【2013考纲解读】

1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.

2.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.

3. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.

4.了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. 【知识络构建】

【重点知识整合】

2．双曲线

(1)双曲线的定义；

(2)两种标准方程：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点在x 轴上；y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)，焦点在

y 轴上；

(3)双曲线方程的一般形式：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，其焦点位置有如下规律：当m >0，n <0时，焦点在x 轴上；当m <0，n >0时，焦点在y 轴上；

(4)双曲线的简单几何性质． 3．抛物线 (1)抛物线的定义；

(2)抛物线的标准方程；

(3)抛物线方程的一般形式：焦点在x 轴上的抛物线方程可以用y 2＝λx (λ≠0)表示；焦点在y 轴上的抛物线标准方程可以用x 2＝λy (λ≠0)表示；

(4)抛物线的简单几何性质． 【高频考点突破】 考点一 椭圆

1．定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． 2．标准方程：焦点在x 轴上：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)；

焦点在y 轴上：y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)；

焦点不确定：mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)． 3．离心率：e ＝c

a

＝

1－

b a

2<1.

4．过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b 2

a

.

例1、过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

2.椭圆与x 轴交于两点A (a,0)、

B (－a,0)．过点

C 的直线l 与椭圆交于另一点

D ，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .

(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；

(2)当点P 异于点B 时，求证：OP u u u r ·OQ u u u r

为定值．

所以D 点坐标为(837，－17)．

故|CD |＝

837

－02＋

－17

－12＝

167

.

【变式探究】若椭圆x2

a2＋y2

b2＝1的焦点在x轴上，过点(1，1

2)作圆x

2＋y2＝1的切线，切

点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

【方法技巧】

1．涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题

(1)求椭圆标准方程或离心率要注意a、b、c三者之间关系；

(2)要善于借助于图形分析问题；

(3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用，尤其是配方法的使用．

2．直线与椭圆的位置关系问题

(1)判断方法：利用Δ>0，Δ＝0，Δ<0可解决； (2)弦长问题：|AB |＝1＋k 2x 1－x 22

＝

1＋1k 2

y 1－y 2

2；

(3)中点弦问题：用点差法较简单. 考点二 双曲线

1．定义式：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|) 2．标准方程：

焦点在x 轴上：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

焦点在y 轴上：y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)，

焦点不明确：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 3．离心率与渐近线问题： (1)焦点到渐近线的距离为b . (2)e ＝c a

＝

1＋

b a

2>1，

注意：若a >b >0，则10，则e ＝2， 若b >a >0，则e > 2.

(3)焦点在x 轴上，渐近线的斜率k ＝±b

a ，

焦点在y 轴上，渐近线的斜率k ＝±a

b

.

(4)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2

b

2＝λ(λ≠0)．

例2、已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在

抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为

( )

A.x 236－y 2

108＝1 B.x 29－y 2

27＝1

C.x 2108－y 2

36

＝1

D.x 227－y 2

9

＝1

【变式探究】设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |

为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为

( ) A. 2 B. 3 C ．2

D ．3

【方法技巧】

1．使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上．

2．对于双曲线的离心率与渐近线的关系．若已知渐近线而不 明确焦点位置，那么离心率一定有两解．

3．直线与双曲线的交点比椭圆复杂，要注意结合图形分析．尤其是直线与双曲线有且只有一个交点?Δ＝0或l 平行于渐近线．

考点三 抛物线 1．定义式：|PF |＝d .

2．根据焦点及开口确定标准方程．注意p >0时才有几何意义，即焦点到准线的距离． 3．直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则有： (1)通径的长为2p .

(2)焦点弦公式：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ.

(3)x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2.

(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切． (5)1|AF |＋1|BF |＝2p

.

例3、如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .

(1)求实数b 的值；

(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．

【变式探究】已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为

( ) A.34 B ．1 C.54

D.74

解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为： 12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54

. 答案：C 【方法技巧】

1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法．利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p 的值．注意定义转化．

2．直线与抛物线有且只有一个交点时，不一定有Δ＝0，还有 可能直线平行于抛物线

的对称轴．

3．研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析． 【难点探究】

难点一 圆锥曲线的定义与标准方程

例1、已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，

且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )

A.x 25－y 24＝1

B.x 24－y 2

5＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 2

3

＝1 【变式探究】(1)已知点P 为双曲线x 216－y 2

9＝1右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦

点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则λ的值为( )

A.58

B.45

C.43

D.34

(2)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2

2

.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．

【答案】(1)B (2)x 216＋y 2

8

＝1

【解析】 (1)根据三角形面积公式把S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2转化为焦点三角形边之间的关系．根据S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2，得|PF 1|＝|PF 2|＋λ|F 1F 2|，即2a ＝2λc ，则λ＝a c ＝4

5.注意内心是三角形内切圆的圆心，到三角形各边的距离相等．

(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)．

因为离心率为22，所以2

2＝

1－b 2a

2， 解得b 2a 2＝1

2

，即a 2＝2b 2.

又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，

所以椭圆方程为x 216＋y 2

8＝1.

难点二 圆锥曲线的几何性质

例2、已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 2

4＝1有公共的焦点，C 2的一

条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )

A ．a 2＝13

2 B ．a 2＝13

C ．b 2＝1

2

D ．b 2＝2

【变式探究】已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线

与双曲线一个交点为P ，且∠

PF 1F 2＝π

6

，则双曲线的渐近线方程为________．

【答案】y ＝±2x

【解析】 根据已知|PF 1|＝2·b 2a 且|PF 2|＝b 2a ，故2·b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，b

a ＝ 2.

难点三 直线与圆锥曲线的位置关系

例3、设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A (0,2)，右焦点F 与点B (2，2)的距离为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在经过点(0，－2)的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足|AM

→|＝|AN

→

|？若存在，求直线l的倾斜角α；若不存在，请说明理由．

(2)由题意可设直线l的方程为y＝kx－2(k≠0)，由|AM|＝|AN|知点A在线段MN的垂直平分

线上，由

??

?

??y＝kx－2，

x2

12＋

y2

4＝1

消去y得x2＋3(kx－2)2＝12，即可得方程(1＋3k2)x2－12kx＝0，() 由k≠0得方程()的Δ＝(－12k)2＝144k2>0，即方程()有两个不相等的实数根．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，则x1，x2是方程()的两个不等的实

根，故有x1＋x2＝

12k

1＋3k2

.

从而有x0＝

x1＋x2

2＝

6k

1＋3k2

，y0＝kx0－2＝

6k2－21＋3k2

1＋3k2

＝

－2

1＋3k2

.

于是，可得线段MN的中点P的坐标为

?

?

??

?

6k

1＋3k2

，

－2

1＋3k2.

又由于k≠0，因此直线AP的斜率为k1＝

－2

1＋3k2

－2

6k

1＋3k2

＝

－2－21＋3k2

6k.

由AP⊥MN，得

－2－21＋3k2

6k×k＝－1，即2＋2＋6k

2＝6，解得k＝±

3

3，即tanα＝±

3

3.

又0≤α<π，故α＝

π

6或α＝

5π

6.综上可知存在直线l满足题意，其倾斜角为α＝

π

6或α＝

5π

6.

【点评】本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题，首先求出圆锥曲线方程，然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系．在直线与圆锥曲线位置关系的问题中，等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想，本题解答中使用的是等价转化的方法，实际上也可以根据两点间距离公式得到点M，N的坐标满足的关系式，即x21＋(y1－2)2＝x22＋(y2－2)2，即(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2－4)(y1－y2)＝0，由于点M，N在直线上，y1＝kx1－2，y2＝kx2－2，代入(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2－4)(y1－y2)＝0，得(x1＋x2)(x1－x2)＋(kx1＋kx2－8)(kx1－kx2)＝0，直线斜率存在，则x1≠x2，所以(x1＋x2)＋k[k(x1＋x2)－8]＝0，然后根据韦达定理整体代入即可

求出k 值．

【变式探究】如图所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4

5

|PD |.

(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为4

5

的直线被C 所截线段的长度．

【规律技巧】

1．离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．

2．抛物线

y 2＝2px (p >0)的过焦点

F ????p 2，0的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .同样可得抛物线y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py 类似的性质．

3．解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k

2|y 1

－y 2|，而|x 1－x 2|＝

x 1＋x 2

2－4x 1x 2

等，根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入． 【历届高考真题】 【2012年高考试题】

1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：2

2

221x y a b

-=（a,b ＞0）的左、

右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直

平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是

A.

23 B 6

2 D. 3

【答案】B

【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组???????

=-+=0,b y a x b x c

b y 得点

Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组???????

=++=0

,b y a x b x c

b y 得点P ),(a

c bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222b

c

a x

b

c b c y --=-，令0=y ，得)1(22

b a

c x +=，所以c b

a c 3)1(22=+，所以2222222a c

b a -==，即2223

c a =，所以

2

6

=

e 。故选B 2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物

线x y 162

=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）

()A 2 ()B 22 ()C 4

()D 8

3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，P

为直线32

a

x =

上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） ()A 12 ()B 23 ()C 34

()

D 4

5

【答案】C

【解析】因为12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形，则有

P

F F F 212=,，因为

02130=∠F PF ，所以

0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==

，即c c c a =?=-22

1

23，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.

4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）

A 、22

B 、23

C 、4

D 、25

5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>3.双曲

线2

2

1x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为

（A ）22182x y +

= （B ）221126x y += （C ）221164

x y += （D ）22

1205x y += 【答案】D

【解析】因为椭圆的离心率为

23，所以23==a c e ，224

3

a c =，222243

b a a

c -==

，所以224

1

a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+b x a x ，即1454222222==+b x b x b x ，所以b x b x 5

2,5422±==，22

54b y =，

b y 5

2±

=，则第一象限的交点坐标为)5

2,

5

2(b b ，所以四边形的面积为

165165

2

52

42==??b b b ，所以52

=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D.

6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C ：22x a -2

2y b

=1的焦距为10 ，点P （2,1）

在C 的渐近线上，则C 的方程为

A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -2

20

y =1 D.220x -280y =1

7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线

22

214x y b

-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A.

5 B. 42 C.3 D.5

【答案】Ａ．

【解析】由抛物线方程x y 122

=易知其焦点坐标为)0,3(，又根据双曲线的几何性质

可知2

234=+b ，所以5=

b ，从而可得渐进线方程为x y 2

5

±

=，即025=-±y x ，所以54

5|

0235|=+?-?±=

d ，故选Ａ．

8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ?的面积为（ ）

()

A 2

2

()B 2 ()C

32

2

()D 22

9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为

A 216x +212y =1

B 212x +28y =1

C 28x +24y =1

D 212x +24

y =1 【答案】C

【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x

轴上，且42

-=-c

a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a

b ，所以椭圆的方程为14

82

2=+y x ，选C. 10.【2012高考真题全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C ：x2-y2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=

(A)

14 （B ）35 (C)34 (D)4

5

11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。若直线l 的倾斜角为60o.则△OAF 的面积为

12.【2012高考真题四川理15】椭圆22

143

x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ?的周长最大时，FAB ?的面积是____________。

【答案】3

【解析】当直线x m =过右焦点时FAB ?的周长最大，1m ∴=； 将1x =带入解得32y =±

；所以13

2322

FAB S ?=??=. 13.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，

水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

14.【2012高考真题重庆理14】过抛物线2

2y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若

25

,,12

AB AF BF =

<则AF = .

15.【2012高考真题辽宁理15】已知P ，Q 为抛物线2

2x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________。

16.【2012高考真题江西理13】椭圆 )0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、

右焦点分别是F 1，F 2。若1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.

【答案】

5

5

【解析】椭圆的顶点)0,(),0,(A B a A -,焦点坐标为)0,(),0,(21c F c F -，所以

c a B F c a AF +=-=11,，c F F 221=,又因为1AF ，21F F ，B F 1成等比数列，所以有

222))((4c a c a c a c -=+-=，即225a c =，所以c a 5=，离心率为5

5

==

a c e .

17.【2012高考江苏8】

（5分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22

214

x y m m -=+的

离心率为5，则m 的值为 ▲ ．

18.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22

221(0)

x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ??

? ??

?，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．

（i ）若126

AF BF -=

，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．

【答案】解：（1）由题设知，222==

c

a b c e a

+，，由点(1)e ，在椭圆上，得 2222222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b

+=?+?+??，∴22

=1c a -。 由点32e ? ??

，在椭圆上，得

2

2

222422

2244

331311144=0=214e c a a a a a b a a

-????+=?+=?+=?-+?

∴椭圆的方程为

2

21

2

x

y

+=。

（i）由①②得，

2

12

21

m m

AF BF

+

-=

2

216

m m+

得2

m=2。

∵注意到0

m>，∴=2

m

∴直线

1

AF的斜率为

12

m

（ii）证明：∵

1

AF∥

2

BF，∴2

11

BF

PB

PF AF

=，即

2121

1111

11

BF PB PF BF AF

PB

PF AF PF AF

++

+=+?=。

∴1

11

12

=

AF

PF BF

AF BF

+

。

由点B在椭圆上知，1222

BF BF

+=()

1

12

12

=22

AF

PF BF

AF BF

+

。

同理。()

2

21

12

=22

BF

PF AF

AF BF

+

。

∴()()

122 1221

121212

2

+=222222

AF BF AF BF PF PF BF AF

AF BF AF BF AF BF

+=

+++

g