高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业均值不等式的应用 Word版含解析
课时分层作业(十七) 均值不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋
1
a －1
的最小值是( ) A ．2 B ．a C ．2a
a －1 D ．3
D [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1
a －1
＋1≥2 （a －1）·1
a －1
＋
1＝3.当且仅当a －1＝
1
a －1
时，即a ＝2时取等号．故选D.] 2．已知x ＜0，则y ＝x ＋1
x －2有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4
D ．最小值为－4
C [∵x <0，∴－x ＞0，∴y ＝－???
???（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4，当且
仅当－x ＝
1
－x
，即x ＝－1时取等号．故选C.] 3．设x ＞0，则y ＝3x －3x 2－1
x 的最大值是( )
A ．3
B ．－3 2
C ．3－2 3
D ．－1
C [∵x ＞0，∴y ＝3－? ????3x ＋1x ≤3－23x ·
1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1
x ，且
x ＞0，即x ＝3
3时，等号成立．故选C.]
4．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4
y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 C [x ＋y ＝(x ＋y )·
? ??
??
1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4
＝5＋y x ＋4x
y ≥5＋2y x ·4x
y ＝5＋4＝9.
当且仅当?????1x ＋4y ＝1，
y x ＝4x y ，
即???x ＝3，
y ＝6
时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.故选C.] 5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36 B [(1＋x )(1＋y )≤??
????（1＋x ）＋（1＋y ）22
＝??
????2＋（x ＋y ）22＝? ????2＋822
＝25， 当且仅当1＋x ＝1＋y ，即x ＝y ＝4时， (1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.] 二、填空题 6．函数y ＝x ＋1
x ＋1
(x ≥0)的最小值为________． [答案] 1
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.
56 [设阴影部分的竖边长为x dm ，则宽为72
x dm ，四周空白部分的面积是y dm 2.
由题意，得y ＝(x ＋4)? ????
72x ＋2－72
＝8＋2? ????
x ＋144x ≥8＋2×2
x ·144
x ＝56(dm 2).
当且仅当x ＝144x ， 即x ＝12 dm 时等号成立．]
8．若a ，b ∈(0，＋∞)，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________． [6，＋∞) [∵a ＋b ＋3＝ab ≤?
??
??a ＋b 22
， ∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍去)，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．]
三、解答题
9．当x <32时，求函数y ＝x ＋8
2x －3的最大值．
[解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋3
2
＝－? ????3－2x
2＋
83－2x ＋32， ∵当x <3
2时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x
≥2
3－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x
，即x ＝－1
2时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－5
2.
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋
784
x ＋3
－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解] 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －? ????6x ＋784x ＋3－118＝118－? ??
??4x ＋784x ＋3
＝118－??????
4（x ＋3）＋784x ＋3－12
＝130－??????4（x ＋3）＋784x ＋3 ≤130－2
4（x ＋3）·784
x ＋3
＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x ＋3)＝784
x ＋3，即x ＝11时取等号．
所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．
11．若－4 2x －2( ) A ．有最小值1 B ．有最大值1 C ．有最小值－1 D ．有最大值－1 D [y ＝x 2－2x ＋22x －2＝12??? ???（x －1）＋1x －1， 又∵－4 －（x －1）＋1－（x －1）≤－1. 当且仅当x －1＝ 1 x －1 ，即x ＝0时等号成立．故选D.] 12．已知x >0，y >0，且2x ＋1 y ＝1，若x ＋2y >m 2恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≤－22或m ≥2 2 B ．m ≤－4或m ≥2 C ．－2＜m ＜4 D ．－22＜m ＜22 D [∵x >0，y >0且2x ＋1 y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )? ???? 2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即x ＝4，y ＝2时取等号， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2恒成立，