用放缩法证明不等式

利用放缩法证明数列型不等式

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用

1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法

主要有两种类型：

（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333

n n n S a +=-?+，1,2,3,

n =。设2n

n n

T S =，1,2,3,

n =，证明：

1

3

2n

i i T =<∑。

证明：易得12(21)(21),3n n

n S +=--11

32311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231

1

131131111

11

()()221212212121212121

n

n i i i n n i i T ++===-=-+-++

---------∑∑

=

113113()221212

n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成111

2121

n n +-

--，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，

2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711

12n +≥

。 证明：（I ）111

111

1()23

2212

2n n T T n n n n n n

+-=

+++

-++++++++ 111

21221n n n =

+-

+++10(21)(22)

n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）

112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+

+-+1221122n n T T T T S --=++

+++

由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥

≥，又11217

,1,212T S T ===，

12211222n n n S T T T T S --∴=++

+++21171711

(1)(1)112212

n n T T S n +≥-++=-++=

即当2n ≥时，2n S 711

12

n +≥

。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成112211

2222n n n n S S S S S S S ----+-++-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。用于解决积式

问题。

例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*

N n y x ∈=-上。

若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*

n ∈N

，不等式12

111

(1)(1+)(1+

)n

c c c +

??> 证明： 32n c n =-，331313133131(1+

)()323231332

n n n n n n c n n n n n --++=>??=---- 所以312

11147

31

[(1)(1+)(1+

)]311

4

32

n n n c c c n ++

??>???

=+-

即12

11

1

(1)(1+)(1+

)n

c c c +

??> 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。

33131(1+

)()32

n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131(

)323231332n n n n n n n n n n --++>??=----，而通项式为31

{}32

n n +-的数列在迭乘时刚好相消，

从而达到目标。

3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +=

=∈+，证明：1112

||()65

n n n x x -+-≤?。 证明：当1n =时，1211

||||6

n n x x x x +-=-=，结论成立。 当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<+<=

>+111115

(1)(1)(1)(1)212

n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+

1111||11

|||

|11(1)(1)n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=

++++211112122212

||()||()||()5

5565n n n n n n x x x x x x ----≤-≤-≤≤-=

点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。

例5已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111

122,(),1n n

n n a a a n N a a *++-==∈-记2n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1

()2

n n f x x =

． （I ）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （II ）求证：

12231()()()

1()2()()

()2

n n

f x f x f x n n

n N f x f x f x *+-<+++

<∈．

略解：（I ） 2n

n b =，12n a =，()21n

n f x =-。

证明：（II ）

11()21211

, 1()212

2(2)2

n n n n n n f x f x ++--==<--12231()()()()()()2

n n f x f x f x n

f x f x f x +∴+++

<．

11

1()2111

()2122(21)n n n n n f x f x +++-==---1111111, 22(22)22n n n +++=->-+- 12231231()()()

11

1111()=(1)()()

()222

22222

n n n n f x f x f x n n n f x f x f x ++-∴

+++

>-++

+

--> ∴

12231()()()

12()()

()2

n n f x f x f x n n

f x f x f x +-<+++

<．

反思：右边是2n ，感觉是n 个12的和，而中间刚好是n 项，所以利用1211212n n +-<-；左边是1

2n -不能用

同样的方式来实现，想到11(())(()0)222n n f n f n -=-+>，试着考虑将1

2121n n +--缩小成1

({}2

n n c c -是等比数列），从而找到了此题的突破口。

5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。二项式

定理放缩法有两种常见类型：

（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。

例6已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，1(46)410

21

n n n a n a n ++++=

+（n *∈N ）．

（Ⅰ）证明数列221n a n +??

??+??

是等比数列，并求出通项n a ；

（Ⅱ）如果1a =时，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求出n S ，并证明当3n ≥时，有

34

11

1110

n S S S +++

<． 略解： 223

)12)(2(1-?++=

-n n n a a （*n N ∈）

， 则(21)(21)n

n S n =--． n

n n n n n n C C C C ++++=-1102 ，

∴当3≥n 时，01122(1)n n n

n

n n n C C C C n -=+++≥+，则1212+≥-n n ． )12)(12(+-≥∴n n S n ，则

)1

21

121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n ． 因此，

)]121121()9171()7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n 10

1)12151(21<+-=n ． 反思：为什么会想到将

11(21)(21)n n S n =--放缩成1

(21)(21)

n n -+联想到11

11111223

(1)1n n n ++=-

111

n

S S S +++

是一个数列前n 项的和，最后通过放缩很可能变成

1()(()0)10f n f n ->的形式，而110应是由3

11

37S =

?放缩后裂项而成，311111

()35235S <=-?，111(21)(21)(21)(21)n n S n n n =≤---+111()22121n n =--+，此时刚好得到

34

1111111()252110

n S S S n +++

≤-<+，接下来就要处理1212+≥-n n ，想到用二项式定理。

（2

）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。

例7设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有0,n n a S >=

.

(I)求12,a a 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（III ）证明：21221n n n

n n n a a a +-≥+。

略解：（I ）（II ）121,2a a ==，n a n =；

证明（III ）012233

(1),n n n n n x C C x C x C x +=++++

012233

(1),n n n n n x C C x C x C x -=-+-+

13355

1

(1)(1)22222n n n n n n x x C x C x C x

C x nx +--=++≥=，令1

2x n

=

， 则有11(1)(1)122n n n n

+

--≥，从而(21)(2)(21)n n n n n n +≥+-，即21221n n n

n n n a a a +-≥+。

点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。

6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。

例8在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．

（I ）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；

（II ）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （III ）设数列}1{

n a 的前n 项和为n S ，证明：2

4+

S n ，*n N ∈．

略解：（I ）（II ）得33a =，492a =，56a =，68a =．???????+++=为偶数

为奇数n n n n n a n ,8

)2(,8

)

3)(1(2

证明：（III ）由（II ），得????

??

?

+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)

2(8

,)3)(1(812

．显然，2114341111+?=<==a S ； 当n 为偶数时，

42n n S n -

=+2221111

1148244466

(2)(2)2

n

n n n n ??+++++

+-?????+++?? 1111114824244646(2)(2)2n n n n n n ????????<++++++-?? ? ? ?

?????+++????

???? 1111111

14824466822n n n n ??????????=-+-+-++--

? ? ? ???++??????

???? 1

1480222n n n ??=--

= ?++??

； 当n 为奇数（3≥n ）时，14144(1)8422(1)2(1)(3)2

n n n n n n n

S S n a n n n n n ---

=+-<+-++-++++ 128

401(1)(3)2(1)(2)(3)n n n n n n n n n ??-=+-=-

. 综上所述，402n n S n -<+，即2

4+

S n ，*n N ∈． 点评： 此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。

7、单调函数放缩法：根据题目特征，构造特殊的单调函数，再进行放缩求解。

例9设函数2

()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n

??+>- ???都成立．

分析：欲证上述结论，直接作差比较23111ln 1()n n n

??

+--

???，无从下手；接着想到令23111()ln 1()g n n n n

??

=+-- ???，判断函数()(*)g n n N ∈的单调性，由于定义域为正整数，不能用导数，只能

计算(1)()g n g n +-，其结果还是很难处理；联想到数列是一种特殊的函数，将命题加强，令

1

(0)x n

=∈+∞，，判断函数3

2

()[ln(1)](0)h x x x x x =--+>的单调性，如果在(0,)+∞单调，则函数()g n 也单调。

解：令函数3

2

3

2

()[ln(1)]ln(1)h x x x x x x x =--+=-++，则32

2

13(1)()3211

x x h x x x x x +-'=-+=++． ∴当[)0x ∈+∞，时，'()0h x >，所以函数()h x 在[)0+∞，上单调递增，

(0)x ∴∈+∞，时，恒有()(0)0h x h >=，即23ln(1)x x x >-+恒成立．

故当(0)x ∈+∞，时，有2

3

ln(1)x x x +>-．对任意正整数n 取1(0)x n =∈+∞，，则有23111

ln 1n n n

??+>- ???．

二、放缩法的注意问题以及解题策略

1、明确放缩的方向：即是放大还是缩小，看证明的结论，是小于某项，则放大，是大于某个项，则缩小。

2、放缩的项数：有时从第一项开始，有时从第三项，有时第三项，等等，即不一定是对全部项进行放缩。

3、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：

（1）根式的放缩：

<<

（2）在分式中放大或缩小分子或分母：

2111

(2)(1)(1)

k k k k k k <<≥+-；

真分数分子分母同时减一个正数，则变大；，1

1n n n n -<+； 假分数分子分母同时减一个正数，则变小，如212221

n n

n n +>-；

（3）应用基本不等式放缩：

222n n n n ++>=+； （4）二项式定理放缩：如2121(3)n

n n -≥+≥；

（5）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n n a a a a a a a a n --≤-+-++-≥。

4、把握放缩的尺度：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。

这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。

再看例2，若构造函数2111711

()(1)1(*)223212

n n n n f n S n N +=-+=+

+++-∈，

则(1)()f n f n +-=1111718(1)23212n n ++++++--111711

(1)23212

n n +++++-

11112122222n n n n =+++-+++1717120221221212

n n n >?-=-=-<+ 前后不等号不一致，不能确定()f n 的单调性，此时放缩过当，此题不适宜用单调函数放缩法。若要证明

2(1)2n n S ≥+，则(1)()f n f n +-=11113(1)2322n n ++++++-

1112(1)2322n n +-++++-1111

2122222n n n n

=+++-+++ 11112022222n

n n

>?-=-=+，所以(1)()f n f n +>，从而()(*)f n n N ∈递增，13()(1)1022

f n f ≥=+-=，所以2(1)2

n n

S ≥+成立，此时用单调函数放缩法可行。同样的题干，稍有调整，我们所用的方法便有不同。

5、放缩法的策略以及精度的控制

例10已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111

,20(2)2

n n n a a S S n -=+=≥。 （I ）数列1

{

}n

S 是否为等差数列并证明你的结论； （II ）求n S 和n a ； （III ）求证：2

2

2

21231

2

n S S S S +++

+<

。 简解：（1）（2）1

(1)12

,12(2)2(1)n n n S a n n n n ?=??==?

?-≥-??

； （3）证法一：当1n =时，2

11142S =

<成立；当2

211112,()441n n S n n n

≥=<--， 22

22

1231111

111111

11[](1)441223

(1)44223

1n S S S S n n n n

+++

+<

++++

=+-+-+

+

-??-?-= 111111(1)4422

n n +-=-< 综上所述，2222

1231

2

n S S S S ++++<

。 证法二：2

22111111()441(21)(21)22121

n S n n n n n n =

<==--+--+ 2222

123111111111

(1)(1)2335

21212212

n S S S S n n n +++

+<-+-+

+

-=-<-++。

点评：两种证法的不同在于策略的选择不同。方法一是将

214n 放大成2144n n

-，需从第二项起，要分类讨论；而方法二是将214n 放大成2141n -。明显241n -比2

44n n -大很多，2141n -比2144n n -更接近214n

。

从中可以发现放缩后的式子越接近放缩前的式子，即放缩程度越小，精确程度越高，保留的项就越少，运算就越简单。因此，在放缩时，要尽量缩小放缩度，提高放缩精度，避免运算上的麻烦。

本文选取的例题都是高考或模拟考中的压轴题，有一定难度，从中我们可以发现放缩法是证明数列型不等

式的压轴题的最重要的方法。对于某个题目可能用到单一的放缩法，也可能用到复合型的放缩法，在平时或考试中遇到数列型不等式的证明问题，我们不能望题兴叹，也不能轻言放弃，更不能盲目瞎撞。多想几个为什么：用放缩法能否解决，是哪种类型的放缩法，要注意什么问题等等。只有正确把握了放缩法的方法思路和规律特征，我们在证明数列型不等式的压轴题时，就会豁然开朗，快速找到突破口，成为解决此类题的高手。