高中数学之概率与统计
求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
解此类题目常应用以下知识:
(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)=)()(I card A card =n m
;
等可能事件概率的计算步骤: 计算一次试验的基本事件总数n ;
设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式
()m
P A n =
求值;
答,即给问题一个明确的答复.
(2)互斥事件有一个发生的概率:P(A +B)=P(A)+P(B); 特例:对立事件的概率:P(A)+P(A )=P(A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P(A ·B)=P(A)·P(B);
特例:独立重复试验的概率:Pn(k)=k
n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的
概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:
求概率的步骤是:
第一步,确定事件性质
??
??
???等可能事件
互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验
即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步,判断事件的运算
??
?和事件积事件
即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.
第三步,运用公式()()()()()()()()(1)
k k n k n n m P A n
P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?
=???+=+?
??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解
第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.
例1.在五个数字12345
,,,,中,。
例2.若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示).
[解答过程]0.3提示:
1
3
3
5
C33
.
54
C10
2
P===
?
例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 .
[解答过程]1
.
20提示:
51.10020P == 例3.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热
反应的概率为__________.(精确到0.01) [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.
[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为
33244555550.800.200.800.200.800.94
C C C ??+??+?=.
故填0.94.
离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,
ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.
为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.
由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)0≥i P ,=i 1,2,…;(2)++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列: (1)二项分布
n 次独立重复试验中,事件A 发生的次数ξ是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…
n ,并且
k
n k k
n k q p C k P P -===)(ξ,其中n k ≤≤0,p q -=1,随机变量ξ的分布列如下:
称这样
随机变量ξ服从二项分布,记作),(~p n B ξ,其中n 、p 为参数,并记:
)
,;(p n k b q p C k n k k n =- .
(2) 几何分布
在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,
“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为:
例1.
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. (Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率; (Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.
[解答过程](Ⅰ)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算,有
()()
4110.20.9984
P A P A =-=-=
(Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2.
()2
17220136
0190C P C ξ===
, ()113172
2051
1190C C P C ξ==
=,
()232203
2190C P C ξ===
1365133
01219019019010E ξ=?
+?+?=.
记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B ,则商家拒收这批产品的概率
()13627
1119095P P B =-=-
=
.
所以商家拒收这批产品的概率为27
95.
例12.
某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被
淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53
、52,且各轮问题能
否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;
(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望.
(注:本小题结果可用分数表示)
[解答过程]解法一:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)
i A i =,,,则
14()5P A =
,
23()5P A =,32
()5P A =
, ∴该选手被淘汰的概率
112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++
142433101
555555125=+?+??=
.
(Ⅱ)ξ的可能值为123,
,,11
(1)()5P P A ξ===
,
1212428
(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=
, 12124312
(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=
.
ξ∴的分布列为
11235252525E ξ∴=?+?+?=
.
解法二:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)
i A i =,,,则
14
()5P A =
,
23()5P A =
,32
()5P A =.
∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()
P P A A A P A P A P A =-=-432101
1555125=-??=
. (Ⅱ)同解法一.
(3)离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望:++=2211p x p x E ξ…;期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差:+-+-=22
2121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…;
方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
⑶基本性质:b aE b a E +=+ξξ)(;ξξD a b a D 2
)(=+.
(4)若ξ~B(n ,p),则 np E =ξ ; D ξ =npq (这里q=1-p ) ;
如果随机变量ξ服从几何分布,),()(p k g k P ==ξ,则
p E 1
=
ξ,D ξ =2
p q 其中q=1-p.
例1.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、
思路:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.
解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:
7.0103
210111060=?+?+?
=εE ,
891.0103
)7.02(101)7.01(106)7.00(222=?-+?-+?
-=εD ;
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:
7.0102
210311050=?+?+?
=ηE ,664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=?
-+?-+?-=ηD
由E ε=E η知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但D ε>D η,可见乙的技术比较稳
定.
小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度. 例2.
某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.
(Ⅰ)求事件A :“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率()P A ; (Ⅱ)求η的分布列及期望E η.
[解答过程](Ⅰ)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
2()(10.4)0.216P A =-=, ()1()10.2160.784P A P A =-=-=.
(Ⅱ)η的可能取值为200元,250元,300元.
(200)(1)0.4P P ηξ====,
(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=,