一函数与映射的基本概念
一、函数与映射的基本概念
一、基本概念
1．函数的定义：
设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称这样的对应“f :A →B ”为从集合A 到B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合C={y|y = f （x ）,x ∈A }叫做函数的值域)(B C ?. 函数符号y =f (x )表示“y 是x 的函数”，或简记为f (x )．这里的“f ”即对应法则，它确定了y 与x 的对应关系．从函数概念看，“定义域、值域和对应法则”是构成函数的三个要素，其中，“定义域和对应法则”是两个关键性要素，定义域和对应法则一旦确定，函数的值域也随之确定．
2、对应法则
是指y 与x 的对应关系，它含有两层意思，一是对应的过程（形式），即由x 求出y 的运算过程，一般体现在函数的解析表达式中；二是运算的结果（本质），即y 的值，两个对应法则是否相同，要看对于同一个自变量的值所得到的函数值是否相同，有时形式上不同的对应法则本质上是相同的。例如：x x x y x y ++=+=2
2
cos sin 1与的对应法则是相同的。
3、同一个函数
两个函数当且仅当定义域和对应法则二者均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件．
4、变换字母
在函数的定义域及对应法则不变的条件下，用不同的字母表示自变量及对应法则，这对于函数
本身并无影响，比如f （x ）=x 2+1，g （t ）= t 2+1，都表示同一函数.
5、区间及其表示方法．
区间是数学中常用的表示数集的术语与符号．设b a R b a <∈,、，
规定闭区间: [a ，b ]={}b x a x ≤≤|，开区间:（a ，b ）={}b x a x <<|，
半开半闭区间:（a ，b ]={}b x a x ≤<|，[a ，b ）={}b x a x <≤|． 其中a 、b 分别为区间的左端点、右端点，b -a 为区间长度．
符号+∞读作正无穷大，﹣∞读作负无穷大，它们都不是一个具体的数． 用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式． 如：{}a x x a >=+∞|),(，{}}|),(b x x b <=-∞，R =+∞-∞),(
6．映射的概念：
映射是两个集合间的一种特殊的对应关系，即若按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任一元素，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A 、B 和对应法则f ）就叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B ．在映射f ：A →B 中，若A 中元素a 与B 中元素b 对应，则b 叫做a 的象，a 叫做b 的原象．因而，映射可以理解为“使A 中任一元素在B 中都有唯一象”的特殊对应（即单值对应）．如果映射f ：A →B 满足①A 中不同元素在B 中有不同的象；②B 中任一元素均有原象，那么这个映射就是A 到B 上的一一映射．
7、映射与函数的关系
函数是映射，但映射不一定是函数。由映射的概念可知，函数本质上是定义在两个非空数集
上的一类特殊的映射：当A 、B 是两个非空数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，并记作y =f (x )，其中x ∈A ，y ∈B ．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合C 叫做函数的值域，显然C B ．
8、函数的三种表示法及其优缺点
（1）、解析法
用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示两个变量间的函数关系，，这种表示法叫
做解析法．例如，代数式，y =-2x -1，y =22
-+x x ，y =
x
1
，y =3-x 等等都是函数解析式．一般的可表示为)(x f y =。解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，即给出了由x 求y 的方法，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来． （2）、列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．如平方表、平方根表等．列表法一目了然，表格中已有自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律．而且是近似值 （3）、图象法
用平面直角坐标系中的曲线表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值(或最小值)？最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具．但是，由图象观察只能由x 的值量出y 的近似值 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围． 注意：
(1)当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值．
(2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程． (3)当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式．
9、分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量
代入相应的表达式
例：求分段函数的函数值 已知函数
求f{f[f(a)]} (a<0)的值。
分析 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a ，又0<2a <1, , , 所以，。
注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段的表达式．
二、典型例题解析
例1 在对应法则“f ”下，给出下列从集合A 到集合B 的对应： （1）A =N ，B =R ，f ：x →y =
x
1； （2）A =N ，B =Z ，f ：x →y =x
)1(-；
（3）A ={x ∣x 是平面内的三角形}，B ={y ∣y 是平面内的圆}，f ：x →y 是x 的外接圆． 其中能构成映射的是 （ ）
A ．（1）、（2）
B ．（1）、（3）
C ．（2）、（3）
D ．（2）
分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下，对于集合A 中的任一．．
元素在B 中是否都有唯一．．
的象． 解 : 在（1）中，元素“0”在B 中没有象，不满足“任意性”，故不能构成映射．
在（2）中，当x 为偶数时，其象为1；当x 为奇数时，其象为-1，而1，-1∈B ，即A 中任一元素在B 中都有唯一的象．
在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（2）、（3）能构成映射．答案选C ．
点评 ①判断一个对应是否能构成映射，应紧扣映射定义．②在课本中，已规定0是自然数，忽视
了这一点，将误认为对应（1）是映射．③在映射f ：A →B 中，A 、B 的地位是不对等的，它并不要求B 中元素均有原象，或有原象也未必唯一．一般地，若A 中元素的象的集合为C ，则C ?B ．如（2）中除1，-1以外的任何元素均无原象，（3）中任一圆的内接三角形都有无数个．④映射中的集合元素的对象是任意的，可以是数集、点集或其他任意对象，如（3）中的集合对象是几何图形．
变题 设集合A ={x ∣x 是平面内的圆}，B ={y ∣y 是平面内的矩形}，f ：x →y 是x 的内接矩形．试问
它能否构成映射？
答案：不能。因为圆的内接矩形有很多个，与映射要求的通过对应关系只有唯一的元满足关系不符
例2 已知映射f ：A →B ，其中集合A ={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中元素在
映射f 下的象，且对任意a ∈A ，在B 中和它们对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
分析 本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解．解本题应抓住：
①对应法则f 是什么？②集合B 中的具体元素是什么？而②的解决由①来决定．
解: 依题意，由A →B 的对应法则为f ：a →|a |．于是，将集合A 中的7个不同元素分别取绝对值
后依次得3，2，1，1，2，3，4．由集合元素的互异性可知，B ={1，2，3，4}，它有4个元素，答案选A ．
点评 ①准确理解题目本身所给的信息，捕捉对解题有用的成份，是解决问题的关键． ②不能忽视
集合元素的三大特性在解题中的应用．本题中如果忽视集合元素的互异性，将导致错选D ．
例3 设A ={(x ，y )∣x ∈R ，y ∈R }．如果由A 到A 的一一映射，使象集合中的元素(y -1，x +2)和原
象集合中的元素(x ，y )对应，那么象(3，-4)的原象是 （ ） A ．（-5，5） B ．（4，-6） C ．（2，-2） D ．（-6，4） 分析 由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是f ：(x ，y )→(y -1，x +2)，
问题即：当点(y -1，x +2)是（3，-4）时，对应的x ，y 的值分别是多少？于是由
???-=+=-4231x y ??
?=-=?4
6
y x ，即象（-3，4）的原象是（-6，4），选D ．
点评①已知原象要求象，只需根据对应法则直接代入计算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通过解方程组来解决．②在映射f：A→B中，A是原象集合，B是象的
集合，对应法则是f：原象→象，二者顺序不能颠倒，否则将误选A；点(x，y)是有序数对，x，
y的顺序不能搞错，否则将误选B．
例4 设A={x∣0≤x≤2}，B={y∣1≤y≤2}，图1中表示A到B的函数是（）
分析可根据映射观点下的函数定义直接求解．首先C图中，A中同一个元素x（除x=2)与B中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B两图中，A所对应的“象”的集合均为{y∣0≤y≤2}，而{y∣0≤y≤2}B={y∣1≤y≤2}，故它们均不能构成函数．从而答案选D．点评函数首先必须是映射，是当集合A与B均为非空数集时的映射．因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：①集合A与B是否为非空数集；②f：A→B能否为一个映射．另外，函数f：A→B中，象的集合M叫函数的值域，且M B．
变题已知函数y=f(x)，集合A={(x，y)∣y=f(x)}，B={(x，y)∣x=a，y∈R}，其中a为常数，则集合A∩B的元素有（C ）
A．0个B．1个C．至多1个D．至少1个
提示设函数y=f(x)的定义域为D，则当a∈D时，A∩B中恰有1个元素；当a∈/D时，A∩B中没有元素．
例5 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.
剖析：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B 到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射.
答案：9 ，8
例6、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
p=；
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式)(t f
Q=；
（2）写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式)(t g
解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为??
?≤<-≤≤-= 300t 200
3002 200,t 0
,300)(t t t f
由图二可得种植成本与时间的函数关系为300t 0 ,100)150(20
1
)(2≤≤+-=
t t g
例7、若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、
k 的值及集合A 、B.
解：∵f （1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k +1，由映射的定义知
（1）?????+=+=,133,1024k a a a 或（2）?????+==+.13,10342k a a a
∵a ∈N ，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a =2或a =－5（舍），3k +1=16，3k =15，k =5
.∴A ={1，2，3，5}，B ={4，7，10，16}.
三、基本概念练习题
1．对于映射f ：A →B ，下列说法正确的是 （ ） A ．A 中某一元素的象可以不止一个 B ．B 中某一元素的原象可以不止一个 C ．A 中两个不同元素的象必不相同 D ．B 中两个不同元素的原象可能相同
2．设集合A ={a ，b ，c }，B ={m ，n ，p }，那么从集合A 到B 可以建立 个一一映射．
3．已知A =B =R ，x ∈A ，y ∈B ，且f ：x →y =ax +b ，若5和20的原象分别是5和10，则7在f 下的象为 ．
4．下列函数中，表示同一函数的是 （ ）
A ．f (x )=1，g (x )=x °
B ．f (x )=x +1，g (x )= x 2-1
x -1
C ．f (x )= x 2，g (x )=|x |
D ．f (x )=x ，g (x )=(x )2
5．函数y =x -1，x ∈Z 且x ∈[-1，5 ]，则函数的值域为 ． 6．给出三个命题：
①映射f ：A →B 是函数，则A 叫做函数的定义域，B 叫做函数的值域；
②x x x f -+-=
34)(是函数；
③函数y =3x （x ∈Z ）的图象是一条直线．
A．0个B．1个C．2个D．3个
7、集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，
那么映射f:M→N的个数是多少？
参考答案
1．B
2．6
3．11
4．C
5．{-2，-1，0，1，2，3，4}
6．A（定义域对，值域不一定对，值域是B的真子，第二个定义域空，第三是点）
7、解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，
∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.
当f（a）=f（b）=f（c）=0时，只有一个映射；
当f（a）、f（b）、f（c）中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，共有3*2=6个映射.
因此所求的映射的个数为1+6=7.
评述：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.
四、小结
1．理解映射的概念，应紧紧抓住映射的两个特性：①任意性；②唯一性．
2．判断一个对应是不是映射或一一映射，应“回到定义去”；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例．
3．深化对函数概念的理解，能从函数三要素（定义域、值域与对应法则）的整体上去把握函数概念．在函数三要素中，定义域和对应法则是函数的两大要素，对应法则是核心。
五、检测题:
选择题：
1．在映射f：A→B中，“B中每一元素在A中都有原象”是“该映射为一一映射”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
2．下列各图形中，是函数的图象的是（）
3．下列对应能构成映射的是 （ ） A ．A =N ，B =N +，f ：x →∣x ∣ B ．A =N ，B =N +，f ：x →∣x -3∣
C ．A ={x ∣x ≥2，x ∈N }，B ={y ∣y ≥0，y ∈Z }，f ：x →y =x 2-2x +2
D ．A ={x ∣x ＞0，x ∈R }，B =R ，f ：x →y =±x
4．设f 、g
映射f 的对应法则 映射g 的对应法则 原象 1 2 3 原象 1 2 3 象
2 3 1
象
2 1 3
设a =g [f (3)]，b （ ） A ．a =b ≠c B ．a =b =c C ．b =c ≠a D ．c =a ≠b 5、已知集合M={a ，b ，c}，N={-1，0，1}，若f 是M →N 的映射，且f(a)=f(b)+f(c)，则这样的映射共有[ ]
A.4个
B.6个
C. 7个
D.27个
6、{}{}
20,20≤≤=≤≤=y y N x x M 给出的四个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有
A 、 0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
填空题：
7．已知集合A ={x ∣0≤x ≤4}，B ={y ∣0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应f ： ①f ：x →y =
x 21 ②f ：x →y =x 31 ③f ：x →y =x 32 ④f ：x →y =28
1x （1）其中不是映射的是 ；
（2）其中是一一映射的是 ．
8．映射f ：A →B ，其中A ={三角形}，B =R ，f 是使三角形对应到它的外接圆半径．则边长为3的正三角形的象是 ．
9．已知f ：A →B 是一一映射，其中A ={1，2，3，4，5}，B ={0，7，26，63，124}， 则对应法则f ：x →y = ．
10．给定映射:(,)(2,)f x y x y xy →+，点11(,)66
-的原象是．
11．设函数3,(10)
()((5)),(10)
x x f x f f x x -≥?=?
+
解答题：
12．已知集合A ={1，2，3，k }，B ={4，7，a 3，a 2+3a }，且a ∈Z ，k ∈Z ．映射f ：x →y =3x +1，x
∈A ，y ∈B ，求实数a 、k 的值．
13．已知映射f ：A →B 中，A =B ={(x ，y )∣x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y ) →(x +2y +2，4x +y )． （1）求A 中元素（5，5）的象；（2）求B 中元素（5，5）的原象；
（3）是否存在这样的元素(a ，b )，使它的象仍是自己？若有，求出这个元素． 14．已知f (x )= ??
?<≥)
0(,1)0(2x x ，
，g (x )= 3f (x-1) + f (x-2)2
(x ＞0)，求y =g (x )的解析式．
参考答案： 1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 考察f(c),
f(c)有三种取值,根据三种取值来分类讨论： ①f(c)=-1
此时,f(a)=-1,f(b)=0；或者f(a)=0,f(b)=-1 所以有两种映射：
f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1； f(a)=0,f(b)=-1,f(c)=-1； ②f(c)=0
此时,f(a)=-1,f(b)=1；或者f(a)=0,f(b)=0；或者f(a)=1,f(b)=-1 所以有三种映射：
f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0； f(a)=0,f(b)=0,f(c)=0； f(a)=1,f(b)=-1,f(c)=0； ③f(c)=1
此时,f(a)=0,f(b)=1；或者f(a)=1,f(b)=0 所以有两种映射： f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1； f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1；
所以,满足要求的映射有2+3+2=7（个 6、B 7、（1）③（2）①④ 8、1
9． x 3-1（注：答案不唯一，如y =x 3-1+(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)(x -5)）
10、1
1(,)32-或12(,)43
- 11、8
12．a =–5，k = -42．提示：10∈{a 3，a 2+3a }a 2+3a =10a =2或a = -5．当a =2时，方程3k +1=8
无整数解；当a = -5时，解方程3k +1= -125，得k = -42．
13．（1）（17，25）；（2）(1，1)；（3）（0，-1）．提示：（3）解方程组?
????x = x +2y+2，
y = 4x +y ．即可．
14．???????≥<≤<<=)
2(,4)21(,27
)10(,2)(x x x x g