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二倍角公式及半角公式汇总

三角函数是数学考试中一个很重要的知识点，学好三角函数要牢记公式，接下来分享三角函数二倍角公式及半角公式。

二倍角公式及半角公式

二倍角公式大全

Sin2A=2SinA*CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)

半角公式大全

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)

sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)

cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))

tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

三角函数诱导公式

诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等

设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

诱导公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

设α为任意角，弧度制下的角的表示：

sin(π+α)=-sinα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

诱导公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα

二倍角公式的应用,推导万能公式

课题十：二倍角公式的应用，推导万能公式教学第一环节：衔接阶段回收上次课的教案，检查学生的作业，做判定。了解家长的反馈意见通过交流，了解学生思想动态，稳定学生的学习情绪了解学生上次学习的情况，查漏补缺，为后面的备课方向提供依据教学第二个环节：教学内容一、解答本章开头的问题：令AOB = , 则AB = a cos OA = a sin ∴S 矩形ABCD = a cos ×2a sin = a 2sin2 ≤a 2 当且仅当 sin2 = 1，即2 = 90， = 45时, 等号成立。此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2 2 二、半角公式：在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的例一、求证：α +α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1在 α-=α2sin 212cos 中，以代2，2 α代即得： 2sin 21cos 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2在 1cos 22cos 2-α=α 中，以代2，2 α代即得： 12 cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3以上结果相除得：α +α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1左边是平方形式，只要知道2 α角终边所在象限，就可以开平方。 2公式的“本质”是用角的余弦表示2 α角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 4 还有一个有用的公式：α α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证）三、万能公式 B C a A O D

二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案

二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式课型：新授课一、教学目标 1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式； (2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。 2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用。 3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展的观点看问题。二、教学重点、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、教学过程设计：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα +=+==--．

三角函数的二倍角公式及应用

三角函数的二倍角公式及应用一．考点要求 1、熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能灵活应用； 2、领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美 3、公式应用的方法与技巧。二、公式再现； 1、二倍角公式； sin2a= 2sinacosa 。 cos2a =22cos sin αα- = 22cos 1α-= 21sin α- tan2a= 22tan 1tan αα - 2、降幂公式；2 2cos 1sin ,2 2cos 1cos 22α αα α-= += 三；闯关训练 A 、类型一公式逆用逆用公式，换个角度豁然开朗，逆过来看茅塞顿开，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现； 1、求下列各式的值 ()；??cos15sin151 ()8 s i n 8 c o s 22 2 π π - () ? -?5.22tan 15.22tan 32 ； ()15.22cos 242 -? B 、、类型二----公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感

知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的。 2、已知(),5 3 sin -=-απ求α2cos 的值。 3、已知?? ? ??∈-=ππ ααα,2 ,sin 2sin ，求αtan 的值。 C 、、类型三----化简 ()()()2 4441sin cos ;2cos sin a a θθ +-、四．能力提升； 1，已知,128,5 4 8 cos παπα <<-=求4 tan ,4 cos ,4 sin α αα的值 2、已知,2 4,1352sin π απα<<=求ααα4tan ,4cos ,4sin 的值。 3、化简 ()() 11 1sin cos cos 2;2; 1tan 1tan x x x θθ--+ 4.x x - 5. 求值：（1）0000sin13cos17cos13sin17+ （2）0 1tan 751tan 75+- （3）2 2 cos sin 8 8 π π - 6.已知a ，β都是锐角，cosa=17 ，cos ()αβ+=11 14 -，求cos β的值。 7、已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=求tan2a 及tan 2β的值。 8、求值0000tan 70tan1070tan10- 9、.已知函数 2cos cos x x x +，求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间。五；高考链接

高中数学北师大版高一必修4试题 3.3.1二倍角公式及其应用

1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12 C.12 D ．1 解析：f (x )＝12sin 2x ∈ [－12，12 ]．答案：B 2．已知sin ????π2＋α＝13 ，则cos(π＋2α)的值为( ) A ．－79 B.79 C.29 D ．－23 解析：∵sin(π2＋α)＝13，∴cos α＝13 . 则cos(π＋2α)＝－cos 2α＝1－2cos 2α ＝1－29＝79. 答案：B 3．已知等腰三角形底角的余弦值为23 ，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459 D ．－259 解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α， ∵cos α＝23 ，0<α<π， ∴sin α＝53 . ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α ＝2×23×53＝459 . 答案：A 4．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59 ，则sin 2θ等于( ) A.223 B ．－223 C.23 D ．－23 解析：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2 (sin θcos θ)2＝59 ， ∴(sin θcos θ)2＝29 . ∵θ为第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0， ∴sin θcos θ>0，∴sin θcos θ＝23 .

∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝223 . 答案：A 5．已知α为第二象限角，sin α＝35 ，则tan 2α＝______. 解析：由于α为第二象限角，且sin α＝35 ， ∴cos α＝－45.∴tan α＝－34 ， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－34)1－(－34)2＝－321－916 ＝－247. 答案：－247 6．已知0<α<π2，sin α＝45，则sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α ＝________. 解析：∵0<α<π2，sin α＝45 ， ∴cos α＝35 . ∴sin 2α＋sin 2αcos 2α＋cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1 ＝(45)2＋2×45×353×925 －1＝20. 答案：20 7．已知sin α＝cos 2α，α∈(0，π2 )，求sin 2α的值．解：∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12 . 又∵α∈(0，π2)，∴sin α＝12，α＝π6. ∴cos α＝32.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×12×32＝32 . 8．在△ABC 中，若cos A ＝13，求sin 2B ＋C 2 ＋cos 2A 的值．解：sin 2 B ＋ C 2＋cos 2A ＝1－cos (B ＋C )2＋cos 2A ＝1＋cos A 2＋2cos 2A －1 ＝12＋12×13＋2×(13)2－1＝－19.

《倍角公式和半角公式》教案1汇总

《倍角公式和半角公式》教案1 一、教学目标 1.知识目标掌握公式的推导，明确的取值范围。能运用二倍角公式求三角函数值。 2.能力目标通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 3.情感目标通过公式的推导，了解半角公式间以及它们与和角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。二、教学重点、难点重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的两种变形。难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、诱导公式、和角公式的综合应用。三、教学方法本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式，对于倍角公式的应用采取讲、练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。四、课时 1课时

五、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习两角和与差的三角函数公式先让学生回忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式的来龙去脉，并请一个同学把这六个公式写在黑板上学生板演教师点评这些公式：一方面要从公式的推导上去理解它，另一方面要从公式的结构特点上去记忆，还要注意公式的正、用、逆用和变用。今天，我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式温旧知新，让学生明确学习的内容公式的推导探索研究二倍角的正弦、余弦和正切公式请学生想一想，在公式中对如何合理赋值，才能出现 sin2,cos2,tan2 的表达式，并请同学把对应的等式写在黑板上 1. 引导学生运用已学过的两角和的三角函数公式推得二倍角公式，使学生理解二倍角公式就是两角和的三角函数公式的特例，这样有助于公式的记忆

二倍角公式教案

二倍角公式教案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。２、记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。二、教学重难点：二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性三、教学方法：讨论式教学＋练习五、教学过程 1 复习引入前面我们学习了和(差)角公式，现在请一位同学们回答一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 计算三角函数值时，有些情况中，只用加或减不能满足要求，比如，角α，我们要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等，该如何求呢？今天我们就先来学习二倍角的相关公式。 2 公式推导在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？请同学们阅读课本132页——133页，并填写课本中的空白框。（让学生做5分钟）（1）提问： sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= tanα+ tanα1－tanαtanα =2tanα1－tan 2α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= 2tanα1－tan 2α （2）提问：对于cos2α= cos 2α－ sin 2α，还有没有其他的形式？利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α

二倍角公式专项练习

二倍角公式专项练习一、选择题 1．(2011福建厦门模拟)已知tan α＝－43，则tan ????π4－α的值为( )． A ．－7 B ．7 C ．－17 D ．17 2．(2011北京东城模拟)已知sin θ＝45 ，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )． A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D ．2425 3.已知α为第二象限角,3 3cos sin =+αα,则=α2cos （） A ．35 B ．95- C ．95 D ．35- 4.若sin θ－cos θ=－51,且π<θ<2π,则cos2θ等于（） A. 257 B.－257 C.±257 D.－25 12 5．已知向量a ＝????sin ????α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ? ???α＋4π3＝( )． A ．－34 B ．－14 C ．34 D ．14 6．函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ为( )． A ．k π，(k ∈Z ) B ．k π＋π6，(k ∈Z ) C ．k π＋π3，(k ∈Z ) D ．－k π－π3 ，(k ∈Z ) 7．cos 275°+cos 215°+cos75°cos15°的值等于（） A.26 B.23 C.4 5 D.1+43 8．(2010年大同模拟)函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)－sin 2(x －π4 )是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为π的偶函数 9.若1sin( )34πα-=,则cos(2)3πα+=（） A ．78- B ．14- C ．14 D ．78 10.已知2 10cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan （） A ．34 B ．43 C ．43- D ．3 4- 二、填空题 1. 已知cos ????π2＋θ＝45 ，则cos2θ＝________．－725 2. 设sin ????π4＋θ＝13 ，则sin2θ＝________．－79

和差公式二倍角公式及半角公式

三角函数 1．两角和与差的三角函数 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±=。 2．二倍角公式 αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； 22tan tan 21tan ααα =-。 3.半角公式： 22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=，2sin 2cos 12αα=-，2cos 2cos 12αα=+ sin 2α =cos 2α= sin 1cos tan 21cos sin α αααα-===+ 4．辅助角公式 | ()sin cos sin a x b x x ?+=+， sin cos ??==其中 5.积化和差公式： ()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a , ()()[]βαβαβ--+=sin sin 2 1sin cos a ()()[]βαβαβ-++= cos cos 21cos cos a , ()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin a 6. 和差化积公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβ αβ+-+=, sin sin 2cos sin 22αβ αβ αβ+--=

cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=, cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- 例题：例1．已知α∈( 2π,π)，sin α=53,则tan(4 πα+)的值. ，例2．sin163°sin223°+sin253°sin313°的值. 例2．已知0cos cos 1 sin sin =+=+βαβα，，求cos ）的值（βα+。￥例3．若的值求，x x x x x tan 1cos 22sin ,471217534cos 2-+<<=??? ??+πππ。 ' 例5．已知正实数a,b 满足的值，求a b b a b a 158tan 5sin 5cos 5cos 5sin ππππ π=-+。

高中数学必修四《二倍角的正弦、余弦、正切公式》优秀教学设计

二倍角的正弦、余弦、正切公式【学习目标】: 1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、发现数学规律，激发学习兴趣，提高综合分析、应用数学的能力。【学习重点与难点】: 重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导。难点：二倍角公式的综合应用。一、复习两角和的三角公式二、二倍角公式的推导利用公式 cos2α可变形为：1. ；注： 2. 。 1.“二倍角” 是一种相对的数量关系。如：２α是α的二倍角；α是的二倍角。 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。练习1: 练习2：判断：三、例题教学(公式正用) 思维小结：公式正用技巧：从条件出发，顺着问题的线索，以展开公式的方法使用。 ()=+βαcos ()=+βαsin ()=+βαtan ？？，：，，：有什么发现你得到什么启示即到特殊的两个角相等由一般的问题αββα=+()？=+ααsin ()？=+ααcos ()？=+ααtan 1cos sin 22=+αα 2αcos__sin__24sin )1(=α__sin __cos 2 cos )2(22-=α_________(3)cos 213α=-22tan__(5)tan 31tan __α=-23cos 23sin 3sin )1(ααα=1sin 22cos )2(2-=αα232tan 3(3)tan 21tan 3ααα=-α的值.cos2α、tan2 .求α,135已知sinα例1.),2(ππ∈=sin2α、 (1) 本题求出cos α的值是关键,要注意象限定号；（2）在求tan2α时，直接用切化弦也可先求出tan α＝sin αcos α，再求tan2α＝2tan α1－tan 2α 的值.

二倍角公式

求三角函数最小正周期的五种方法一、定义法:直接利用周期函数的定义求出周期。例1.求函数y m x =-cos()56 π （m ≠0）的最小正周期。解：因为y m x =-cos( )56 π =-+=+-cos( )cos[()] m x m x m 5625106π πππ 所以函数y m x =-cos( )56π（m ≠0）的最小正周期T m =10π || 例2.求函数y x a =cot 的最小正周期。解：因为y x a x a a x a ==+=+cot cot()cot[()]ππ1 所以函数y x a =cot 的最小正周期为T a =||π。二、公式法:利用下列公式求解三角函数的最小正周期。 1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T = 2π ω|| 。2. y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T = π ω|| 。3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T = π ω|| 。4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T = π ω|| ……….例4.求函数y n m x =-cot()3π的最小正周期。解：因为T n m = =-πωωπ ||||而，所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为

T n m m n = -=ππ|| ||。三、转化法:对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。例5.求函数y x x =+sin cos 66的最小正周期。解：因为y x x =+sin cos 66 =+-+(sin cos )(sin sin cos cos )224224x x x x x x =+-=-=--=+(sin cos )sin cos sin cos cos 222222313 4 213414238458 x x x x x x x · 所以函数y x x =+sin cos 66的最小正周期为T = =22 πωπ ||。例6.求函数f x x x x ()sin cos cos =+422 ·的最小正周期。解：因为f x x x x ()sin cos cos =+422 · =++=++2221521 sin cos sin()x x x φ 其中sin cos φφ= =1525 ，，所以函数f x x x x ()sin cos cos =+422 ·的最小正周期为T = =2π ωπ|| 。四、最小公倍数法:由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最

二倍角公式的应用推导万能公式

教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。过程：一、解答本章开头的问题：（课本 P3）令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ ∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2 当且仅当 sin2θ = 1，即2θ = 90?，θ = 45?时, 等号成立。此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2 2 二、半角公式在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的例一、求证：α +α -= αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222 证：1?在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2 α 代α 即得： 2s i n 21c o s 2α-=α ∴2 cos 12sin 2α-=α 2?在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2 α 代α 即得： 12 c o s 2c o s 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+= α 3?以上结果相除得：α +α -=αcos 1cos 12tan 2 注意：1?左边是平方形式，只要知道2 α 角终边所在象限，就可以开平方。 2?公式的“本质”是用α角的余弦表示2 α 角的正弦、余弦、正切 3?上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） 4?还有一个有用的公式：α α -= α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证） B C a θ A O D

三、万能公式例二、求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan 2sin 2 222α -α =αα+α-=αα+α= α 证：1?2tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21 sin sin 2 22α+α=α+ααα= α=α 2?2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1 cos cos 2 2 2222α+α-=α+αα-α= α=α 3?2 tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2 22α-α=α-ααα= α α=α 注意：1?上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆） 2?这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切即：)2(tan α f 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁 3?上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小例三、已知 5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ +θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ +θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) ∴53tan 1 tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式57 2 122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32 22222=+??++-=θ+θ?+θ+θ-= 四、小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主）五、作业：《精编》P73 16 补充： 1．已知sin α + sin β = 1，cos α + cos β = 0，试求cos2α + cos2β的值。(1)

运用二倍角公式解题的六技巧

运用二倍角公式解题的五技巧二倍角公式变化多姿，在求值以及恒等变换中应用很广。若熟练掌握二倍角公式以及变通公式并能灵活运用，则往往能出奇制胜，获得新颖别致的解法。一、二倍角公式的直接运用例1 若1 sin cos 3 αα+=，0απ<<，求sin 2cos 2αα+的值。分析：由条件式两边平方，可求得sin 2α的值。注意到22 cos 2cos sin ααα=- (cos sin )(cos sin )αααα=+-，还需求c o s s i n α α-的值，于是先求22(cos sin )(sin cos )4sin cos αααααα-=+-的值，然后开方，从而要进一步界定α的范围。解：由1 sin cos 3 αα+= 两边平方得112sin cos 9αα+=，所以4sin cos 9αα=-。又 0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<，所以α为钝角。所以8 sin 22sin cos 9 ααα==-， cos sin αα-= 3 ==- ，所以22cos 2cos sin ααα=-(cos sin )(cos sin )αααα=+ -1(3=?=，从而sin 2cos 2αα+=。点评：挖掘隐含得到α 为钝角是解题的一个重要环节。注意导出公式 21sin 2(sin cos )ααα±=±。二、二倍角公式的逆用例2 求tan cot 8 8 π π -的值。解：tan cot 8 8 π π -sin cos 88cos sin 8 8 πππ π =-2 2sin cos 8 8cos sin 88 π π ππ -= cos 41sin 24 π π-= 2cot 24π=-=-。点评：本题通分后逆用正弦与余弦的二倍角公式，从而转化为特殊角函数的求值问题。三、二倍角公式的连用例3 求cos12cos 24cos 48cos96 的值．分析：242 12=? ，48224=? ，96248=? ，联想二倍角的正弦公式αααcos sin 22sin =，若逐步逆用将是一条通途．解：cos12cos 24cos 48cos96 sin12cos12cos 24cos 48cos96sin12 = sin19216sin12= sin12116sin1216 -==- 。点评：对形如αααα1 2cos 4cos 2cos cos -n 的求值问题可考虑此法．若逆用诱导公式ααπcos )2sin(=±可知74cos 72cos 7cos πππ14 5sin 143sin 14sin π ππ-=，即对于正弦之积或正弦余弦混合积的求值问题先利用诱导公式转化为余弦之积的形式利用此法求解．四、整体配对使用二倍角公式例4．求值： 78sin 66sin 42sin 6sin 分析：本题可按例２的点评部分所说的方法处理，这里介绍整体构造法．

倍角公式和半角公式一

倍角公式和半角公式一-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

倍角公式和半角公式一目标认知：学习目标： 1．能从两角和差公式导出二倍角的正弦，余弦，正切公式； 2．能运用倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出半角公式，积化和差，和差化积公式）； 3．体会换元思想，化归思想，方程思想等在三角恒等变换中的作用．学习重点：倍角公式及其变形．学习难点：倍半角公式变形及应用．内容解析： 1．倍角公式在和角公式中令=，即得二倍角公式：；；．注意：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（2）“倍角”的意义是相对的，不局限于与的形式．例如与，与等，也为引出半角作准备．（3）二倍角公式的记忆可联想相应的和角公式．（4）二倍角的正切公式成立的条件：．（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．（6）公式的逆用及变形：．

2．半角公式由倍角公式变形得到：；；；前两个公式在化简中多用于降次，而开方即得到半角公式：；；；其中正负号由的象限确定．借助倍角公式还可得到另一个半角公式：，好处在于可以不必考虑正负． 3．积化和差与和差化积（整理的方向，适当换元）（1）积化和差：（2）和差化积：本周典型例题： 1．已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值．解析：∵∴

∴sin2a = 2sinacosa = cos2a = tan2a = 2．已知，求．解析：注意公式的选择，避开不必要的计算和讨论． =． 3．求值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）cos20°cos40°cos80°；解析：（1）=；（2）＝；（3）＝；（4）＝；（5）cos20°cos40°cos80° = 注意：关注（5）的结构特点．

二倍角公式公开课教案

二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标： 1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。 2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。二、教学重难点：二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性三、教学过程 1、复习引入前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们回忆一下和角公式的内容： sin （α+β）= cos （α+β）= tan （α+β）= 2、新科探究探究一、在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？ sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos α cos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2α tan2α= tan （α+α）= α α － α α = α － α 整理得: sin2α=2sin αcos α cos2α= cos 2α-sin 2α tan2α= α － α 注意：要使tan2α= α － α 有意义，α须满足α∈﹛α∣α≠ k π+ π ，且α≠ π+ π ﹜ 学以致用提问：对于cos2α的求解还有没有其它的办法探究二、cos2α的变形式利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得： cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1 cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α 因此：cos2α = cos 2α－sin 2α 1例.2tan ,2cos ,2sin ),20(,54cos 的值求若αααπαα<<=

二倍角公式的两个特殊变式及应用

高考数学复习点拨：二倍角公式的两个特殊变式及应用二倍角公式的两个特殊变式及应用浙江周宇美一、变式变式1：sin2＝sin2(＋)－cos2(＋) ＝2sin2(＋)－1 ＝1－2cos2(＋)．变式2：cos2＝2sin(＋) cos(＋)＝2sin(＋) sin(－)．以上两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为(＋)．其实证明只需运用诱导公式再结合倍角公式即可解决．由sin2＝－cos(2＋)＝－cos2(＋)，及cos2＝ sin2(＋)，再用倍角公式即可．二、应用变式1、2主要用于题中含有2与±问题的转化．例1 已知cos(＋)＝，求．分析：本题只需将sin2及sin(－)，运用变式及诱导公式转化成cos(＋)形式即可解决问题．解：∵cos(＋)＝，由变式1，得 sin2＝1－2cos2(＋)＝． sin(－)＝cos(＋)＝．

∴ 原式＝．例2 已知sin(＋x)sin(－x)＝，x∈(，)，求sin4x的值．分析：本题只需求cos2x即可，又由变式2并结合题意即可解决．解：由变式2，得 cos2x＝2sin(＋x)sin(－x)＝，又2x∈(，2)， ∴ sin2x＝－＝－． ∴ sin4x＝2sin2xcos2x＝－．例3 已知x∈(－，)，且sin2x＝2sin(x－)，求x的值．分析：将角2x与x－统一即可，又运用变式1即可达到目的．解：由变式1，原方程可化为 1－2cos2(x＋)＝－cos(x＋)．解得cos(x＋)＝1或cos(x＋)＝－．又x∈(－，)， ∴x＋＝0或x＋＝， ∴ x＝－或x＝－．

《二倍角的三角函数》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《§3二倍角的三角函数》教学设计教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。【知识与能力目标】 1、理解二倍角公式的推导； 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式； 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。【过程与方法目标】通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。【情感态度价值观目标】通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。【教学重点】二倍角公式的推导。【教学难点】能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。一、复习导入。回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。 ()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ -

二、探究新知。将上述公式里的β换成α，结果是什么？二倍角公式：对于 2C α 能否有其它表示形式？公式中的角是否为任意角？注意： ①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。三、例题解析。 12cos ,(,)sin cos tan 21322 α αππααα=-∈已知，求，，的值。例题1 ()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ +-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242 k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα = -

高中总复习之二倍角公式

【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα=-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2 k παπ≠ +及 ()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是32α的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：2 cos 2 sin 2sin α α α=；1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2．和角公式、倍角公式之间的在联系在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的在联系如下：

要点二：二倍角公式的逆用及变形要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等； 2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如 (),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)； 3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例1．化简下列各式：（1）4sin cos 2 2 α α ；（2）2 2 sin cos 8 8 π π -；（3） 2tan 37.51tan 37.5? -? ．【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）2sin α（2）22-（3）23 2 + 【解析】（1）4sin cos 22sin cos 2sin 2 2 2 2 α α α α α=?=．（2）2 2 222sin cos cos sin cos 8 88842π π πππ? ?-=--=-=- ??? （3） 22tan 37.512sin 37.5123tan 751tan 37.521tan 37.522 ??+=?=?=-?-?．【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：