2008-2011四年江苏高考数学考试加试题

2011年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学II （附加题）

21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定．．．．．．．．．．．．．．．

区域内作答．．．．．

，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A ． 选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，

圆

1O 的弦A B 交圆2O 于点C （1O 不在A B 上）， 求证：:A B A C 为定值。

证明：由弦切角定理可得11212,O B r AB AO C AO B AC

O C

r

∴=

=

B ． 选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵112

1A ??=?

???，向量12β??=????

，求向量α，使得2

A αβ=．

设x

y α??=??，

由2

A αβ=得：3

214

32x y ??????=????????????，32111,43222x y x x y y α+==--????

∴∴∴=????+==????

C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ?

?=??=?

（?为参数）的右焦点且与直线

21-A 第图

423x t

y t

=-??

=-?（t 为参数）平行的直线的普通方程。 解析：椭圆的普通方程为

2

2

1,25

9x

y

+

=右焦点为（4，0）

，直线423x t

y t =-??=-?（t 为参数）的普通方程为22y x -=，斜率为：12

；所求直线方程为：1(4),2402

y x x y =

---=即

D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式：|21|3x x +-<

解析：原不等式等价于：43213,23

x x x x -<-<-∴-<<

，解集为4

(2,)3

-

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤。

22. （本小题满分10分）

如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB ==，点N 是B C 的中点，点M 在1C C 上，设二面角1A D N M --的大小为θ。 （1）当090θ=时，求A M 的长； （2

）当cos 6

θ=

时，求C M 的长。

解析：以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，DD 1为z 轴正半轴， 建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A 1(1,0,2),N(

1

2

,1,0),C(0,1,0) )，设M(0，1,z),

面MDN 的法向量1111(,,)n x y z = ，1

1

(1,0,2),(,1,0),(0,1,)2

D A D N D M z === 设面A 1DN 的法向量为000(,,)n x y z = ，则00100200,0,102

x z D A n D N n x y +=??

==∴?+=??

取0002,1,1,x y z ==-=-则即(2,1,1)n =--

22第题

图

(1)由题意：1111111111

1

20,0,,00

20

x y D N n D M n n n y zz x y z ?+=??

===∴+=??--=??

取11

112,1,5,;5

x y z z ==-==

则

5

AM ∴==

（2）由题意：11110,0,6n n D N n D M n n n === 即111121111111

102034420

x y y zz x x y x z y z ?

+=??+=?

?--+=??

取 11112,1,2,;2x y z z ==-==则1

.2

C M ∴=

23．（本小题满分10分）

设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,},a b n a b ∈> （1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1

()

a b -是整数的点P 的个数，求n B

对每一个k 对应的解数为：n-3k,解数一共有：13

123(3)2

n n n +-+++-=

-

(2)(3)

2

n n n B --=

2010年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分） (1)几何证明选讲

AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线交C ，若DA=DC ，求证AB=2BC 。

(2)矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0M=??????10

0k ,N=??

?

???01

10,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1,B 1,C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值。 (3)参数方程与极坐标

在极坐标系中，圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。 (4)不等式证明选讲

已知实数a,b ≥0，求证：)b a (ab b a 2

2

33+≥

+

22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立，

（1）记x （单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x 的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 23、（10分）已知△ABC 的三边长为有理数， （1）求证cosA 是有理数；

（2）对任意正整数n ，求证cosnA 也是有理数。

2009年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)