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高中数学-棱柱棱锥棱台和球的表面积教案

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

示范教案

整体设计

教学分析

教材通过分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略．这是本节课的灵魂，在教学中，应加以重视．

本节教材直接给出了球的表面积．值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点．

三维目标

1．了解简单几何体的侧面展开图，并获得表面积公式，提高学生分析问题、解决问题的能力．

2．会求简单几何体的侧面积和表面积，提高学生的运算能力．

3．掌握球的表面积，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，渗透转化与化归的数学思想．

重点难点

教学重点：①面积公式的推导及其应用；②球的表面积公式的应用．

教学难点：①求简单几何体的侧面积；②关于球的几何体的计算．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？(引导学生回忆，互相交流，教师归类)几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的呢？你能否计算？

推进新课

新知探究

提出问题

(1)如图1所示分别是直六棱柱和正四棱锥的展开图，试归纳直棱柱的侧面展开图形状及侧面积公式．归纳正棱锥的侧面展开图形状及侧面积公式．

图1

(2)如图2是正四棱台的展开图，由此归纳正棱台的侧面积公式．

图2

(3)想一想，能否从圆柱和圆锥的展开图，得到它们的侧面积公式？ (4)阅读教材，写出球的表面积公式．讨论结果：

(1)直棱柱的侧面展图是矩形，而正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形．设直棱柱高为h ，底面多边形的周长为c ，则得到直棱柱侧面面积计算公式 S 直棱柱侧＝ch.

即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形．底面是正多边形，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h′，容易得到正n 棱锥的侧面积的计算公式

S 正棱锥侧＝12nah′＝1

ch′.

即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半．

棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．

(2)正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．设棱台下底面边长为a 、周长为c ，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，可以得出正n 棱台的侧面积公式

S 正棱台侧＝n·12(a ＋a′)h′＝12(na ＋na′)h′＝1

2(c ＋c′)h′，

即S

正棱台侧＝

＋

＝12

＋

这一结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出．棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和． (3)S 圆柱侧＝2πRh ，S 圆锥侧＝πRl.

(4)S 球表＝4πR 2

即球面面积等于它的大圆面积的四倍．应用示例

思路1

例1已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm ，高与斜高的夹角为35°(下图)，求正四

棱锥的侧面积及全面积(单位：cm 2

，精确到0.01)．

解：正棱锥的高PO 、斜高PE 和底面边心距OE 组成直角△POE.

因为OE ＝2 cm ，∠OPE＝35°，所以斜高PE ＝

OE sin35°＝2

0.574

≈3.49(cm)．

因此S 棱锥侧＝12ch′＝12×4×4×3.49＝27.92(cm 2)，S 棱锥全＝27.92＋16＝43.92(cm 2

)．

变式训练

1．（2008 山东高考，6）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

A ．9π

B ．10π

C ．11π

D ．12π

解析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如下图所示，

故该几何体的表面积为S ＝S 圆柱＋S 球＝2π＋6π＋4π＝12π. 答案：D

2.圆台的上、下底半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)

解：如下图，设上底周长为c.

因为扇环的圆心角是180°，所以c ＝π·SA.

又因为c ＝2π×10＝20π，所以SA ＝20. 同理SB ＝40.

所以AB ＝SB －SA ＝20，

S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)AB ＝π(10＋20)×20＝600π(cm 2

)．

2如下图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的．球的半径为R.正四棱台的两底面边长分别为3R 和2.5R ，斜高为0.6R ：

(1)求这个容器盖子的表面积(用R 表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；

(2)若R ＝2 cm ，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg 可以涂1 m 2

，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克(精确到0.1 kg)．

解：(1)因为S 正四棱台＝4×12×(2.5R＋3R)×0.6R＋(2.5R)2＋(3R)2

＝12

(4×2.5＋4×3)×0.6R 2＋6.25R 2＋9R 2＝21.85R 2

， S 球＝4πR 2

因此，这个盖子的全面积为S 全＝(21.85＋4π)R 2

(2)取R ＝2，π＝3.14，得S 全＝137.67 cm 2

. 又(137.67×100)÷10 000×0.4≈0.6(kg)．因此，涂100个这样的盖子共需涂料约0.6 kg. 变式训练

1．一个圆柱形的锅炉，底面直径d ＝1 m ，高h ＝2.3 m ，求锅炉的表面积(保留2个有效数字)．

解：S ＝S 侧面积＋S 底面积＝πdh ＋2π(d 2)2

＝π×1×2.3＋π×12

≈8.8 (m 2

)．

2．有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2

的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到0.01 s)

解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，

∵圆柱的侧面积为S 侧＝2πrl ＝2π·0.1·0.5＝0.1π m 2

，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，

∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2

，

因此油漆工完成任务所需的时间t ＝10 m 2

0.5π m 2＝

≈6.37(s)．点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题．解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积．从而使问题迎刃而解．

思路2

例3如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100 mL 油漆，涂100个这样的花盆需要多少 mL 油漆？(π取3.14，结果精确到1 mL ，可用计算器)

分析：只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积．

解：如上图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S ＝π[(152)2＋152×15＋

2×15]－π(1.52

)2≈1 000(cm 2)＝0.1(m 2

)．

涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100＝1 000(mL)．答：涂100个这样的花盆需要1 000 mL 油漆．

点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用．变式训练

如下图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( )

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

分析：设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.

答案：C

例4下图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少？(π取3.14)

活动：因为正方体的棱长为4 cm ，而孔深只有1 cm ，所以正方体没有被打透．这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm ，底面圆的半径为1 cm .

解：正方体的表面积为16×6＝96( cm 2)，一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28( cm 2

)，

则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68( cm 2

)．

答：几何体的表面积为133.68 cm 2

点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获

得几何体的表面积．本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的．

变式训练

（2008 深圳市高三年级第一次调研，理3）如下图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )

A.3

2π B ．2π C ．3π D ．4π

解析：该几何体是底面直径为1，母线长为1的圆柱，则其全面积是2π×1

2×1＋

2π×(12)2＝32

π.

答案：A 知能训练

1．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是__________．

解析：如上图，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意，得?????

π2

l 2＝S ，

πl ＝2πr ，

解得r ＝

2π

. 所以圆锥的底面积为πr 2

＝π×S 2π＝S 2.

答案：S

2．已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC(下图)，求它的表面积．

分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．

解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD⊥BC，交BC 于点D.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2

－BD 2

＝a 2

－

a 2

＝

a ，所以S △SBC ＝12BC·SD＝12a×32a ＝34a 2

因此，四面体S —ABC 的表面积S ＝4×

a 2＝3a 2

. 3．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等．若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积．

解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧＝S ，根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的母线(高)长为S 2πr .由题意得圆锥的高为S

2πr .又圆锥的

底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l ＝r 2

＋

S 2πr

，根据圆锥的侧面积公

式，得

S 圆锥侧＝πrl ＝π·r·

r 2

＋

2πr

＝4π2r 4＋S 2

4．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高是3

2 cm ，求三棱台的侧面

积．

解：如下图，O 1、O 分别是上、下底面中心，则O 1O ＝3

，

连结A 1O 1并延长交B 1C 1于D 1，连结AO 并延长交BC 于D ，过D 1作D 1E⊥AD 于E.在Rt△D 1ED 中，

D 1

E ＝O 1O ＝3

，

DE ＝DO －OE ＝DO －D 1O 1＝13×32×(6－3)＝3

2，

DD 1＝D 1E 2

＋DE 2

＝3，

S 正三棱台侧＝12(c ＋c′)DD 1＝2732(cm 2

)．

即三棱台的侧面积为2732

cm 2

拓展提升

问题：有两个相同的直三棱柱，高为2

a ，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0)．用

它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________．

探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：

四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2

＋28；三棱柱有两种，

边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋32；边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a

＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2

＋48.

最小的是一个四棱柱，这说明24a 2

＋28<12a 2

＋48 ?12a 2

<20 ?0

153

. 答案：0

课堂小结

本节课学习了：

1．简单几何体的面积公式； 2．应用面积公式解决有关问题．作业

本节练习A 2,3,4题．

设计感想

新课标对本节内容的要求很低，属于了解层次，并且面积公式不要求记忆，教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上．

备课资料备选习题

（2008 江苏省南京市一模）已知一个空间几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的表面积是________．

解析：由三视图可知，该几何体是底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3的直三棱

柱，其侧面积是3(2＋2＋2)＝18，两底面积是2(

×22)＝23，所以这个几何体的表面积

是18＋2 3.

答案：18＋2 3

-棱锥教学设计

《棱锥的概念和性质》教学设计教学目的标：理解棱锥的概念，各个元素的名称及棱锥的分类，掌握棱锥的性质教学的重点：棱锥的概念的理解教学的难点：棱锥的性质的运用教学方法：引导探究教学过程： 1观察例子观察下列几何体,有什么相同点棱锥的概念有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2棱锥的元素名称：如图,棱锥的侧棱有, 棱锥的顶点是,棱锥的侧面有棱锥的底面是,棱锥的S D

高是. 3棱锥的表示方法 4棱锥的分类 5思考:棱锥能否与棱柱一样分类呢?即按底面边数或按侧棱与垂直来分呢? 6基础练习判断题 ( 1)有一个面是多边形，其它面都是三角形的几何体是棱锥。 (2)一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直。（） (3)一个棱锥可以有一个侧面和底面垂直。（） (4) 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥。（） (5 )所有的侧棱的长都相等的棱锥一定是正棱锥。( ） (6)下面给出的那些是正棱锥?说明理由( ) A.高过底面多边形的外接圆的圆心的棱锥 B.侧面与底面所成的二面角都相等的棱锥 C.侧棱与底面所成的角都相等的棱锥关于棱锥的一个定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且他们的面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。（面积比=相似比的平方） 7正棱锥的性质

8正棱锥的性质 (1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。（等腰三角形的底边上的高叫正棱锥的斜高）（2）棱锥的高、斜高和在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。例题讲析：例一：已知：正四棱锥S －－ABCD 中，底面边长为2，斜高为2。求：（1）侧棱长；（2）棱锥的高；（3）侧棱与底所成的角的正切值；（4）侧面与底面所成的角；例二：已知：正三棱锥V －ABC ，VO 为高， AB ＝6，VO ＝6，求侧棱长及斜高例三：设一个正三棱锥的侧面和底面的交角为60o ，则棱锥的侧棱和底面的交角的余弦值是多少？ A B D C O V

棱柱、棱锥和棱台的结构特征

教案教学过（课前检测、预习新知、课学、激励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）【课前检测】【预习新知】【课堂导学】 [情境导学]观察下面四个几何体，这些几何体都是多面体．那么多面体有怎样的结构特征？本节我们就来研究这个问题．探究点一多面体及多面体的有关概念

1．多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体． (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．探究点二棱柱的结构特征 2．棱柱 (1)棱柱的主要特征性质： ①有两个互相平行的面； ②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． (2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高． (3)棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (4)侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (5)底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体．例1下列命题中正确的是() A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行 B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面 D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

7．正三棱柱ABC—A′B′C′的底面边长是4cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2cm，试求截面BCD的面积．解如图，取BC的中点E，探究点三棱锥的结构特征思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？ (1)棱锥的主要结构特征： ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． (2)棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高． (3)棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为S－ABC，S－ABCD，P－ABCDE.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状是相似多边形． (4)如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．如图：

1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)多面体与棱柱

§1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征（1）【学习目标】 1.利用实物模型、多媒体展示大量空间图形，认识多面体； 2.掌握棱柱的定义，能区分概念相近的几何体的概念. 【新知探究】（一）多面体 1.定义：由若干个所围成的几何体. 2.基本元素：顶点、棱、对角线、面. 说明：多面体的对角线是指体对角线，而非面对角线. 3.分类：⑴凹凸性：凸多面体与凹多面体；⑵按围成多面体的面数：分为四面体、五面体、……. 4.截面：一个几何体和一个平面相交所得的（含其内部），叫做这个几何体的截面. 例1.用一个平面去截一个正方体，所得截面的边数为 . （二）棱柱 1.定义：有两个面平行，并且其余每相邻两个面的交线 . 思考1：有两个面平行，其余各面均为平行四边形的多面体一定是棱柱吗？ 2.基本元素：顶点、侧棱、高线、底面、侧面. 3.表示：两底面的对应顶点的字母或同一对角线端点的两个字母来表示. 4.分类： ⑴按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱、……； ⑵按侧棱与底面的位置关系：和 . 5．正棱柱是的直棱柱. 研究对象底面侧棱侧面截面棱柱底面是凸多边形；两底面互相平行且全等侧棱互相平行且全等侧面是平行四边形平行于底面的截面与底面是全等的多边形；对角面是平行四边形 7.特殊的四棱柱（※） ⑴平行六面体：的棱柱叫做平行六面体； ⑵直平行六面体：的平行六面体叫做直平行六面体； ⑶长方体：的直平行六面体叫做长方体； ⑷正四棱柱：的长方体叫做正四棱柱； ⑸正方体：的正四棱柱叫做正方体. 思考2：先运用维恩图描述上述几何体所构成集合的间的包含关系，之后再利用集合符号写出这一关系. 例2．验证以下关于平行六面体的结论： ⑴平行六面体的任何一组相对的面都可作为它的底面； ⑵平行六面体的对角线交于一点且被该点平分； ⑶当对角线长都相等时，平行六面体是长方体； ⑷平行六面体所有面都是平行四边形；A B C D 1 A 1 B1 C 1 D a b c

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为() A．27 cm3B．60 cm3 C．64 cm3D．125 cm3 解析：选B长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 (cm)3.故选B. 2．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于() A．12 B．48 C．64 D．72 解析：选D该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧＝6×(3×4)＝72.故选D. 3.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相结，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为() A．13.25立方丈B．26.5立方丈 C．53立方丈D．106立方丈解析：选B由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．故选B.

4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 解析：选D 正四棱锥的斜高h ′＝ 52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.故选D. 5.如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 解析：选C ∵V C -A ′B ′C ′＝13V ABC -A ′B ′C ′＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝ 23.故选C. 6．若五棱台ABCDE -A 1B 1C 1D 1E 1的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为________．解析： S 表＝S 侧＋S 两底，则S 两底＝S 表－S 侧＝30－25＝5. 答案：5 7．已知高为3的直棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1-ABC 的体积为________．解析：由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以VB 1-ABC ＝13Sh ＝13×34×3＝34. 答案：34

《机械制图》公开课教案-棱柱

《机械制图》公开课教案 [课题] 基本几何体——棱柱 [教学目标] 一、知识与技能 1、掌握棱柱的三面投影和视图的画法； 2、能较熟练地运用积聚性求作棱柱面上求点的投影。二、素质目标引导学生注重知识与生活实际经验相联系，培养其观察能力和探究能力，提高分析问题的能力。 [教学重点] 棱柱的投影特征、视图画法、表面上点的投影。 [难点分析] 棱柱表面上点的投影。 [分析学生] 1、在掌握平面投影的基础上，循序渐进，知识水平不应有困难。 2、能力水平不应有困难，要通过多做练习来达到熟练的目的； 3、注意对个别学习困难学生的辅导。 [教学方法] 讲演结合、讲练结合法、归纳提升。 [教学资源] 课件、圆规、三角板，基本体模型：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、球体等。 [教学安排] 1课时（45分钟） [教学步骤] 讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。[教学过程] Ⅰ、复习回顾（5分钟） 1、简述各种位置平面在三投影面体系中的投影特征，画和读平面投影的方法； 2、讲评作业批改情况； 3、提问：一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面的三面投影有何不同？如何根据两面投影判定其空间位置？

4、预习检测：什么是平面立体？曲面立体都是由曲面围成的吗？ Ⅱ、导入新课（5分钟）机器零件都可以看作是由基本几何体组合而成，基本体的学习为后续学习打好基础。基本几何体——表面规则而单一的几何体。按其表面性质，可以分为平面立体和曲面立体两类。 1、平面立体——立体表面全部由平面所围成的立体，如棱柱和棱锥等。（出示模型给学生看）。 2、曲面立体——立体表面全部由曲面或曲面和平面所围成的立体，如圆柱、圆锥、圆球等。（出示模型给学生看）。曲面立体也称为回转体。本节课主要讨论圆柱的视图分析，并通过分析，熟练掌握其三视图的读、画、标注方法和几何体表面求点。 Ⅲ、新课教学（30分钟）一、棱柱棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱。本节仅讨论正棱柱的投影。教师结合多媒体课件演示讲授棱柱的三视图和投影分析、棱柱三视图的画法步骤、利用特殊位置面具有积聚性的特性求棱柱表面点的投影 1、棱柱的投影以正六棱柱为例。如图3－1（a）所示为一正六棱柱，由上、下两个底面（正六边形）和六个棱面（长方形）组成。设将其放置成上、下底面与水平投影面平行，并有两个棱面平行于正投影面面。上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。边画图边讲解作图方法与步骤。课堂练习：学生动手画正三棱柱、四棱柱和正五棱柱的三视图（出示模型）。总结正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，则棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影则由若干个相邻的矩形线框所组成。

棱柱、棱锥、棱台

课题：棱柱、棱锥、棱台三维目标一、知识与技能 1、了解多面体、棱柱、棱锥、棱台的定义、性质及它们之间的关系。 2、掌握棱柱、棱台的画法二、过程与方法 1、结合模型、动态的或静态的直观图，了解、认识和研究各种几何体 2、结合集合的观点来认识各种几何体的性质三、情感、态度与价值观培养空间（三维空间）与平面（二维空间）问题相互转化（升降维）的思想方法教学重点多面体、棱柱、棱锥和棱台的定义、性质及他们之间的关系，逐步培养空间（三维空间）与平面（二维空间）问题相互转化（升降维）的思想方法教学难点棱柱、棱台的画法，及棱柱、棱锥、棱台特点的理解教学过程 (一)棱柱的概念 1: 平移：指将一个图形上所有点按某一确定的方向移动相同的距离 2.定义一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱（prism [`prizm]）。思考：下图的棱柱分别是由何种多边形平移得到？

3.棱柱的元素 a.平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面（base）。 b.多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面（lateral face）。 c.两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 d.侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。 4.棱柱的分类:按底面的边数分为：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、…… 5.棱柱的表示法用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 6.棱柱的性质 a. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； b. 两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行； c. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 (二)棱锥的概念思考：看下面两个图形有何变化？棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫棱锥（pyramid）。与棱柱相仿，棱锥中常用名称的含义侧面：有公共顶点的各三角形面底面（底）：余下的那个多边形侧棱：两个相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共点思考：有一个面是多边形其余各面是三角形，这个多面体是棱锥吗？

棱锥的概念和性质教案

棱锥的概念和性质教案【教学目的】 1．通过棱锥、正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移能力及数学表达能力； 2．通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生空间想象能力及空间问题向平面转化的能力．【教学重点和难点】教学重点是正棱锥的性质．教学难点是认识及掌握正棱锥中的基本图形．【教学过程】一、复习与回顾：上节课我们学了棱柱的有关知识，当棱柱的上底面缩为一点时，想一想，其侧面、侧棱有何变化如：金字塔、帐蓬等二、棱锥的概念要求学生通过上述的实际例子描述棱锥的本质特征。（提示学生可以从底面、侧面的形状特点加以描述）有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．

表示：棱锥S-ABCDE或棱锥S-AC．与棱柱类似，棱锥可以按底面多边形的边数分为三棱锥，四棱锥，五棱锥，?， n 棱锥．正棱锥的概念及性质．对比正棱柱定义让学生描述一下正棱锥：由顶点向底面作垂线，垂足必为底面正多边形的中心的棱锥才是正棱锥．正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这是正棱锥的本质特征，它决定了正棱锥的其它性质．如图是正五棱锥，你能说出其侧棱、各侧面有何性质吗【例题1】已知：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2．求：（1）侧棱长；（2）棱锥的高；（3）侧棱与底面所成的角； 4）侧面与底面所成的角．

=60°．证明：连结 SO ，由正棱锥性质有 SO ⊥面 ABCD ．取 BC 的中点 M ，连结 SM ， OM ．因为等腰△ SBC ，所以 SM ⊥BC ．在 Rt △SMB 中，在 Rt △SOM 中， OM 1 AB 1，所以 SO= 3 2 因为 SO ⊥面 AC ，所以∠ SBO 为侧棱与底面所成的角．在因为 SM ⊥BC ，OM ⊥BC ，所以∠ SMO 为侧面与底面所例题 2】求：侧棱长及斜高．

苏教版数学高一-【金识源】必修2教案 1.1.1棱柱、棱锥和棱台

1.1.1棱柱、棱锥和棱台教学目标 1. 了解棱柱、棱锥、棱台的概念； 2. 认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征； 3. 能根据几何结构特征对现实生活中的简单物体进行描述．教材分析及教材内容的定位本节内容教材借助实物模型，从整体观察入手，运用运动变化的观点，引导学生认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征．教学中，要从整体到局部、从具体到抽象，充分通过直观感知、操作确认，多角度、多层次地揭示空间图形的本质，突出几何体的本质特征，注意适度地形式化，促进学生主动探索的学习方式的形成，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力．倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法，同时，使学生进一步体会比较、化归、分析等一般科学方法的运用．教学重点棱柱、棱锥和棱台及多面体的概念和画法．教学难点棱柱、棱锥和棱台几何特征的应用. 教学方法探究、发现．教学过程一、问题情境问题1．我们生活中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？问题2．观察下列几何体，它们有什么共同特点：问题3．上述几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得？

二、学生活动 1．通过观察，说出这些几何体的各自特征． 2．说出这些几何体的共同特征，并分别指出它们分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得．三、建构数学 (一)棱柱的概念 1．引导学生得出棱柱定义； 2．介绍棱柱的元素（底面、侧面、侧棱、顶点）； 3．棱柱的表示及分类； 4．引导学生归纳棱柱的特点．（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；（2）两个底面是全等的多边形；（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．问题4．棱柱的底面收缩为一个点时,可得到怎样的几何体？问题5．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个怎样的几何体？ (二)棱锥的概念 1．棱锥定义； 2．棱锥的元素； 3．棱锥的表示； 4．棱锥的特点：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形．(三)棱台的概念 1．棱台定义； 2．棱台的表示； 3．棱台的特点：①上下底面平行，对应边成比例；②侧棱延长后交于一点．思考：如图所示的几何体是不是棱台？为什么？

高二数学教案：棱柱和棱锥(三)

C'B' A' D' D A B C C'B' A' D'D A B C 9.9棱柱和棱锥(三) 教学目的： 1.了解棱锥、正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质.； 2.能初步利用棱锥的概念及其性质解决一些简单角与距离的问题. 3.灵活运用棱锥的概念及其性质解决有关角与距离问题； 4.了解棱锥的侧面积、全面积的概念，能求出有关面积. 教学重点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 教学难点：棱锥、正棱锥的概念及其性质. 授课类型：新授课. 课时安排：4课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入： 1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线． 2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体． 3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等. 4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）. 5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 设集合{}A =棱柱，{}B =斜棱柱， {}C =直棱柱，{}D =正棱柱，则,B C A D C =?． 6．棱柱的性质（1）棱柱的侧棱相等，侧面都是平行四边形；直棱柱侧面都是矩形；正棱柱侧面都是全等的矩形；（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 7.平行六面体、长方体、正方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的长方体叫正方体． 8．平行六面体、长方体的性质 (1)平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分． (2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和.

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积及体积教学提纲

编号：使用时间设计教师：班级：小组：姓名：棱柱、棱锥、棱台和球的表面积及体积【课标导示】知识与技能：1、能应用棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积公式求出直棱柱、正棱锥和正棱台及球的表面积和体积。重点：公式难点：应用公式进行计算【知识点回顾】 1、直棱柱的性质： 2、正棱锥的性质： 3、正棱台的性质：【概念探究】 1、直棱柱的侧面积公式：ch s = 其中c 为底面周长，h 为直棱柱的高 2、棱柱的体积公式：Sh V = 其中S 为底面的面积，h 为高 3、正棱锥的侧面积公式：h c h na s '='=2 121 其中n 为底面边数，h '为斜高，c 为底面周长 4、棱锥的体积公式：V= 3 1Sh 其中S 为底面的面积，h 为高 5、正棱台的侧面积公式：h c c h a a n s ''+=''+=)(21)(21 其中n 为底面边数，a 为下底面边长，a ′为上底面边长，c 为下底面周长，c ′为上底面周长，h ′为斜高。 6、棱台的体积公式：V=3 1(S+S S '+S ′)h 其中S 、S ′分别为下底面和上底面的面积，h 为高 7、球的表面积公式：4=s πR 2 其中R 为半径 8、球的体积公式： V=3 4πR 3 9、圆柱的侧面积：s=2πRh 其中R 为底面半径，h 为高 10、圆柱的体积：V=πR 2h 其中R 为底面半径，h 为高 11、圆锥的侧面积：s=πR l 其中l 为母线长 R 为底面半径 12、圆锥的体积：V= 3 1πR 2h 13、圆台的体积：V=31π(2r +r r '+2r ')h 【典例分析】

2019-2020年高中数学 9.9《棱柱与棱锥·第四课时》教案旧人教版必修

2019-2020年高中数学 9.9《棱柱与棱锥·第四课时》教案旧人教版必修 ●教学目标（一）教学知识点 1.水平放置的平面图形的直观图的画法. 2.直棱柱的直观图的画法. 3.棱柱中综合问题的处理方法. （二）能力训练要求 1.使学生掌握水平放置的平面图形的直观图的画法. 2.使学生掌握直棱柱的直观图的画法. 3.使学生在准确熟练掌握基本概念、公式、公理、定理的基础上，归纳总结数学综合问题的处理方法. 4.进一步提高学生的运算能力、推理能力、空间想象力，增强学生的空间观念. （三）德育渗透目标 1.培养学生事物与事物之间可以在一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点. 2.直接经验的吸收可以避免走弯路. ●教学重点直棱柱的直观图的画法. ●教学难点培养与提高学生解综合问题的能力. ●教学方法学导式在以水平放置的正六边形或正六棱柱为例画直观图时，通过多媒体课件的具体准确逐步演示，使学生熟练掌握并归纳用斜二测画法去画直棱柱的基本步骤. 在分析本课时例题时，引导学生准确识图、作图，联系所学知识灵活应用于解题中，逐步培养学生的空间想象力、逻辑思维能力以及熟练的基本运算能力. ●教具准备多媒体课件一个：水平放置的正六边形与正六棱柱的直观图的斜二测画法过程的演示，通过具体准确的演示过程使学生学会识图画图等基本技能. 投影片二张. 第一张：本课时例题（记作9.7.4 A) 第二张：本课时练习题（记作9.7.4 B) ●教学过程 Ⅰ.课题导入［师］由于我们理论上学习研究的需要，常常要将空间图形用一个平面图形来表示，那么如何将本来不完全在同一个平面内的点的集合用在同一个平面内的点来表示呢？这节课我们一起深入探讨. Ⅱ.讲授新课［师］如果我们将一个空间图形用一个平面图形来表示，那么，这个平面图形画得既要富有立体感,即将图形中各点不全在同一平面内这一特点表现出来，又要能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们称这种图形为立体图形的直观图. 课下,大家已对斜二测画法画水平放置的平面图形进行了预习，现在通过多媒体课件的演示，我们一起对它的画法进一步熟练巩固.

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

环县第五中学新生态课堂导学案科目：数学年级：高一级备课人：授课人：课型：新授课第课时授课日期：第周星期教研组长签字：课题：棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标 1. 感受空间实物及模型，增强学生的直观感知； 2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类； 3. 理解多面体的有关概念； 4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 学习过程一、课前准备（预习教材P 2~ P 4，，找出疑惑之处）二、学习探究探究1：多面体的相关概念问题：观察下面的物体，注意它们每个面的特点，以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗? 新知1：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABCD ；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB ；棱与棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A .具体如下图所示：探究2：旋转体的相关概念问题：仔细观察下列物体的相同点是什么？新知2：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体: 探究3：棱柱的结构特征问题：你能归纳下列图形共同的几何特征吗? 新知3：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱（prism ）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.（两底面之间的距离叫棱柱的高）棱 A B ' C ' D 'A 'C B O '/ O A /A 轴

22 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

课时分层作业(二十二) 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (建议用时：60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1．如图，ABC -A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 C [∵V C -A ′B ′C ′＝13V ABC -A ′B ′C ′＝13，∴V C -AA ′B ′B ＝1－13＝2 3.] 2．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( ) A ．48 6 B ．64 C ．16 D ．96 [-=答案=-] B 3．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( ) A ．1∶9 B ．1∶8 C ．1∶4 D ．1∶3 B [两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，

故选B.] 4．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是() A. 3 B. 2 C.2 3 D. 3 2 A[如图所示，正方体的A′、C′、D、B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体边长为a，则正四面体边长为2a. ∴正方体表面积S1＝6a2，正四面体表面积为 S2＝4× 3 4×(2a) 2＝23a2， ∴S1 S2 ＝6a2 23a2 ＝ 3.] 5．四棱台的两底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是() A.1 x＝ 1 y＋ 1 z B. 1 y＝ 1 x＋ 1 z C.1 z＝ 1 x＋ 1 y D. 1 z＝ 1 x＋y

必修2教案：1.1.1 棱柱、棱锥和棱台

第1章立体几何初步 1.1.1 棱柱、棱锥和棱台【教学目标】 1.了解平移的定义，明确棱柱是借助于平移而得到的几何体； 2.掌握棱锥与棱台的概念，理解它们之间的联系与区别，进而能从运动的角度认识棱柱、棱锥和棱台三者之间的关系； 3．理解多面体的概念。【教学重点】棱柱、棱锥、棱台的概念和及其几何性质。【教学难点】棱柱、棱锥、棱台的概念和及其相互联系和区别。【过程方法】利用实物模型、计算机软件观察空间图形、认识棱柱、棱锥、棱台及其简单组合体的结构特征，并能找出它们之间的联系，确立正确的认识问题的世界观。【教学过程】一、导入新课：仔细观察下面的几何体，它们有什么共同特点？（1）（2）（3）（4）（一）棱柱 1．平移平移是指一个图形上所有点按某一确定的方向移动相同的距离。 2．棱柱的定义

一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移形成的面叫做棱柱的侧面。每相邻两侧面的交线叫做棱柱的侧棱，侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点。两底面之间的距离叫做棱柱的高。 3．棱柱的表示 4．棱柱的分类：按底面分 5．棱柱的特点（1）两个底面是全等的多边形，且对应边平行；（2）侧面是平行四边形。（二）棱锥 1．棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥。 2．这个收缩成的点叫做棱锥的顶点，多边形仍叫做底面，除底面外的面称为侧面，相邻侧面的公共边叫做侧棱。顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 3．棱锥的表示 4．棱锥的分类 5．棱锥的特点底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。（三）棱台 1．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。 2．原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面，其它各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。 3．棱台的表示 4．棱台的特点①有两个底面，且这两个底面互相平行；②侧棱延长后交于一点。（四）多面体 1．由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。 2．各个多边形的面称为多面体的面或侧面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱。

完整版棱柱棱锥和棱台的结构特征

案教

励环节设计、随堂练习、课堂检测或课后巩固）探究点一多面体及多面体的有关概念 1 / 6

2．棱柱(1)棱柱的主要特征性质：①有两个互相平行的面；②其余各面都是四边形，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行．其余各面叫做棱柱的(2)棱柱的这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，两底面之间的距离叫做棱柱的高．棱柱按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱柱、四棱(3) 柱、五棱柱……侧棱与底面垂直的棱柱叫做侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，(4) 直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．侧棱与底面垂直的平行底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，(5)六面体叫做直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方体，棱长都相等的长方体是正方体．) 下列命题中正确的是(1例．棱柱的面中，至少有两个面互相平行A ．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体C 的任意两个相对的面不一定可当作它的底面．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形D 2 / 6 的一个平，过BC4 ′B′C′的底面边长是cm ABC7．正三棱柱—A BCD的面积．，若AD的长是2 cm，试求截面D面交侧棱AA′于，如图，取BC的中点E解棱锥的结构特征探究点三我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定思考1 义吗？棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？棱锥的主要结构特征：(1) ①有一个面是多边形；②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；(2) 各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高．棱锥按底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四棱(3)，－SABCD－锥、五棱锥……三个棱锥从左到右可分别表示为SABC，用一个

棱柱和棱锥(一)

9.9棱柱和棱锥(一) 教学目的： 1.了解多面体、凸多面体的概念； 2.理解棱柱的概念,能分清斜、直、正棱柱.掌握棱柱、直棱柱、正棱柱的概念及其性质，了解棱柱的表示及其分类；个人收集整理勿做商业用途 3.能利用添辅助线、面的方法,计算长度、角度及截面问题.能初步利用棱柱的概念及其性质解决一些简单的问题.个人收集整理勿做商业用途教学重点：棱柱的概念及其性质. 教学难点：棱柱的概念及其性质. 授课类型：新授课. 课时安排：1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 内容分析：简单多面体和球，共分4小节.简单几何体，是指最基本、最常见的几何体.按照大纲的规定，有关简单几何体只讨论棱柱、棱锥、多面体和正多面体、球.由于初中几何已学过圆柱和圆锥的有关内容，台体(圆台、棱台)又可以通过从大锥体上截去小锥体而得出，为节约课时以便实现高中数学教学内容的更新，本章中的简单几何体比原《立体几何》(必修本)在内容上精简幅度较大，删去了圆柱、圆锥、圆台、棱台等，只保留了最基本的多面体(棱柱和棱锥)、正多面体的有关概念、球等.个人收集整理勿做商业用途本节有四个知识点：棱柱、棱锥、棱柱和棱锥的直观图以及正多面体的有关概念.关于棱柱和棱锥的教学内容都包括有关概念、性质等内容，直观图的画法仅学习直棱柱和正棱锥的直观图.个人收集整理勿做商业用途这一节的内容，既是对简单几何体基础知识的重点讨论，又是对前面空间图形的基本性质和向量代数等相关知识的综合运用.个人收集整理勿做商业用途教学过程：一、复习引入：从一些常见的物体（凸多面体），例如三棱镜，方砖等，它们呈棱柱的形状（如图）二、讲解新课： 1.多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．个人收集整理勿做商业用途 2．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．个人收集整理勿做商业用途 3．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等. 说明：我们今后学习的多面体都是．．凸多面体. 4．棱柱的概念：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两个互相平行的面叫棱柱的底面（简称底）；其余各面叫棱柱的侧面；两侧面的公共边叫棱柱的侧棱；个人收集整理勿做商业用途两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高（公垂线段长也简称高）. 5．棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱. 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱. 1 / 3

棱柱棱锥棱台的结构特征

1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、多面体、旋转体的概念思考1说说身边你认为属于几何体的东西。如何给它们分类？ 1、什么特征的东西称为空间几何体？ 2、具有什么特征的东西称为多面体？具有什么特征的东西称为旋转体？思考2由4个正三角形可以围成一个什么样的几何体？由一个等腰三角形绕着它的底边旋转一周，其它两边旋转形成的几何体是什么样的几何体？二、棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1、观察并思考，具有什么特征的几何体称为棱柱？怎样给棱柱分类？思考3下列说法正确的是 A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C．棱柱的各个面中至少有两个面互相平行 D．棱柱侧面是平行四边形，但底面一定不是平行四边形思考4有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？思考5正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱长为5，如图，求C P＋PQ＋QC1的最小值。 2、观察并思考，具有什么特征的几何体称为棱锥？怎样给棱锥分类？ A1 C1 C P

思考6已知正四棱锥V—ABCD的底面ABCD的面积为16，一条侧棱长为，求它的高及侧面三角形底边上的高（称之为棱锥的斜高）。思考7判断下列说法是否正确： (1)棱锥的各侧面都是三角形 (2)棱锥的各侧棱长相等 (3)四面体的任何一个面都可作为底面 (4)有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体为棱锥思考8侧棱长为 V—ABC中，∠A VB＝∠BVC＝∠CV A＝40°，过A作截面AEF，求截面ΔAEF周长的最小值。3 思考9正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为1，求该棱台的高、斜高（侧面底边上的高）。三、作业：课时分层作业P95 测评一 A C A B C1 B A

高中数学棱柱、棱锥和棱台教学设计

1．1．1棱柱、棱锥和棱台教学目标： 1．了解棱柱、棱锥、棱台的概念； 2．认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征； 3．能根据几何结构特征对现实生活中的简单物体进行描述．教材分析及教材内容的定位：本节内容教材借助实物模型，从整体观察入手，运用运动变化的观点，引导学生认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征．教学中，要从整体到局部、从具体到抽象，充分通过直观感知、操作确认，多角度、多层次地揭示空间图形的本质，突出几何体的本质特征，注意适度地形式化，促进学生主动探索的学习方式的形成，帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力．倡导学生积极主动、勇于探索的学习方法，同时，使学生进一步体会比较、化归、分析等一般科学方法的运用．教学重点：棱柱、棱锥和棱台及多面体的概念和画法．教学难点：棱柱、棱锥和棱台几何特征的应用．教学方法：探究、发现．教学过程：一、问题情境问题1．我们生活中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？问题2．观察下列几何体，它们有什么共同特点：

问题3．上述几何体分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得？二、学生活动 1．通过观察，说出这些几何体的各自特征． 2．说出这些几何体的共同特征，并分别指出它们分别由怎样的平面图形，按什么方向平移而得．三、建构数学 (一)棱柱的概念 1．引导学生得出棱柱定义； 2．介绍棱柱的元素（底面、侧面、侧棱、顶点）； 3．棱柱的表示及分类； 4．引导学生归纳棱柱的特点．（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；（2）两个底面是全等的多边形；（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．问题4．棱柱的底面收缩为一个点时,可得到怎样的几何体？问题5．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个怎样的几何体？ (二)棱锥的概念 1．棱锥定义； 2．棱锥的元素； 3．棱锥的表示； 4．棱锥的特点：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形． (三)棱台的概念 1．棱台定义； 2．棱台的表示； 3．棱台的特点：①上下底面平行，对应边成比例；②侧棱延长后交于一点．思考：如图所示的几何体是不是棱台？为什么？

高中数学必修系列：9.9棱柱与棱锥

【鼎尖教案】人教版高中数学必修系列：9.9棱柱与棱锥(备课资料) 一、对几种棱柱的理解 1.斜棱柱的底面可以是正多边形,此时侧棱不垂直于底面,所以它不是直棱柱. 2.直棱柱的底面可以是正多边形,所以正棱柱是直棱柱的特例. 3.在斜棱柱的侧面中,有的可以是矩形,如果棱柱有两个相邻的侧面都是矩形,那么它们的公共侧棱垂直于底面.此棱柱一定为直棱柱. 二、对于四棱柱中关系的理解底面是平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直四棱柱直平行六面体底面是矩形长方体底面是正方形正四棱柱边相等正方形三、参考例题［例1］在直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AD =3,A 1A =4,AB =5,∠DAB =60°,那么这个直平行六面体的对角线AC 1 与BD 1 的长分别是 A.65和35 B.35 和65 C.17和35 D.35和17 分析：将“空间问题平面化”的思想应用到解题中,再结合平面几何中的勾股定理、余弦定理使问题获解. 1 解析：∵AD =3,AB =5,∠DAB =60由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2∴BD =19. 而BD 12=AA 12+BD 2, ∴BD 1=35.同理可求得AC 1=65. 答案：A ［例2］用一个过四棱柱底面一边的平面截正四棱柱,截面是 A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.一般平行四边形分析：充分利用已知正四棱柱的性质以及线线、线面、面面之间的平行、垂直关系的性质、判定定理.

1 A C E 解析：正四棱柱ABCD—A1B1C1D1C1于点E、F. ∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1, ∴AB∥EF. ∵AB⊥平面BCC1B1,且BE?平面BC1, ∴AB⊥BE. ∴ABEF是矩形. 答案：B 评述：灵活地将正四棱柱性质应用于解题中,可使问题变得简单易求. ［例3］四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面ABCD是菱形,且A′B=A′D,求证： ' （1）对角面AA′C′C⊥截面A （2）对角面D′DBB′是矩形. 分析：（1 （2）中依据矩形的判定方法证得. 证明：（1）连结AC与BD交于点O,连结A′O. ∵A′B=A′D,∴A′O⊥BD. ∵底面ABCD是菱形, ∴AC⊥BD.∴BD⊥平面A′ACC′. 又BD?平面A′DB, ∴对角面AA′C′C⊥截面A′BD. （2）由（1）知BD⊥A′A且A′A∥BB′, ∴BD⊥BB′. ∴对角面D′DBB′是矩形. 评述：此题是以正棱柱为载体考查了空间线线、面面、线面等问题,需对四棱柱的有关性质熟练掌握,否则思维受阻,无法继续做下去. 四、参考练习题在长方体AC1中,CC1=15,CD=20,求线段B1D和BC之间的距离. 解：连结AB1、DC1, ∴BC∥平面AB1C1D. ∴BC与B1D之间的距离转化成了BC与平面AB1C1D之间的距离. 又∵平面BB1A⊥平面AB1C1D, 过点B作BH⊥AB1于点H,