河南二次函数压轴题真题

二次函数压轴题

【知识点总结】

1.解析式三种表达法、二次函数极值。

2.坐标差表示线段长度：上减下，右减左。

3.分割法表示△面积。

4.等腰△和平行四边形性质与判定。

5.直线与x 轴夹角和斜率之间的关系。

6. RT △相似与全等。

7.“将军饮马”的应用。

8.易错点：动点问题中缺根，多根。

【经典例题】

一．（2009河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）．抛物线2y ax bx =+过A 、C 两点． （1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）（2）动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段

CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E 。

①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ．当t 为 何值时，线段EG 最长?

②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个 时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请直接写出相应的t 值．

二．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A )0,4(-，B )4,0(-，C )0,2(三点． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．

M

C B

A O

x

y

三．（2011河南）如图，在平面直角坐标系中，直线3342

y x =-与抛物线

2

14y x bx c =-++

交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8．

求：（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

四.（2012河南）如图，在平面直角坐标系中，直线1

12

y x =

+与抛物线23y ax bx =+-交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3.点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 与点C ，作PD ⊥AB 于点D （1）求,a b 及sin ACP ∠的值 （2）设点P 的横坐标为m

①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；

②连接PB ，线段PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由.

B

C

D

X

O

P

A

Y

五．（2013河南）如图，抛物线2y x bx c =-++与直线1

22

y x =

+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7

(3,)2

。点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE x

⊥轴于点E ，交CD 于点F . （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以,,,O C P F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。

（3）若存在点P ，使45PCF ∠=?，请直接写出相应的点

P 的坐标。

六．（2014河南）如图，抛物线y =－x 2+bx+c 与x 轴交于A (-1,0),B(5,0）两点，直线y=－

3

4

x+3与y 轴交于点C ，，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m 。 （1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF,求m 的值；

（3）若点E /是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P ，使点E /落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

E

F A

B

D

C

O P y X

七.（2015河南）如图，边长为8的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点P 是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），过点P 作PF ⊥BC 于点F ，点D ，E 的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD ，PE ，DE ．

（1）请直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的差为定值．进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点P 也是一个“好点”．

请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 周长最小时“好点”的坐标．

备用图

x

y C

A

O B

E

D

谷瑞林画图

x

y C A

O

B

E

D

F

P