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高考数学二轮复习精品教学案专题09_圆锥曲线(教师版).

高考数学二轮复习精品教学案专题09_圆锥曲线(教师版).

【2013考纲解读】

1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用.

2.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.

3. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题.

4.了解圆锥曲线的简单应用,理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. 【知识络构建】

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【重点知识整合】

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2.双曲线

(1)双曲线的定义;

(2)两种标准方程:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),焦点在x 轴上;y 2a 2-x 2

b 2=1(a >0,b >0),焦点在

y 轴上;

(3)双曲线方程的一般形式:mx 2+ny 2=1(mn <0),其焦点位置有如下规律:当m >0,n <0时,焦点在x 轴上;当m <0,n >0时,焦点在y 轴上;

(4)双曲线的简单几何性质. 3.抛物线 (1)抛物线的定义;

(2)抛物线的标准方程;

(3)抛物线方程的一般形式:焦点在x 轴上的抛物线方程可以用y 2=λx (λ≠0)表示;焦点在y 轴上的抛物线标准方程可以用x 2=λy (λ≠0)表示;

(4)抛物线的简单几何性质. 【高频考点突破】 考点一 椭圆

1.定义式:|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|). 2.标准方程:焦点在x 轴上:x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0);

焦点在y 轴上:y 2a 2+x 2

b 2=1(a >b >0);

焦点不确定:mx 2+ny 2=1(m >0,n >0). 3.离心率:e =c

a

1-

b a

2<1.

4.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b 2

a

.

例1、过点C (0,1)的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为3

2.椭圆与x 轴交于两点A (a,0)、

B (-a,0).过点

C 的直线l 与椭圆交于另一点

D ,并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .

(1)当直线l 过椭圆右焦点时,求线段CD 的长;

(2)当点P 异于点B 时,求证:OP u u u r ·OQ u u u r

为定值.

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所以D 点坐标为(837,-17).

故|CD |=

837

-02+

-17

-12=

167

.

【变式探究】若椭圆x2

a2+y2

b2=1的焦点在x轴上,过点(1,1

2)作圆x

2+y2=1的切线,切

点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.

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【方法技巧】

1.涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题

(1)求椭圆标准方程或离心率要注意a、b、c三者之间关系;

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(2)要善于借助于图形分析问题;

(3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用,尤其是配方法的使用.

2.直线与椭圆的位置关系问题

(1)判断方法:利用Δ>0,Δ=0,Δ<0可解决; (2)弦长问题:|AB |=1+k 2x 1-x 22

1+1k 2

y 1-y 2

2;

(3)中点弦问题:用点差法较简单. 考点二 双曲线

1.定义式:||PF 1|-|PF 2||=2a (2a <|F 1F 2|) 2.标准方程:

焦点在x 轴上:x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0),

焦点在y 轴上:y 2a 2-x 2

b 2=1(a >0,b >0),

焦点不明确:mx 2+ny 2=1(mn <0). 3.离心率与渐近线问题: (1)焦点到渐近线的距离为b . (2)e =c a

1+

b a

2>1,

注意:若a >b >0,则10,则e =2, 若b >a >0,则e > 2.

(3)焦点在x 轴上,渐近线的斜率k =±b

a ,

焦点在y 轴上,渐近线的斜率k =±a

b

.

(4)与x 2a 2-y 2b 2=1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2-y 2

b

2=λ(λ≠0).

例2、已知双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =3x ,它的一个焦点在

抛物线y 2=24x 的准线上,则双曲线的方程为

( )

A.x 236-y 2

108=1 B.x 29-y 2

27=1

C.x 2108-y 2

36

=1

D.x 227-y 2

9

=1

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【变式探究】设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |

为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为

( ) A. 2 B. 3 C .2

D .3

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【方法技巧】

1.使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上.

2.对于双曲线的离心率与渐近线的关系.若已知渐近线而不 明确焦点位置,那么离心率一定有两解.

3.直线与双曲线的交点比椭圆复杂,要注意结合图形分析.尤其是直线与双曲线有且只有一个交点?Δ=0或l 平行于渐近线.

考点三 抛物线 1.定义式:|PF |=d .

2.根据焦点及开口确定标准方程.注意p >0时才有几何意义,即焦点到准线的距离. 3.直线l 过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F ,交抛物线于A 、B 两点,则有: (1)通径的长为2p .

(2)焦点弦公式:|AB |=x 1+x 2+p =2p sin 2θ.

(3)x 1x 2=p 2

4

,y 1y 2=-p 2.

(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切. (5)1|AF |+1|BF |=2p

.

例3、如图,直线l :y =x +b 与抛物线C :x 2=4y 相切于点A .

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(1)求实数b 的值;

(2)求以点A 为圆心,且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.

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【变式探究】已知F 是抛物线y 2=x 的焦点,A ,B 是该抛物线上的两点,|AF |+|BF |=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为

( ) A.34 B .1 C.54

D.74

解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB 中点到y 轴的距离为: 12(|AF |+|BF |)-14=32-14=54

. 答案:C 【方法技巧】

1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法.利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p 的值.注意定义转化.

2.直线与抛物线有且只有一个交点时,不一定有Δ=0,还有 可能直线平行于抛物线

的对称轴.

3.研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析. 【难点探究】

难点一 圆锥曲线的定义与标准方程

例1、已知双曲线x 2a 2-y 2

b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C :x 2+y 2-6x +5=0相切,

且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )

A.x 25-y 24=1

B.x 24-y 2

5=1 C.x 23-y 26=1 D.x 26-y 2

3

=1 【变式探究】(1)已知点P 为双曲线x 216-y 2

9=1右支上一点,F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦

点,I 为△PF 1F 2的内心,若S △IPF 1=S △IPF 2+λS △IF 1F 2成立,则λ的值为( )

A.58

B.45

C.43

D.34

(2)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为2

2

.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么C 的方程为________________.

【答案】(1)B (2)x 216+y 2

8

=1

【解析】 (1)根据三角形面积公式把S △IPF 1=S △IPF 2+λS △IF 1F 2转化为焦点三角形边之间的关系.根据S △IPF 1=S △IPF 2+λS △IF 1F 2,得|PF 1|=|PF 2|+λ|F 1F 2|,即2a =2λc ,则λ=a c =4

5.注意内心是三角形内切圆的圆心,到三角形各边的距离相等.

(2)设椭圆方程为x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0).

因为离心率为22,所以2

2=

1-b 2a

2, 解得b 2a 2=1

2

,即a 2=2b 2.

又△ABF 2的周长为||AB +||AF 2+||BF 2=||AF 1+||BF 1+||BF 2+||AF 2=(||AF 1+||AF 2)+(||BF 1+||BF 2)=2a +2a =4a ,所以4a =16,a =4,所以b =22,

所以椭圆方程为x 216+y 2

8=1.

难点二 圆锥曲线的几何性质

例2、已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2-y 2

4=1有公共的焦点,C 2的一

条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点.若C 1恰好将线段AB 三等分,则( )

A .a 2=13

2 B .a 2=13

C .b 2=1

2

D .b 2=2

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【变式探究】已知双曲线x 2a 2-y 2

b

2=1左、右焦点分别为F 1、F 2,过点F 2作与x 轴垂直的直线

与双曲线一个交点为P ,且∠

PF 1F 2=π

6

,则双曲线的渐近线方程为________.

【答案】y =±2x

【解析】 根据已知|PF 1|=2·b 2a 且|PF 2|=b 2a ,故2·b 2a -b 2a =2a ,所以b 2a 2=2,b

a = 2.

难点三 直线与圆锥曲线的位置关系

例3、设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为A (0,2),右焦点F 与点B (2,2)的距离为2.

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(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在经过点(0,-2)的直线l,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足|AM

→|=|AN

|?若存在,求直线l的倾斜角α;若不存在,请说明理由.

(2)由题意可设直线l的方程为y=kx-2(k≠0),由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分

线上,由

??

?

??y=kx-2,

x2

12+

y2

4=1

消去y得x2+3(kx-2)2=12,即可得方程(1+3k2)x2-12kx=0,() 由k≠0得方程()的Δ=(-12k)2=144k2>0,即方程()有两个不相等的实数根.

设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点P(x0,y0),则x1,x2是方程()的两个不等的实

根,故有x1+x2=

12k

1+3k2

.

从而有x0=

x1+x2

2=

6k

1+3k2

,y0=kx0-2=

6k2-21+3k2

1+3k2

-2

1+3k2

.

于是,可得线段MN的中点P的坐标为

?

?

??

?

6k

1+3k2

-2

1+3k2.

又由于k≠0,因此直线AP的斜率为k1=

-2

1+3k2

-2

6k

1+3k2

-2-21+3k2

6k.

由AP⊥MN,得

-2-21+3k2

6k×k=-1,即2+2+6k

2=6,解得k=±

3

3,即tanα=±

3

3.

又0≤α<π,故α=

π

6或α=

6.综上可知存在直线l满足题意,其倾斜角为α=

π

6或α=

6.

【点评】本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题,首先求出圆锥曲线方程,然后再研究直线与圆锥曲线的位置关系.在直线与圆锥曲线位置关系的问题中,等价转化和设而不求是解决问题的一个重要指导思想,本题解答中使用的是等价转化的方法,实际上也可以根据两点间距离公式得到点M,N的坐标满足的关系式,即x21+(y1-2)2=x22+(y2-2)2,即(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-4)(y1-y2)=0,由于点M,N在直线上,y1=kx1-2,y2=kx2-2,代入(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-4)(y1-y2)=0,得(x1+x2)(x1-x2)+(kx1+kx2-8)(kx1-kx2)=0,直线斜率存在,则x1≠x2,所以(x1+x2)+k[k(x1+x2)-8]=0,然后根据韦达定理整体代入即可

求出k 值.

【变式探究】如图所示,设P 是圆x 2+y 2=25上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为PD 上一点,且|MD |=4

5

|PD |.

(1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为4

5

的直线被C 所截线段的长度.

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【规律技巧】

1.离心率的范围问题其关键就是确立一个关于a ,b ,c 的不等式,再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到关于a ,c 的不等式,由这个不等式确定a ,c 的关系.

2.抛物线

y 2=2px (p >0)的过焦点

F ????p 2,0的弦AB ,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=p 2

4

,y 1y 2=-p 2,弦长|AB |=x 1+x 2+p .同样可得抛物线y 2=-2px ,x 2=2py ,x 2=-2py 类似的性质.

3.解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是:设而不求,根据韦达定理,进行整体代入.即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)时,|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+1k

2|y 1

-y 2|,而|x 1-x 2|=

x 1+x 2

2-4x 1x 2

等,根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程,利用韦达定理进行整体代入. 【历届高考真题】 【2012年高考试题】

1.【2012高考真题浙江理8】如图,F 1,F 2分别是双曲线C :2

2

221x y a b

-=(a,b >0)的左、

右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点,线段PQ 的垂直

平分线与x 轴交与点M ,若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是

A.

23 B 6

2 D. 3

【答案】B

【解析】由题意知直线B F 1的方程为:b x c b y +=,联立方程组???????

=-+=0,b y a x b x c

b y 得点

Q ),(a c bc a c ac --,联立方程组???????

=++=0

,b y a x b x c

b y 得点P ),(a

c bc a c ac ++-,所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ,所以PQ 的垂直平分线方程为:)(222b

c

a x

b

c b c y --=-,令0=y ,得)1(22

b a

c x +=,所以c b

a c 3)1(22=+,所以2222222a c

b a -==,即2223

c a =,所以

2

6

=

e 。故选B 2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物

线x y 162

=的准线交于,A B 两点,43AB =;则C 的实轴长为( )

()A 2 ()B 22 ()C 4

()D 8

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3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点,P

为直线32

a

x =

上一点,12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形,则E 的离心率为( ) ()A 12 ()B 23 ()C 34

()

D 4

5

【答案】C

【解析】因为12PF F ?是底角为30o 的等腰三角形,则有

P

F F F 212=,,因为

02130=∠F PF ,所以

0260=∠D PF ,0230=∠DPF ,所以21222121F F PF D F ==

,即c c c a =?=-22

1

23,所以c a 223=,即43=a c ,所以椭圆的离心率为43=e ,选C.

4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM =( )

A 、22

B 、23

C 、4

D 、25

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5.【2012高考真题山东理10】已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>3.双曲

线2

2

1x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为

(A )22182x y +

= (B )221126x y += (C )221164

x y += (D )22

1205x y += 【答案】D

【解析】因为椭圆的离心率为

23,所以23==a c e ,224

3

a c =,222243

b a a

c -==

,所以224

1

a b =,即224b a =,双曲线的渐近线为x y ±=,代入椭圆得12222=+b x a x ,即1454222222==+b x b x b x ,所以b x b x 5

2,5422±==,22

54b y =,

b y 5

=,则第一象限的交点坐标为)5

2,

5

2(b b ,所以四边形的面积为

165165

2

52

42==??b b b ,所以52

=b ,所以椭圆方程为152022=+y x ,选D.

6.【2012高考真题湖南理5】已知双曲线C :22x a -2

2y b

=1的焦距为10 ,点P (2,1)

在C 的渐近线上,则C 的方程为

A .220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -2

20

y =1 D.220x -280y =1

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7.【2012高考真题福建理8】已知双曲线

22

214x y b

-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A.

5 B. 42 C.3 D.5

【答案】A.

【解析】由抛物线方程x y 122

=易知其焦点坐标为)0,3(,又根据双曲线的几何性质

可知2

234=+b ,所以5=

b ,从而可得渐进线方程为x y 2

5

±

=,即025=-±y x ,所以54

5|

0235|=+?-?±=

d ,故选A.

8.【2012高考真题安徽理9】过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =,则AOB ?的面积为( )

()

A 2

2

()B 2 ()C

32

2

()D 22

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9.【2012高考真题全国卷理3】 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为

A 216x +212y =1

B 212x +28y =1

C 28x +24y =1

D 212x +24

y =1 【答案】C

【解析】椭圆的焦距为4,所以2,42==c c 因为准线为4-=x ,所以椭圆的焦点在x

轴上,且42

-=-c

a ,所以842==c a ,448222=-=-=c a

b ,所以椭圆的方程为14

82

2=+y x ,选C. 10.【2012高考真题全国卷理8】已知F 1、F 2为双曲线C :x2-y2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=|2PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=

(A)

14 (B )35 (C)34 (D)4

5

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11.【2012高考真题北京理12】在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。若直线l 的倾斜角为60o.则△OAF 的面积为

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12.【2012高考真题四川理15】椭圆22

143

x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ?的周长最大时,FAB ?的面积是____________。

【答案】3

【解析】当直线x m =过右焦点时FAB ?的周长最大,1m ∴=; 将1x =带入解得32y =±

;所以13

2322

FAB S ?=??=. 13.【2012高考真题陕西理13】右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,

水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.

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14.【2012高考真题重庆理14】过抛物线2

2y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若

25

,,12

AB AF BF =

<则AF = .

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15.【2012高考真题辽宁理15】已知P ,Q 为抛物线2

2x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P 、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于A ,则点A 的纵坐标为__________。

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16.【2012高考真题江西理13】椭圆 )0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右顶点分别是A,B,左、

右焦点分别是F 1,F 2。若1AF ,21F F ,B F 1成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.

【答案】

5

5

【解析】椭圆的顶点)0,(),0,(A B a A -,焦点坐标为)0,(),0,(21c F c F -,所以

c a B F c a AF +=-=11,,c F F 221=,又因为1AF ,21F F ,B F 1成等比数列,所以有

222))((4c a c a c a c -=+-=,即225a c =,所以c a 5=,离心率为5

5

==

a c e .

17.【2012高考江苏8】

(5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22

214

x y m m -=+的

离心率为5,则m 的值为 ▲ .

高考数学二轮复习精品教学案专题09_圆锥曲线(教师版).

18.【2012高考江苏19】(16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22

221(0)

x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -,,2(0)F c ,.已知(1)e ,和3e ??

? ??

?,都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程;

(2)设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线1AF 与直线2BF 平行,2AF 与1BF 交于点P .

(i )若126

AF BF -=

,求直线1AF 的斜率; (ii )求证:12PF PF +是定值.

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【答案】解:(1)由题设知,222==

c

a b c e a

+,,由点(1)e ,在椭圆上,得 2222222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b

+=?+?+??,∴22

=1c a -。 由点32e ? ??

,在椭圆上,得

2

2

222422

2244

331311144=0=214e c a a a a a b a a

-????+=?+=?+=?-+?

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∴椭圆的方程为

2

21

2

x

y

+=。

(i)由①②得,

2

12

21

m m

AF BF

+

-=

2

216

m m+

得2

m=2。

∵注意到0

m>,∴=2

m

∴直线

1

AF的斜率为

12

m

(ii)证明:∵

1

AF∥

2

BF,∴2

11

BF

PB

PF AF

=,即

2121

1111

11

BF PB PF BF AF

PB

PF AF PF AF

++

+=+?=。

∴1

11

12

=

AF

PF BF

AF BF

+

由点B在椭圆上知,1222

BF BF

+=()

1

12

12

=22

AF

PF BF

AF BF

+

同理。()

2

21

12

=22

BF

PF AF

AF BF

+

∴()()

122 1221

121212

2

+=222222

AF BF AF BF PF PF BF AF

AF BF AF BF AF BF

+=

+++

g