小学奥数—同余问题

数论之同余问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要.

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：

一、带余除法的定义及性质:

一般地,如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r，

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：

r=时:我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

（1)当0

r≠时:我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

(2)当0

一个完美的带余除法讲解模型：

如图,这是一堆书，共有a本,这个a就可以理解为被除数，现

在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色，经过打包后共打

包了c捆，那么这个c就是商,最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数,等于a，b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等

于4，即两个余数的和3+1。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如:23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如:23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如:23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3。同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余,用式子表示为：a≡b ( mod

m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

用式子表示为：如果有a≡b （ mod m ），那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m｜(a－b）

三、弃九法原理：

在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：

++++=

例如：检验算式1234189818922678967178902889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法".

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可.

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确.

例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理：

1.中国古代趣题:

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何?”答曰：“二十三。"

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948(人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位.

2。核心思想和方法：

对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法：

今有物,不知其数,三三数之，剩二，五五数之,剩三，七七数之,剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

?=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求,那么就继续看5和7先由5735

?=是否可以,很显然70除以3余1

的“下一个”倍数35270

类似的,我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3,5公倍数的数字，45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算：

k k

?+?+?±=-，其中k是从1开始的自然数。

270321245[3,5,7]233[3,5,7]

也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,

?+?+?-?=得到所求

那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数",

我们只要对最小的23加上[3，5，7］即可，即23+105=128。

例题精讲：

【模块一：带余除法的定义和性质】

【例 1】 （第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a 去除1992,得到商是46，余数是r ，求a 和r ．

【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ，得到19924643......14÷=,得1992464314=?+，所以

43a =,14r =．

【巩固】 （清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．

【解析】 （法1)因为 甲=乙1132?+，所以 甲+乙=乙1132?++乙=乙12321088?+=；

则乙(108832)1288 =-÷=，甲1088=-乙1000=．

（法2）将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)+倍,所以得到乙数10561288=÷=，甲数1088881000=-=．

【巩固】 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【解析】 本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题—-—即“不整除

问题"转化为整除问题.方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数.

本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39，91.

【例 2】 （2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、

除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少?

【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是

除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．

【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数,商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求

这2个自然数各是多少？

【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y ，可以得到

40164016933x y x y =+??+++=?,解方程组得85621

x y =??=?，即这两个自然数分别是856，21.

【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19，

23，31所得的商相同,所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______.

【解析】 设所得的商为a ，除数为b ．(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=，7332001a b +=，由19b <，

可求得27a =，10b =．所以，这三个数分别是19523a b +=，23631a b +=，31847a b +=。

【巩固】 （2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相

等的，除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________．

【解析】 设这个自然数除以11余a (011)a ≤<，除以9余b (09)b ≤<，则有1193a a b b +=?+，即37a b =,

只有7a =,3b =，所以这个自然数为84712=?。

【例 4】 （1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5

人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本,书不够．如果把书全分给第

二组，那么每人3本,有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?

【解析】 由48412÷=，4859.6÷=知,一组是10或11人．同理可知48316÷=，48412÷=知,二组是13、

14或15人，因为二组比一组多5人，所以二组只能是15人，一组10人．

【巩固】 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．

【解析】 因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于13678?=，并且小于13(61)91?+=;

又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78583+=．

【模块二:三大余数定理的应用】

【例 5】 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同,求这个数。

【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同，根据

同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．1014556-=，594514-=，(56,14)14=，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。

【巩固】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【解析】 （法1） 39336-=，1473144-=,(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小

于除数，这个数是4,6,12；

（法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．

【巩固】 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？(余数可以为0)

【解析】 我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198,所以每198个数一次．

1～198之间只有1，2，3，…，17,198（余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，

而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．

【巩固】 （2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等

于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

【解析】 设这个三位数为s ，它除以17和19的商分别为a 和b ，余数分别为m 和n ，则1719s a m b n =+=+．

根据题意可知a m b n +=+，所以()()s a m s b n -+=-+，即1618a b =，得89a b =．所以a 是9

的倍数，b 是8的倍数．此时，由a m b n +=+知8199

n m a b a a a -=-=-=． 由于s 为三位数,最小为100，最大为999，所以10017999a m ≤+≤，而116m ≤≤，

所以17117999a a m +≤+≤，100171716a m a ≤+≤+，得到558a ≤≤，而a 是9的倍数，所以a 最小为9，最大为54．

当54a =时，169

n m a -==，而18n ≤,所以12m ≤,故此时s 最大为175412930?+=； 当9a =时，119

n m a -==，由于1m ≥，所以此时s 最小为1791154?+=． 所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154．

【例 6】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1,并且a b >,求ab ba ?．

【解析】 ab ba -能被7整除，即(10)10)9a b b a a b +-+=?-（（）

能被7整除．所以只能有7a b -=，那么ab 可能为92和81，验算可得当92ab =时，29 ba =满足题目要求，92292668ab ba ?=?=

【巩固】 学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，

那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751-=和673334-=

的公约数，所求答案为17．

【巩固】 （2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整

数是_________．

【解析】 因为3921351113903=-， 6861390314589=-，

由于13511,13903,14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．98)686,392(=，所以所求的最大整数是98．

【例 7】 （2003年南京市少年数学智力冬令营试题） 20032与22003的和除以7的余数是________．

【解析】 找规律．用7除2,22,32,42，52，62，…的余数分别是2,4，1,2,4，1，2，4，1,…,2的个数

是3的倍数时，用7除的余数为1;2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222?+=，所以20032除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以22003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．

【巩固】 （2004年南京市少年数学智力冬令营试题）在1995,1998，2000，2001，2003中，若其中几个

数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．

【解析】 1995，1998，2000，2001,2003除以9的余数依次是6，0，2,3，5．

因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，

所以这样的数组共有下面4个：()2003,2000，()2003,2000,1998 ，

()1995,2001,2003,2000 ，()1995,2001,2003,2000,1998．

【例 8】 （2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110,160所得到的3个余数

之和是50,那么这个整数是______．

【解析】 (70110160)50290++-=,50316......2÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是

29和58，11058 1......52÷=,5052>，所以除数不是58．

7029 2......12÷=,11029 3......23÷=，16029 5......15÷=,50152312=++,所以除数是29

【巩固】 （2002年全国小学数学奥林匹克试题）用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为

25,那么n=________

【解析】 n 能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n 是258大于8的约数．显然，n

不

能大于63．符合条件的只有43．

【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173,193除以3的余数分别为2，0，2，1。

那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2,1两两相加除以3即可.显然126运动员打5盘是最多的。

【例 9】（2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题）六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，

但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这

种《成语大词典》的定价是________元．

【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知,这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332

++++÷=（元）．

【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物,分别重15，16，18，19，20,31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．

【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数．

(151618192031)(12)119339 (2)

+++++÷+=÷=，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是

20 千克．

【例 10】求2461135604711

??÷的余数．

【解析】因为246111223 (8)

÷=,604711549 (8)

÷=，根据同余定理（三），

÷=，1351112 (3)

??÷的余数，而838192

??=，

??÷的余数等于83811

2461135604711

??÷的余数为5．

÷=,所以2461135604711

1921117 (5)

【巩固】（华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351

??除以17的余数．

【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除

以17的余数．478,296,351除以17的余数分别为2,7和11，(2711)179......1??÷=．

【巩固】 求19973的最后两位数．

【解析】 即考虑19973除以100的余数．由于100425=?，由于3327=除以25余2，所以93除以25余8，

103除以25余24，

那么203除以25余1;又因为23除以4余1，则203除以4余1；即2031-能被4 和25整除,而4与25互质,所以2031-能被100整除,即203除以100余1，由于

1997209917=?+，所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数，而63729=除以100余29，53243=除以100余43，176253(3)3=?，所以173除以100的余数等于292943??除以100的余数，而29294336163??=除以100余63，所以19973除以100余63,即19973的最后两位数为63．

【巩固】

"

2"20002222个除以13所得余数是_____。 【解析】 我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。

【巩固】 求89143除以7的余数．

【解析】 法一:

由于()1433mod 7≡ (143被7除余3），

所以()89891433mod 7≡ （89143被7除所得余数与893被7除所得余数相等）

而63729=，()7291mod 7≡(729除以7的余数为1）,

所以()8966655143333335mod 7≡??

??≡≡个．

故89143除以7的余数为5。

法二：

计算893被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：

于是余数以6为周期变化．所以()895335mod 7≡≡．

【巩固】 （2007年实验中学考题)222212320012002+++

++除以7的余数是多少？ 【解析】 由于22222200220034005123200120021001200313356

??+++++==??，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故2222212320012002+++

++除以7的余数是0;

【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？

【解析】 31被13除所得的余数为5，当n 取1，2，3，

时5n 被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12,8,1以4为周期循环出现，所以305被13除的余数与25被13除的余数相同，余12，则3031除以13的余数为12；

30被13除所得的余数是4，当n 取1，2，3，

时，4n 被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1,4,3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数，即4，故3130除以13的余数为4；

所以()30313130+被13除所得的余数是124133+-=．

【巩固】 (2008年奥数网杯）已知2008200820082008

2008a =个,问:a 除以13所得的余数是多少？

【解析】 2008除以13余6,10000除以13余3，注意到200820082008100002008=?+;

20082008200820082008100002008=?+；

2008200820082008200820082008100002008=?+;

根据这样的递推规律求出余数的变化规律：

20082008除以13余6361311?+-=，2除以13余1136390?+-=,即2是13的倍数．

而2008除以3余1，所以2008200820082008

2008a =个除以13的余数与2008除以13的余数相同，为6.

【巩固】

19967

77777???个除以41的余数是多少？ 【解析】 找规律：7417÷=???□，774136÷=???□，7774139÷=???□，77774128÷=???□，

77777410÷=???□，……，所以77777是41的倍数，而199653991÷=，所以19967

77777???个可以分

成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．

【巩固】 1234200512342005+++++除以10所得的余数为多少？

【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，

而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小公倍数)一组,则不同组中对应的个位数字应该是一样的．

首先计算123420123420+++++的个位数字，

为1476563690163656749094+++++++++++++++++++=的个位数字，为4，

由于2005个加数共可分成100组另5个数,100组的个位数字和是4100400?=的个位数即0，另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3，所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3．

【例 11】 求所有的质数P,使得241p +与261p +也是质数．

【解析】 如果5p =，则241101p +=，261151p +=都是质数，所以5符合题意．如果P 不等于5,那么P

除以5的余数为1、2、3或者4,2p 除以5的余数即等于21、22、23或者24除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况．如果2p 除以5的余数为1，那么241p +除以5的余数等于4115?+=除以5的余数,为0，即此时241p +被5整除，而241p +大于5，所以此

时241p +不是质数；如果2p 除以5的余数为4，同理可知261p +不是质数，所以P 不等于5，

241p +与261p +至少有一个不是质数,所以只有5p =满足条件．

【巩固】 在图表的第二行中,恰好填上8998～这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得

的余数都是3．

【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别

除以11的余数之积．因此原题中的8998～

可以改换为110～，这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了．我们得到下面的结果：

进而得到本题的答案是:

六年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版

第十讲：数论之余数问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在 要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了 c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且 可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

小学奥数同余问题

小学奥数同余问题Prepared on 21 November 2021

同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52 小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再 加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1.同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7） “”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作： 2.同余的性质 （1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若，那么（这称作同余的对称性） （3）若，，则（这称为同余的传递性） （4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减 性） （称为同余的可乘性） （5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果 那么（的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ k也就是的公约数，所以有 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？ 分析与解答： 假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

所以a最大是31。 例2.除以19，余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 所以 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几最后余数是几 分析与解答： 这个数除以13，商是有规律的。 商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。 余数是几呢？ 则 所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。 【模拟试题】（答题时间：20分钟） 1.求下列算式中的余数。 （1）（2） （3）（4） 2.6254与37的积除以7，余数是几？ 3.如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？ 同余问题（二） 【例题分析】 例1.除以7，余数是几？ 分析与解答： 例2.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？

五年级奥数一半模型教师版

五年级奥数一半模型教 师版 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

一半模型 知识结构 一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 ?? ??? 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 ? 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！

同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： ?? ?? ?? 【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 （）（）（）（） （）（） 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 ? 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。

? 四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 ? 【能力提升】

【 巩固练习】 【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为 24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 24÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 6×4÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 例题精讲 4

小学六年级奥数学习攻略

小学六年级奥数学习攻略 现在正是小升初特别关键的一个时期，无论从信息还是自身的学习方面都要做好充分的准备，首先要明确一点，小升初并不是我们的最终目标，而只是为了孩子今后的学习打下一个良好的基础。所以我们一定要重视孩子学习习惯的培养，举个很简单的例子：很多同学做题的时候审题不认真，经常把会做的题目做错，即使是最厉害的学生，如果把题目看错了，那也是不可能把题目做对的。这一点特别特别的重要，无论是小升初还是今后的中考高考，因为现在的衡量标准其实并不是比谁更聪明，而是比谁更认真，学习更扎实。从最近的一些学校的考试我们就可以看出一个趋势，就是题量大，时间段，对于单位时间内的做题效率有很高的要求，这个效率体现在两个方面，就是速度和正确率。 1、先拣西瓜 先把重点常考的专题学好，我们知道在每个专题里都有核心的知识点，可以这么说，把最简单而又最重要的那些东西掌握好基本上就够了，并不一定非得做太多的题目。比如说行程问题里，一定要熟练

运用时间速度路程三个量之间的比例关系来解题。直线形面积问题其实主要就是一个面积比和线段比怎么转化的问题，等等。 2、查缺补漏 每个孩子起步的早晚不同，难免有些内容是别人学过而我没学过的，一旦考到就非常吃亏。那么怎么去补呢，我想也没有必要专门做这个事情，在平时上课的时候，如果老师讲到了你不太会，没学过的地方，给你几个建议： 1.立即举手请老师详细讲解，我相信每一个负责任的老师都会帮你把问题解释清楚的，但你不问老师就很难发现你没懂。 2.课后请教老师，有的同学和家长总觉得下课时间很短，老师没时间帮我讲，其实情况确实如此，但有时候一个问题你想半天没搞懂，可能老师的一句话就会对你有启发，进而把问题弄明白。

小学五年级奥数—数论之同余问题

小学五年级奥数—数论之同余问题 数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： 1 当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 2 当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理：

1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16 39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19 42除以5的余数等于3+4 7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1 3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b mod m ，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除 用式子表示为：如果有a≡b mod m ，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m| a－b

小学奥数教程-余数性质(三) (87) (含答案)

1. 学习余数的三大定理及综合运用 2. 理解弃9法，并运用其解题 一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。 例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同． 二、弃九法原理 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： 例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2 而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。 上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。 知识点拨 教学目标 5-5-3.余数性质（三）

小学奥数五年级同余问题知识分享

小学奥数五年级同余 问题

同余问题 【模块一：带余除法的定义和性质】 1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 2、(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 3、(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 4、(1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人? 【模块二：三大余数定理的应用】 5、(2003年南京市少年数学智力冬令营) 20032与2 2003的和除以7的余数____． 6、(2004年南京市少年数学智力冬令营)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有___组． 7、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________ 8、(华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数． 9、(2008年奥数网杯)已知 20082008200820082008a =L 144424443个，问：a 除以13所得的余数是多 少？ 【模块三：余数综合应用】 10、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？

六下奥数1中国剩余定理

六下奥数1 论述中国剩余定理的形成及对教育的影响 摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。 引言 随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。 在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。 如果说，一部中国数学发展史像一条源远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 1、中国剩余定理的简介及形成 在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。 一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于： （1 ）没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；

【推荐】五年级下册数学试题-五升六讲义第11讲 同余问题(奥数板块)北师大版

第十一讲 数论之同余（选讲） 一、 余数定理：若A x ÷余a ，B x ÷余b ，则有 ① ()A B x ?÷的余数=()a b x ?÷的余数； ② 当,A B a b >>时，()A B x ±÷的余数=()a b x ±÷的余数； ③ 当,A B a b ><时，()A B x -÷的余数=()x a b x +-÷的余数； ④ ()()A B a b x +-+÷????的余数为0； ⑤ 若a 、b 相等，则()A B x -÷的余数为0 【例 1】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？ 【巩固】 2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数． 【例 2】 求4373091993??被7除的余数． 【巩固】 一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是多少？

【例 3】 20032与22003的和除以7的余数是多少？ 【巩固】 2008222008+除以7的余数是多少？ 【例 4】 19977 77777???个除以41的余数是多少？ 【巩固】 已知20082008 200820082008a =个，问：a 除以13所得的余数是多少？

【例5】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和是多少？ 【巩固】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？ 【例6】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是多少元？ 【巩固】商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是多少千克？

五年级奥数小学数学培优第6讲巧解余数和同余问题

第___讲巧解余数与同余问题 第一节余数 方法和技巧： （1）被除数=商×除数+余数。 （2）借助约数和倍数的知识。 上面两个性质是解题的关键。 例1：一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。 做一做1：237除以一个两位数所得的余数是6，问：这样的两位数是多少？ 例2:一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。那么，被除数、除数、商及余数之和是多少？ 做一做2：两数相除，商是498，余数是3。那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？ 例3:两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之和是866。求这两个数。

做一做3：两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。问：被除数是多少？ 例4:伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：1，2,,3，…问：数到2003时，你数在哪个手指上？ 做一做4：将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1000排在哪个字母的下面？ A B C D E F G ___________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 … 例5:把化为循环小数，问：小数点后1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？ 做一做5：问：化成小数后，小数点的右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？

例6:某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？ 做一做6：一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。求这个自然数能取得的最小值。 例7:有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和为25,那么这三个余数中最小的数是多少? 巩固练习： 1、填空： （1）顺次写出除以4余2，除以5余3的三个数__________________。 （2）被2,3,5除都余1，且不等于1的最小整数是_______________。 （3）有一队民兵在操场上列队，只知道民兵人数在90至110之间，排成三列无余，排成五列不足2人，排成七列不足4人，则共有民兵_______人。 （4）五（1）班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6行多5人，那么体育课的同学最少有________名。 （5）一个教练数田径队的学生，每4个一数，最后剩下2人；每5个一数，最后剩下1人。田径队女生比男生多，女生有15人，则男生有__________人。 （6）某会议有代表不到200人，分住房时，每5人一间多3人；吃饭时，每9人一桌少一人；开小组会时，每7人一组多6人，那么到会的代表有_______人。 （7）一个自然数除以19余9，除以23余7，那么这个自然数最小是_______。 （8）被4除余1，被5除余2，被6除余3的最小自然数是________。 2、1～100中的哪个自然数被3和5除余1，且能被7整除？

小学奥数教程：几何中的重叠问题_全国通用(含答案)

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 教学目标 知识要点 7-7-3.几何中的重叠问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， 大圆表示C 的元素的个数． 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．

小学奥数之 同余问题(含详细解析)

1. 学习同余的性质 2. 利用整除性质判别余数 同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于b ，模m 。 2、重要性质及推论： （1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除 例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （） 能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b ) 3、余数判别法 当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数． ⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数； ⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数； ⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数； ⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数； 知识点拨 教学目标 5-5-3.同余问题

⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）； ⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数 节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数． 例题精讲 模块一、两个数的同余问题 【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数. 【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答 【解析】(法1) 39336 -=，51-3=48，1473144 -=，(36,144)12 =，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12； (法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912 -=，(12,108)12 -=，14739108 =，所以这个数是4,6,12． 【答案】4,6,12 【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空 【关键词】人大附中，分班考试 【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。 【答案】61 【例 3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？ 【考点】两个数的同余问题【难度】3星【题型】解答 【解析】由于这个数除345和543的余数相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商为33．所以所求的数为(543345)336 -÷=． 【答案】6

高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余

第二十二讲物不知数与同余 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

故事中的余数问题就是我们今天要研究的“物不知数”问题，也称为中国古余数问题．简单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题．通常在不同的题目中，余数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足． - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1． （1）一个数除以21余17，除以20也余17．这个数最小是多少？第二小是多少？ （2）一个数除以11余7，除以10余6．这个数最小是多少？第二小是多少？ 「分析」（1）这个数除以21和20都余17，那么减去17以后得到的差跟21和20有什么关系呢： （2）除以11和10的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？ 练习1． （1）一个自然数除以4余3，除以5也余3，这个自然数最小是多少？ （2）一个自然数除以5余1，除以7余3，这个自然数最小是多少？ 例题2． （1）一个三位数除以8余3，除以12也余3．这个三位数最小是多少？ （2）一个三位数除以6余1，除以10余5．这个三位数最小是多少？ 「分析」看起来和例题1没有太多区别．不过要小心哦，8和12的最小公倍数是81296 ?=吗？ 练习2． 一个三位数除以4余3，除以6也余3．这个三位数最大是多少？ 例题3． （1）一个数除以7余2，除以11余1．这个数最小是多少？ L （2）有一队解放军战士，人数在150人到200人之间，从第一个开始依次按1，2，3，，9的顺序报数，最后一名战士报的数是3；如果按1，2，3，L，7的顺序报数，最后一名战士报的数是4．请问：一共有多少名战士？ 「分析」所求自然数要满足两个余数条件，直接处理并不容易，但我们可以先让它满足其中一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．

【小学六年级奥数】第38讲 应用同余问题

第38讲应用同余问题 一、知识要点 同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的： 两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。记作：a≡b（mod ｍ）。读做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。 同余的性质比较多，主要有以下一些： 性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5） 性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。 性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。 性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。 应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。把求一个较大 1

的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。 二、精讲精练 【例题1】求1992×59除以7的余数。 应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。1992除以7余4，59除以7余3。根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。 因为1992×59≡4×3≡5（mod 7） 所以1992×59除以7的余数是5。 练习1： 1、求4217×364除以6的余数。 2、求1339655×12除以13的余数。 2

小学奥数同余问题

同余问题（一） 在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再 过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，少一二二：……-，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。 1. 同余的表达式和特殊符号 37和44同除以7,余数都是2,把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。 记作：（mod7 “三”读作同余。 一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余, 记作.，一〔r ■ 2. 同余的性质 （1）-，-?:丄-「一（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。） （2）若’一：°"，那么- 一n ‘ （这称作同余的对称性） （3）若:V，贝U - ■■■.（这称为同余的传递性）（4）若r- ': 1'：，—「—，，贝U丄―二-（一"）（这称为同余的可加性、可减性） 1- 」（称为同余的可乘性） （5）若'-:-1-'-- ° ,则r ；- T'■- :，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象： 如果詔 -：1- ■- '■- 那么日瑤严的差一定能被k整除） 这是为什么呢？ ? d；- 上） a=充7〕4鬥 盘一B =切［+ 口一（舫2 +与） 二切-切-金） k也就是■二的公约数，所以有…一- ■ k\（a -町 下面我们应用同余的这些性质解题。 【例题分析】 例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？

分析与解答： 假设这个自然数是a,因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以诃(412-1羽，，|(412?笳6讷化57-1辺， 说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。 (巧5, 124, 279) =31 所以a最大是31 o 例2. 除以19,余数是几？ 分析与解答： 如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。 249.2(uodl9) 388 = 8(mod 19) 234要乳m初19) 234x 388x249 = 6x8x2(mod!93 6x8x2 = 所以一 I .： 1.： 此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。 222 (2) ' ------ V ------ ' 例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，于；这个数除以13,商的第100位是几？最后余数是几？ 分析与解答： 222 (2) 吃这个数除以13,商是有规律的。 222 (2) 、-- V------- ' 1997个2 亠13= 170940170940... 商是170940六个数循环，那么1 -：1- - - = 1 - ....... 4 ,即"1_4 1'.，我们从左向右数“ 170940'的第4个数就是 我们找的那个数“ 9”，所以商的第 100位是9o 余数是几呢？ 222 (2) ' ----- V ------ ' ? 199亍个2 -^13 = 170^40170940.... 1995^ 6= 332 (4) 则'丄「」_ 所以商的个位数字应是“ 170940'中的第 4个，商应是9,相应的余数是5 【模拟试题】(答题时间：20分钟) 1. 求下列算式中的余数。 111......1 222 (2)

小学奥数—同余问题

数论之同余问题 余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。 许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！” 余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。 知识点拨： 一、带余除法的定义及性质： 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商 (2)当0 一个完美的带余除法讲解模型: 如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数， 现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后 共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是 余数。 这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 二、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2. 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理 若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。 同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论： 若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除 用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b) 三、弃九法原理： 在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的： ++++= 例如：检验算式1234189818922678967178902889923 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9的余数为2

五年级奥数下

指点迷津 自然数的尾数和余数分别有如下性质： 1、几个数和的尾数等于几个加数尾数之和的尾数。 2、几个数积的尾数等于几个因数尾数之积的尾数。 3、几个数的和、差、积除以一个数所得的余数，和这几个数分别除以这个数，所得的余数的和、差、积除以这个数的余数是相等的。 1、用一个两位数除708，余数为43，那么这个两位数是多少？ 2、1991和1769除以某一个自然数a，余数分别为2和1，那么a最小是多少？ 2、东东在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少3而余数恰恰相等，那么此题中的除数是几？ ※4、两个数相除，商为15，余数是7，且被除数比除数大735，求被除数是多少？

1、 3 20063333个除以7，余数是多少？ 2、 7 1007777个被13除后，余数是多少？ 3、 9 199799999个除以74的余数是多少/ ※4、整数除法，余数比除数小，从1到1994各数都除以9，所有余数的和是_________.

指点迷津 自然数的尾数和余数分别有如下性质： 4、几个数和的尾数等于几个加数尾数之和的尾数。 5、几个数积的尾数等于几个因数尾数之积的尾数。 6、几个数的和、差、积除以一个数所得的余数，和这几个数分别除以这个数，所得的余数的和、差、积除以这个数的余数是相等的。 1、自然数a除以13余6，自然数b除以13余12，那么a加b的和除以13余几？ 2、自然数a除以20的余数是7，自然数b除以20余数是7，那么a与b的差（大数减小数）除以20余数是多少？ ※3、试求一个四位数，它被131除的余数是112，被132除的余数是98，这个四位数是多少？

六年级奥数学习重点与难点分析

六年级奥数学习重点与难点分析六年级奥数学习重点与难点分析 六年级奥数： 现在正是特别关键的一个时期，无论从信息还是自身的学习方面都要做好充分的准备，我想通过最近巨人组织的活动大家至少能够 看到是有一批非常敬业的老师希望能够给大家提供尽量多的机会， 后面还会陆续有活动，各位家长在信息和机会方面肯定不用担心。 从最近的一些学校的考试我们就可以看出一个趋势，就是题量大，时间段，对于单位时间内的做题效率有很高的要求，这个效率体现 在两个方面，就是速度和正确率。 学习重点难点解析： 1、分数百分数问题，比和比例： 这是六年级的重点内容，在历年各个学校测试中所占比例非常高，重点应该掌握好以下内容： 对单位1的正确理解，知道甲比乙多百分之几和乙比甲少百分之几的区别； 求单位1的正确方法，用具体的量去除以对应的分率，找到对应关系是重点； 分数比和整数比的转化，了解正比和反比关系； 通过对“份数”的理解结合比例解决和倍（按比例分配）和差倍问题； 2、行程问题：

应用题里最重要的内容，因为综合考察了学生比例，方程的运用以及分析复杂问题的能力，所以常常作为压轴题出现，重点应该掌 握以下内容： 路程速度时间三个量之间的比例关系，即当路程一定时，速度与时间成反比；速度一定时，路程与时间成正比；时间一定时，速度 与路程成正比。特别需要强调的是在很多题目中一定要先去找到这 个“一定”的量； 当三个量均不相等时，学会通过其中两个量的比例关系求第三个量的比； 学会用比例的.方法分析解决一般的行程问题； 有了以上基础，进一步加强多次相遇追及问题及火车过桥流水行船等特殊行程问题的理解，重点是学会如何去分析一个复杂的题目，而不是一味的做题； 3、几何问题： 几何问题是各个学校考察的重点内容，分为平面几何和立体几何两大块，具体的平面几何里分为直线形问题和圆与扇形；立体几何 里分为表面积和体积两大部分内容。学生应重点掌握以下内容： 等积变换及面积中比例的应用； 与圆和扇形的周长面积相关的几何问题，处理不规则图形问题的相关方法； 立体图形面积：染色问题、切面问题、投影法、切挖问题； 立体图形体积：简单体积求解、体积变换、浸泡问题； 4、数论问题： 常考内容，而且可以应用于策略问题，数字谜问题，计算问题等其他专题中，相当重要，应重点掌握以下内容： 掌握被特殊整数整除的性质，如数字和能被9整除的整数一定是 9的倍数等；