无约束最优化方法可变单纯形法(simplex)Nelder-Mead
无约束最优化方法可变单纯形法（simplex）Nelder-Mead
可爱的馒头
本程序是用Ｃ＋＋编写的，从编写的算例来看，应该是没有问题的。所采用的原理和步骤是参考华南理工大学出版社蒋金山等编写的最优化计算方法第８章第三节可变单纯形法。欢迎各位批评指正。
#include
#include
#include
int i,j;
double d[3][100]={{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}},f[100];//d[][]为单纯形的顶点，本算例中未知数个数为3，则顶点个数为4
double g,h,l,q,s=1,t=2,u=0.5,v=0.0001,y=0;//s为反射系数，t为扩展系数，u为压缩系数，v为允许误差int o,F,r,D,e,lj=0,N=4;//N为顶点的个数，o为最大值点的位置，F为最小值点的位置，r为次大值点的位置void function1(int e)//求解函数f[e]
{
f[e]=(d[0][e]-3)*(d[0][e]-3)+2*(d[1][e]+2)*(d[1][e]+2)+(d[2][e]-4)*(d[2][e]-4);//函数为f=(x1-3)^2+2(x2+2)^2+(x3-4)^2,求其最小值
}
void function2()
{
while((++lj)<100)//最大迭代次数
{ for(i=0,g=f[i];i { if(g { g=f[i+1];o=i+1; } else if(i==0) o=i; } for(i=0,h=f[i];i { if(h>f[i+1]) { h=f[i+1];F=i+1; } else if(i==0) F=i; } for(i=0,l=f[i];i { if(i==o&&i==0) { l=f[i+1]; r=i+1; continue; } if(l { l=f[i+1];r=i+1; } else if(i==0) r=i; } for(i=0;i d[i][N]=0; for(j=0;j { if(j!=o) { d[i][N]=d[i][N]+d[i][j]; } } d[i][N]=d[i][N]/(N-1);//平均值 } function1(N); for(i=0;i { d[i][N+1]=d[i][N]+(d[i][N]-d[i][o])*s;//反射 } function1(N+1); if(f[N+1] { for(i=0;i { d[i][N+2]=d[i][N]+(d[i][N+1]-d[i][N])*t;//扩展 } function1(N+2); if(f[N+2] { for(i=0;i { d[i][o]=d[i][N+2]; } f[o]=f[N+2]; y=0; for(i=0;i { y=y+(f[i]-f[N])*(f[i]-f[N]); } y=sqrt(y/(N*1.0)); if(y { for(i=0;i { printf("d[%d][%d]=%f",i,F,d[i][F]); printf("\n"); } printf("f[%d]=%f",F,f[F]); break; } else { function2(); break; } } else { for(i=0;i { d[i][o]=d[i][N+1]; } f[o]=f[N+1]; y=0; for(i=0;i { y=y+(f[i]-f[N])*(f[i]-f[N]); } y=sqrt(y/(N*1.0)); if(y { for(i=0;i { printf("d[%d][%d]=%f",i,F,d[i][F]); printf("\n"); } printf("f[%d]=%f",F,f[F]); break; } else { function2(); break; } } } if(f[N+1]>=f[F]&&f[N+1]<=f[r]) { for(i=0;i { d[i][o]=d[i][N+1]; } f[o]=f[N+1]; y=0; for(i=0;i { y=y+(f[i]-f[N])*(f[i]-f[N]); } y=sqrt(y/(N*1.0)); if(y { for(i=0;i { printf("d[%d][%d]=%f",i,F,d[i][F]); printf("\n"); } printf("f[%d]=%f",F,f[F]); break; } else { function2(); break; } } if(f[N+1]>f[r]) { if(f[N+1]>f[o])//压缩 { D=o; } else { D=N+1; } for(i=0;i { d[i][N+3]=d[i][N]+(d[i][D]-d[i][N])*u; } function1(N+3); if(f[N+3]<=f[D]) { for(i=0;i { d[i][o]=d[i][N+3]; } f[o]=f[N+3]; y=0; for(i=0;i { y=y+(f[i]-f[N])*(f[i]-f[N]); } y=sqrt(y/(N*1.0)); if(y { for(i=0;i { printf("d[%d][%d]=%f",i,F,d[i][F]); printf("\n"); } printf("f[%d]=%f",F,f[F]); break; } else { function2(); break; } } else { for(i=0;i { for(j=0;j { d[i][j]=d[i][j]+0.5*(d[i][F]-d[i][j]);//收缩 } } for(i=0;i { function1(i); } y=0; for(i=0;i { y=y+(f[i]-f[N])*(f[i]-f[N]); } y=sqrt(y/(N*1.0)); if(y { for(i=0;i { printf("d[%d][%d]=%f",i,F,d[i][F]); printf("\n"); } printf("f[%d]=%f",F,f[F]); break; } else { function2(); break; } } } } } void main() { for(i=0;i { function1(i); } function2(); } 约束最优化问题 一实习目的 1.熟练掌握科学与工程计算中常用的基本算法； 2.掌握分析问题，设计算法的能力； 3.掌握模块化程序设计的基本思想，注重模块的“高内聚，低耦合”； 4.采用自顶向下，逐步细化的编程思想完成程序书写； 5.牢固建立“清晰第一，效率第二”的软件设计观念； 6.掌握软件调试，测试的基本技能和方法； 7.提高科技报告的书写质量； 8.在掌握无约束最优化问题求解方法的前提下，对一般情形下的约束最优化问题进行研究，通过实习掌握外点罚函数法、内点罚函数法、乘子法、线性近似规划法和序列二次规划法在求解一般情形下的约束最优化问题的应用。 二问题定义及题目分析 问题1： 要求用外点罚函数法和内点罚函数法解决约束问题： Min f(x)=错误！未找到引用源。 s.t. 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 问题2： 要求用乘子法解决约束问题： Min 错误！未找到引用源。 s.t. 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 (错误！未找到引用源。) 问题3： 要求用线性近似规划法和序列二次规划法解决约束问题: Min 错误！未找到引用源。 s.t. 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。 三程序概要设计 1.外点罚函数法 Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。,罚参数序列{错误！未找到引用源。}(常取错误！未找到引用源。),精度错误！未找到引用源。，并令k=0； Step2. 构造增广目标函数错误！未找到引用源。; Step3. 求解无约束优化问题min 错误！未找到引用源。,x错误！未找到引用源。,其解记为错误！未找到引用源。； Step4. （终止准则：惩罚项充分小，或等价地错误！未找到引用源。近似可行）若错误！未找到引用源。，或者错误！未找到引用源。,错误！ 未找到引用源。,则得解错误！未找到引用源。，否则令k=k+1，转 Step2. 2.内点罚函数法： Step1. 给定初始可行解错误！未找到引用源。，罚参数序列{错误！未找到引用源。}(常取错误！未找到引用源。),精度错误！未找到引用源。，并令 k=0； Step2. 构造增广目标函数错误！未找到引用源。; Step3. 求解无约束优化问题min 错误！未找到引用源。,x错误！未找到引用源。,其解记为错误！未找到引用源。； Step4. （终止准则）若错误！未找到引用源。，则得解错误！未找到引用源。，否则令k=k+1，转 Step2. 3.乘子法： Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。，初始lagrange乘子错误！未找到引用源。,i错误！未找到引用源。罚参数序列{错误！未找到引用源。}, 精度错误！未找到引用源。，并令k=0； Step2. 构造增广目标函数错误！未找到引用源。 Step3. 求解无约束优化问题min 错误！未找到引用源。，x错误！未找到引用源。,其解记为错误！未找到引用源。； Step4. （终止准则）若错误！未找到引用源。,则得解错误！未找到引用源。，否则令 K=k+1,转Step2. 4.线性近似规划法： Step1. 给定初始点错误！未找到引用源。，步长限制错误！未找到引用源。,缩小系数错误！未找到引用源。。精度错误！未找到引用源。,并令k=0；Step2. 求解线性规划问题：min 错误！未找到引用源。 常用无约束最优化方法评价准则 方法算法特点适用条件 最速下降法属于间接法之一。方法简便，但要计算一阶偏导 数，可靠性较好，能稳定地使函数下降，但收敛 速度较慢，尤其在极点值附近更为严重 适用于精度要求不高或用于对 复杂函数寻找一个好的初始 点。 Newton法属于间接法之一。需计算一、二阶偏导数和Hesse 矩阵的逆矩阵，准备工作量大，算法复杂，占用 内存量大。此法具有二次收敛性，在一定条件下 其收敛速度快，要求迭代点的Hesse矩阵必须非 奇异且定型（正定或负定）。对初始点要求较高， 可靠性较差。 目标函数存在一阶\二阶偏导 数，且维数不宜太高。 共轭方向法属于间接法之一。具有可靠性好，占用内存少， 收敛速度快的特点。 适用于维数较高的目标函数。 变尺度法属于间接法之一。具有二次收敛性，收敛速度快。 可靠性较好，只需计算一阶偏导数。对初始点要 求不高，优于Newton法。因此，目前认为此法是 最有效的方法之一，但需内存量大。对维数太高 的问题不太适宜。 适用维数较高的目标函数 （n=10～50）且具有一阶偏导 数。 坐标轮换法最简单的直接法之一。只需计算函数值，无需求 导，使用时准备工作量少。占用内存少。但计算 效率低，可靠性差。 用于维数较低（n<5）或目标函 数不易求导的情况。 单纯形法此法简单，直观，属直接法之一。上机计算过程 中占用内存少，规则单纯形法终止条件简单，而 不规则单纯形法终止条件复杂，应注意选择，才 可能保证计算的可靠性。 可用于维数较高的目标函数。 常用约束最优化方法评价标准 方法算法特点适用条件 外点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点可以任选，罚因子应取为单调递增数列。 初始罚因子及递增系数应取适当较大值。 可用于求解含有等式约束或不等 式约束的中等维数的约束最优化 问题。 内点法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题。 初始点应取为严格满足各个不等式约束的内点， 障碍因子应取为单调递减的正数序列。初始障碍 因子选择恰当与否对收敛速度和求解成败有较大 影响。 可用于求解只含有不等式约束的 中等维数约束优化问题。 混合罚函数法将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题， 用内点形式的混合罚函数时，初始点及障碍因子 的取法同上；用外点形式的混合罚函数时，初始 点可任选，罚因子取法同外点法相同。 可用于求解既有等式约束又有不 等式约束的中等维数的约束化问 题。 约束坐标轮换法由可行点出发，分别沿各坐标轴方向以加步探索 法进行搜索，使每个搜索点在可行域内，且使目 标函数值下降。 可用于求解只含有不等式约束， 且维数较低（n<5），目标函数的 二次性较强的优化问题。 复合形法在可行域内构造一个具有n个顶点的复合形，然 后对复合形进行映射变化，逐次去掉目标函数值 最大的顶点。 可用于求解含不等式约束和边界 约束的低维优化问题。 无约束优化方法---鲍威尔方法 本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。 一、简述鲍威尔法的基本原理 从任选的初始点x⑴o出发，先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索，得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴ 再沿此方向作一维搜索，得该方向上的一维极小点x⑴. 从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。S1是该环中产生的一个新方向，称为新生方向。 接着，以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴ 弃去第一环方向组中的第一个方向e1，将第一环新生方向S1补在最后，构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1，依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接 Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向 S2=x3⑵-xo⑵ 沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点 二、鲍威尔法的程序 #include "stdafx.h" /* 文件包含*/ #include #include 项目三 常用无约束最优化方法（一） [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法（修正Newton 法）的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1．掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2．掌握Newton 法的思想及迭代步骤； 3．掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题：【选作一个】 1．用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==，，，． 2．用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-， 初始点 0[00]0.01T X ε==，，． 最速下降法 Matlab 程序： clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长 ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果：\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include 五种最优化方法 1.最优化方法概述 最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）； 4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。 最优化问题的一般形式（有约束条件）： 式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。 2.牛顿法 简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法： 3）是一种函数逼近法。 原理和步骤 3.最速下降法（梯度法） 最速下降法简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）是求解函数极值的一种方法； 3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向； 最速下降法算法原理和步骤 4?模式搜索法（步长加速法） 简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的 是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 模式搜索法步骤 5.评价函数法 简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下： min (f_1(x),f_2(x),…,f_k(x)) .g(x)<=o 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数, 经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权 求合法介绍。 线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象 (一般就是问题的解)的一种称呼。种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体，它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度，而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。 遗传算法基本流程 的就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作，最终求得最优解或近似最优解。 遗传算法步骤 《最优化方法》1 一、填空题： 1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中 ___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示 为_____________________________，若______________________________， 称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。 2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶 方向导数为___________________，几何意义为_________________________ ___________________________________。 3．设严格凸二次规划形式为： 012. .222)(min 21212 12 221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f 则其对偶规划为___________________________________________。 4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则： 用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =_______________ ____________________________________________________________。 二．（10分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算法。 三．（25分）计算题 1． （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解： )1(632)(m in 21212131----=x x x x x x x f . 2． （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题： 1)(. .)(min 22 2 1 2 1=-+==x x x c t s x x x f 的最优解和相应的乘子。 四． 证明题（共33分） 1．（10分）设δ++=x r Gx x x f T T 2 1 )(是正定二次函数，证明一维问题 精心整理 五种最优化方法 1.最优化方法概述 1.1最优化问题的分类 1）无约束和有约束条件； 2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）； 3 4 1.2 2. 2.1 1 2 3 2.2 3. 3.1 1 2 3 3.2 4.模式搜索法(步长加速法) 4.1简介 1）解决的是无约束非线性规划问题； 2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。 3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。轴向移动的目的是探测有利的下降 方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。 4.2模式搜索法步骤 5.评价函数法 5.1简介 评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下： min(f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)) s.t.g(x)<=0 传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。选取其中一种线性加权求合法介绍。 5.2线性加权求合法 6.遗传算法 智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。 6.1遗传算法基本概念 1.个体与种群 个体就是模拟生物个体而对问题中的对象（一般就是问题的解）的一种称呼。 种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体,它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。 2.适应度与适应度函数 适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度,而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。 适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。 6.2遗传算法基本流程 遗传算法的中心思想就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、变异等遗传操作,最终求得最优解或近似最优解。 遗传算法步骤 步1在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N，交叉率Pc和变异率Pm，代数T； 一、 填空题 1.若()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ， 则=?)(x f ，=?)(2x f . 2.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。 3.向量T )3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 6.以下约束优化问题： )(01)(..)(min 212121 ≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f 的K-K-T 条件为： . 7.以下约束优化问题： 1 ..)(min 212 2 21=++=x x t s x x x f 的外点罚函数为（取罚参数为μ） . 二、证明题（7分+8分） 1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h n i ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题： } ,,1{, 0)(},1{, 0)(..)(min 1112 m m E j x h m I i x g t s x x f j i n k k +=∈==∈≥=∑= 是凸规划问题。 2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题： } ,1{,0} 2,1{,0..) (min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i T i +=∈=-=∈≥- 设d 是问题 1 ||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥?d E i d a I i d a t s d x f T i T i T 的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。 三、计算题（每小题12分） 1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）： 2 2 212)(min x x x f += 2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题： 212 2212 1)(min x x x x x f -+= 3.用有效集法求解下面的二次规划问题： . 0,001..42)(min 21212 12 221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f 4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0() 0(=x ,计算到)2(x 即可)： . 0,033..22 1)(min 21211222121≥≥≤+-+-= x x x x t s x x x x x x f 第三章无约束最优化方法 本章内容及教学安排 第一节概述 第二节迭代终止原则 第三节常用的一维搜索方法 第四节梯度法 第五节牛顿法 第六节共轭方向法 第七节变尺度法 第八节坐标轮换法 第九节鲍威尔方法 第一节概述 优化问题可分为 无约束优化问题 有约束优化问题 无约束最优化问题求解基于古典极值理论的一种数值迭代方法，主要用来求解非线性规划问题 迭代法的基本思想： 所以迭代法要解决三个问题 1、如何选择搜索方向 2、如何确定步长 3、如何确定最优点（终止迭代） 第二节 迭代终止准则 1）1K K X X ε+-≤ 111/2 21K K K K n i i i X X X X ε++=??-=-≤???? ∑（） 2） 11()()()() () K K K K K f X f X f X f X or f X ε ε ++-≤-≤ 3）(1)()K f X ε+?≤ 第三节 常用的一维搜索方法 本节主要解决的是如何确定最优步长的问题。 从初始点(0)X 出发，以一定的步长沿某一个方向，可以找到一个新的迭代点，其公式如下： (1)(0)00(2)(1)11(1)() K K k k X X S X X S X X S ααα+=+=+= + 现在假设K S 已经确定，需要确定的是步长k α，就把求多维目标函数的极小值这个多维算过程中，当起步点和方向问题，变成求一个变量即步长的最优值的一维问题了。即 (1)()min ()min ()min ()K K K k k f X f X S f αα+=+= 由此可见，最佳步长*K α由一维搜索方法来确定 求*k α，使得()()()()()()min K K K K f f X S αα=+→ 一、一维搜索区间的确定 区间[,]a b 应满足 ()(*)()f a f f b α>< 无约束最优化直接方法和间接方法的异同 无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称 无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最 无约束最优化方法可变单纯形法（simplex）Nelder-Mead 可爱的馒头 本程序是用Ｃ＋＋编写的，从编写的算例来看，应该是没有问题的。所采用的原理和步骤是参考华南理工大学出版社蒋金山等编写的最 优化计算方法第８章第三节可变单纯形法。欢迎各位批评指正。 #include 第四章 无约束优化方法 ——最速下降法，牛顿型方法 概述 在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加限制，则称这 种最优化问题为无约束优化问题。尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的， 无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。因为约束最优化问题可以通过 对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。 为什么要研究无约束优化问题? （1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。 （2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。 （3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。 所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。 一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度 法、共轭梯度法等。 二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯 形法等。 无约束优化问题的一般形式可描述为： 求n 维设计变量 []12T n n X x x x R =∈L 使目标函数 ()min f X ? 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 无约束优化问题的求解： 1、解析法 可以利用无约束优化问题的极值条件求得。即将求目标函数的极值问题变成求方 程 0)(min *=X f 的解。也就是求Ｘ＊使其满足 解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值 点。但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性 的，很难用解析法求解，要用数值计算的方法。由第二章的讲述我们知道，优化问题 的一般解法是数值迭代的方法。因此，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用 数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。 2、数值方法 数值迭代法的基本思想是从一个初始点) 0(X 出发，按照一个可行的搜索方向)0(d ρ搜索，确定最佳的步长0α使函数值沿)0(d ρ方向下降最大，得到)1(X 点。依此一步一步地重复数值计算，最终达到最优点。优化计算所采用的基本迭代公式为 ),2,1,0()()()1(Λρ=+=+k d X X K K K K α （4.2） 在上式中， ()K d r 是第是 k+1 次搜索或迭代方向，称为搜索方向（迭代方向）。 由上面的迭代公式可以看出，采用数值法进行迭代求优时，需要确定初始点)(k X 、搜索方向)(k d ρ和迭代步长K α，称为优化方法迭代算法的三要素。第三章我们已经讨论了如何在搜索方向)(k d ρ上确定最优步长K α的方法，本章我们将讨论如何确定搜索方向)(k d ρ。 最常用的数值方法是搜索方法，其基本思想如下图所示： 0)(0)(0)(*2*1*=??=??=??n x X f x X f x X f M约束最优化问题
常用最优化方法评价准则
无约束优化方法程序
常用无约束最优化方法(一)
五种最优化方法
最优化方法试卷与答案5套
五种最优化方法
最优化方法(试题+答案)
第三章 无约束最优化方法
无约束最优化直接方法和间接方
无约束最优化直接方法和间接方法的异同
无约束最优化方法可变单纯形算法(simplex)Nelder-Mead
无约束优化方法(最速下降法_牛顿法)