宁夏银川一中2016届高三第一次模拟考试数学(理)试题
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
(银川一中第一次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{
}
{}
1,21x
M x x N x =<=>，则M N =
A. ?
B. {}
01x x <<
C. {}
0x x <
D. {}
1x x <
2．复数21i
Z i
=+的虚部是 A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
3．在等比数列{}n a 中，若11
9
a =，43a =，则该数列前五项的积为
A ．±3
B ．3
C ．±1
D ．1
4．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 A ．43 B ．83 C ．123 D ．243
5
．二项式10
22)x
展开式中的常数项是 A ．360
B ．180
C ．90
D ．45
6．在ABC ?
中，1tan ,cos 2A B ==
，则tan C = A ．-1
B ．1 C
D ．-2
7．若对任意非零实数,a b ，若a b *
如右图的程序框图所示，则(32)4**A ．12
13
B ．2
1
C ．
2
3
D ．9
8．函数()3sin(2),(0,)3
f x x π
φφπ=-
+∈满足)()(x f x f =，则φ的值为
A ．6π
B ．3π
C ．
56π D ．3
2π 9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，
())1,0(,,∈c b a 错误！未找到引用源。，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则b
a
31
2+
错误！未找到引用源。的最小值为 A ．
3
32 B ．
3
28 C ．
314错误！未找到引用源。 D ．3
16
10
．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-
=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为
A B ．2 C D
11．已知函数)(x f 错误！未找到引用源。定义在R 上的奇函数，当0 ①当0>x 错误！未找到引用源。时，)1()(x e x f x -=错误！未找到引用源。 ②函数)(x f 错误！未找到引用源。有2个零点 ③0)(>x f 错误！未找到引用源。的解集为),1()0,1(+∞?-错误！未找到引用源。 ④R x x ∈?21,错误！未找到引用源。，都有2|)()(|21<-x f x f 其中正确命题个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为92,1 的9个 小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂 颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜 色，则符合条件的所有涂法共有（ ）种 A ．18 B ．36 C ．72 D ．108 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．曲线x y 2 = 与直线1-=x y 及4=x 所围成的封闭图形的面积为 . 14．在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若 15．在区间[0,2]上任取两个实数a ,b ，则函数f (x )=x 3+ax -b 错误！未找到引用源。在区间[-1,1]上有且 只有一个零点的概率是 . 16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上， 2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于__________. 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分） 在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q (1)q ≠，且2212b S +=， （1）求n a 与n b ； （2 18.（本小题满分12分） 某学校研究性学习小组对该校高三学生视 力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中 随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图 的频率分布直方图. （1）若直方图中后四组的频数成等差数列， 试估计全年级视力在5.0以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的 学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与 学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和 951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据， 根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05 理科数学试卷 第3页(共6页) 的前提下认为视力与学习成绩有关系? （3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 附： 2 2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -= ++++ 19．（本小题满分12分） 如图(1)所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π 2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的 中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图(2)所示． (1)证明：CD ⊥平面A 1OC ； (2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值． 20．(本小题满分12分) 以椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的中心O 为圆心，2 2b a +为半径的圆称为该椭圆的“准 圆”.设椭圆C 的左顶点为P ，左焦点为F ，上顶点为Q ，且满足2=PQ ，OFQ OPQ S S ??= 2 6 . （1）求椭圆C 及其“准圆”的方程； （2）若椭圆C 的“准圆”的一条弦ED （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，试证明：当0=?ON OM 时，试问弦ED 的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21．(本小题满分12分) 已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求a 的值； (2)讨论)(x f 的单调性； (3)证明：e N n e n ,()3 1 1)...(8111)(91 1(*2∈<+++为自然对数的底数）. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点， OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于 点D ．连接CF 交AB 于点E ． （1）求证：DE 2=DB ?DA ； （2）若DB =2，DF =4，试求CE 的长． 23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程． 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为53x t y t ?=-??=+??，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()4 π ρθ+=A ，B 两点的极坐标分别为(2, ),(2,)2 A B π π. （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求△PAB 面积的最小值. 24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． B A C E O F 已知函数()|2|f x x =-. （1）解不等式：(1)(2)4f x f x +++<； （2）已知2a >，求证：,()()2x R f ax af x ?∈+>恒成立. 银川一中2016届高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案 13. 4-ln2 14. 85 15. 8 7 16. π8 三、解答题 解得3q =或4q =-（舍），分 分 分 ……………………12分 18. （1）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =， 由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分 因为后四组的频数成等差数列， 所以后四组频数依次为27,24,21,18 ……………………………2分 所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为82 1000820100 ? = …………………………3分 （2）22 100(4118329)300 4.110 3.8415050732773 k ??-?= =≈>??? 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分 （3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人， X 可取0、1、2、3 …………………7分 363920 (0)84 C P X C ===， 21633 945(1)84C C P X C ===， 12633 9 18(2)84C C P X C ===， 3 3391 (3)84C P X C === X 的分布列为 ………………11分 X 的数学期望2045181()0123184848484 E X =? +?+?+?= ………………12分 19．解：(1)证明：在图(1)中， 因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π 2，所以BE ⊥AC ，BE ∥CD . 即在图(2)中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 又OA 1∩OC ＝O ，OA 1?平面A 1OC ，OC ?平面A 1OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ， 所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE - C 的平面角， 所以∠A 1OC ＝π 2. 如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ， 所以B ( 22，0，0)E (－22，0，0)，A 1(0，0，22)，C (0，2 2 ，0) 得BC →＝(－22，22，0)，A 1C → ＝(0，22，－22 ) CD →＝BE → ＝(－2，0，0)． 设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ， 则?????n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得?????－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)； ?????n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0， 得?????x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)， 从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝ 23×2＝6 3 ， 即平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值为 63 . 20.解：（1）设椭圆C 的左焦点F 0),0,(>-c c ，由OFQ OPQ S S ??=2 6 得c a 26=，又2=PQ ， 即422=+b a 且222a c b =+，所以1,32 2 ==b a ， 则椭圆C 的方程为13 22 =+y x ；椭圆C 的“准圆”方程为422=+y x .………4分 （2）设直线ED 的方程为),(R b k b kx y ∈+=，且与椭圆C 的交点),(),(2211y x N y x M 、， 联列方程组?????=++=13 2 2y x b kx y 代入消元得：0336)31(2 22=-+++b kbx x k 由2 221221313 3,316k b x x k kb x x +-=+-=+ ………6分 可得2 2 22121313))((k k b b kx b kx y y +-=++= 由0=?ON OM 得02121=+y y x x 即 ++-223133k b 0313343132 22222=+--=+-k k b k k b ， 所以)1(4322 +=k b ………8分 此时0327)33)(31(4362 2 2 2 2 >+=-+-=?k b k b k 成立， 则原点O 到弦ED 的距离2 3 431 1 2 2 2= =+= += k b k b d , 得原点O 到弦ED 的距离为 2 3 ，则134342=-=ED ， 故弦ED 的长为定值. ……………………………12分 21、解：（1）()0,122 =++= 'x a x x x f 是)(x f 的一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a =0符合条件…………………….（2分） （2）()2 221212x a x ax a x x x f +++=++=' 1）若a =0时， ()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减； 2）若()恒成立， 对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤?? ?≤?<010 R x f 在)(∴上单调递减…………………………………（4分） 3）若()020012>++>'<<-a x ax x f a 得时，由 a a x a a 2 21111---< <-+-∴ 再令()可得,0<'x f a a x a a x 2 21111-+-< --->或 上单调递增 ，在)11,11()(2 2a a a a x f ----+-∴ 在上单调递减 和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a -------（6分） 综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减， 若时，01<<-a 上单调递增， 在)11,11()(2 2a a a a x f ----+- 上单调递减 和),11()11,(2 2+∞----+--∞a a a a 。 若()()..................0,0)(0单调递减，单调递增，在在时，∞-+∞=x f a （7分） (3)由（2）知，当()单调递减， 在时，∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时，由 ) 12...(....................,.........)3 1 1)...(8111)(911(21311213113113131......3131) 3 1 1ln(......)8111ln()911ln()]311)...(8111)(911ln[()1ln(21 22222分e e x x n n n n n n =<+++∴< ??? ?? -=-??? ??-=++<++++++=+++∴<+∴ 选做题 22.（1）证明：连接OF ． 因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°． 所以∠OFC+∠CFD=90°． 因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ． 因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°． 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ． 因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB?DA ． 所以DE 2=DB?DA ． ……………… 5分 （2）解： DF 2=DB?DA ，DB=2，DF=4． ∴DA= 8， 从而AB=6， 则3=OC ． 又由（1）可知，DE=DF=4， ∴BE=2，OE=1． 从而 在COE Rt ?中，1022=+=OE CO CE ． ………………10分 23．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】 解：（1）由53x t y t ?=-??=+??，， 得53x t y t ?+=??-=?? ， ， 消去参数t ，得22(5)(3)2x y ++-=， 所以圆C 的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=． 由πcos 4ρθ? ?+= ?? ?， cos sin θθ=， B A C E O F 即cos sin 2ρθρθ-=-， 换成直角坐标系为20x y -+=， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=． ……………………………………（5分） （2）π2(2π)2A B ?? ??? ∵，，，化为直角坐标为(02)(20)A B -，，，在直线l 上， 并且||AB =， 设P 点的坐标为(53)t t -++，， 则P 点到直线l 的距离为d = min d = =∴， 所以PAB △面积的最小值是422222 1 =??= S …………………………（10分） （说明：用几何法和点到直线的距离公式求d = =也可参照给分．） 24．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】 （1）解：(1)(2)4f x f x +++<，即|1|||4x x -+<， ①当0x ≤时，不等式为14x x --<，即3 2 x >-， 3 02 x -<∴≤是不等式的解； ②当01x <≤时，不等式为14x x -+<，即14<恒成立， 01x <∴≤是不等式的解； ③当1x >时，不等式为14x x -+<，即52 x <， 5 12 x << ∴是不等式的解． 综上所述，不等式的解集为3522?? - ??? ，． …………………………………………（5分） （2）证明：2a >∵， ()()|2||2|f ax af x ax a x +=-+-∴ |2||2|ax ax a =-+-|2||2|ax a ax =-+-≥|22||22|2ax a ax a -+-=->， ()()2x f ax af x ?∈+>R ∴，恒成立． …………………………………………（10分） 银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是 数 学 试 卷 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．下列四个命题：①若a b >，则 11a b <；②若ab c >，则c a b >；③若a b >，则22a b c c >；④若a b >，c d >，则a c b d ->-．其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．设实数x ,y 满足约束条件?? ? ??≥≥≤-+000623y x y x ，则y x z -=的取值范围是( ) A ．[－3，0] B ．[－3，2] C ．[0，2] D ．[0，3] 3．已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=（*n N ∈）,且3 2a =，58a =，则7a =（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 4．《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了多少里？（ ） A. 96 B. 48 C. 192 D. 24 5．在正项等比数列{}n a 中，374a a =，数列{}2log n a 的前9项之和为（ ） A ．11 B ．9 C ．15 D ．13 6．下列函数的最小值为2的是（ ） A. x x y 1+= B. )20(sin 1sin π <<+=x x x y C. 2 1222++ +=x x y D. )20(tan 1tan π <<+ =x x x y 7．设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知3=-n n S a n ，则3=a （ ） A ．9 8 B ． 158 C ． 198 D ． 278宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案
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