数理逻辑_复习题及参考答案
从一份模拟试题中抽取出来的《数理逻辑》复习题及参考答案
一、单选题（每小题2分，共20分）
1 以下语句是命题的是（ ）。
A ． y 等于x 。
B ． 每个自然数都是奇数。
C ． 请爱护环境。
D ． 你今天有空吗？
2 设α是一赋值，α(p)= α(q)=1，α(r)=0，下列公式的值为假的是（ ）。
A ．p ∧(q ∨r)
B ．(p ?r) ? (?r ?q)
C ．(r ?q) ∧(q ?p)
D ．(r ?q)
3 以下联结词的集合（ ）不是完备集。
A ．{?,∧,∨, ?,?}
B ．{?,∧,∨}
C ．{?, ?}
D ．{∧,∨}
4 公式A 的对偶式为A*，下列结果成立的是（ ）。
A ．A ?A*
B ．?A ?A*
C ．A|=|A*
D ．?A|=|A*
5 假设论域是正整数集合，下列自然语言的符号化表示中，（ ）的值是真的。
A ．?x ?yG(x,y)，其中G(x,y)表示xy=y
B ．?x ?yF(x,y)，其中F(x,y)表示x+y=y
C ．?x ?yH(x,y)，其中H(x,y)表示x+y=x
D ．?x ?yM(x,y)，其中M(x,y)表示xy=x
6．以下式子错误的是（ ）。
A ．?x ?A(x) |=| ??xA(x)
B ．?x(A(x)∧B(x)) |=| ?xA(x)∧?x B(x)
C ．?x(A(x)∨B(x)) |=| ?xA(x)∨?x B(x)
D ．?x(A(x)∨B(x)) |=| ?xA(x)∨?x B(x)
7. 下列式子（ ）不正确。
A ．{x}∈{{x}}
B ．{x}∈{{x},x}
C ．{x}?{{x}}
D ．{x}?{{x},x}
二、填空题（每小题2分，共20分）
1．句子“只有小王爱唱歌，他才会弹钢琴。”中，把“小王爱唱歌”形式化为命题符p ，“小王会弹钢琴”形式化为命题符q ，则句子形式化为公式 。
2．公式?(?p ∧?q )∨(?p ∧q )∨t 的对偶是 。
3．公式)()(x xB x xA ?→?的前束范式是 。
4．公式?xA(x)∨B(y)中，?量词的辖域是 ，自由变元是 。
三、计算题（30分）
1．（6分）用等值演算法计算命题公式)()(q p q p ??→?∨?的析取范式和主析取范式。
四、证明题（20分）
1．（6分）用讨论指派的方法证明A →(B →C)|=| (A →B)→(A →C)
五、综合题（10分）
在谓词逻辑自然推理系统FND 中，构造下面的证明。要求写出所有谓词的含义，分别写出前提、结论和证明过程。
“某学术会议的每个成员都是专家也是工人。有些成员是青年人。所以，有些成员是青年专家。”
参考答案
一、单选题（20分）
1 B
2 B
3 D
4 D
5 A 6．D 7. C
二、填空题（20分）
1．q →p
2．?(?p ∨?q )∧(?p ∨q )∧f
3． ))()((x B x A x ∨??
三、计算题（30分）
1． )()()(||)
()()()()(||)
()()(||)()()(||)()(q p q p q p q q p q q p p p q p p q q p q p p q q p q p q p q p ?∧∨∧?∨∧=∧?∨∧?∨∧?∨∧?∨∧=∨∧?∨?∨∧=→?∧?→∨?∨??=??→?∨?
倒数第二步可以算做析取范式；最后一步既是析取范式也是主析取范式。
四、证明题（20分）
1．证明：当赋值α使左式为真时，有α(A)=0或α(A)=1且α(B →C)=1。
当α(A)=0时，α(A →B)＝α(A →C)＝1，所以α((A →B)→(A →C))＝1。
α(A)=1且α(B →C)=1时，有α(B)＝0或α(B)＝1且α(C)＝1。
α(A)=1且α(B)＝0时，α(A →B)＝0，α((A →B)→(A →C))＝1。
α(A)=1且α(B)＝1且α(C)＝1时，α(A →B)＝α(A →C)＝1，所以α((A →B)→(A →C))＝1。 因此A →(B →C)|= (A →B)→(A →C)。
当赋值α使右式为真时，为证α((A →B)→(A →C))＝1时有α(A →(B →C))＝1，等价于证α(A →(B →C))＝0时有α((A →B)→(A →C))＝0。
α(A →(B →C))＝0时，α(A)=1且α(B →C)=0，即α(A)=1且α(B)＝1且α(C)＝0。此时α(A →
B)＝1，α(A →C)＝0，所以α((A →B)→(A →C))＝0。
因此(A →B)→(A →C)|= A →(B →C)。
因此A →(B →C)|=| (A →B)→(A →C)。
五、综合题（10分）
解答：设谓词：S(x): x 是专家；W(x): x 是工人；Y(x): x 是青年人。 前提：);()),()((x xY x W x S x ?∧?
结论：))()((x Y x S x ∧?
证明过程：
（1）)(x xY ? 前提引入
（2）Y(c) （1），ES
（3）))()((x W x S x ∧?
前提引入 （4）S(c)∧W(c) (3), US
（5）S(c) (4) T, I
（6）S(c) ∧Y(c) (2)(5) T, E
（7）))()((x Y x S x ∧?
(6), EG
离散数学数理逻辑部分考试试
离散数学形成性考核作业（四） 数理逻辑部分 本课程形成性考核作业共4次，内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第四次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。 第6章命题逻辑 1．判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题． （1）8能被4整除． （2）今天温度高吗？ （3）今天天气真好呀！ （4）6是整数当且仅当四边形有4条边． （5）地球是行星． （6）小王是学生，但小李是工人． （7）除非下雨，否则他不会去． （8）如果他不来，那么会议就不能准时开始． 解：此题即是教材P.184习题6（A）1 （1）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）是命题，（2）、（3）不是命题。 其中（1）、（5）是简单命题，（4）、（6）、（7）、（8）是复合命题。 2．翻译成命题公式 （1）他不会做此事． （2）他去旅游，仅当他有时间． （3）小王或小李都会解这个题． （4）如果你来，他就不回去． （5）没有人去看展览． （6）他们都是学生． （7）他没有去看电影，而是去观看了体育比赛． （8）如果下雨，那么他就会带伞． 解：此题即是教材P.184习题6（A）2
会带伞。 ：如果下雨，那么他就：他会带伞。 ：天下雨。）（。是去观看了体育比赛。：他没有去看电影，而。 ：他去观看了体育比赛：他去看电影。）（：他们都是学生。 ）（：没有人去看展览。 ：有人去看展览。）（去。 ：如果你来，他就不回：他回去。：你来。）（道题。：小王或小李都会解这：小李会解这道题。 ：小王会解这道题。）（时间。 ：他去旅游，仅当他有：他有时间。 ：他去游泳。）（：他不会做此事。：他会做此事。）（Q P Q P Q P Q P P P P Q P Q P Q P Q P Q P Q P P P →∧???→∧→?87654321 3．设P ，Q 的真值为1；R ，S 的真值为0，求命题公式(P ∨Q )∧R ∨S ∧Q 的真值． 解：此题即是教材P.184习题6（A ）4（2） (P ∨Q )真值为1，(P ∨Q )∧R 真值为0，S ∧Q 真值为0， 从而(P ∨Q )∧R ∨S ∧Q 真值为0。 4．试证明如下逻辑公式 （1） ┐（A ∧┐B ）∧（┐B ∨C ）∧┐C ? ┐（A ∨C ） （2） (P →Q )∧(Q →R )∧┐R ??P （此题即是教材P.185习题6（A ）5（1）、（4）） ) 7() () 8()6)(5()7()4)(2()6()4)(3()5()4()3()1() 2()() 1()(), (),(由由由由由证明：结论：前提：T B A T B A T A T B P C P C B T B A P B A B A C C B B A ∨??∧????∨?∨??∧?∨??∨??∧? ) 4)(3() 5()4()2)(1()3() 2() 1(), (),(由由证明：结论：前提：T P P R T R P P R Q P Q P P R R Q Q P ??→→→??→→
数理逻辑复习题
数理逻辑复习题 一、填空 1、数理逻辑中公式的三种类型是、和。 2、设p：我说谎；q：太阳从西边出来；则p q ?→表示；() ∧→=。 p q p 3、命题是具有真值的。 4、设p：这门课让人喜欢；q：这本书有趣；r：这本书习题很难；则下列语句：1）若这本书有趣，习题也不很难，则这门课就不会让人喜欢。 2）这本书没趣，习题也不很难，并且这门课不让人喜欢。 3）这门课让人喜欢当且仅当这本书有趣且这本书习题不很难。 符号化为1）；2）；3）。 5、p p p →→=。 二、选择 1、下列语句中，真命题是； A B、全体起立！； C、2是素数?三角形有三条边； D、4是2的倍数或是3的倍数吗 2、p：张三可做此事；q：李四可做此事；“张三可做此事或李四不可做此事”符号化为； A、p q ∧?；B、p q ∨?； C、() ?∧ p q p q ?∨；D、() 3、下列语句中，真命题是； A、我正在说谎； B、这句话是错的； C、若1+2=3则雪是黑的； D、若1+2=5则1=2； 4、下列哪个公式是永真式； ∧→； A、()() p q q p →∧→；B、p q p C、()() p q ?∨ ?∨∧??∧?；D、() p q p q 三、判断 1、语句“豆沙包是由面粉和红小豆做成的”是命题逻辑中的复合命题（） 2、任何命题公式都存在唯一与之等值的主析取范式，相应的主合取范式则不唯
一（） 3、所谓的“自然推理系统”是指，从任意给定的前提出发，应用系统中的推理规则进行推理演算，最后得到的命题公式是推理的结论，这个结论肯定是有效的结论。（） 4、在一阶逻辑（谓词逻辑）中，同一个公式在不同的解释下，其真假值可能不同（） 5、在一阶逻辑公式中，换名规则是对量词辖域中的自由变元而言的（） 6、语句“爱美之心人皆有之”可以用命题逻辑中的简单命题来描述（） 7、所谓的“推理是有效的”是指该推理的前提和结论都是正确的（） 8、由于引入了论域的概念，在一阶逻辑中，不存在永真或永假的公式（） 9、在一阶逻辑（谓词逻辑）中，量词也存在分配律，全称量词对合取存在分配律，存在量词对析取存在分配律（） 四、综合 1、求() →?的主合取范式； p q r 2、前提：(),,, ∧→?∨? p q r r s s p 结论：q ? 3、求() →?的主析取范式和成真赋值； p q r
形式逻辑-课后习题-答案(含原题)
第四章简单命题及其推理 一、下列命题是哪种直言命题？请指出命题的主项、谓项、联项、量项及主谓项的周延情况。 1．共产党员是无产阶级先进分子。答：这是个全称肯定命题（A），全称肯定量项省略；“共产党员”是主项；“是”为联项；“无产阶级先进分子”是谓项。主项周延，谓项不周延。 2．任何困难都不是不可克服的。答：这是个全称否定命题（E）。全称量项“任何”；主项“困难”；联项“不是”；谓项为负概念“不可克服的”。其主项、谓项都周延。 3．有些图书是线装书。答：这是特称肯定命题（I）。量项“有些”；主项“图书”；联项“是”；谓项“线装书”。其主项、谓项均不周延。 4．《女神》是郭沫若的诗集。答：这是个单称肯定命题。《女神》是主项；“是”是联项；“郭沫若的诗集”是谓项。其主项周延，谓项不周延。 5．有些学生不刻苦。答：这个命题一般理解为O命题：有些学生不是刻苦的。“学生”是主项；“刻苦的”是谓项；“不是”是联项；“有些”是量项。其主项不周延，谓项周延。 二、下列对当关系推理是否有效？为什么？ 1．由“有的植物不开花”真，推知“所有植物都开花”假。 答：正确。因为O与A是矛盾关系，由O真可推知A假。 2．由“凡环境污染都对人身体有害”真，推知“有的环境污染不对人身体有害”假。 答：正确。因为A与O是矛盾关系，由A真可推知O假。 3．由“有人生而知之”假，推知“有人不是生而知之”真。 答：正确。I与O是下反对关系，由I假可推知O真。 4．由“有的大学生是有理想的”真，推知“所有大学生都是有理想的”假。 答：不正确。I与A是从属（差等）关系，由I真推不出A假。 5．由“所有的古代散文都不押韵”假，推知“有的古代散文押韵”真。 答：正确。E与I是矛盾关系，由E假可推知I真。 6．由“所有的新诗都不押韵”假，推知“所有新诗都押韵”真。 答：不正确。E与A是反对关系，由E假推不出A真。 三、根据命题的对当关系，由已知下列命题的真假，断定同素材的其它三种命题的真 1．已知“某单位职工都买了电冰箱”为假。 答：这是个A命题。当A假时，同素材的E命题“某单位职工都没买电冰箱”真假不定；I命题“某单位职工有的买了电冰箱”真假不定；O命题“某单位有的职工没买电冰箱”为真。 2．已知“某班同学都不是会打桥牌的”为真。 答：这是个E命题。当E真时，A命题“某班同学都是会打桥牌的”为假；I命题“某班同学有的是会打桥牌的”为假；O命题“某班同学有的不是会打桥牌的”为真。 3．已知“有的科学家是自学成才的”为真。 答：这是个I命题。当I真时，A命题“所有的科学家是自学成才的”可真可假；E命题“所有的科学家不是自学成才的”为假；O命题“有的科学家不是自学成才的”可真可假。 4．已知“有的教授不是懂外语的”为假。 答：这是个O命题。当O假时，A命题“所有的教授都是懂外语的”为真；E命题“所有的教授都不是懂外语的”为假；I命题“有的教授是懂外语的”为真。 四、根据命题的对当关系，选择相应的命题来确定下列命题的虚假。 1．所有青年都是积极向上的。答：有的青年不是积极向上的。 2．有的理论是检验真理的标准。答：任何理论都不是检验真理的标准。
数理逻辑期末复习题
数理逻辑期末复习题 1. 符号化：我将去镇上，仅当我有时间。 答：设p：我将去镇上，q：我有时间。命题符号化为：p→q 2. 符号化：他13岁或14岁。 答：设p：他13岁，q：他14岁。命题符号化为：()()p q p q p q ∨ ∧?∨?∧或3. 利用等值演算验证： (())(())(())A B C D C A B D C A B D ∧∧→∧→∨∨?∧?→ 证明： (())(()) (())(()) ()(()[()()] ()[()()] ()[()()] ()[()()] ()() [()][(A B C D C A B D A B C D C A B D A B C D C A B D C D A B A B C D A B B A C D A B B A C D B A A B C D A B C A B D C ∧∧→∧→∨∨??∧∧∨∧?∨∨∨??∨?∨?∨∧?∨∨∨??∨∨?∨?∧∨??∨∨?∧∨?∧??∨∨?∨?∨?∨???∨∨?→∧→??∨∨????∨??∨??∧)][()]A B D C A B D ?∨?∧?→) p 4. 符号化下列命题并完成推理证明。 如果6是偶数，则7不被2整整除；或者5不是质数，或者7被2整除；但5是质数。所以，6是奇数。 解：设p:6是偶数；q：7被2整除；r:5是质数。 命题符号化为： ,,p q r q r →??∨??证明： （1）r P （2） P r q ?∨（3）q T(1)(2)I （4）p q →? P （5）q T(4)E p →?（6）p ? T(4)(5)I 5. 推理证明：(),,A B C D C D A B ∧→??∨??∨?
数理逻辑考试题及答案
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 一、命题逻辑基本知识（5分） 1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分） （0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。 解：p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。 （1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。 解：q→p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。 （2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。 解：r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。 （3）小王与小张是亲戚。 解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。 2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分） （0）A：((p q)((p q) (p q))) r （1）B：(p(q p)) (r q) （2）C：(p r) (q r) （3）E：p(p q r) （4）F：(q r) r 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。 3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分） （0）设y=2|x|，x为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。 解：设y=2|x|，x为实数。令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，p为假，q为真。本题推理符号化为：(p q) q p。由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。 （1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。 解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本题推理符号化为： ((p q) →s) p q) →(r s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。 二、命题逻辑等值演算（5分） 1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共2分） （0）求公式p→((q∧r) ∧(p∨(q∧r)))的主析取范式。 解：p→((q∧r) ∧(p∨(q∧r)))p∨(q∧r∧p) ∨(q∧r∧q∧r) p∨(q∧r∧p) ∨0 (p∧q∧r) ∨ (p∧1∧1) ∨(q∧r∧p) (p∧(q∨q)∧(r∨r)) ∨(q∧r∧p) (p∧(q∨q)∧(r∨r)) ∨m7 (p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨m7 m0∨m1∨m2∨m3∨m7. （1）求公式((p→q)) ∨(q→p)的主合取范式。 解：((p→q)) (q→p) (p→q) (p→q) (p→q) p q M2.
数理逻辑复习题
一、选择题 1、永真式的否定是（2） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。 3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧ 提示：()R P Q P Q ??∧?→? 4、下列表达式错误的有⑷ ⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨? ⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨ ⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷ ⑴ P P Q ?∧ ⑵ P Q P ?∨ ⑶ ()Q P Q ???→⑷Q Q P ??→?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3) ⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷ ⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ (3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ 7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些 老 师”的逻辑符号化为⑵ ⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶ ⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴ ⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨?
数理逻辑练习题及答案-5
一阶逻辑等值式与置换规则 1．设个体域D={a,b,c}，消去下列各式的量词： (1) x y(F(x)∧G(y)) (2) x y(F(x)∨G(y)) (3) xF(x)→yG(y) (4) x(F(x,y)→yG(y)) 2．设个体域D={1,2}，请给出两种不同的解释I1和I2，使得下面公式在I1下都是真命题，而在I2下都是假命题。 (1) x(F(x)→G(x)) (2) x(F(x)∧G(x)) 3．给定解释I如下： (a) 个体域D={3,4}。 (b) (x)为(3)=4，(4)=3。 (c) (x,y)为(3,3)=(4,4)=0，(3,4)=(4,3)=1。 试求下列公式在I下的真值： (1) x yF(x,y) (2) x yF(x,y) (3) x y(F(x,y)→F(f(x),f(y))) 4．构造下面推理的证明： (1) 前提：x(F(x)→(G(a)∧R(x)))，xF(x)
结论：x(F(x)∧R(x)) (2) 前提：x(F(x)∨G(x))，┐xG(x) 结论：xF(x) (3) 前提：x(F(x)∨G(x))，x(┐G(x)∨┐R(x))，xR(x) 结论：xF(x) 5．证明下面推理： (1) 每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。 (2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有理数、也不 是无理数。 (3) 不存在能表示成分数的无理数，有理数都能表示成分数，因此有理数都不 是无理数。
答案 1. (1) x y(F(x)∧G(y)) xF(x)∧yG(y) (F(a)∧F(b))∧F(c))∧(G(a)∨G(b)∨G(c)) (2) x y(F(x)∨G(y)) xF(x)∨yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))∨(G(a)∧G(b)∧G(c)) (3) xF(x)→yG(y) (F(a)∧F(b)∧F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) (4) x(F(x,y)→yG(y)) xF(x,y)→yG(y) (F(a,y)∨F(b,y)∨F(c,y))→(G(a)∨G(b)∨G(c)) 2.(1) I1: F(x):x≤2,G(x):x≤3 F(1),F(2),G(1),G(2)均为真，所以 x(F(x)→G(x)) (F(1)→G(1)∧(F(2)→G(2))为真。 I2: F(x)同I1,G(x):x≤0 则F(1),F(2)均为真，而G(1),G(2)均为假， x(F(x)→G(x))为假。 (2)留给读者自己做。 3. (1) x yF(x,y)
数理逻辑测试题
玛 氏 食 品 ( 中国 ) 有 限 公 司 姓名：武英杰 性别：男 1-25 题均为选择题，只有一个正确答案。答案写在( ) 内 1-6 题根据下列数字规律，选择( )内应填数字： ( B ) 1、 2，9，16，23，30，（ ） A.35 B.37 C.39 D.41 ( C ) 2、 5，11，20，32，（ ） A ．43 B ．45 C ．47 D ．49 ( C )3、 1，2，3，5，（ ），13 A 9 B 11 C 8 D7 ( A )4、 5，7，（ ），19，31，50 A 12 B 13 C 10 D11 ( C )5、 8，4，2，2，（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 ( C)6、 14，20，29，41，( ) A.45 B.49 C.56 D.72 ( A ) 7、. 15.025.053÷?的值是： A ．1 B ．1.5 C ．1.6 D ．2.0 ( C ) 8、 1994年第二季度全国共卖出汽车297600辆，与上年同期相比增长了 24%。上年同期卖出多少辆汽车?
A．714224 B．226176 C．240000 D．369024 ( D ) 9、甲、乙两地相距42公里，A、B两人分别同时从甲乙两地步行出发， A的步行速度为3公里/小时，B的步行速度为4公里/小时，问A、B步行几小时后相遇？ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 ( A)10、一根绳子长40米，将它对折剪断；再对剪断；第三次对折剪断，此时每根绳子长多少米？ A、5 B、10 C、15 D、20 ( B ) 11、如果一米远栽一棵树，则285米远可栽多少棵树？ A、285 B、286 C、287 D、284 (B ) 12、在一本300页的书中，数字“1”在书中出现了多少次？ A、140 B、160 C、180 D、120 ( D ) 13、自然数A、B、 C、 D的和为90，已知A加上2，B减去2，C乘以 2，D除以2之后所得结果相同，则B等于（） A、26 B、24 C、28 D、22 ( B ) 14、某人工作一年的报酬是18000元和一台全自动洗衣机,他干了7个月, 得到9500和一台全自动洗衣机,问这台洗衣机值多少元? A.8500元 B.2400元 C.2000元 D.1700元 ( B ) 15、橱窗：商品；相当于 A 电影：明星 B 书架：书籍 C 宇宙：星球 D 餐馆：厨师
自主招生数学专题一不等式(习题补充版)
自主招生数学专题一：不等式 不等式是初等代数研究的问题之一，常见的考点包括未必局限于均值不等式（AM-GM不等式）、Cauchy不等式、排序不等式、Jensen不等式、三角不等式…某些求导才能求得函数最值的题也可以用卡尔松不等式、赫尔德不等式.还有一些常用的技巧还包括构造局部不等式、裂项、换元、线性规划、调整法等等.在不等式的凑配过程中我们还会用到因式分解、待定系数法、主元法等方法，还需要时刻注意不等式的取等条件. 近年来，有些同学跟我反映夏令营、自主招生的不等式题不会做，为了部分缓解(看来受生物实验毒害不浅)大家对不等式的恐惧,提升大家的能力,我整理了这个专题.在选题的过程中参考了《自招宝典》《自主招生直通车》《数学奥林匹克小丛书》以及一些竞赛或学科营中的题目，和之前在“高思教育”“北京数学学校”的课堂笔记，在此对他们表示感谢. 面对一道不等式,为什么有人能想到换元?为什么有人会这么凑系数?为什么会想到如此放缩?巧夺天工的证明往往蕴含了自然而优美的逻辑.希望通过对以下例题的探讨等够带大家初步领略不等式的妙处，提升大家对不等式的感觉. 【知识梳理】 1证明均值不等式 2用不包括向量法在内的三种方法证明Cauchy不等式 3证明排序不等式
【重要例题】 1(2015北大体验营)1=++c b a 求) 1)(1)(1(c b a abc ---的最大值 21=++c b a 求证:1)9111≥++c b a 2)3 1 222≥++c b a 3)127≤abc 4)3≤++c b a 5)3311 1 ≥+ + c b a 6)63115≤+∑a 7)(2011江西预赛)最大值求32c ab 3(2016清华自主招生)12 ==∑∑x x 求xyz 最值(原题为不定项选择题) 4设0,,>c b a ,求证2≥+++c b c b a a c 5(2008南开)5262 +=+++a bc ac ab ,0,,>c b a 求c b a 23++的最小值 6(2009清华自招)设0,,>z y x ,a,b,c 是x,y,z 的一个排列，求证3 ≥++z c y b x a 7求2 211x y y x -+-的最大值 8(2010浙大),,11 +=∈=∑R x x i n i i 求证41 3 >-∑ i i x x
离散数学模拟试卷和答案
北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个
离散数学模拟试卷和答案
北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个
逻辑推理题常用的解法与解题思路
逻辑推理题常用的解法与解题思路 “逻辑思路”，主要是指遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。 【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本内容是，在同一思维过程中，同一个概念或同一个思想对象，必须保持前后一致性，亦即保持确定性。这是逻辑推理的一条重要思维规律。运用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。 例1. 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：甲：丙第二个进去，乙第三个进去。乙：甲第三个进去，丙第一个进去。丙：甲第一个进去，乙第三个进去。三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？ 分析（用同一律思路推理）；这一类问题具有非此即彼的特点。比如甲是否是第一个进办公室只有两种可能：是或非。我们用1表示“是”，0表示“非”，则可把口供列表处理。（1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾；（2）若甲非第一，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如右表，与“三人口供仅对一半”相符。从而可以判定，丙最先进入办公室。这个问题也可以不列表而用同一律推理。甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，这个结论与丙说的话“半对半错”不符。因此，有甲的第一句错，第二句对。即乙第三个进去，丙不是第二个，自然是第一个。这个结论与乙的话“半对半错”相符：甲不是第三，丙是第一。并且这个结论与丙的话“半对半错”也相符：甲不是第一，乙是第三。在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都符合题目给定的条件为止。 例2. 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？”“匹兹乌图。”那个人回答。外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意？”第二个人回答：“他说他是宝宝族的。”第三个人回答：“他说他是毛毛族的。” 请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？ 分析（用同一律思路思考）：如果第一个人是宝宝族的，他说真话，那么他说的是“我是宝宝族的”。如果这个人是毛毛族的，他说假话，他说的还是“我是宝宝族的”。这就是说，第一个人不管是什么民族的，那句话的意思都是：“我是宝宝族的”。根据这一推理，那么第二个人回答“他说他是宝宝族的”这句话是真的，而从条件可知，说真话的是宝宝族人，因此可以判断第二个人是宝宝族人。不管第一个人是什么民族的，根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”，而第三个人回答“他说他是毛毛族的”显然是错的，而说假话的是毛毛族人，因此可以断定第三个人是毛毛族人 我们在分析本题时，始终保持了思维前后的一致性，这就是同一律思路的具体运用。 【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本内容是：同一对象，在同一时间内和同一关系下，不能具有两种互相矛盾的性质，它是逻辑推理的又一重要规律，运用不矛盾律来推理、思考某些问题的解答，这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。 例1.有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答说
数理逻辑考试题及答案
“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案 --------------------------- ★----------------------------- 一、命题逻辑基本知识（5分） 1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分） （0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。 解：—p ∧q ,其中，P :小刘怕吃苦；q :小刘爱钻研。 （1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。 解：q→-p ,其中，P :怕敌人；q :战胜敌人。 （2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。 解：—r→（P→P）,其中，P:别人有困难；q :老张帮助别人；r:困难解决了。 （3）小王与小张是亲戚。 解：p，其中，P:小王与小张是亲戚。 2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分） （0）A ：（-（p^q）_；（（P -q）（.p^q））） r （1）B : （P 一9一；P））（r q） （2）C: （P -r）＞（q r） （3）E : p-;（P q r） （4）F ：—（q-；r） r------------------------------------------------------------------------ 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。 3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取.2的余，完成1题。共2分） （0）设y=2∣x∣，X为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。 解：设y=2|x|，X为实数。令P: y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，P为假，q为真。本题推理符号化为：（p—；q） q—；P。由P、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。 （1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。 解：令P:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，S:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，S=O。本题推理符号化为：（（P q）→ S） P q）→ （r S）。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。 二、命题逻辑等值演算(5分) 1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式(总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完 成1题。共2分) (0)求公式p→ ((q ∧r) ∧(P ∨(―q ∧-r)))的主析取范式。 解：p→((q ∧r) ∧(P ∨(—q ∧-「)))：= 一p∨(q ∧r∧P) ∨(q ∧r ∧一q ∧—r)二一P ∨(q ∧r∧P) ∨0 二(P ∧q∧r) ∨= (一p∧1 ∧1) ∨(q ∧r∧P) 二(—p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨-r)) ∨(q ∧r∧P) U (~p ∧(q ∨-q) ∧(r ∨一r)) ∨m7 二(一P ∧—q ∧ F ∨ (一P ∧—q ∧r) ∨ (一P ∧q ∧_r) ∨ (一P ∧q ∧r) ∨m7 m0 ∨m1 ∨m2 ∨m3 ∨m7. (1)求公式一(一(P → q)) ∨(—q → 一P)的主合取范式。 解：一(一(P → q)) (—q →-p)二(P → q) (P →q) U (P → q)
数理逻辑部分综合练习题
数理逻辑部分综合练习 一、单项选择题 1．设P：我将去打球，Q：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A．P ∨ ? P? Q→B．Q P→C．Q P?D．Q 2．命题公式P∨Q的合取范式是( )． A．P∧Q B．（P∧Q）∨（P∨Q） C．P∨Q D．?（?P∧?Q） 3．命题公式) ?的析取范式是( )． P→ (Q A．Q ?D．Q P∨ P? ∨ P? ?C．Q ∧B Q P∧ 4．下列公式成立的为( )． A．?P∧?Q ?P∨Q B．P→?Q??P→Q C．Q→P? P D．?P∧(P∨Q)?Q 5．下列公式( )为重言式． A．?P∧?Q?P∨Q B．(Q→(P∨Q)) ?(?Q∧(P∨Q)) C．(P→(?Q→P))?(?P→(P→Q)) D．(?P∨(P∧Q)) ?Q 6．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(?x)(A(x)∧B(x)) B．?(?x)(A(x)∧B(x)) C．?(?x)(A(x)→B(x)) D．?(?x)(A(x)∧?B(x)) 7．设A（x）：x是人，B（x）：x是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（）．A．(?x)(A(x)∧B(x)) B．(?x)(A(x)∧B(x)) C．?(?x)(A(x)→B(x)) D．?(?x)(A(x)∧?B(x)) 8．表达式)) ?的辖域是( )． y x z y P Q R ?中x ∨ ∧ ? x? → ( )) ( , ( ) x ( zQ y ) (z ( , A．P(x, y) B．P(x, y)∨Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)∧R(x, y) 9．在谓词公式(?x)(A(x)→B(x)∨C(x，y))中，（）． A．x，y都是约束变元B．x，y都是自由变元 C．x是约束变元，y都是自由变元D．x是自由变元，y都是约束变元 补充题：设个体域为自然数集合，下列公式中是真命题的为( ) A．)1 ? ?y + y x (= x y ? (= ? ?y x x B．)0 C．) y x y x= + ? ? (y 2 y x y x= ? ?D．) ? (x 二、填空题 1．命题公式() →∨的真值是． P Q P 2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为． 3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是． 4．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式) xA? ∨ x ?消去量词后的等值式 ) yB ( (y 为． 5．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为．
数理逻辑测试题
1.用真值表判断下列公式的类型（重言式、矛盾式还是普通式）： (1)p→(p∨q∨r) (2)(p→╕p)→╕q (3)╕(q→r)∧r (4)(p→q)→(╕q→╕p) (5)(p∧r) (╕p∧╕q) (6)((p→q)∧(q→r))→(p→r) (7)(p→q) (r s) 2.求下列公式的成真赋值 (1)╕p→q (2)p∨╕q (3)(p∧q)→╕p (4)╕(p∨q)→q 3.求下列公式的成假赋值 (1)╕(╕p∧q)∨╕r (2)(╕q∨r)∧(p→q) (3)(p→q)∧(╕(p∧r)∨p) 4.已知p→(p∨q)是重言式，╕(p→q)∧q是矛盾式，试判断(p→(p ∨q))∧(╕(p→q)∧q)及(p→(p∨q)) ∨(╕(p→q)∧q)的类型。
5.用等值演算法证明下列等值式 (1)p<=>(p∧q)∨(p∧╕q) (2)((p→q)∧(p→r))<=>(p→(p∧r)) (3)╕(p q)<=>(p∨q)∧╕(p∧q) (4)(p∧╕q)∨(╕p∧q)<=>(p∨q)∧╕(p∧q) 6.求下列公式的主析取范式和主和取范式 (1)(p∧q)∨r (2)(p→q)∧(q→r) (3)(p∧q)→q (4)(p q)→r (5)╕(r→p)∧p∧q 7.前提：╕p∨q，╕q∨r，r→s，p 结论：s 根据前提，证明结论 8.根据以下前提：p→(q→r)，q→(r→s)，证明：(p∧r)→s 9.前提：╕(p→q)∧q，p∨q，r→s 结论1：r
结论2：s 结论3：r∨s 证明从此前提出发，推出的结论1，结论2，结论3都是正确的。 10．证明下列各推理 (1)前提：p→(q→r)，p，q 结论：r∨s (2)前提：p→(q→r)，s→p，q 结论：s→r (3)前提：p→╕q，╕r∨q，r∧╕s 结论：╕p
离散数学数理逻辑部分期末复习题
离散数学数理逻辑部分综合练习辅导 一、单项选择题 1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )． A ．P Q → B ．Q P → C ．Q P ? D ．Q P ?∨? 因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，所以选项B 是正确的． 正确答案：B 一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→． 问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，会符号化吗？ 2．设命题公式G ：)(R Q P ∧→?，则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( )． A ．0, 0, 0 B ．0, 0, 1 C ．0, 1, 0 D ．1, 0, 0 个人收集整理 勿做商业用途 当P 为真值为1时，P ?的真值为0，无论()Q R ∧的真值是1还是0，命题公式G 的真值为1．所以选项D 是正确的． 正确答案：D 3．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )． A ．P ∧Q B ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ） C ．P ∨Q D ．?（?P ∧?Q ） 复习合取范式的定义： 定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式： A 1∧A 2∧…∧A n ， （n ≥1） 其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式． 由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的． 正确答案：C 4．命题公式)(Q P →?的析取范式是( )． A ．Q P ?∧ B Q P ∧? C ．Q P ∨? D ．Q P ?∨ 复习析取范式的定义： 定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式： A 1∨A 2∨…∨A n ， （n ≥1） 其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式． 公式)(Q P →?与Q P ?∧是等价的，Q P ?∧满足析取范式的定义，所以，
第一篇 数理逻辑复习题
第一篇 数理逻辑复习题 第1章 命题逻辑 一、单项选择题 1. 下列命题公式等值的是( ) B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),() C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )． (A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨ 5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )． (A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q 6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为 ( ) Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A ( 二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是 2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为 3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的 真值是 5. 命题公式P →?(P ∧Q )的类型是 ． 6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是 式(重言式、矛盾式或可满足式) 三、解答化简计算题 1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值. (1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数. (3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人. 2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型． 3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值． (2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式 ))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值． 4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧ 5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式. 6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值． 7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．