组合意义的计数的规律性． 抽象地说在一集合内，定义了一个等价关系，人们往往关心由这个等价关系所决定的等价类的数目，Refield-Polya 理论就是为解决这类问题而发展起来的复杂计数理论． 为了帮助读者理解，本章例举了较多的实例． §1 置换群的基本概念 设有限集合，集合中的元素称为“点”．集合上的一个置 换是从到自身上的对应的映射： 设是集合上的另一个置换，置换与的乘积定义为复合映射：

例 1设上的二个置换： 和， 求乘积 解 从定义出发， 得： 设是集合上的全部置换构成的集合，在复合映射定一的乘义 下，集合构成一个群，称为次对称群．对称群的任意子群称为置换群，因为它们都与集合有关，一般也称为作用在上的置换群．因为集合的 排列有个，而每个排列对应一个置换，反之一个置换也对应一个排列，从 而有 置换的另一种表示方法是循环表示，它可简化置换的表达方式． 设是正整数，且满足，在置换中就有一个循环

简单的排列组合教学反思

《简单的排列组合》教学反思 本节课的知识是排列和组合简单的知识，但对学生来说，教师又不能直接讲解排列组合，如何讲解比较深奥的知识，这是应该正视的问题。在处理教材时，没有直接呈现排列组合原理，而是从排列组合的基本思考方法入手——科学枚举法。因为学生只有恰当的分类，将事情的各种情况能够一一列举出来，就能够保证计数时不重复不遗漏——这是本节课的重点和难点所在。所以本节课没有要求学生解决比较复杂的计数问题，也不要求发现加法原理与乘法原理，而是要求学生通过科学枚举法，感受计数方法。在教学中，为了突破重点，从多方面想办法：一是让学生认识到排列与组合学习是生活中的必须；二是让学生通过摆、画、列表等活动，学习“不重复、不遗漏”的计数的方法。本课教学后我进行了认真反思，觉得有以下可取之处和不足之处。 一、创设情境，激发学生探究的兴趣。 创设形象生动、亲近学生生活实际的教学情景，将有效地激发学生学习的兴趣。本节课通过创设“衣服的穿法、早餐搭配、数字游戏”等与学生的实际生活相似的情境，唤起了学生“独立思考、合作探究”解决问题、注意让小组合作学习从形式走向实质。 在合作探究中，保证了合作学习的时间，并深入小组中恰当地给予指导。合作探究后，教师还能够及时、正确的评价。教师从实际的学习效果出发，考虑如何组织合作学习，有利于调动广大学生参与学习的全过程，防止合作学习走过场。 二、让学生在丰富多彩的教学活动中感悟新知。 通过组织学生参与“连一连，写一写，画一画”等教学活动，充分调动了学生的多种感官协调合作，感悟了新知，发展了数感，体验了成功，获取了数学活动经验，真正体现了学生在课堂教学中的主体作用。2、注意让小组合作学习从形式走向实质。 三、利用自主探究的学习方式。 本节课设计时，注意精选合作的时机与形式，在教学关键点、重难点时，适应地组织了同桌或四人小组的合作探究。在学生合作探究前，提出了明确的要求。

☆排列组合解题技巧归纳总结89231资料讲解

排列组合解题技巧归纳总结 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学内容 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 1 m种不同的方法，在第2类办法中有2 m种不同的方法，…，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 1 m种不同的方法，做第2步有2m种不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3 C 然后排首位共有1 4 C 最后排其它位置共有3 4 A 由分步计数原理得113 434288 C C A=

组合数学第01讲比赛中的推理(六年级)

知识图谱 组合数学第01讲_比赛中的推理-一、比赛中的推理场次计算总分计算具体赛程积分与名次得失球相关 一：比赛中的推理 知识精讲 比赛中的推理:这些问题有各种不同的形式：有分析对阵情况的，有计算各队积分的，有利用积分排名的，甚至还有讨论进球数、失球数的．不同类型的问题我们应该用不同的方法来处理． 在推理中，画示意图或表格用来分析比赛问题，能够让我们对比赛的情况更为直观明了． 1．比赛分类： （1）淘汰赛：每场比赛踢掉一支球队，只取第一名． （2）单循环赛：n支球队，每两队比赛1场，总共比赛场． （3）双循环比赛：n支球队，每两球比赛2场总共比赛场．2．与比赛积分有关的推理问题．两种常见的计分法： （1）2分制计分法：“每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分”．这种情况下，每场比赛无论结果如何，双方总得分都是2分，因此所有选手的总分就等于“比赛场数×2”． （2）3分制计分法：“每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各的1分”．这种情况下，总分就是“胜负场数×3+平局场数×2”，或者写成“比赛场数×2-平局场数”． 三点剖析

重难点：要注意搞清比赛规则，特别是积分规则，对阵方式，认识总场次、总得分与某个对或人总得分、总场次间的区别与联系．．若是画对阵关系图，注意箭头表胜负，虚线表示平局． 题模精讲 题模一场次计算 例1.1.1、 某年级8个班级进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．某班级共得15分，并以无负局成绩获得冠军，那么该班共胜几场比赛？ 答案： 4 解析： 该班赛了7场．假设全是平局，应得7分．每将1场平局替换为胜场，总分增分，故该班共胜场． 例1.1.2、 为弘扬亚运精神，四年级组织了篮球联赛，赛制为单循环制，即每两队之间都要比一场，计划安排15场比赛，应该邀请几个篮球队参加？ 答案： 6 解析： 由于，故应该邀请6个篮球队参加．

排列组合基础知识及习题分析

排列组合基础知识及习题分析 在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！ C53＝（5×4×3）/（3×2×1） C62＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出 n C m n公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。 以取值N的阶层作 为分母 p53＝5×4×3 p66＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 p m n＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二： 其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法。. ***************************************************************************** 提供10道习题供大家练习

组合数学课程教学大纲

《组合数学》课程教学大纲 课程编号：（研究生院统一编写） 课程名称：组合数学 英文名称：Combinatorial Mathematics 课程类别：学位（基础理论课）课 授课对象：工程硕士 学分：2 学时：40 开课学期：1 开课周次：1-20周 开课系及教研室：（保定）计算机系计算机教研室 任课教师及职称：（保定）孟建良副教授 先修课程：高等数学、离散数学 适用专业：计算机应用技术 主要内容：随着计算机性能的持续提高及其应用的深入普及，组合数学自20世纪60年代以来得到了急速的发展。组合数学的思想和技巧不仅影响着数学的许多分支，而且广泛应用于计算机科学、社会科学、信息论、生物科学以及其他传统自然科学领域。每当我们求解实际问题，编制计算机程序的时候，它往往不仅提供具体的算法而且还知道对算法运行效率和存储需求的分析。正因为如此，组合数学所包含的内容越来越广泛。本课程主要包括以下基本内容： 1.排列与组合 加法法则、乘法法则及排列与组合，圆周排列，排列的生成算法，序数法、字典序法、换位法，组合的生成，允许重复的组合，司特林公式，瓦利斯公式。 2.递推关系与母函数

母函数的性质，若干基本的母函数，指数型母函数，费卜拉契数列，解线性常系数递推关系特征根法，任意阶齐次递推关系，司特林数，卡特朗数。 3.容斥原理与鸽巢原理 容斥原理的两个基本公式，有限制的排列，棋盘多项式，有禁区的排列问题，广义的容斥原理，广义容斥原理的若干应用，错排问题的推广，容斥原理在数论上的应用，一般的鸽巢原理，鸽巢原理的推广，拉蒙赛数。 4.Burnside引理与Po/lya定理 群的概念，群的基本性质，置换群，循环、奇循环与偶循环，Burnside引理，Po/lya定理，母函数形式的波利亚定理。 使用教材：《组合数学》,卢开澄,卢华明,清华大学出版社,2002年 参考书目：《组合数学》,Richard A.Brualdi 著,冯舜玺等译,机械工业出版社，2005年。 组合数学导论》,（美）C.L.Liu著,魏万迪译,四川大学出版社,1987年。 教研室意见： 系（院、部）意见： 研究生院审核意见：

排列组合概率专题讲解

专题五： 排列、组合、二项式定理、概率与统计 【考点分析】 1． 突出运算能力的考查。高考中无论是排列、组合、二项式定理和概率题目，均是用数 值给出的选择支或要求用数值作答，这就要求平时要重视用有关公式进行具体的计算。 2． 有关排列、组合的综合应用问题。这种问题重点考查逻辑思维能力，它一般有一至两 3． 个附加条件，此附加条件有鲜明的特色，是解题的关键所在；而且此类问题一般都有 多种解法，平时注意训练一题多解；它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于中等偏难（理科）的题目。 4． 有关二项式定理的通项式和二项式系数性质的问题。这种问题重点考查运算能力，特 别是有关指数运算法则的运用，同时还要注意理解其基本概念，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 5． 有关概率的实际应用问题。这种问题既考察逻辑思维能力，又考查运算能力；它要求 对四个概率公式的实质深刻理解并准确运用；文科仅要求计算概率，理科则要求计算分布列和期望；它一般以一小一大（既一道选择题或填空题、一道解答题）的形式出现，属于中等偏难的题目。 6． 有关统计的实际应用问题。这种问题主要考查对一些基本概念、基本方法的理解和掌 握，它一般以一道选择题或填空题的形式出现，属于基础题。 【疑难点拨】 1． 知识体系： 2．知识重点： （1） 分类计数原理与分步计数原理。它是本章知识的灵魂和核心，贯穿于本章的始终。 （2） 排列、组合的定义，排列数公式、组合数公式的定义以及推导过程。排列数公式 的推导过程就是位置分析法的应用，而组合数公式的推导过程则对应着先选（元素）后排（顺序）这一通法。 （3） 二项式定理及其推导过程、二项展开式系数的性质及其推导过程。二项式定理的 推导过程体现了二项式定理的实质，反映了两个基本计数原理及组合思想的具体应用，二项展开式系数性质的推导过程就对应着解决此类问题的通法——赋值法（令1±=x ）的应用。 （4） 等可能事件的定义及其概率公式，互斥事件的定义及其概率的加法公式，相互独 立事件的定义及其概率的乘法公式，独立重复试验的定义及其概率公式。互斥事件的概率加法公式对应着分类相加计数原理的应用，相互独立事件的概率乘法公式对应着分步相乘计数原理的应用。 （5） （理科）离散型随机变量的定义，离散型随机变量的分布列、期望和方差。 （6） 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，总体分布，正态分布，线性回归。

第一章 什么是组合数学

第一章什么是组合数学 组合学问题在生活中随处可见。例如，计算下列赛制下总的比赛次数：n个球队参赛，每队只和其他队比赛一次。创建幻方。在纸上画一个网络。用铅笔沿着网络的线路走，在笔不离开纸面且不重复线路的条件下，笔画出网络因。在玩扑克牌游戏中，计算满堂红牌的手数，以确定出现一手满堂红牌的几率。所有这些都是组合学问题。正如人们想到的．组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏之中。过去研究过的许多问题，不论出于消遣还是出于对其美学的考虑，如今在纯科学和应用科学中都具有高度的重要性。今天，组合数学是数学的一门重要分支，而且它的影响还在继续扩大。组合数学自60年代以来急速发展的部分原因就在于计算机在我们的社会中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥。由于运算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的。然而计算机不能独立运行，它需要编程来控制。这些程序的基础往往是求解问题的组合学算法，对于这些算法，运行时间效率和存储需求分析需要更多的组合学思想。 组合数学近期发展的另一个原因是它对于那些过去很少与数学正式接触的学科的适用性。由此我们发现，组合数学的思想和技巧不仅正在用于数学应用的传统自然科学领城，而且也用于社会科学、生物科学、信息论等领域。此外，组合数学和组合学思想在许多数学分支中已经变得越来越重要。 组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。如下两类一般性问题反复出现： 排列的存在性如果有人想要排列—个集合的成员使得某些条件得以满 足，那么这样一种排列是否可行根本就不是显而易见的。这是最根本的问题。如果这种排列不总是可能的，那么我们要问，这种排列在什么样的(必要和充分)条件下能够实现？ 排列的计数和分类如果一个指定的排列是可能的，那么就会存在多种 方法去实现它。此时，人们就可以计数并将它们分类。 虽然对任何组合问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实践中常常发生的却是：如果存在性问题需要广泛地研究，那么计数问题则是非常困难的。然而，如果指定的排列问题的存在性容易解决，那么计算实现该排列的方法的数目则是可能的。在例外的情形下(即当它们的数目较小时)，这些排列可以被列出来，理解列出所有的排列与确定它们的数目之间的区别很重要。一旦这些排列被列出，它们就可通过与整数集{1，2，3，…，n}之间建立一一对应而被数出，其中n 是某个整数。我们计数的方法就是：1，2，3…，n。但是，我们主要关心的是事先不列出指定类型的排列而确定它们的数目的方法。当然，这些排列的总数也许很大以至于不可能把它们部列出来，概括地说，许多组合学问题常呈现下列形式：“能否排列…?” “存在一个……吗?” “能用多少方法—…?” “计算……的数目。”