高考数学概率与统计知识点

高中数学之概率与统计

求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率

解此类题目常应用以下知识:

(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m

;

等可能事件概率的计算步骤： 计算一次试验的基本事件总数n ;

设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式

()m

P A n =

求值;

答，即给问题一个明确的答复.

(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B);

特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k

n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的

概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：

求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质

??

??

???等可能事件

互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.

第二步，判断事件的运算

??

?和事件积事件

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.

第三步，运用公式()()()()()()()()(1)

k k n k n n m P A n

P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?

=???+=+?

??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.

例1．在五个数字12345

，，，，中，。

例2．若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．

[解答过程]0.3提示:

1

3

3

5

C33

.

54

C10

2

P===

?

例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．

[解答过程]1

.

20提示:

51.10020P == 例3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热

反应的概率为__________.（精确到0.01） [考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.

[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

33244555550.800.200.800.200.800.94

C C C ??+??+?=.

故填0.94.

离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，

ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布

n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…

n ，并且

k

n k k

n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：

称这样

随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：

)

,;(p n k b q p C k n k k n =- .

（2） 几何分布

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，

“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：

例1．

厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率； （Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.

[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有

()()

4110.20.9984

P A P A =-=-=

（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．

()2

17220136

0190C P C ξ===

， ()113172

2051

1190C C P C ξ==

=，

()232203

2190C P C ξ===

1365133

01219019019010E ξ=?

+?+?=．

记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率

()13627

1119095P P B =-=-

=

．

所以商家拒收这批产品的概率为27

95．

例12．

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被

淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53

、52,且各轮问题能

否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.

（注：本小题结果可用分数表示）

[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)

i A i =，，，则

14()5P A =

，

23()5P A =，32

()5P A =

， ∴该选手被淘汰的概率

112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++

142433101

555555125=+?+??=

．

（Ⅱ）ξ的可能值为123，

，，11

(1)()5P P A ξ===

，

1212428

(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=

， 12124312

(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=

．

ξ∴的分布列为

11235252525E ξ∴=?+?+?=

．

解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)

i A i =，，，则

14

()5P A =

，

23()5P A =

，32

()5P A =．

∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()

P P A A A P A P A P A =-=-432101

1555125=-??=

． （Ⅱ）同解法一．

（3）离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差

(1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平.

⑵离散型随机变量的方差：+-+-=22

2121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…；

方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.

⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2

)(=+.

(4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;

如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则

p E 1

=

ξ，D ξ =2

p q 其中q=1-p.

例1．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、

思路：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.

解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：

7.0103

210111060=?+?+?

=εE ，

891.0103

)7.02(101)7.01(106)7.00(222=?-+?-+?

-=εD ；

工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：

7.0102

210311050=?+?+?

=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=?

-+?-+?-=ηD

由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳

定.

小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 例2.

某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．

[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．

（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．

(200)(1)0.4P P ηξ====，

(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，