第四章刚体、角动量
第四章刚体、角动量
一、 填空题(本大题共32小题，总计96分)
1.(3分) 质量为m 的质点以速度v
沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d 的一点的角动量大小是________．
2.(3分) 地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常量为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为L ＝________．
3.(3分) 质量为m 的质点以速度v
沿一直线运动，则它对该直线上任一点的角动量为________．
4.(3分) 决定刚体转动惯量的因素是________．
5.(3分) 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以rad/s 40=ω的角速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为cm 151=r ．现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为cm 52=r ．则钢球的角速度ω=________．
B
A
C
6.(3分) 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度1ω在桌面上做半径为1r 的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为2r ，在此过程中小球的动能增量是________．
7.(3分) 在光滑的水平面上，一根长m 2=L 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量kg 5.0=m 的物体．开始时，物体位于位置A ，OA 间距离m 5.0=d ，绳子处于松弛状态．现在使物体以初速度m/s 4=A υ垂直于OA 向右滑动，如图所示．设以后的运动中物体到达位置B ,此时物体速度的方向与绳垂直．则此时刻物体对O 点的角动量的大小B L ＝________，物体速度的大小υ＝________．
B
A
v Ａ
O
B
v
d
8.(3分) 质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则物体的角速度ω＝________．
9.(3分) 一均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动．使棒从水平
位置自由下摆，棒是否作匀角加速转动？________．理由是________．
10.(3分) 一长为l ，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为m 的小球，如图所示．现将杆由水平位置无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度0β＝________，杆与水平方向夹角为o
60时的角加速度β＝________．
l
m
11.(3分) 一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为m 2和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动．开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示．释放后，杆绕O 轴转动．则当杆转到水平位置时，该系统所受到的合外力矩的大小M ＝________，此时该系统角加速度的大小β＝________．
m
2m
O θ
12.(3分) 一质量为m 、半径为R 的薄圆盘，可绕通过其一直径的光滑固定轴A A '转动，
转动惯量4
2
mR J =．该圆盘从静止开始在恒力矩M 作用下转动，t 秒后位于圆盘边缘上与
轴A A '的垂直距离为R 的B 点的切向加速度t a ＝________，法向加速度n a ＝________．
13.(3分) 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量2
m kg 0.3?=J ，角速度
rad/s 0.60=ω．现对物体加一恒定的制动力矩m N 12?-=M ，当物体的角速度减慢到
rad/s 0.2=ω时，物体已转过了角度θ?＝________．
14.(3分) 一个作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量为J ，正以角速度rad/s 100=ω匀速转动．现对物体加一恒定制动力矩m N 5.0?-=M ，经过时间s 0.5=t 后，物体停止了转动．物体的转动惯量J ＝________．
15.(3分) 一长为L 的轻质细杆，两端分别固定质量为m 和m 2的小球，此系统在竖直平面内可绕过中点O 且与杆垂直的水平光滑固定轴(O 轴)转动．开始时杆与水平成o
60角，处于静止状态．无初转速地释放以后，杆球这一刚体系统绕O 轴转动．系统绕O 轴的转动惯量J ＝________．释放后，当杆转到水平位置时，刚体受到的合外力矩M ＝________；角加速度β=________
O
60°
m
2m
16.(3分) 如图所示，一轻绳绕于半径m 2.0=r 的飞轮边缘，并施以N 98=F 的拉力，若不计轴的摩擦，飞轮的角加速度等于2
rad/s 2.39，此飞轮的转动惯量为________．
F
17.(3分) 一可绕定轴转动的飞轮，在m N 20?的总力矩作用下，在10s 内转速由零均匀地增加到8 rad/s ，飞轮的转动惯量J ＝________．
18.(3分) 力矩的定义式为________．在力矩作用下，一个绕轴转动的物体作________运动．若系统所受的合外力矩为零，则系统的________守恒．
19.(3分) 一根均匀棒，长为l ，质量为m ，可绕通过其一端且与其垂直的固定轴在竖直面内自由转动．开始时棒静止在水平位置，当它自由下摆时，它的初角速度等于________，初角加速度等于________．已知均匀棒对于通过其一端垂直于棒的轴的转动惯量为2
3
1ml ． 20.(3分) 转动着的飞轮的转动惯量为J ，在0=t 时角速度为0ω．此后飞轮经历制动过程．阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数为k (k 为大于0的常量)．当
031ωω=时，飞轮的角加速度β＝ ________．从开始制动到03
1ωω=所经过的时间t ＝
________．
21.(3分) 如图所示，一轻绳绕于半径为r 的飞轮边缘，并以质量为m 的物体挂在绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量为J .若不计摩擦，飞轮的角加速度β＝________．
m
22.(3分) 一定滑轮质量为M 、半径为R ，对水平轴的转动惯量22
1
MR J =
．在滑轮的边缘绕一细绳，绳的下端挂一物体．绳的质量可以忽略且不能伸长，滑轮与轴承间无摩擦．物体下落的加速度为a ，则绳中的张力T ＝________．
23.(3分) 定轴转动刚体的角动量(动量矩)定理的内容是________，其数学表达式可写成________．动量矩守恒的条件是________．
24.(3分) 绕定轴转动的飞轮均匀地减速，0=t 时角速度为rad/s 50=ω，s 20=t 时角
速度为08.0ωω=，则飞轮的角加速度β＝________，0=t 到s 100=t 时间内飞轮所转过的角度θ＝________．
25.(3分) 半径为30 cm 的飞轮，从静止开始以0.50 2s rad ?的匀角加速度转动，则飞
轮边缘上一点在飞轮转过o
240时的切向加速度t a ＝________，法向加速度n a ＝________． 26.(3分) 一个作定轴转动的轮子，对轴的转动惯量2m kg 0.2?=J ，正以角速度0ω作匀速转动．现对轮子加一恒定的力矩m N 12?-=M ，经过时间s 0.8=t 时轮子的角速度0ωω-=，则0ω＝________．
27.(3分) 两个质量都为100 kg 的人，站在一质量为200 kg 、半径为3 m 的水平转台的直径两端．转台的固定竖直转轴通过其中心且垂直于台面．初始时，转台每5 s 转一圈．当这两人以相同的快慢走到转台的中心时，转台的角速度ω＝________．(已知转台对转轴的转动惯量22
1
MR J =
，计算时忽略转台在转轴处的摩擦)． 28.(3分) 一人坐在转椅上，双手各持一哑铃，哑铃与转轴的距离各为 0.6 m ．先让人体以5 rad/s 的角速度随转椅旋转．此后，人将哑铃拉回使与转轴距离为0.2 m ．人体和转椅对轴的转动惯量为2
m 5kg ?，并视为不变．每一哑铃的质量为5 kg 可视为质点．哑铃被拉回后，人体的角速度ω＝________．
29.(3分) 长为l 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯
量为2
3
1
Ml ，开始时杆竖直下垂，如图所示．有一质量为m 的子弹以水平速度0v
射入杆上A 点，并嵌在杆中，3
2l
OA =
，则子弹射入后瞬间杆的角速度ω＝________． 0v
A
O
2l /3 m
30.(3分) 有一半径为R 的匀质圆形水平转台，可绕通过盘心O 且垂直于盘面的竖直固定轴O O '转动，转动惯量为J ．台上有一人，质量为m ．当他站在离转轴r 处时(R r <)，转台和人一起以1ω的角速度转动，如图．若转轴处摩擦可以忽略，问当人走到转台边缘时，转台和人一起转动的角速度2ω＝_________．
O
r
ω1
O '
31.(3分) 一飞轮以角速度0ω绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为1J ；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系统的角速度ω＝________．
32.(3分) 一人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近地点为A ，远地点为B ．A 、B 两点距地心分别为1r 、2r ．设卫星质量为m ，地球质量为M ，万有引力常量为G ．则卫星在A 、
B 两点处的万有引力势能之差A B E E p p -= ________；卫星在A ,B 两点的动能之差
A B E E k k -＝________。
A
B
r 1
r 2
地心
二、 单选题(本大题共23小题，总计69分)
1.(3分) 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是［ ］ A 、只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关 B 、取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关 C 、取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置
D 、只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关
2.(3分) 有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ．A 环的质量分布均匀，B 环的质量
分布不均匀．它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为A J 和B J ，则［ ］ A 、B A J J > B 、B A J J < C 、B A J J =
D 、不能确定A J 、B J 哪个大
3.(3分) 如图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的一端相连结，绳的另一端穿过桌面中心的小孔O . 该物体原以角速度ω在半径为R 的圆周上绕O 旋转，今将绳从小孔缓慢往下拉．则物体［ ］
O
R
A 、动能不变，动量改变
B 、动量不变，动能改变
C 、角动量不变，动量不变
D 、角动量改变，动量改变
E 、角动量不变，动能、动量都改变
4.(3分) 假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的［ ］ A 、角动量守恒，动能也守恒 B 、角动量守恒，动能不守恒 C 、角动量不守恒，动能守恒
D 、角动量不守恒，动量也不守恒
E 、角动量守恒，动量也守恒
5.(3分) 一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮的转动惯量为J ，绳下端挂一物体．物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β．若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将［ ］ A 、不变 B 、变小 C 、变大
D 、如何变化无法判断
6.(3分) 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为1m 和2m 的物体(21m m <)，如图所示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力［ ］
m 2
m 1
O
A 、处处相等
B 、左边大于右边
C 、右边大于左边
D 、哪边大无法判断
7.(3分) 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？［ ］
O A
A 、角速度从小到大，角加速度从大到小
B 、角速度从小到大，角加速度从小到大
C 、角速度从大到小，角加速度从大到小
D 、角速度从大到小，角加速度从小到大
8.(3分) 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω［ ］
O
F
F
ω
A 、必然增大
B 、必然减少
C 、不会改变
D 、如何变化，不能确定
9.(3分) 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为0J ，角
速度为0ω．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为01
3
J ．这时她转动的角速度变为［ ］ A 、013
ω B 、
03
1ω
C 、03ω
D 、03ω
10.(3分) 几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体［ ］ A 、必然不会转动 B 、转速必然不变 C 、转速必然改变
D 、转速可能不变，也可能改变
11.(3分) 如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且Mg F =．设A 、B 两滑轮的角加速度分别为B A ββ,，不计滑轮轴的摩擦，则有［ ］
A
M
B
F
A 、
B A ββ= B 、B A ββ>
C 、B A ββ<
D 、开始时B A ββ=，以后B A ββ<
12.(3分) 光滑的水平桌面上，有一长为L 2、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动，其转动惯量为2
3
1mL ，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率υ相向运动，如图所示．当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为［ ］
O v
v
俯视图
A 、
L 32v B 、L 54v
C 、L 76v
D 、L 98v
E 、L
712v
13.(3分) 如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直
于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为23
1
ML ．一质量为m 、速率为υ的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 2
1
，则
此时棒的角速度应为［ ］
O
v 2
1
v
俯视图
A 、
ML m v
B 、ML m 23v
C 、ML m 35v
D 、ML
m 47v
14.(3分) 光滑的水平桌面上有长为l 2、质量为m 的匀质细杆，可绕通过其中点O 且垂直于桌面的竖直固定轴自由转动，转动惯量为
2
3
1ml ，起初杆静止．有一质量为m 的小球在桌面上正对着杆的一端，在垂直于杆长的方向上，以速率υ运动，如图所示．当小球与杆端发生碰撞后，就与杆粘在一起随杆转动．则这一系统碰撞后的转动角速度是［ ］
O
v
A 、
12v l B 、l 32v
C 、l 43v
D 、l
v 3
15.(3分) 一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统［ ］ A 、动量守恒 B 、机械能守恒
C 、对转轴的角动量守恒
D 、动量、机械能和角动量都守恒
E 、动量、机械能和角动量都不守恒
16.(3分) 质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止，当小孩突然以相对于地面为υ的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为［ ］
A 、???
??=
R J mR v 2
ω，顺时针 B 、??
?
??=
R J
mR v 2
ω，逆时针 C 、???
??+=R mR J mR v 22ω ,顺时针 D 、??
?
??+=
R mR J mR v 2
2ω , 逆时针 17.(3分) 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω［ ］
O
M
m
m
A 、增大
B 、不变
C 、减小
D 、不能确定
18.(3分) 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统［ ］
O
A 、只有机械能守恒
B 、只有动量守恒
C 、只有对转轴O 的角动量守恒
D 、机械能、动量和角动量均守恒
19.(3分) 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是［ ］ A 、刚体不受外力矩的作用 B 、刚体所受合外力矩为零
C 、刚体所受的合外力和合外力矩均为零
D 、刚体的转动惯量和角速度均保持不变
20.(3分) 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是［ ］ A 、刚体不受外力矩的作用 B 、刚体所受合外力矩为零
C 、刚体所受的合外力和合外力矩均为零
D 、刚体的转动惯量和角速度均保持不变
21.(3分) 如图所示，一水平刚性轻杆，质量不计，杆长cm 20=l ，其上穿有两个小球．初始时，两小球相对杆中心O 对称放置，与O 的距离cm 5=d ，二者之间用细线拉紧．现在让细杆绕通过中心O 的竖直固定轴作匀角速的转动，转速为0ω，再烧断细线让两球向杆的两端滑动．不考虑转轴和空气的摩擦，当两球都滑至杆端时，杆的角速度为［ ］
O d d
l
A 、02ω
B 、0ω
C 、021ω
D 、04
1ω
22.(3分) 一块方板，可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动．最初板自由下垂．今有一小团粘土，垂直板面撞击方板，并粘在板上．对粘土和方板系统，如果忽略空气阻力，在碰撞中守恒的量是［ ］ A 、动能
B 、绕木板转轴的角动量
C 、机械能
D 、动量
23.(3分) 一人造地球卫星到地球中心O 的最大距离和最小距离分别是A R 和B R ．设卫星对应的角动量分别是A L 、B L ，动能分别是A E k 、B E k ，则应有［ ］
A
B
R A R B O
A 、
B A A B E E L L k k ,>> B 、B A A B E E L L k k ,=>
C 、B A A B E E L L k k ,==
D 、B A A B
E E L L k k ,=< E 、B A A B E E L L k k ,<=
三、 计算题(本大题共22小题，总计220分)
1.(10分) 两个滑冰运动员A 、B 的质量均为kg 70=m ，以m/s 5.60=υ的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为m 10=R ，当彼此交错时，各抓住10 m 绳索的一端，然
后相对旋转, 问：
(1) 在抓住绳索之前，各自对绳中心的角动量是多少？抓住后又是多少？ (2) 他们各自收拢绳索，到绳长为m 5=r 时，各自的速率如何？ (3) 绳长为5 m 时，绳内的张力多大？
2.(10分) 光滑圆盘面上有一质量为m 的物体A ，拴在一根穿过圆盘中心O 处光滑小孔的细绳上，如图所示．开始时，该物体距圆盘中心O 的距离为0r ，并以角速度0ω绕盘心O 作圆周运动．现向下拉绳，当质点A 的径向距离由0r 减少到02
1
r 时，向下拉的速度为υ，求下拉过程中拉力所作的功．
A
r 0
O
v
ω0
3.(10分) 一轴承光滑的定滑轮，质量为kg 00.2=M ，半径为m 100.0=R ，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为kg 00.5=m 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为22
1
MR J =
，其初角速度rad/s 0.100=ω，方向垂直纸面向里．求： (1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；
(2) 定滑轮的角速度变化到0=ω时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
m
M
R ω0
4.(10分) 为求一半径cm 50=R 的飞轮对于通过其中心且与盘面垂直的固定转轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端悬一质量kg 81=m 的重锤．让重锤从高2 m 处由静止落下，测得下落时间s 161=t ．再用另一质量kg 42=m 的重锤做同样测量，测得下落时间
s 252=t ．假定摩擦力矩是一个常量，求飞轮的转动惯量．
5.(10分) 一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t 内下降了一段距离S ．试求整个轮轴的转动惯量(用m 、r 、t 和S 表示)．
m
O
r
6.(10分) 质量为M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，转动惯量为
22
1
Mr ．绕过盘的边缘挂有质量为m ，长为l 的匀质柔软绳索（如图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为S 时，绳的加速度的大小．
7.(10分) 一质量为kg 15=M 、半径为m 30.0=R 的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量22
1
MR J =
)．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量kg 0.8=m 的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：
(1) 物体自静止下落， 5 s 内下降的距离； (2) 绳中的张力．
8.(10分) 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0ω．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即ωk M -=(k 为正的常数)，求圆盘的角速度从0ω变为02
1ω时所需的时间
9.(10分) 一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 和m 2的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为
2
2
1mr ．将由两个定滑轮以及质量为m 和m 2的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．
m,r m
2m
m,r
10.(10分) 质量分别为m 和m 2、半径分别为r 和r 2的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为
22
9
mr ，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．
m
r
m
m 2m 2r
11.(10分) 质量kg 1.1=m 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量22
1
mr J =
(r 为盘的半径)．圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量kg 0.11=m 的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率m/s 6.00=υ匀速
上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．
m 1
m ,r
12.(10分) 如图所示，设两重物的质量分别为1m 和2m ，且21m m >，定滑轮的半径为r ，对转轴的转动惯量为J ，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t 时刻滑轮的角速度．
m 2
m 1
r
13.(10分) 质量为kg 241=M 的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为kg 52=M 的圆盘形定滑轮悬有kg 10=m 的物体．求当重物由静止开始下降了m 5.0=h 时，
(1) 物体的速度； (2) 绳中张力．
(设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为21121R M J =
，2222
1
r M J =)
R M 1
M 2
r
m
14.(10分) 两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮．小圆盘的半径为r ，质量为m ；大圆盘的半径r r 2='，质量m m 2='．组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O 转动，对O 轴的转动惯量22
9
mr J =
．两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m 的物体A 和B ，如图所示．这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变．已知cm 10=r ．求：
(1) 组合轮的角加速度β； (2) 当物体A 上升cm 40=h 时，组合轮的角速度ω．
r m '',
m,r
A
O B
15.(10分) 如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没有滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩，求滑轮两边绳子中的张力．已知kg 201=m ，kg 102=m ．滑轮质量为
kg 53=m ．滑轮半径为m 2.0=r ．滑轮可视为均匀圆盘，阻力矩m N 6.6f ?=M ，已知
圆盘对过其中心且与盘面垂直的轴的转动惯量为2
32
1r m ．
m 3
r
m 1
m 2
16.(10分) 两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，顶点在同一水平线上．小滑轮的质量为m ，半径为r ，对轴的转动惯量22
1
mr J =．大滑轮的质量m m 2='，半径r r 2='，对轴的转动惯量22
1
r m J ''=
'．一根不可伸长的轻质细绳跨过这两个定滑轮，绳的两端分别挂着物体A 和B ．A 的质量为m ，B 的质量m m 2='．这一系统由静止开始转动．已知kg 0.6=m ，cm 0.5=r 求两滑轮的角加速度和它们之间绳中的张力．
m,r A B m
m '
m ', r '
17.(10分) 如图所示，A 和B 两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为
2m kg 10?=J 和2m kg 20?=J ．开始时，A 轮转速为600 rev/min ，B 轮静止．C 为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计．A 、B 分别与C 的左、右两个组件相连，当C 的左右组件啮合时，B 轮得到加速而A 轮减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求：
(1) 两轮啮合后的转速n ；
(2) 两轮各自所受的冲量矩．
A
B
C
ωA
18.(10分) 如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和m 2的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为l 31和
l 3
2
．轻杆原来静止在竖直位
置．今有一质量为m 的小球，以水平速度0v
与杆下端小球m 作对心碰撞，碰后以02
1v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度．
19.(10分) 一匀质细棒长为L 2，质量为m ，以与棒长方向相垂直的速度0υ在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧
L 2
1处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O 点转动的角速度ω．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为2
3
1ml ，式中的m 和l 分别为棒的质量和长度．)
L
2
1
L 21L O
0v
0v
20.(10分) 质量为75 kg 的人站在半径为2 m 的水平转台边缘．转台的固定转轴竖直通过台心且无摩擦．转台绕竖直轴的转动惯量为2
m kg 3000?．开始时整个系统静止．现人以相对于地面为m/s 1的速率沿转台边缘行走，求：人沿转台边缘行走一周，回到他在转台上的初始位置所用的时间．
21.(10分) 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O 转动．棒的质量为kg 5.1=m ，长度为m 0.1=l ，对轴的转动惯量为2
3
1ml J =
．初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为kg 020.0='m ，速率为m/s 400=υ．试问：
(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度ω有多大？
(2) 若棒转动时受到大小为m N 0.4r ?=M 的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度
θ？
m , l
O
v
m '
22.(10分) 有一质量为1m 、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，
它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为2m 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短．已知小滑块在碰撞前后的
速度分别为1v 和2v
，如图所示．求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(已知棒绕O 点的转动惯量213
1
l m J
)
O
A
m 2 m 1 ,l
1v
2v
俯视图
第四章刚体力学测验题
第四章刚体力学测验题 和，它们到转轴的距离分别为和， 1．一飞轮绕轴作变速转动，飞轮上有两点 则在任意时刻， 和两点的加速度大小之比为 A．； B．； C．要由该时刻的角速度决定； D．要由该时刻的角加速度决定。 2．如下图、、、是附于刚性轻细杆上的4个质点， 质量分别为，，和，系统对轴的转动惯量为 A． ； B．； C．； D．。 3．一质点从静止出发绕半径为的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为，当质点走完一圈回到出发点时，所经历的时间是 A．；B．；C．；D．不能确定。 4．一人张开双臂，手握哑铃，坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的 A．转速加大，转动动能不变； B．角动量和转动动能都不变； C．转速和角动量都加大； D．角动量保持不变，转动动能加大。 5．有一半径为的匀质水平圆转台，绕通过其中心且垂 直圆台的轴转动，转动惯量为，开始时有一质量为的 人站在转台中心，转台以匀角速度转动，随后人沿 着半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为
A．；B．；C．；D．。 6．质量长的细棒对通过距一端、与棒垂直的轴的转动惯量为 A．； B．； C．； D．。 7．原来张开双臂以角速度旋转的冰上芭蕾舞演员其转动动能为，将手臂收回使转动惯量减少到原来的1/3 ，则其转速和动能分别变为 A．；； B．；； C．；； 8．三个完全相同的转轮绕一公共轴旋转。它们的角速度大小相同，但其中一轮的转动方向与另外两个相反。今沿轴的方向把三者紧靠在一起，它们获得相同的角速度。此时系统的动能与原来三轮的总动能相比，正确答案是 A．减少到 1/3 ； B．减少到1/9 ； C．增大到3 倍； D．增大到 9 倍。 9．质量为、长为的细棒，可绕通过其上端的水平轴在竖直平面内无摩擦地转动，静 止在竖直位置。被一粒石子击中后细棒获得角速度。则棒转到水平位置时的角速度和角 加速度大小分别为 A．，；
第四章-刚体的转动-问题与习题解答上课讲义
第四章 刚体的转动 问题与习题解答 问题：4-2、4-5、4-9 4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？ 答： 一个刚体所受合外力为零，其合力矩不一定为零，如图a 所示。刚体所受合外 力矩为零，其合外力不一定为零，例如图b 所示情形。 4-5 为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能的改变只与外力矩有关，而与内力矩无关？ 答： 因为合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量；而质点系中内力一般也做功，故内力对质点系的动能的增量有贡献。而在刚体作定轴转动时，任何一对内力对转轴的力矩皆为一对大小相等、方向相反的力矩，且因定轴转动时刚体转过的角度d θ都一样，故其一对内力矩所作的功()0in ij ij ji ij ji W M d M d M M d θθθ=+=+=，其内力功总和也为零，因而根据刚体定轴转动的动能定理可知：内力矩对其转动动能的增量无贡献。 4-9 一人坐在角速度为0ω的转台上，手持一个旋转的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为ω'。如果突然使飞轮的转轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J ，飞轮的转动惯量为J '。 答： （假设人坐在转台中央，且飞轮的转轴与转台的转轴重合）视转台、人和飞轮为同一系统。 （1）如开始时飞轮的转向与转台相同，则系统相对于中心轴的角动量为： 10L J J ωω''=+ 飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的角动量为： 21L J J ωω''=- 在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有： 10J J J J ωωωω''''-=+ 即 102J J ωωω' '=+ ，转台的转速变大了。 （2）如开始时飞轮的转向与转台相反，则系统相对于中心轴的角动量为： 10L J J ωω''=- 飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω ，则系统的 F 1F 3a b
大学物理动量与角动量练习题与答案
大学物理动量与角动量练习题与答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?= ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸 缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． m m 0 图3-11 ? 30v 2 图3-15 θ m v R
第四章刚体的转动习题
第四章 刚体的转动 1. 一质量为m 0 ，长为l 的棒能绕通过O 点的水平轴自由转动。一质量为m ，速率为v 0的子弹从水平方向飞来，击中棒的中点且留在棒内，如图所示。则棒中点的速度为（ ）。 A ． 0m m mv +； B ．00 433m m mv +； C ．0023m mv ； D ．0 43m mv 。 2. 一根长为l ，质量为m 上端到达地面时速率应为（ ）。 A ．gl 6； B ．gl 3； C ．gl 2； D ． l g 23。 3. 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一个是正确的？（ ） A ．角速度从小到大，角加速度从大到小 B ．角速度从小到大，角加速度从小到大 C ．角速度从大到小，角加速度从大到小 D ．角速度从大到小，角加速度从小到大 4. 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω（ ） A ．增大 B ．不变 C ．减小 D ．不能确定 5. 一静止的均匀细棒，长为L ，质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内 转动，转动惯量为 23 1 ML 。一质量为m 速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿入棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 2 1 ，则此时棒的角速度应为（ ） A ．ML mv B ．ML mv 23 C ．ML mv 35 D ．ML mv 47 6. 在某一瞬时，物体在力矩作用下，则有（ ） A 、角速度ω可以为零，角加速度α也可以为零； B 、角速度ω不能为零，角加速度α可以为零； C 、角速度ω可以为零，角加速度α不能为零； D 、角速度ω与角加速度α均不能为零。 O v 0
第三章 动量与角动量(答案)
一、选择题 ［ A ］1.（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为 m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 【提示】设m 0相对于地面以V 运动。依题意，m 静止于斜面上，跟着 m 0一起运动。根据水平方向动量守恒，得：00m V mV +=所以0V =，斜面保持静止。 ［ C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π (D) 0． 【提示】2 2T G T I mgdt mg ==? ? ， 而 v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图 3-15射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒： 2sin 30()mv l M m lV ?=+；其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为摆 线长度。(或者：系统水平方向动量守恒。) ［ D ］4.（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力。现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 【提示】①下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。②因为是“突然向下拉一下”，作用时间极短，上面的细线并没有因此而进一步形变，因此，拉力不变，细线也不断。 二、填空题 1．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一 图3-11 图3-15
自旋和角动量
第六章 自旋和角动量 一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在),?(x 2σσ 的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求S z 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2 +=的本征值： {} {}). ,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2)) ,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ=ψ 3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2?????? ? ??=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态，粒子2处在S 2x =1/2的本征态，取?＝1，求体系
总自旋S 2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121 ?++?=A 、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度(取?＝1为单位). 6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121??? ? ???θ?θ=ψ 求轨道角动量z 分量 和自旋z 分量的平均值，进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为J ? ，记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>，当j=1时： (1) 写出J 2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x >x ； (2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率； (3) 在|ψ>状态上，测量J z 得?时，体系处于什么状态上；在|ψ>状态上，计算J y 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p 态和s 态，求出其总轨道角动量的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z 轴方向，矢势A φ=B ρ/2，A ρ=A z =0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足B x =Bsin θcos ωt ，B y =Bsin θsin ωt ，B z ＝Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动，
动量与角动量习题解答
第三章 动量与动量守恒定律习题 一选择题 1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ） A. 必为零； B. 必不为零，合力方向与行进方向相同； C. 必不为零，合力方向与行进方向相反； D. 必不为零，合力方向是任意的。 解：答案是C 。 简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )=m d v +v d m =v d m 。因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。 ; 2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有：（） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（） A ． mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 ￥ 简要提示：v m t F =?? 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是：（） 选择题4图
A. 静止不动； B. 朝质量大的人行走的方向移动； C. 朝质量小的人行走的方向移动； D. 无法确定。 ; 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒： 02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --=' 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为：（） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0 解：答案是B 。 简要提示：由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。 6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球：（） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 《 解：答案是C 。 简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。 7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是：（） A. 用力蹬冰面 B. 不断划动手臂 C. 躺在冰面上爬行 D. 用力将书包抛出 解：答案是D 。 二填空题 { 1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N s ，则两船分离的相对
自旋和角动量-Oriyao
第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋 § 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应 § 6.7 自旋的单态和三重态 首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。 施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基K 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场H 中的势能为 cos U M H MH θ=-=- （6.1.1） θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z 方向所受到的力为 cos z U H F M z z θ??=- =?? （6.1.2） 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。 为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： ① 每个电子都具有自旋角动量S ，S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间 的任意方向取为z 方向，则 2z S =± （6.1.3） ② 每个电子均具有自旋磁矩s M ，它与自旋角动量之间的关系为 s s e e M S M S m mc =-=- （SI ） 或 (C G S)（6.1.4） s M 在空间任意方向上的投影只能取两个值：
第三章《动量和角动量》习题
第三章《动量和角动量》习题 动量守恒和角动量守恒是物理学中各种运动所遵循的普遍规律，本章的主要内容有质点和质点系的动量定理、角动量定理，及动量守恒定律和角动量守恒定律。 基本要求： 掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的力学问题。 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。 理解质心的概念和质心运动定律。 作业题： 1 质量为m 的铁锤竖直从高度h 处自由下落，打在桩上而静止，设打击时间为t ?，则铁锤所受的平均冲力大小为（ ） （A ）mg （B ）t gh m ?2 （C ） mg t gh m +?2 （D ）mg t gh m -?2 2 一个质量为m 的物体以初速为 0v 、抛射角为o 30=θ从地面斜上抛出。若不计空气阻力，当物体落地时， 其动量增量的大小和方向为（ ） （A ）增量为零，动量保持不变 （B ）增量大小等于 0mv ，方向竖直向上 （C ）增量大小等于0mv ，方向竖直向下 （D ）增量大小等于03mv ，方向竖直向下 3 停在空中的气球的质量为m ，另有一质量m 的人站在一竖直挂在气球的绳梯上，若不计绳梯的质量，人沿梯向上爬高1m ，则气球将（ ） （A ）向上移动1m （B ）向下移动1m （C ）向上移动0.5m （D ）向下移动0.5m 4 有两个同样的木块，从同高度自由下落，在下落中，其中一木块被水平飞来的子弹击中，并使子弹陷于其中，子弹的质量不能忽略，不计空气阻力，则（ ） （A ）两木块同时到达地面 （B ）被击木块先到达地面 （C ）被击木块后到达地面 （D ）条件不足，无法确定 5 用锤压钉不易将钉压入木块内，用锤击钉则很容易将钉击入木块，这是因为（ ） （A ）前者遇到的阻力大，后者遇到的阻力小 （B ）前者动量守恒，后者动量不守恒 （C ）后者动量变化大，给钉的作用力就大 （D ）后者动量变化率大，给钉的作 用冲力就大 6 质量为20×10-3kg 的子弹以4001 s m -?的速率沿图示方向击入一原来静止的质量为980×10-3 kg 的摆球中，摆线长为1. 0m ，不可伸缩，则子弹击入后摆球的速度大小为（ ） （A ）41s m -? （B ）81s m -? （C ）21s m -? （D ）8π1s m -?
第四章 刚体转动
第四章 刚体的转动 问题 4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。试问：在t ?时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长， 线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。 考虑飞轮上任一点P ，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为ω，飞轮半径为r 。 在t ?内，点P 运动的路程为P P l r t ω=?，对于任意点的角速度ω恒定，所以离轴越远的点（P r 越大）运动的路程越长。又因为点P 的线速度P P v r ω=，即离轴越远，线速度也越大。 同理，点P 转动的角度P t θω=?，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度ω都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。 又角速度ω恒定，即线加速度0P P d a r dt ω==，角加速度0P d dt ω α==. 4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？ 解 不一定。 如图（a ）轻杆（杆长为l ）在水平面内受力1F 与2F 大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O 点的固定轴的力矩1M F l =不为零。 如图（b ），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O 点，它所受的力矩为零。 4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。 1 F （a ） （b ）
《大学物理》习题册题目及答案第3单元 角动量守恒定律
第3单元 角动量守恒定律 序号 学号 姓名 专业、班级 一 选择题 [ A ]1．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的角动量为 (A) GMR m (B) R GMm (C) R G Mm (D) R GMm 2 [ C ]2． 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置 (D) 只取决于转轴的位置、与刚体的质量和质量的空间分布无关。 [ E ]3. 如图所示，有一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，有一绳其一端连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔，该物体原以角速度ω在距孔为R 的圆周上转动，今将 绳从小孔缓慢往下拉，则物体 动能不变，动量改变。 动量不变，动能改变。 角动量不变，动量不变。 角动量改变，动量改变。 角动量不变，动能、动量都改变。 [ A ]4．均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正 确的? (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小 ; (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大 ; (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小 ; (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大 。 [ B ]5．两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，但两圆盘质量与厚度相
同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J (B) B J >A J (C) A J ＝B J (D) A J 、B J 哪个大，不能确定 [ A ]6．有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： (A) 只有(1)是正确的。 (B) (1)、(2)正确，(3)、(4)错误。 (C) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 (D) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 [ C ]7．一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同、速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度ω (A) 增大 (B) 不变 (C) 减小 (D) 不能确定 二 填空题 1.质量为m 的质点以速度 v 沿一直线运动，则它对直线上任一点的角动量为 ___0_ 。 2.飞轮作匀减速转动，在5s 内角速度由40πrad·s 1 -减到10πrad·s 1 -，则飞轮在这5s 内总共转过了___62.5_____圈，飞轮再经_______1.67S_____ 的时间才能停止转动。 3． 一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。 开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示。释放后，杆绕O 轴转动，则当杆转到水平位置时，该系统所受的合外力矩的大小M = mgl 21 ，此时该系统角加速度的大小β= l g 32 。 4．可绕水平轴转动的飞轮，直径为1.0m ，一条绳子绕在飞轮的外周边缘上，如果从静 止开始作匀角加速运动且在4s 内绳被展开10m ，则飞轮的角加速度为2 /5.2s rad 。 ５．决定刚体转动惯量的因素是 ___刚体的质量____ __；__刚体的质量分布____
第六章自旋与全同粒子
第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
第四章刚体的运动总结
第三章 刚体的运动 一、基本要求 1.了解转动惯量的概念。 2.理解刚体绕定轴转动的转动定律。 3.通过质点在平面内运动的情况理解角动量（动量矩）概念和角动量守恒定律，并能用它分析解决质点在平面内转动时的简单问题。 4.理解刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。 5.理解力矩对刚体所作的功及刚体转动的动能定理。 二、内容提要 1、 基本概念 （１） 刚体及其运动的描述 刚体：固体物件的理想化模型，是指在外力作用下物体的体积和形状不发生变化的物体。 刚体的运动形式：平动和转动，大学物理学主要研究刚体定轴转动的规律。 刚体绕定轴转动时，刚体中所有的质元都绕定轴作圆周运动，可以用圆周运动中的角位置θ、角位移d θ、角速度ω、角加速度β等物理量来描述刚体的运动。其相互关系为： 刚体的角量描述： 大小：d d t θ ω= 方向：d d t θω= v r ω=? 22 2 d d d d t n t t v r a r a r ωθβωβω===== ω、β是矢量，在定轴转动中用标量来表示，用正负来表示其方向。 （２） 转动惯量 转动惯量：物体在转动中惯性大小的量度。其定义为： 2i i i J m r =?∑ 其中i m ?为刚体中任一质元的质量，i r 为该质元到转轴的距离。
当刚体的质量连续分布的情况下，可以写成积分式：? =m dm r J 2 转动惯量只与刚体的质量、质量分布及转轴的位置有关。 （３） 力矩 力矩是反映力的大小、方向、和作用点对物体转动的影响，是物体转动状态改变的原因。 力矩是矢量，定义为：M r F =? 大小：θsin Fr M = 方向：垂直于F 和r 所在的平面，用右手螺旋法则来判断。 在定轴转动中，只用量值表示，用正负表示方向。 （４） 定轴转动时的力矩的功 2 1 W Md θθθ=? （５） 角动量（动量矩） a.质点的角动量为： p r L ?= 其中，r 为质点相对于参考点的位矢，p 为其在该位置处的动量。角动量为矢量： 大小：θsin rmv L =，其中θ为r 与p （或v ）的夹角，方向：垂直于r 和p （或v ）所在的平面，用右手螺旋法 则。 b.刚体的角动量等于刚体的转动惯量与角速度的乘积，即：ωJ L = ２、基本规律 （１） 转动定律 刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即：βJ M = 转动定律是刚体定轴转动的基本定律，揭示了力矩的瞬时作用规律。 （２） 角动量定理 作用在物体上的冲量矩等于其角动量的增量，即： 2 1 2211d t t M t J J ωω=-? ? 21 t t Mdt ：作用在物体上的合外力矩的冲量矩。 对质点而言，力矩和角动量必须以同一点为参考点；对刚体而言，力矩和角动量必须以同一转轴为参考轴。 （３） 角动量守恒定律 如果物体所受的合外力矩等于零或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变，即：=ωJ 恒量。 （４） 转动的动能定理 合外力矩对定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。即： 2 1 222111d 22 W M J J θθθωω== -? 对于包含有转动刚体的系统，机械能守恒定律形式和使用条件与质点系的机械能守恒定
第三章 动量与角动量(答案)2011
一、选择题 ［ C ］1.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量 的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2 (v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 【提示】2 2T G T I mgdt mg ==?? ， 而v R T π2= ［ C ］2．（自测提高1）质量为m 的质点，以不变速率v 沿图3-16中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 (A) m v ． (B) ． (C) ． (D) 2m v ． 【提示】如图，21 21t t I fdt mv mv ==-? ， 21I mv mv ∴=-= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15 射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后 开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒： 2sin30()mv l M m lV ?=+；其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为摆线长度。 ［ C ］4．（附录E 考研模拟题2）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． 【提示】以地面为参考系，系统的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒：0Rmv Rmv v v =-=甲地乙地甲地乙地，所以对对对对 ，因此，从地面观察，两人永远同一高度。 图3-15 图3-16
第四章刚体的转动
第四章 刚体的转动 一、基本要求 1．理解刚体定轴转动的描述方法。 2．掌握转动定律，能熟练应用转动定律解题。 3．掌握质点角动量和角动量守恒定律，并能用它们分析、解决质点在平面内运动时的基本力学问题。 4．掌握刚体角动量和角动量守恒定律，并能求解一些简单问题。 5．理解刚体定轴转动时的动能定理。 二、本章要点 1．刚体定轴转动的描述 刚体作定轴转动时，其上各点均作圆周运动，且圆心都在转轴上。所以，刚体上各点的角位移、角速度、角加速度都是一样的，因此用角量描述刚体的定轴转动比较适宜。 dt d θω= 22dt d dt d θωβ== 2．刚体定轴转动定律 βI M =∑外 3．质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点的角动量定理 dt L d M i i ∑= 角动量守恒定律： 若作用在质点上的合力矩始终为零，则质点的角动量保持不变。即当 ∑=0i M 时，=L 恒量。 4．定轴转动的质点系的角动量定理和角动量守恒定律 dt dL M = ∑外 若对一质点系，在其变化过程中始终有∑外M =0，则=L 恒量。这个结论叫做质点系 对轴的角动量守恒定律。 5．刚体作定轴转动时的动能定理 k E A ?=∑外)2 1(2 ωI ?= 三、例题 4-1 如图，两个完全相同的定滑轮分别用绳绕几圈以后，在Ａ轮绳端系一质量为m 的
物体，在Ｂ轮上以恒力mg F =拉绳，则两轮 转动的角加速度A β B β。（填＜，=，＞） 解：滑轮角加速度β由绳拉力力矩产生。对A ，因m 有加速度，所以mg T <；对mg F B =，，所以A 受的力矩小B A ββ<。 4-2 一飞轮的转动惯量为Ｉ，在t=0时角速度为0ω，此后轮经历制动过程，阻力矩 的大小与角速度的平方成正比，比例系数k ＞0。当角速度减为3/0ω时，飞轮的角加速度 。 解：由转动定律βI M =，且2 ωk M -=，所以 I k 2 ωβ-= 当=ω30ω时，qI k 2 ωβ-=。 4-3 滑轮圆盘半径为Ｒ，质量为Ｍ，长绳的一端绕在定滑轮圆周上，一端挂质量m 的 物体。若物体匀速下降，则滑轮与轴间的摩擦力矩为 。 解：物体的受力分析如图所示。列方程 ? ? ?=-=-00 f M TR T m g 解得摩擦力矩大小为 mgR M f = 4-4 一质量m 、半径为Ｒ的薄圆盘，可绕通过其一直径的轴转动，转动惯量24 1 mR I = 。该盘从静止开始在恒力矩Ｍ的作用下转动，t 秒后位于圆盘边缘上与轴垂直距离为Ｒ的点的切向加速度大小为 ，法向加速度大小为 。 解：由转动定律βI M =得 2 4mR M I M == β 切向加速度为 mR M R a t 4= =β 由t βω=及R a n 2ω=得，法向加速度 3 22 216R m t M a n =
第三章--动量和角动量--作业答案
第三章 动量和角动量 一. 选择题: ［ C ］1、[基础训练3] 如图3－12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2mv ． (B) 2 2)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 【提示】重力为恒力，故： I=ν πνπR mg R mg T mg dt T ? =?=?=??222mg 20 ［ C ］2、[基础训练4] 机枪每分钟可射出质量为20 g 的子弹900颗，子弹射出的速率为800 m/s ，则射击时的平均反冲力大小为 (A) 0.267 N ． (B) 16 N ． (C)240 N ． (D) 14400 N ． 【提示】 N s s P F 240600/m 800kg 02.0900t =-??=??= ） （ ［ B ］3、[自测提高2] 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-17射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 【提示】对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［ C ］4、（自测提高3）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． ?30v ? 2 图3-17 m v ? R
第四章刚体
刚体力学 一、选择题 1．C 2. B 3. C 4. D 5. A 6. A 7. D 8. C 9. C 10. A 二、填空题 1． mr r J mg + 2. ω＝78.5 rad ／s ；a τ＝－3.14 m/s 2；a n ＝6.16×103 m/s 2 3. 刚体绕定轴转动惯性大小的量度；I ＝?r 2 d m ；刚体的几何形状；体密度；转轴位置 4. 3 mL 2/4；mgL/2；2g/3L 5. a ＝2 3g m/s 2 6. L ＝I ω；M ＝0 7. L ＝4.0×104 kg ·m 2/s ；E k ＝8.0×106 J 8. 0.4rad ·S －1 9. ω＝25.8 rad ／s 10. ω＝π6 rad/s ； k k E E ＝3 题4.1：一汽车发动机曲轴的转速在s 12内由13m in r 102.1-??均匀的增加到13m in r 107.2-??。（1）求曲轴转动的角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 题4.1解：（1）由于角速度ω =2πn （n 为单位时间内的转数），根据角加速度的定义t d d ωα=，在匀变速转动中角加速度为 ()200 s rad 1.132-?=-= -= t n n t πωωα （2）发动机曲轴转过的角度为 ()t n n t t t 00 202 2 1+=+= +=πωωαωθ 在12 s 内曲轴转过的圈数为 圈3902 20 =+== t n n N πθ 题4.2：某种电动机启动后转速随时间变化的关系为)1(0τωωt e --=，式中10s rad 0.9-?=ω，s 0.2=τ。求：（1）s 0.6=t 时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动后s 0.6内 转过的圈数。 题4.2解：（1）根据题意中转速随时间的变化关系，将t = 6.0 s 代入，即得 100s 6.895.01--==??? ? ? ?-=ωωωτ t e （2）角加速度随时间变化的规律为 220s 5.4d d ---===t t e e t τ τ ωωα （3）t = 6.0 s 时转过的角度为 rad 9.36d 1d 60 060=??? ? ? ?-==? ?-s t s t e t τ ωωθ 则t = 6.0 s 时电动机转过的圈数 圈87.52== π θ N 题4.3：如图所示，一通风机的转动部分以初角速度0ω绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度
第四章刚体、角动量
第四章刚体、角动量 一、 填空题(本大题共32小题，总计96分) 1.(3分) 质量为m 的质点以速度v 沿一直线运动，则它对直线外垂直距离为d 的一点的角动量大小是________． 2.(3分) 地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常量为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为L ＝________． 3.(3分) 质量为m 的质点以速度v 沿一直线运动，则它对该直线上任一点的角动量为________． 4.(3分) 决定刚体转动惯量的因素是________． 5.(3分) 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳牵着以rad/s 40=ω的角速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为cm 151=r ．现在把轴上环C 下移，使得两球离轴的距离缩减为cm 52=r ．则钢球的角速度ω=________． B A C 6.(3分) 将一质量为m 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住．先使小球以角速度1ω在桌面上做半径为1r 的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为2r ，在此过程中小球的动能增量是________． 7.(3分) 在光滑的水平面上，一根长m 2=L 的绳子，一端固定于O 点，另一端系一质量kg 5.0=m 的物体．开始时，物体位于位置A ，OA 间距离m 5.0=d ，绳子处于松弛状态．现在使物体以初速度m/s 4=A υ垂直于OA 向右滑动，如图所示．设以后的运动中物体到达位置B ,此时物体速度的方向与绳垂直．则此时刻物体对O 点的角动量的大小B L ＝________，物体速度的大小υ＝________． B A v Ａ O B v d 8.(3分) 质量为0.05 kg 的小块物体，置于一光滑水平桌面上．有一绳一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（如图所示）．该物体原以3 rad/s 的角速度在距孔0.2 m 的圆周上转动．今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减为0.1 m ．则物体的角速度ω＝________．