定积分与微积分基本定理(理)
基础巩固强化
1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( )
A .S =??
?01(x 2-x )d x B .S =??
?01
(x -x 2)d x C .S =???0
1
(y 2-y )d y D .S =???
1
(y
-y )d y
[答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图
形的面积S =??
?0
1
(x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( )
A .2 3
B .2- 3 C.32
3 D.353
[答案] C
[解析] 图中阴影部分面积为
S =???
-31
(3-x 2
-2x )d x =(3x -1
3x 3-x 2)|1
-3=32
3. 3.??
?0
2
4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π D.π
2
[答案] C
[解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积,
∴S =1
4×π×22=π.
4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( )
A .在t 1时刻,甲车在乙车前面
B .在t 1时刻,甲车在乙车后面
C .在t 0时刻,两车的位置相同
D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A
[解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后
的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分,即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围
成区域的面积.从图象知:在t 0时刻,v 甲的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t =0,t =t 0围成区域的面积,因此,在t 0时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度,所以选项C ,D 错误;同样,在t 1时刻,v 甲的图象与t 轴和t =t 1围成区域的面积,仍然大于v 乙的图象与t 轴和t =
t 1围成区域的面积,所以,可以断定:在t 1时刻,甲车还是在乙车的
前面.所以选A.
5.向平面区域Ω={(x ,y )|-π4≤x ≤π
4,0≤y ≤1}随机投掷
一点,该点落在曲线y =cos2x 下方的概率是( )
A.π
4 B.12 C.π
2-1 D.2π
[答案] D
[解析] 平面区域Ω是矩形区域,其面积是π
2
,在这个区
6.的值是( )
A .0 B.π
4 C .2 D .-2
[答案] D
[解析] 2
(cos sin )
2x x π
π---=2(cos sin )2
x x π
π---
=-2. 7.???
2
(2-|1-x |)d x =________.
[答案] 3
[解析] ∵y =???
??
1+x 0≤x ≤1
3-x 1 ∴???0 2 (2-|1-x |)d x =???0 1(1+x )d x +?? ?1 2(3-x )d x =(x +12x 2)|10+(3x -12x 2)|21=32+3 2=3. 9.已知a =2 (sin cos )x x dx π +?,则二项式(a x - 1 x )6的展开式中 含x 2项的系数是________. [答案] -192 [解析] 由已知得a =20 (sin cos )x x dx π +? =(-cos x +sin x )|π 2 0= (sin π2-cos π 2 )-(sin0-cos0)=2, (2x - 1 x )6的展开式中第r +1项是T r +1=(-1)r ×C r 6×26-r ×x 3 -r ,令3-r =2得,r =1,故其系数为(-1)1×C 16×25 =-192. 10.有一条直线与抛物线y =x 2相交于A 、B 两点,线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于4 3 ,求线段AB 的中点P 的轨迹方程. [解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ,a 2),B (b ,b 2),不妨设a 则直线AB 的方程为y -a 2=b 2-a 2b -a (x -a ), 即y =(a +b )x -ab . 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S =??? a b [(a +b )x -ab - x 2]d x =(a +b 2x 2-abx -x 3 3)|b a =1 6 (b -a )3, ∴16(b -a )3 =43 , 解得b -a =2.设线段AB 的中点坐标为P (x ,y ), 其中????? x = a +b 2,y =a 2 +b 2 2. 将b -a =2代入得????? x =a +1, y =a 2 +2a +2. 消去a 得y =x 2+1. ∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y =x 2+1. 能力拓展提升 11.等比数列{a n }中,a 3=6,前三项和S 3=??? 3 4x d x ,则公比q 的 值为( ) A .1 B .-1 2 C .1或-1 2 D .-1或-1 2 [答案] C [解析] 因为S 3=??? 3 4x d x =2x 2 |3 0=18,所以6q +6 q 2+6=18,化简 得2q 2 -q -1=0,解得q =1或q =-1 2 ,故选C. 12.已知(x ln x )′=ln x +1,则??? 1 e ln x d x =( ) A .1 B .e C .e -1 D .e +1 [答案] A [解析] 由(x ln x )′=ln x +1,联想到(x ln x -x )′=(ln x +1) -1=ln x ,于是?? ?1 e ln x d x =(x ln x -x )|e 1=(e ln e -e )-(1×ln1-1)=1. 13.抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18 [解析] 由方程组??? ?? y 2 =2x , y =4-x , 解得两交点A (2,2)、B (8,-4), 选y 作为积分变量x =y 2 2 、x =4-y , 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分与微积分基本定理练习题及答案
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