整数三角形

一种特殊三角形。指边长为连续的三个正整数。而且其面积也是正整数的三角形。是海伦（Heron）研究海伦公式得到的一种特殊情况。例如：边长为3,4,5 ；13,14,15 ；51,52,53 ；193,194,195 等的三角形均为海伦三角形。

整数三角形（含非连续整数）

勾股数组：

常用的勾股数

常见的几种通式：

(1) （3， 4， 5）,（6， 8，10） … 3n,4n,5n (n 是正整数) (2) （5，12，13）,（ 7，24，25）,（ 9，40，41）…

2n ＋ 1, 2n 2 +2n, 1222

++n n (n 是正整数)

(3) (8，15，17), (12，35，37) …)1(22+n ,1)]1(2[2-+n ，1)]1(2[2++n (n 是正整数)

(4)22n m -,2mn,2

2n m + (m 、n 均是正整数，m>n)

a=m2-n2；b=2mn ；c=m2+n2

简介

所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。

即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N

又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：[1]

勾股数第一套路

当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)[1]

... ...

这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。[1]

勾股数第二套路

2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1

也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

n=6时(a,b,c)=(12,35,37)[1]

... ...

这是第二经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (大于等于2), b=4n2-1, c=4n2+1，例如：

n=2时(a,b,c)=(8,15,17)

n=3时(a,b,c)=(12,35,37)

n=4时(a,b,c)=(16,63,65)[1]

常见组合

3，4，5 ：勾三股四弦五

5，12，13 ：5·12记一生（13）

6，8，10：连续的偶数

8，15，17 ：八月十五在一起（17）

勾股数特殊组合

连续的勾股数只有3，4，5

连续的偶数勾股数只有6，8，10

勾股数20以内

3 4 5；5 12 13；6 8 10；8，15，17；9 12 15

勾股数20-130

7 24 25；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；

15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82；20 21 29；

20 48 52；20 99 101；21 28 35；21 72 75；22 120 122；24 32 40；24 45 51；24 70 74；

25 60 65；27 36 45；28 45 53；28 96 100；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；

33 56 65；35 84 91；36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85 ；

40 96 104；42 56 70 ；45 60 75 ；48 55 73 ；48 64 80 ；48 90 102 ；51 68 85 ；

54 72 90 ；56 90 106 ；57 76 95 ；60 63 87 ；60 80 100 ；60 91 109 ；63 84 105 ；

65 72 97 ；66 88 110 ；69 92 115 ；72 96 120 ；75 100 125 ；80 84 116。

三个数都在100以内共有52组。

10000 以内勾股数表

3 4 5

5 12 13

6 8 10

7 24 25

8 15 17

9 12 15

9 40 41

10 24 26

11 60 61

12 16 20

12 35 37

13 84 85

14 48 50

15 20 25

15 36 39

15 112 113

16 30 34

16 63 65

17 144 145

18 24 30

18 80 82

19 180 181

20 21 29

20 48 52

20 99 101

21 28 35

21 72 75

21 220 221

22 120 122

23 264 265

24 32 40

24 45 51

24 70 74

24 143 145

25 60 65

25 312 313

26 168 170

27 36 45

27 120 123

27 364 365

28 45 53

2896 100

28195 197

29 420 421

30 40 50

30 72 78

30 224 226

31 480 481

32 60 68

32 32 33 33 33 33 34 35 35 35 36 36 36 36 36 37 38 39 39 39 39 40 40 40 40 40 41 42 42 42 43 44 44 44 45 45 45 45 45 46 47 48 48 48 48 48 48 48 49 126 130 255 257 44 55 56 65 180 183 544 545 288 290 84 91 120 125 612 613 48 60 77 85 105 111 160 164 323 325 684 685 360 362 52 65 80 89 252 255 760 761 42 58 75 85 96 104 198 202 399 401 840 841 56 70 144 150 440 442 924 925 117 125 240 244 483 485 60 75 108 117 200 205 336 339 1012 1013 528 530 1104 1105 55 73 64 80 90 102 140 148 189 195 286 290 575 577 168 175 49 50 50 51 51 51 51 52 52 52 53 54 54 54 55 55 55 56 56 56 56 56 57 57 57 57 58 59 60 60 60 60 60 60 60 60 60 61 62 63 63 63 63 63 64 64 64 64 65 1200 1201 120 130 624 626 68 85 140 149 432 435 1300 1301 165 173 336 340 675 677 1404 1405 72 90 240 246 728 730 132 143 300 305 1512 1513 90 106 105 119 192 200 390 394 783 785 76 95 176 185 540 543 1624 1625 840 842 1740 1741 63 87 80 100 91 109 144 156 175 185 221 229 297 303 448 452 899 901 1860 1861 960 962 84 105 216 225 280 287 660 663 1984 1985 120 136 252 260 510 514 1023 1025 72 97 65 65 65 66

66 66 66 67 68 68 68 69 69 69 69 70 70 70 71 72 72 72 72 72 72 72 72 73 74 75 75 75 75 75 75 76 76 76 77 77 77 78 78 78 78 79 80 80 80 156 169 420 425 2112 2113 88 110 112 130 360 366 1088 1090 2244 2245 285 293 576 580 1155 1157 92 115 260 269 792 795 2380 2381 168 182 240 250 1224 1226 2520 2521 96 120 135 153 154 170 210 222 320 328 429 435 646 650 1295 1297 2664 2665 1368 1370 100 125 180 195 308 317 560 565 936 939 2812 2813 357 365 720 724 1443 1445 264 275 420 427 2964 2965 104 130 160 178 504 510 1520 1522 3120 3121 84 116 150 170 192 208 80 80 80 80 81 81 81 81 82 83 84 84 84 84 84 84 84 84 84 85 85 85 85 86 87 87 87 87 88 88 88 88 88 88 89 90 90 90 90 90 91 91 91 92 92 92 93 93 93 315 325 396 404 798 802 1599 1601 108 135 360 369 1092 1095 3280 3281 1680 1682 3444 3445 112 140 135 159 187 205 245 259 288 300 437 445 585 591 880 884 1763 1765 132 157 204 221 720 725 3612 3613 1848 1850 116 145 416 425 1260 1263 3784 3785 105 137 165 187 234 250 480 488 966 970 1935 1937 3960 3961 120 150 216 234 400 410 672 678 2024 2026 312 325 588 595 4140 4141 525 533 1056 1060 2115 2117 124 155 476 485 1440 1443

93 4324 4325 94 2208 2210 95 168 193 95 228 247 95 900 905 95 4512 4513 96 110 146 96 128 160 96 180 204 96 247 265 96 280 296 96 378 390 96 572 580 96 765 771 96 1150 1154 96 2303 2305 97 4704 4705 98 336 350 98 2400 2402 99 132 165 99 168 195 99 440 451 99 540 549 99 1632 1635 99 4900 4901 100 105 145 100 240 260 100 495 505 100 621 629 100 1248 1252 100 2499 2501 101 5100 5101 102 136 170 102 280 298 102 864 870 102 2600 2602 103 5304 5305 104 153 185 104 195 221 104 330 346 104 672 680 104 1350 1354 104 2703 2705 105 140 175 105 208 233 105 252 273 105 360 375 105 608 617 105 784 791 105 1100 1105

105 105 106 107 108 108 108 108 108 108 108 108 109 110 110 110 111 111 111 111 112 112 112 112 112 112 112 113 114 114 114 114 115 115 115 115 116 116 116 117 117 117 117 117 117 118 119 119 119 119

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132 132 132 132 132 132 132 132 133 133 133 133 134 135 135 135 135 135 135 135 135 136 136 136 136 136 136 137 138 138 138 138 139 140 140 140 140 140 140 140 140 140 140 141 141 141 141 142 143 143

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