高数AII(2012年A卷,含答案)
桂 林 电 子 科 技 大 学 试 卷
2011—2012 学年第 2 学期 课号
课程名称 高等数学AII （A 卷; 闭卷） 适用班级（或年级、专业） 工科
一．选择题（每题3分，共12分）
1．已知向量1=a
，2=b ，b a ⊥，则=+b a （ A ）
A ．5
B ．21+
C ．2
D ．1
2．函数222z y x u +-=在点)1,0,1(1M 沿（ C ）方向的方向导数最大： A ．}1,1,1{ B ．}1,0,1{- C ．}1,0,1{ D ．}1,0,1{-
3．幂级数∑+∞
=?1
5n n n
n x 的收敛域是（ B ）
A ．)5,5(-
B ．)5,5[-
C ．]5,5[-
D ．]5,5(-
4．函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导，又
0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，0)),((),(),(2000000>-?y x f y x f y x f xy yy xx 且 0),(00>y x f xx ，则),(y x f z =在点),(00y x 处有（ B ）
A ．极大值
B ．极小值
C ．可能取得极值也可能不取极值
D ．必不取得极值
二．填空题（每小题3分，共12分） 1．函数y
x
y x z +
=2
3，则=dz . 答案：dy y
x
x dx y xy )3()16(22-++
2．已知两直线11321-=-=-z y x 与1
1
323+=-=--z t y x 垂直，则参数=t . 答案：1-
3．平面曲线?????=-=0
12
y x
z 绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程为： .
答案：)(122y x z +-= 4．已知级数
∑+∞
=1
1
n k
n
发散，则k 的取值是 . 答案：1≤k
三．计算题（每小题6分，共18分） 1．设直线1
8
2511:
1+=--=-z y x L ，?
?
?=+=-326
:2z y y x L ，求两直线的夹角. 解：设两直线的夹角为θ．记1L 的法向量)1,2,1(1-=n
，2L 的法向量
)2,1,1(1
200112--=-=k
j i n ，从而得： 2
1
411141221cos 2121=++?++++-=??=n n n n θ，
所以3
π
θ=
. 解毕.
2．函数),(y x z z =由3=++xy zx yz 所确定，求
x z ??，y
z ??（其中0≠+y x ）. 解：将方程3=++xy zx yz 两边同时对x 求偏导，得
0=+++y xz z yz x x ，解得y
x z
y z x ++-
=，（0≠+y x ）； 类似地，将方程3=++xy zx yz 两边同时对y 求偏导，得
0=+++x xz z yz y y ，解得y
x z
x z y ++-
=，（0≠+y x ）. 解毕. 3．求函数3
2
),,(yz xy z y x f +=在点)1,2,1(处沿着向量}5,2,1{=l
的方向导数.
解：由已知得2),,(y z y x f x =，3
2),,(z xy z y x f y +=，23),,(yz z y x f z =， 从而4)1,2,1(=x f ，5)1,2,1(=y f ，6)1,2,1(=z f .
又}5,2,1{=l 方向上的单位向量为)30
5,
30
2,
30
1(
)5,2,1(25
411=++=
l e ,
从而所求方向导数为.15
30
2230
5630
2530
14)
1,2,1(=
?
+?
+?
=??l
f 解毕.
四．解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．计算二重积分
??D dxdy x 2，其中D 是由122
=+y x
围成的闭区域.
解: 用极坐标计算, 原式.4
41)221(4cos 4cos 1032021
02
2
20
π
πρρθθρρθρθπ
π
=???==?=
????
d d d d 解毕.
2．计算曲线积分
?+L
dx xy x
)(2
，其中L 为抛物线x y =2从)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧.
解: 直接计算法,
原式.15
11)5161(2)(22)(1
01
4
52
4
=+?=+=??+=
??dy y y ydy y y y 解毕. 3．求抛物面壳)10()(2
12
2≤≤+=z y x z 的质量，设面密度函数为
2
2
11),,(y
x z y x ++=
ρ
解: 记曲面)10()(2
1:22
≤≤+=
∑z y x z , 它在x O y 面的投影区域为}2|),{(22≤+=y x y x D （图略）. 根据第一类曲线积分的物理意义, 所求质量
.211111222
22
2π==++?++=++=????
??
∑
D
D
dxdy dxdy y x y x dS y x M 解毕.
4．判定级数∑+∞
=12
5
n n n 的敛散性.
解: 由正项级数的比值判别法, 因为151
55)1(lim lim 2121<=?+=+∞→+∞→n n u u n n n n
n n ,
所以原级数收敛. 解毕.
5．将函数2
)(x e x f -=展开为x 的幂级数. 解: 因为∑∞
==
0!
1n n
x
x n e , ),(+∞-∞∈x , 所以n n n n n
x x n x n e
20
02!)1()(!12
∑∑+∞=∞
=-?-=-=, ),(+∞-∞∈x . 解毕.
五．解答题（每小题9分，共18分）
1．验证在整个xOy 平面内dx x y dy x y )()(sin 2
---是某个二元函数的全微分，并求出这样一个函数.
解: 记)(),(2
x y y x P --=, x y y x Q -=sin ),(, 则在整个xOy 面内有
y
P
x Q ??=-=??1,
从而存在xOy 面内的二元函数),(y x u , 使dx x y dy x y du )()(sin 2---=. 事实上, ?---=)
,()0,0(2)()(s i n ),(y x dx x y dy x y y x u
??
-+=
y x
dy x y dx x 0
2)(sin
xy y x --+=cos 13
3
, 即为满足条件的一个函数. 解毕. 2．计算
??∑
++ydxdy xdzdx zxdydz ，其中∑为圆柱)0(222
h z a y x
≤≤≤+的全表面，
指向外侧.
解: 利用高斯公式求解本题, 记圆柱)0(222h z a y x ≤≤≤+为Ω. 则 原式.2
21212)00(2
2220
20
h a h a zdz d d dV z h
a ππρρθπ
=??==++=
?
??
???Ω
解毕.
六．证明题（本题5分） 设???≤++++=
2
222)()(222
t z y x dv z y x
f t F ，)(u f 为连续函数，1)0('=f ，0)0(=f ，试证：
.01)41ln()(lim 550=???
???-+-→t t e t t
t F π 解: 本题采用球面坐标计算三重积分(课本带”*”号内容, 以前大纲要求, 现不作要求), 由已知, ???????=++=
≤++ππ??θ20
220
222sin )()()(2
222t
t z y x dr r r f d d dv z y x f t F
?
??
=t
dr r r f 0
22.)(4π
从而, t t t dr r r f e t t
t F t t
t t t 54lim )(4lim 1)41ln()(lim 050
2
20550πππ→→→-??=??????-+-? 545)(4lim 4220ππ-??=→t t t f t 545)(4lim 220π
π-?=→t t f t 54)0()('lim 54220ππ--=→t f t f t 545)0('4π
π-?=f .05
454=-=
ππ 证毕.