2017双曲线及其标准方程学案.doc
第7课时双曲线及其标准方程
1.了解双曲线的定义.
2.掌握双曲线的标准方程、几何图形.
3.理解标准方程中a,b,c的关系,并能利用双曲线中a,b,c的关系处理“焦点三角形”中的相关运算.
如图所示,某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到稻田ABCD 中去,已知|MA|=6,|MB|=8,|BC|=3,∠AMB=90°,能否在稻田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近,而另一侧沿MB送肥料较近?若能,请建立适当的直角坐标系,求出这条界线的方程.
问题1:双曲线的标准方程的定义
双曲线的标准方程分两种情况:焦点在x轴上时,双曲线标准方程为(a>0,b>0);焦点在y轴上时,标准方程为(a>0,b>0).
问题2:双曲线的定义中应注意的问题
双曲线的定义用代数式表示为错误！未找到引用源。=2a(0 (1)注意定义表述中的“绝对值”字眼,如果取消绝对值的限制,则动点的轨迹可分为以下几种情况: ①若错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=2a(0 则轨迹为双曲线中焦点对应的一支; ②若错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=2a(0 (2)注意“到两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距离之差的绝对值小于错误！未找到引用源。”这一条件,若无此限制,则可能出现下列情形: ①当时,动点的轨迹是一直线上以F1,F2为端点向外的两条射线; ②当时,动点轨迹不存在. 问题3:用待定系数法求双曲线的标准方程 (1)如果明确了双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,则双曲线方程可设为; (2)如果明确了双曲线的中心在原点,焦点在y轴上,则双曲线方程可设为; (3)以坐标轴为对称轴的双曲线方程可设为. 1.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是(). A.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(x≤-4) B.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(x≤-3) C.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(x≥4) D.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(x≥3) 2.已知双曲线的a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为(). A.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 B.错误！ 未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 C.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1或错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 D.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=0或错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=0 3.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(0,3),则实数k的值为. 4.(1)求经过点P(-3,2错误！未找到引用源。)和Q(-6错误！未找到引用源。,-7)的双曲线的标准方程; (2)已知双曲线与椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求双曲线的方程. 双曲线的定义及应用 (1)若双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1上 的一点P到它的右焦点的距离为8,则点P到它的左焦点的距离是(). A.4 B.12 C.4或12 D.6 (2)已知双曲线C:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。 =1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|, 则△PF1F2的面积等于(). A.24 B.36 C.48 D.96 求双曲线的标准方程 (1)与椭圆错误！未找到引用源。+y2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是(). A.错误！未找到引用源。-y2=1 B.错误！未找到引用源。-y2=1 C.错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 D.x2-错误！未找到引用源。=1 (2)已知双曲线过P1(-2,错误！未找到引用源。)和P2(错误！未找到引用源。,4)两点,求双曲线的标准方程. 双曲线的定义和标准方程在解题中的应用 求下列动圆圆心M的轨迹方程. (1)与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0); (2)与☉C1:x2+(y-1)2=1和☉C2:x2+(y+1)2=4外切. 已知双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0),点A,B在双曲线右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一个焦点,则△ABF1的周长为(). A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=3,c=4,焦点在x轴上. (2)右焦点与抛物线y2=24x的焦点是同一个点,经过点A(6,5). 已知动圆与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 1.双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1的焦距为(). A.3错误！未找到引用源。 B.4错误！未找到引用源。 C.3错误！未找到引用源。 D.4错误！未找到引用源。 2.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为(). A.-1 B.k>1 C.k<-1 D.k>1或k<-1 3.已知P是双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为. 4.已知方程kx2+y2=4,其中k∈R,试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型. (2013年·辽宁卷)已知F为双曲线C:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为. 考题变式(我来改编): 第7课时双曲线及其标准方程知识体系梳理 问题1:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 问题2:(1)①F2②F1(2)①2a=错误！未找到引用源。②2a>错误！未找到引用源。 问题3:(1)错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0) (2)错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0) (3)mx2+ny2=1(mn<0) 问题4:a2=b2+c2a2+b2=c2错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0) 错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0) 基础学习交流 1.D根据双曲线的定义可得. 2.C因为b2=c2-a2=49-25=24,且焦点位置不确定,所以所求双曲线的标准方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1或错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1. 3.-1因为双曲线焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1,所以k<0,又(0,3)是双曲线的一个焦点,则c=3,于是有-错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=32=9,解得k=-1. 4.解:(1)设双曲线的标准方程为mx2+ny2=1(m·n<0), 又双曲线经过点P(-3,2错误！未找到引用源。)和Q(-6错误！未找到 引用源。,-7), 所以错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。 所以所求双曲线的标准方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1. (2)因为椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1的焦点 为(0,-3),(0,3),A点的坐标为(±错误！未找到引用源。,4),设双曲线的 标准方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0), 所以错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。所以所求双曲 线的标准方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1.重点难点探究 探究一:【解析】(1)设双曲线的两个焦点分别为A,B,由定义,||PA|-|PB||=4,|8-|PB||=4,|PB|=4或|PB|=12. (2)在错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1 中,a=3,b=4,c2=a2+b2=25,∴c=5, ∴|PF2|=|F1F2|=2c=10. 又∵P为双曲线C的右支上一点, ∴|PF1|-|PF2|=2a=6, ∴|PF1|=16. 过点F2作F2T⊥PF1于T,则T为PF1的中点,且|PT|=8, ∴|F2T|=6,∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。×16×6=48. 【答案】(1)C (2)C 【小结】双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)上的点P(x0,y0)满足方程错误！未找到引用源。-错误！未 找到引用源。=1(a>0,b>0),符合定义||PF1|-|PF2||=2a.双曲线上的点P 与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令 |PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因为|F1F2|=2c,所以有: ①定义:|r1-r2|=2a; ②余弦公式:4c2=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-2r1r2cosθ; ③面积公式:错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。r1r2sin θ. 一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决. 探究二:【解析】(1)(法一)椭圆错误！未找到引用源。+y2=1的焦点是(-错误！未找到引用源。,0)和(错误！未找到引用源。,0),∴双曲线的焦点也在x轴上,且c=错误！未找到引用源。. 设双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0),则错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1且a2+b2=3.解得a2=2,b2=1,故标准方程为错误！未找到引用源。-y2=1. (法二)椭圆错误！未找到引用源。+y2=1的焦点坐标为(-错误！未找到引用源。,0)和(错误！未找到引用源。,0), ∴双曲线的两个焦点坐标也是(-错误！未找到引用源。,0)和(错 误！未找到引用源。,0). ∵点(2,1)在双曲线上,则 2a=|错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。|=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。+1)-错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。-1)=2错误！未找到引用源。,∴a=错误！未找到 引用源。.从而b2=3-2=1. ∴双曲线的标准方程为错误！未找到引用源。-y2=1. (2)(法一)当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0). 由P1,P2在双曲线上,知错误！未找到引用源。解之得错误！未找到引用源。不合题意,舍去; 当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0). 由P1,P2在双曲线上,知错误！未找到引用源。解之得错误！未找到引用源。即a2=9,b2=16. 故所求双曲线方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用 源。=1. (法二)∵双曲线的焦点位置不确定,∴可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0). ∵P1,P2在双曲线上, ∴错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。 故所求双曲线方程为-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1,即错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1. 【答案】(1)A 【小结】1.求双曲线标准方程的两个关键点:一定位(焦点在哪条轴上),二定量(确定a2,b2). 2.待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤: (1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上,还是两种都有可能. (2)设方程:根据焦点位置,设其方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)或错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+ny2=1(m·n<0). (3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b(m,n)代入所设方程即可求得标准方程. 探究三:【解析】设动圆M的半径为r. (1)∵☉C与☉M内切,点A在☉C外. ∴错误！未找到引用源。=r-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=r,错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, ∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线,且有a=错误！未找到引用源。,c=2,b2=c2-a2=错误！未找到引用源。,∴点M的轨迹方程为2x2-错误！未找到引用源。=1. (2)∵☉M与☉C1、☉C2都外切,设动圆M的半径为r. ∴错误！未找到引用源。=r+1,错误！未找到引用源。=r+2,错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1, ∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线,且有a=错误！未找到引用源。,c=1,b2=c2-a2=错误！未找到引用源。. ∴点M的轨迹方程为4y2-错误！未找到引用源。=1. [问题](1)(2)中的轨迹都是完整的双曲线吗? [结论]不是,根据双曲线的定义,轨迹都应该是双曲线的一支. 于是正确解答如下: 设动圆M的半径为r. (1)∵☉C与☉M内切,点A在☉C外. ∴错误！未找到引用源。=r-错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=r,错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. ∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支,且有a=错误！未找到引用源。,c=2,b2=c2-a2=错误！未找到引用源。, ∴点M的轨迹方程为2x2-错误！未找到引用源。=1(x≤-错误！未 (2)∵☉M与☉C1、☉C2都外切,设动圆M的半径为r, ∴错误！未找到引用源。=r+1,错误！未找到引用源。=r+2,错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1, ∴点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支,且有a=错误！未找到引用源。,c=1,b2=c2-a2=错误！未找到引用源。. 易求两圆交点坐标为(±错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。),观察图像可知,x必须满足x<-错误！未找到引用源。或x>错误！未找到引用源。,∴点M的轨迹方程为4y2-错误！未找到引用源。=1(y≥错误！未找到引用源。,x<-错误！未找到引用源。或x>错误！未找到引用源。). 【小结】如果求解的动点轨迹方程是双曲线方程,要特别注意所得轨迹是双曲线的两支还是其中一支. 思维拓展应用 应用一:B设△ABF1的周长为Z,则 Z=|AF1|+|BF1|+|AB| =(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB| =(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB| =2a+2a+2m=4a+2m. 应用二:(1)由题设a=3,c=4, 由c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7. 因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线的标准方程为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1. (2)由y2=24x得抛物线焦点坐标为(6,0),∴c=6.因为点A(6,5)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a,即2a=|错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20. 因此,所求双曲线的标准方程是错误！未找到引用源。-错误！未 应用三:设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r, 则|MC1|=r+3,|MC2|=r-1, ∴|MC1|-|MC2|=r+3-r+1=4<|C1C2|=6, 由双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支,且2a=4,a=2,其轨迹方程为:错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(x≥2). 基础智能检测 1.D由双曲线的标准方程可知,a2=10,b2= 2.于是有c2=a2+b2=12,则2c=4错误！未找到引用源。.故选D. 2.A由题意得错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。即-1 3.33由双曲线方程错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1知,a=8,b=6,则c=错误！未找到引用源。=10.∵P是双曲线上一点,∴||PF1|-|PF2||=2a=16,又|PF1|=17,∴|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|≥c-a=2,∴|PF2|=33. 4.解:①当k=0时,方程变为y=±2,表示两条与x轴平行的直线; ②当k=1时,方程变为x2+y2=4表示圆心在原点,半径为2的圆; ③当k<0时,方程变为错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1,表示焦点在y轴上的双曲线; ④当0 ⑤当k>1时,方程变为错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1,表示焦点在y轴上的椭圆. 全新视角拓展 44可知a=3,b=4,c=5,由双曲线的定义得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,两个等式相加得|PF|+|QF|=28,故△PQF的 周长为44. 思维导图构建 差的绝对值小于错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0) 第二节参数方程 知识体系 必备知识 1.参数方程与普通方程 参数方程普通方程 变量间 的关系 曲线上任意点的坐标x,y都是某个 变数t的函数,t简称参数 曲线上任意点坐标x,y 间的关系 方程 表达式 F错误!未找到引用源。 =0 曲线的 方程、方 程的曲 线 (1)曲线上任意点的坐标x,y都是 参数t的函数 (2)对于t的每一个允许值确定的 点错误!未找到引用源。都在曲线 上 (1)曲线上点的坐标都 是方程的解 (2)以方程的解为坐标 的点都在曲线上 2.参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程:主要利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程:如果x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),则得曲线的参数方程错误!未找到引用源。 3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程 轨迹普通方程参数方程 直线 y-y0=tan α(x-x0) (t为参数) 圆(x-a)2+(y-b)2=r2 (θ为参数) 椭圆错误!未找到引用 源。+错误!未找到 引用源。=1 (a>b>0) (φ为参数) 基础小题 1.已知直线错误!未找到引用源。(t为参数),下列说法中正确的有 ( ) ①直线经过点(7,-1);②直线的斜率为错误!未找到引用源。;③直线不过第二象限;④|t|是定点M0(3,-4)到该直线上对应点M的距离. A.①② B.②③ C.①②④ D.①②③ 【解析】选D.根据题意,直线错误!未找到引用源。(t为参数),其普通方程为y+4= 错误!未找到引用源。(x-3),对于①,(-1)+4=错误!未找到引用源。(7-3),即直线经过点(7,-1),①正确;对于②,直线的普通方程为y+4=错误!未找到引用源。(x-3),其斜率k=错误!未找到引用源。,②正确;对于③,直线的普通方程为y+4=错误!未找到引用源。(x-3),不经过第二象限,③正确;对于④,直线错误!未找到引用源。(t为参数),|5t|表示定点M0(3,-4)到该直线上对应点M的距离,④错误. 2.过点A(2,3)的直线的参数方程为错误!未找到引用源。(t为参数),若此直线与直线x-y+3=0相交于点B,则|AB|=________. 【解析】把错误!未找到引用源。代入直线x-y+3=0得t=2, 则交点为(4,7), 所以|AB|=错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。. 答案:2错误!未找到引用源。 3.直线l的参数方程为错误!未找到引用源。(t为参数),求直线l的斜率. 【解析】将直线l的参数方程化为普通方程为 y-2=-3(x-1),因此直线l的斜率为-3. 4.已知直线l1:错误!未找到引用源。(t为参数)与直线 l2:错误!未找到引用源。(s为参数)垂直,求k的值. 【解析】直线l1的方程为y=-错误!未找到引用源。x+错误!未找到引用源。,斜率为-错误!未找到引用源。; 2.3.1双曲线及其标准方程 教学目标： 1.知识与技能 掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法 教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观 通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用 教学难点:双曲线标准方程的推导 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程: 一.情境设置 1.复习提问： (由一位学生口答，教师利用多媒体投影) 问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？ 问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？ 2.探究新知: (1)演示：引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象，并利用课件进行双曲线的模拟实验，思考以下问题。 (2)设问：①|MF 1|与|MF 2 |哪个大？ ②点M到F 1与F 2 两点的距离的差怎样表示？ ③||MF 1|-|MF 2 ||与|F 1 F 2 |有何关系？ （请学生回答：应小于|F 1F 2 | 且大于零，当常数等于|F 1 F 2 | 时，轨迹是以 F 1、F 2 为端点的两条射线；当常数大于|F 1 F 2 | 时，无轨迹） 二.理论建构 1.双曲线的定义 引导学生概括出双曲线的定义： 定义:平面内与两个定点F 1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F 1 F 2 |） 的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影） 概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于21F F ” 2.双曲线的标准方程 现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示） （1）建系 取过焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。 (2) 设点 设M （x ,y ）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c （c>0），则F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），又设点M 与F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a （2a <2c ）. （3）列式 由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF 1|－|MF 2||=2a }. 即: （4）化简方程 由学生板演，教师巡视。化简，整理得： 移项，两边平方得 两边再平方后整理得 由双曲线定义知 这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦 ()(), 22 22 2a y c x y c x =+-- ++()()a y c x y c x 22 22 2±=+-- ++()2 22y c x a a cx +-±=-()() 2 2222222 a c a y a x a c -=--) 0,0(1)0(,0,2222 2222222>>=->=->-∴>>b a b y a x b b a c a c a c a c 代入上式整理得设即 练习题 高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 【学习目标】 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程． 【自主学习】（认真自学课本P34-P36例2） 新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线 注意：1. 如果……，那么……； 2. “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3. 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4. 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 【合作探究】 例1：:（教材P35例1）证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 例2（教材P35例2）设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程． 小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,) M x y表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P的点M的集合{|()} P M p M =； ③用坐标表示条件P，列出方程(,)0 f x y=； ④将方程(,)0 f x y=化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 【目标检测】 1. 与曲线y x =相同的曲线方程是（）． A． 2 x y x =B ．y=C ．y=D．2log 2x y= 2. 已知方程222 ax by +=的曲线经过点 5 (0,) 3 A和点(1,1) B，则a= ，b= ． 3. 已知两定点(1,0) A-，(2,0) B，动点p满足 1 2 PA PB =，则点p的轨迹方程是． 4. 求和点(0,0) O，(,0) A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程． 【作业布置】 任课教师自定 参数方程 【考点梳理】 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲 线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例 如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ?? ?? x ＝f t ，y ＝g t 就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0) ? ?? ?? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ? ?? ?? x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a >b >0) ? ?? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 考点一、参数方程与普通方程的互化 【例1】已知曲线C 1：?????x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，C 2：? ????x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数). (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π 2 ，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线C 3： 双曲线及其标准方程 一、教学目标 (一)知识教学点 1.掌握双曲线定义、标准方程； 2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系； 3.认识双曲线的变化规律. (二)能力训练点 在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． (三)学科渗透点 本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识． 二、教材分析 1．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． (解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识．) 2．难点：双曲线的标准方程的推导． (解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导类比．) 3．疑点：双曲线的方程是二次函数关系吗？ (解决办法：教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决，同时让学生在课外去研究在什么附加条件下，双曲线方程可以转化为函数式．) 三、活动设计 教学方法启发引导式 教具准备三角板、双曲线演示模板、幻灯片 提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结． 四、教学过程 (一)复习提问 1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数； (3)常数2a＞|F1F2|． 2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书) (二)双曲线的概念 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？ 1．简单实验(边演示、边说明) 如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支． 注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问 问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？ 请学生回答，不能．强调“在平面内”． 问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？ 1. 1.3双曲线及其标准方程 课前预习学案 一、预习目标 ①双曲线及其焦点,焦距的定义。 ②双曲线的标准方程及其求法。 ③双曲线中a，b，c的关系。 ④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。 二、预习内容 ①双曲线的定义。 ②利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类 比。 ③掌握a，b，c之间的关系。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、教学过程 前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆”。 下面我们来考虑这样一个问题？ 平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？ 我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。 若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时，可知它的轨迹也是一条曲线 那么由这个实验我们得出一个结论： “平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。” 但大家思考一下这个结论对不对呢？ 我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？ 下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线； 随着|MF1|-|MF2|的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线； 当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线； 若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。 那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义： 定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。 高中二年级（上）数学选修2-1 第二章：圆锥曲线与方程——2.1：曲线与方程 一：知识点讲解 （一）：曲线与方程的概念 ? 在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程()0=y x f ，的实数解建立了如下的关系： ? 曲线上点的坐标都是这个方程的 。 ? 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 。 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做 。 ? 从点的坐标与方程的解的角度理解： ? 如果点()00y x P ，在曲线C 上，则0x x =， 0y y =适合曲线C 的方程()0=y x F ，，即()000=y x F ，。 ? 若0x x =，0y y =适合曲线C 的方程()0=y x F ，，则点()00y x P ，在曲线C 上。 同时具备上述两个条件时，“曲线”与“方程”才能相互表示。 ? 从集合的角度理解：设A 是曲线C 上的所有点构成的点集，B 是所有以方程 ()0=y x F ，的实数解为坐标的点组成的点集，则由条件①B A ?；②A B ?，同时具备这两个条件，则有B A =，于是建立了曲线与方程之间的等价关系。 ? 从对应的角度理解：曲线方程定义的实质是平面曲线的点集(){}M p M |和方程 ()0=y x f ，的解集()(){}0|=y x f y x ，，之间一一对应的关系，如图所示： 例1：若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0=y x f ，的解”是正确的，则下列命题为真命题的是 A. 不是曲线C 上的点的坐标，一定不满足方程()0=y x f ， B. 坐标满足方程()0=y x f ，的点均在曲线C 上 C. 曲线C 是方程()0=y x f ，的曲线 D. 不是方程()0=y x f ，的解，一定不是曲线C 上的点 （二）：解析几何及研究的主要问题 ? 坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某条件的点的集合或轨迹， 用曲线上点的坐标(x ，y )所满足的方程()0=y x f ，表示曲线，通过研究 的性质间接地来研究曲线的性质，这就叫做坐标法。 ? 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何，解析几何研究的主要问题是： ? 根据已知条件，求出表示曲线的 ； ? 通过曲线的 ，研究曲线的性质。 例2：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。 1) ( )若方程()0=y x F ，为曲线C 的方程，则满足()0=y x F ，的点都在曲 线C 上。 2) ( )若曲线C 上所有的点都满足方程()0=y x F ，，则()0=y x F ，为曲线 C 的方程。 3) ( )方程x xy x =+2 的曲线是一个点和一条直线。 4) ( )方程21x y -=可化简为122=+y x 。 5) ( )方程x y = 与2y x =表示同一曲线。 2019-2020年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案新人教A 版选修4 [对应学生用书P27] 1．直线的参数方程 (1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为? ?? ?? x ＝x 0＋t cos α y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) (2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义 参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0. [对应学生用书P27] [例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离． [思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程． [解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为3 4，设直线的倾斜角为α， 则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝4 5. 又点P (1,1)在直线l 上， 所以直线l 的参数方程为????? x ＝1＋4 5 t ，y ＝1＋3 5 t (t 为参数)． 因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上． 由1＋4 5 t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为 5. 理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0 的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键． 1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π 6 ，则直线l 的参数方程为________________． 解析：直线l 的参数方程为????? x ＝2＋t cos 5π 6 ，y ＝－4＋t sin 5π 6 (t 为参数)，即 ????? x ＝2－3 2t ，y ＝－4＋12 t (t 为参数)． 答案：??? ?? x ＝2－3 2t ，y ＝－4＋1 2 t (t 为参数) 2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π 4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间 的距离． 解：设直线的参数方程为??? ?? x ＝3＋2 2 t ，y ＝4＋2 2t ， 将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋ 22t )＋2(4＋2 2 t )＝6. 解得t ＝－112 5 ， 直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， x 双曲线及其标准方程 一.教学目标: （1）知识与技能：理解双曲线的定义并能独立推导标准方程； （2）过程与方法：通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比及数形结合等 思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力； （3）情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学 生用联系的观点认识问题。 二.教学重点:双曲线的定义 三.教学难点:双曲线方程的推导 四.教学过程: (一)复习回顾 (二)双曲线的定义: 1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢? 2. 双曲线的定义: 平面内与两定点的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距． 3.简单演示(使用几何画板). 4. （*） 注意：①（*）式中是差的绝对值，在条件下： 时为双曲线的一支（含的一支）； 时为双曲线的另一支（含的一支）. ②当时，表示两条射线. ③当时，不表示任何图形. (三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导 学生给出双曲线的方程的推导． 标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是，那么的坐标分别是．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值为. (2)点的集合:由定义可知，双曲线就是集合：}． (3)代数方程, , (4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：,移项整理两边平方可得: (我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记) 由双曲线定义，即，所以设，代入上式得：．即,这就是焦点在轴上的双曲线的标准方程． 两种标准方程的比较(引导学生归纳)： (1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是: ,这里. (2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是: ,这里.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到) 强调指出： (1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，，但不一定大于；(3)如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中的关系是，不同于椭圆方程中． (四).例题分析: 练习:写出下列双曲线的焦点坐标: (1)(2)(3)(4) 例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 解: 根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程为： ,所以所求双曲线的标准方程为: (五)小结 高二数学选修1-1 2.2.1双曲线及其标准方程学案 一、学习任务： 1.掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 2.会根据条件求双曲线的标准方程. 3.会区别双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。 二、探究新知： 问题1、把椭圆的定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹是什么？ 我们把平面内与两个 F 1、F 2的距离的 _______ _ 等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线， 这两个 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距。 问题2、将定义中的常数设为2a （1）、当2a ＜︱F 1F 2︱时，轨迹是 （2）、当2a ＞︱F 1F 2︱时，轨迹是 （3）、当2a=︱F 1F 2︱时，轨迹是 （4）、当2a=0 时，轨迹是__________________________________ （5）、将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么? 例如|MF 1|-|MF 2|=2a ，表示哪支呢？ 而|MF 2|-|MF 1|=2a 呢？ 1．双曲线的标准方程： 类似于椭圆求标准方程，推导双曲线标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 1）、以 为 轴，以 为 轴，建立直角坐标系XOY ，则F 1、F 2的坐 标分别是F 1 、F 2 。 2)、设M(x,y)是双曲线上的任意一点, 由双曲线的定义有:- 1MF = ，（＊） 由两点距离公式有：1MF 2= ； 由（＊）式化简得到焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为： ； 类似的得到焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为： . 2．双曲线的标准方程的特点： （1）标准方程左边的两项用 号连接; （2）c b a ,,的关系： ，而椭圆标准方程中c b a ,,的关系是： 。 3.焦点的位置:椭圆的标准方程看出椭圆的焦点位置由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2 x 项的系数是正的，那么焦点在 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在 轴上。 自学检查 1.(1）、已知：116 922=-y x 求：a=_ ,b= ,c=_ ，焦点坐标是 ； (2)、已知：125 144 2 2=-x y 求：a=_ ,b=_ ,c=_ ， 焦点坐标是 ； （3）、已知822 2 =-y x ，则a = ,b = , =c . 焦点坐标是 。 2、已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21,F F 的距离之差的绝对值等于6，则双曲线标准方程是______________________。 3、已知A （2，－3），B （－4，－3），动点P 满足|PA|-|PB|=6，则P 点轨迹分别是（ ） A ）双曲线 B ）两条射线 C ）双曲线的一支 D ）一条射线 4、设双曲线19 162 2=-y x 上的点P 到一焦点)0,5(的距离为15，则P 点到另一焦点)0,5(-的距离是（ ） A ）7 B ）23 C ）5或23 D ）7或23 5、双曲线22 13x y m m -=+的一个焦点为（2，0） ，则m=（ ） A ）12 B ）1或3 C D 6、若方程14132 2++-k y k x =1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) (A)(31-, 41) (B)(41-, 31) (C)( 31,41-) (D)(-∞,4 1-)∪(31 ,+∞) 7、求适合下列条件的双曲线的标准方程。 (1）、焦点在x 轴上，5,3==c a ； (2）、焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5); 巩固训练 1．已知顶点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，为双曲线的是( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝3 B ．|PF 1|＋|PF 2|＝6 C ．||PF 1|－|PF 2||＝4 D ．||PF 1|－|PF 2||＝3 2、已知双曲线221169 x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为 10，则 点P 到右焦点的距离为_______ ． 3.设21,F F 是双曲线 22 11620 x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离是9，则点P 到2F 的距离是__________ 4.已知方程 22 121x y m m -=++表示双曲线,则m 的取值范围是_________________ 5.椭圆 22214x y a +=与双曲线22 12 x y a -=有相同的焦点，则a 的值=____________ 6.（1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和? ?? ??94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4 ＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 拓展延伸： 1.已知双曲线22 163 x y -=的焦点21,F F ，点M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2MF 的距离是___________ 2.设P 为双曲线22 112 y x -=上的一点，1,2F F 是该双曲线两个焦点，若12:3:2PF PF =则12PF F 的面积是_______________ 三、本节课收获：???? ? ???? 3.4.1 曲线与方程 学习目标：曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础，理解曲线与方程之间的一一对应关系。 学习重点：曲线与方程的一一对应关系。 学习难点：常见的几何模型与代数模型的转换。 学习过程： 一、复习： 同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。 一、新旧知识连接： 复习直线、圆、圆锥曲线的标准方程与曲线的一一对应关系。 二、我能自学： 1.认识角的概念： 一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程 F (x , y )=0的实数解建立了如下的关系 （1）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么曲线C 叫做方程F (x , y )=0的曲线；方程F (x , y )=0叫做曲线C 的方程 曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程 三、巩固训练 1．22 :(3,4),5(3)(4)25,M x y -+-=证明圆心为半径为的圆的方程 (1,0),(1,0),(1,2)O A B --并判断点是否在这个圆上. 2．求直角坐标系下一三象限的角分线方程，下列方法是否正确？ 3. 求证：与两条坐标轴的距离的积等于1的点的轨迹方程是|xy |=1 例4. 甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程 f (x ，y )=0 的解”，乙：“曲线C 是方程 f (x ，y )=0 的曲线”，则甲是乙的( ) (A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 非充分也非必要条件 参数方程的概念学案 第八大周 年级：高二 学科：数学（文） 主备人：张淑娜 审核人：王静 【学习目标】1.理解曲线参数方程的概念，体会实际问题中参数的意义； 2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。 【学习重点】曲线参数方程的定义及求法 【学习难点】曲线参数方程的探求。 一、【课前预习】 引例： 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？救援物资做何运动？你能用物理知识解决这个问题吗？ 思考交流：把引例中求出的物资运动轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方 程进行比较，体会参数方程的作用。 二、【新知探究】 1、参数方程的概念 一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x, y ）都是某个变数t 的函数 ??? ，并且对于t 的每一个允许值, 由方程组(1) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(1) 就叫做这条曲线的_______________, 联系变数x,y 的变数t 叫做____________,简称________。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_______________。 2、关于参数几点说明： （1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。 （2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。 3、求曲线的参数方程的一般步骤。 （1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x （2）选取适当的参数 （3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式 （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 三、【预习检测】 1、曲线2 1,(43x t t y t ?=+?=-? 为参数）与x 轴的交点坐标是( ) A 、（1，4） B 、25(,0)16± C 、25(,0)16 D 、(1,3)- 2、方程sin ,(cos x y θθθ=??=? 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ） A 、（2，7） B 、12(,)33 C 、11(,)22 D 、（1，0） 2．3．1双曲线及其标准方程第一课时 《双曲线及其标准方程》 一．教学目标 ?知识与技能目标 了解双曲线的定义，几何图形，标准方程 ?过程与方法目标 类比椭圆的定义，标准方程，得到双曲线的定义，标准方程，并注意两者的比较 ?情感与态度目标 体会运动变化的观点，数形结合的思想方法 二．教材分析： 1、教学分析：学生已经掌握曲线与方程的基础，通过实例给出双曲线的定义，进而去推导双曲线的标准方程，由于前面学习了椭圆的相关知识，这一块对于学生来说是比较熟悉的内容，可让他们自行推导，课本的例1很好的结合了双曲线的定义来考察学生对概念理解的程度，例2将双曲线应用在实际生活当中，后面的探究内容可以充分发挥出学生的主导地位，分析和发现轨迹方程的求法。 2．教学重点：双曲线的定义，标准方程 3．教学难点：双曲线标准方程的推导 三、教学过程： （一）导入新课 1．回顾椭圆的定义，标准方程 2．提出问题： 平面内到两定点的距离的差为常数的点的轨迹是什么？ 3．实验探究上述问题 学生动手实验 P ．52拉链演示 4．多媒体演示 （二）推进新课 1．双曲线的定义： 平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 即以曲线上的点M 满足：a MF MF 221=-（a 为定值，a F F 221>） 思考：（1）若a F F 221=，点M 的轨迹是什么？ （2）若a F F 221<，点M 的轨迹是什么？ 2．双曲线标准方程的推导 以焦点在x 轴的双曲线为例，类比椭圆标准方程的推导过程，按求曲线方程的一般步骤求解。 得到双曲线的标准方程为12222=-b y a x 说明： （1）12222=-b y a x 或12222=-b x a y 均称为双曲线的标准方程； （2）c b a ,,三者的关系：222b a c +=，注意与椭圆中c b a ,,三者关 2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点 在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定． (3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上． (4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准 方 程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论. 高二数学第二章曲线与方程学案 学习目标： 1、理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 2、掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习重点：理解曲线和方程的概念，掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 学习难点：曲线和方程概念的理解； 学习过程： 完成教学目标1：理解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义； 新授知识：曲线的方程与方程的曲线的概念 一般地，在直角坐标系中，如果其曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点； 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 例1、判断下列结论的正误并说明理由 （1）过点A （3，0）且垂直于x 轴的直线为x=3 ； （2）到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 ； （3）到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 ； 练习：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？ 2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，中线O AO (为原点）的 方程是0=x 吗？为什么？ 3、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是（ ） A.曲线C 的方程是(,)0f x y = B.方程(,)0f x y =的曲线是C C.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上 D.坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上 例2、已知方程252 2=+by ax 的曲线经过点)3 5,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。 练习：已知方程 2 2 25x y +=表示的曲线C 经过点)A m ，求m 的值。 完成教学目标2：掌握求曲线的方程的方法及一般步骤； 类型一：待定系数法求轨迹方程（设出标准方程，根据题意求出a ，b ，p ） 例1：已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ， 且0=?,||2||=,求椭圆的方程。 练习：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C 的标准方程； 类型二：直接法求轨迹方程（根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。注意：是否应该建立适当的坐标系） 例2：已知点Ｆ（１，０），直线ｌ：x ＝－１，Ｐ为平面上的动点，过点Ｐ作直线ｌ的垂线，垂 足为点Ｑ，且FQ FP QF QP ?=?,求动点Ｐ的轨迹Ｃ的方程； **练习：已知动点M 到定点A （1,0）与到定直线l ：x=3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？人教A版 参 数 方 程 学案
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