(0分下载)2012考研数学必看：钻石卡学员才有的2012考研数学全程辅导
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2012 考研数学必看：很详细的考研数学全程辅导书选择及复习规划
1、课本：同济大学第六版《高等数学》+同济大学第四版《线性代数》+浙江大学第三版《概率论与数理统计》（用书时间：2011 年 1 月——2011 年 6 月）
2、高分辅导书：李永乐《复习全书》或原教育部命题组组长王式安《考研数学复习标准全书》李永乐《基础过关 660 题》或原教育部命题组组长王式安《基础经典习题 600 题》（时间：2011 年 3 月——2011 年 9 月）
3、辅导班讲义：中国考研数学辅导界顶级辅导名师讲义（时间：2011 年 7 月——2011 年 9 月）
4、大纲：最新考试大纲，主要是里面的样卷，很重要（时间：2011 年 8 月——2011 年 9 月）
5、真题解析：李永乐《考研数学历年真题解析》或原教育部命题组组长王式安《考研数学历年真题权威解析》（时间：2011 年 10 月——2011 年 12 月）
6、模拟题：原教育部命题组组长王式安王式安《最后冲刺 8 套卷》或李永乐《考研数学经典模拟 400 题》（时间：2011 年 11 月——2011 年 12 月）复习内容注意事项 1.把基础的基础一定掌握，尤其是公式要记牢 2.看概念和知识要点的时候，要把一些重点词句划出来；对于开始不太懂的，理解之后一定也把自己的理解写出来。主要是找出为什么当时不会或者思路不清，并相应解决相关知识点。
考研数学全程复习权威资料书及用书时间安排
（状元必备）
时间
把课本细看一遍，例题自己做，并研究例题思路记好笔记。课后题都做一遍，把不会的、第一阶做错的或者虽然做对但思路不清的做好记段：基础号。复习阶段第二次看课本，这次是简略回顾基础知识的 1 月—6 月情况下，重点解决第一阶段没有弄清的知识点，最重要的是把第一阶段做了记号的例题、课后题解决。做一下课本配套的习题用记号对题目进行标识： A:自己会做的 B:有正确思路，但不能完全写出来第二阶 C:没有思路或思路错误的。段：强化李永乐《复习全书》或原教育部命题组组长阶段王式安《考研数学复习标准全书》里面的所 7 月—9 月有题目都自己动手做，B/C 做好记号，并这过程中做好笔记，对冲刺阶段查缺补漏极为重要。比对课本，分析大纲。看看有没有新要求的知识点，回到全书批注，对新增、变知识点重点加强理解。李永乐《基础过关 660 题》或原教育部命题组组长王式安《基础经典习题 600 题》里面的所有题目都自己动手做， B/C 做好记号。并这过程中做好笔记。
发现仍存在的问题 1.对基础知识和概念一定用心领会和理解，不懂的回课本搞清楚。 2.对每道例题和习题，先动手做一遍，然后再对照书上的答案和解题思路总结和反省，好好把感受写在旁边。 3.做题时，对于第 B\C 种情况记下自己当时为什么做不出来，今后看到何种典型题目，应该具备何种反应和思路。
这一阶段一定要解决前面所有留下的问题。辅导班讲义：中国考研数学辅导界顶级辅导名师讲义一定要再亲自做 2 遍，这样增强复习效果。辅导班老师特别是有命题阅卷背景的名师总结的辅导资料极为重要，直接洞穿了命题规律和命题陷阱、考生弱点。真题模拟考场：李永乐《考研数学历年真题争取 3 天一套，严格按照时间来做。定第三阶解析》或原教育部命题组组长王式安《考研时（3h/套）
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段：真题数学历年真题权威解析》研究及冲刺模拟阶做模拟题，强化记忆。
选一本模拟题即可。原教育部命题组组长王式安王式安《最后冲段刺 8 套卷》，此书与真题同源，强烈推荐！ 10 月—12 月所有题都是原命题人员命制的，直击考题，整体难度比真题难一些。李永乐《考研数学经典模拟 400 题》，此书以常规题为主，难度方面，整体上比真题稍微难一些。课本+大纲+笔记第四阶自己看书，每看到一节，争取自己能回忆起段：状态相关知识点以及延伸，并在笔记上找出当初保持阶段做错的题目为了保持考场状态：要作题，不断的作题。 2012 年 1 月原教育部命题组组长王式安王式安《最后冲刺 8 套卷》或李永乐《考研数学经典模拟 400 题》可再重新做一遍熟练程度要求：就是看到题目就有思路，就能快速地写出来。
1.定时（3h/套） 2 打分清楚地了解自己的情况。 3.全面、系统、详细的总结.切忌草草看一遍答案，说声“原来如此” 4.每做几套，回头总结在哪些知识点，哪些章节，哪种类型的题目中容易出问题，分析原因，制订对策。此阶段是查缺不漏的阶段，千万别再陷入题海里！常规题型一定要会做。
1.不要过分强调做题数量：做题，尤其是做套题，是训练考试速度和准确度的有效手段，做套题后，必须好好总结，这样才可能使你做过的题目成为你掌握了的题目。
2.不要过分强调难题、偏题：真正的考题并不困难，绝大多数（甚至全部）都是常规题目。因此，我们在复习中需要提高的是常规题目的快速解题能力
2012 考研数学寒假学习计划明细
日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天第八天第九天第十天第十一天第十二天第十三天第十四天第十五天第十六天第十七天第十八天第十九天第二十天用时 7 小时 5 小时 6 小时 5 小时 9 小时《高等数学》课本第一章：函数与极限（第一节、第二节）第一章：函数与极限（第三节、第四节）第一章：函数与极限（第五节、第六节）第一章：函数与极限（第七节、第八节）第一章：函数与极限（第九节、第十节、总复习）《寒假配套 100 题》无无无无无无无无无无无无无无无1—20 题 21—40 题 41—60 题 61—80 题 81—100 题
10 小时第二章：导数与微分（第一节、第二节） 7 小时第二章：导数与微分（第三节、第四节） 6 小时 5 小时 5 小时 5 小时 5 小时 5 小时 5 小时 5 小时 6 小时 6 小时 6 小时 6 小时 6 小时第二章：导数与微分（第五节、总复习题 2）第三章：微分中值定理与导数应用（第一节）第三章：微分中值定理与导数应用（第二节）第三章：微分中值定理与导数应用（第三节）第三章：微分中值定理与导数应用（第四节）第三章：微分中值定理与导数应用（第五节）第三章：微分中值定理与导数应用（第六节）第三章：微分中值定理与导数应用（第七节）《寒假配套 100 题》《寒假配套 100 题》《寒假配套100 题》《寒假配套 100 题》《寒假配套 100 题》
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2012 考研数学寒假学习重要指导思想
标题具体要求
1、同济大学第五/六版《高等数学》上册
2、海文考研《寒假配套特训 100 题》 1、《高等数学》上册的一元微分学，即前三章 2、海文考研《寒假配套特训 100 题》 1、通过对教材《高等数学》上册的一元微分学，即前三章的复习理解大纲中要求的三基——基本概念、基本理论、基本方法。 2、通过学习海文考研《寒假配套特训 100 题》进一步巩固课本基础知识，练习考研基本题型。 1、把课本细看一遍，例题自己做，并研究例题思路记好笔记。课后题都做一遍，把不会的、做错的或者虽然做对但思路不清的做好记号。为下一阶段的复习
计划用书主要任务主要目标
复习方法
做好充分的准备。 2、通过学习海文考研《寒假配套特训 100 题》进一步巩固课本基础知识，自己动笔做题，把每个例题弄懂。为后续的复习打下一个扎实的基础。
注意事项计划用时
1.基础知识一定掌握，尤其是公式要记牢
2.看概念和知识要点的时候，要把一些重点词句划出来；对于开始不太懂的，理解之后一定也把自己的理解写出来。 1、同济大学第五/六版《高等数学》上册前三章：90 小时 2、海文考研《寒假配套特训 100 题》：30 小时《寒假配套特训 100 题》
特训题 1、解
x
设 f (e x ? 1) ? e2 x ? e x ? x ，求 f(x).
令 e ? 1 ? u ， x ? ln(u ? 1)
f (u) ? (u ? 1)2 ? (u ? 1) ? ln(u ? 1) ? u 2 ? u ? ln(u ? 1)
于是
f ( x) ?
求极限 lim
2
x?
x l n (x 1 ) ? ?
特训题 2、解： lim
sin x ? sin ? sin x ? ? sin x ? ? 4 x ?0 x
(sin x ? sin sin x)sin x sin x ? sin sin x cos x ? cos(sin x) ? cos x ? lim ? lim 4 3 x ?0 x ?0 x?0 x x 3x 2 cos x(1 ? cos(sin x)) sin(sin x) ? cos x ? lim ? lim 2 x?0 x?0 3x 6x sin x 1 ? lim ? x ?0 6 x 6
求 lim
特训题 3、解
3n ?1 ? 2n . n ?? 2n ?1 ? 3n
分子、分母用 3n 除之，
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2? 3?? ? ?3? ?3 原式＝ lim n n?? ?2? 2? ? ?1 ?3?
（注：主要用当 r ? 1 时， lim r ? 0 ）
n n ??
n
特训题 4、（1） lim
x ?0
求下列各极限
1? x ? 1? x x
原式＝ lim
x ?0
3
（2） lim
x ?0
1? x ? 3 1? x x
（1）解一
解二
1? x ? 1? x ? ? 1 ? x ?1? ? ? 1 ? x ? 1? 原式＝ lim
x
x ?0
1 ? x ? ? ?1 ? x ?
2 ?1 2
x
1 ? x? x ??? ?
2 等价无穷小量代换 ? 2 ? ?1 lim x ?0 x
解三用洛必达法则 1
? ?1? ? 1 ?? ? 2 1? x ? 2 1? x ? 原式＝ lim ?1 x ?0 1
（2）解一原式＝ lim
x ?0
x ? 3 1? x ? ?
??
2
1 ? x ? ? ?1 ? x ?
3
1? x
3
1? x ?
?
3
1? x ? ? ?
2
2 3
解二解三
类似（1）中解二用等价无穷小量代换类似（1）中解三用洛必达法则
（2） lim ?1 ?
n ??
?
1 ?? 1? ? 1 ? 1 ?
2 ???1 ? 2 ? 2 ?? 2 ??
3 ? ? n ? 1 ?? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ? ??1 ? ??1 ? ??
1 ? ??? 1 ? ?? 1 ? ?
2 ?? 2 ??
3 ?? 3 ? ? n ?? n ?
n ?1 n ? 1 n ?1 1 ? ? lim ? n ?? 2n n n 2
解
原式＝ lim ?1 ?
n ?? ?
＝ lim ? ? ? ? 特训题 5、求下列极限
x ?10
1 3
2 4 n ?? 2 2
3 3
2? （1） lim ?1 ? ? x ?? ? x?
1? x ?x （2） lim ? ? x ?0 1 ? x ? ?
x ?10
2? 解（1） lim ?1 ? ? n ?? ? x?
? 2 ??? ? lim ?1 ? ? ? ? ? x ?? ? ? x ??
10 ? ? x?
x ?? 2( x ?10) ? ? ? ?? ? 2 ?? ? x ?
x? ? ?? ? ? ?? ? 2 ??? 2 ? ? ＝ lim ? ?1 ? ? ? ? ? ? x ?? ?? ? x ?? ? ? ?
?2 ??1? ?
e?2
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1 x
（2）解一
1? x ? x ?0 lim ? ? ? ? 1 x ?0 1 ? x ? ? x lim ?1 ? x ?
x ?0
1 1
lim ?1 ? x ? x
1
lim ?1 ? (? x) ?? x ?0
1? ? ? ?( ?1) x?
e
e?1 ? e?2 e
解二
? ?2 x ? ? ? ?2 x ?? 1? x ? ? 1? x ? x ? 1 ? x ? 2x ? x lim ? ? e?2 ? ? lim ? ? ? lim ?1 ? ? ?? x ?0 1 ? x x ?0 x ?0 ? ? ? 1? x ? ? ? 1 ? x ??
求下列极限
cot x
4 x ?1
1? x ?? ?2 ? ? ?? ?
特训题 6、
x ?0
（1） lim(1 ? tan x) （3） lim(cos x)
x ?0
（2） lim x
x ?1
cot 2 x
解于是
（1）令
1 tan x ? t 则 cot x ? ，当 x ? 0 时 t ? 0 t
o t x
lim(1 ? tan x)c
x ?0
lim(1 ? t ) t ? e
t ?0
1
（2）令 x ? 1 ? t 则 x ? 1 ? t ，当 x ? 1 时， t ? 0 于是
lim x
x ?1
4 x ?1
1 ? ? ? lim(1 ? t ) ? lim ??1 ? t ? t ? ? e4 t ?0 t ?0 ? ? 4 t 4
cos2 x
（3） lim(cos x)
x ?0
cot 2 x
lim(1 ? sin x)
2 x ?0
2sin 2 x
lim ?1 ? (? sin x) ? ? ? x ?0 ?
2
1 ? sin
2 x
cos2 x ? ? ?2?
＝e 特训题 7、求下列极限（1） lim
n ??
1 2
k ?1
n
1 n
2 ? k n n ?n
2
（2） lim
n ??
n
k ?1
n
2
k ?n?k
解
（1）∵
k ?1
n
1 n ?k
2
n n2 ? 1
1 l i m ? 1 1? n 1 1 1?
2 n ?1 1
而
l i m
n ??
n n ?n
2
lim
n ??
n n2 ? 1
lim
n ??
由夹逼定理可知
lim ?
n ??k ?1
n
1 n ?k
2
1
（2）∵
1? 2 ?? ? n n k 1? 2 ?? ? n ?? 2 ? 2 2 n ?n?n n ? n ?1 k ?1 n ? n ? k 而
1 n( n ? 1 ) 1?
2 ? ? n ? 1 2i m l i m 2 ? l ? n ?? n ?? n n ? n ? 2n ( 2 ) 2 Generated by Unregistered Batch DOC TO PDF Converter 2011.3.124.1481, please register!
1 n(n ? 1) 1?
2 ?? ? n 1 2 lim 2 ? lim 2 ? n ?? n ?? n ? n ? 1 n ? n ?1 2
则夹逼定理可知
lim ?
n ??
k 1 ? 2 k ?1 n ? n ? k
2
n
特训题 8、分析
求 lim
n ??
n
k ?1
n
2
n . ? k2
如果还想用夹逼定理中方法来考虑
n n2 n n2 ?? 2 ? 2 2 n2 ? n2 k ?1 n ? k 2 n ? 1
而 lim
n2 1 n2 ? ， lim 2 2 ? 1 n ?? n 2 ? n 2 2 n?? n ? 1
由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑. 解
lim ?
n 1 n ? lim ? 2 2 n ?? n ?? n k ?1 n ? k k ?1
n
1 ?k? 1? ? ? ?n?
2
1? x
1
dx
2
arctan x 0 ?
1
4
1 1 ? sin n. 特训题 9、求 lim n 1 n?? sin 3 n
解离散型不能直接用洛必达法则，故考虑
lim
x ?0
x ? sin x sin 3 x
等价无穷小代换
lim
x ?0
x ? sin x x3
1 ? cos x sin x 1 ? lim ?
2 x ?0 x ?0 6 x 3x 6 1 ∴原式＝ . 6
＝ lim
特训题 10、
求 lim
e . x ?0 x10
1
1 x2
2 ? ? x2 1 ? 2 ?
3 ?e x e 0 ?x ? ? lim 12 （不好办了，分母 x 的次数反而增加）解若直接用“”型洛必达法则 1，则得 lim ，为了避 9 x ?0 x ?0 5 x 0 10 x 免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令
1 x
2 ? et l i m ? t ? ? ?? 5 t 5 t
1 ?t， x2
于是
e l i m1 0 ? x ?0 x
t ? ? ?
t ? l i(“”型) m ? e
5t 4 5! ＝ lim t ? ? ? lim t ? 0 t ??? e t ??? e
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特训题 11、求 lim ?
1 ? ?1 ? x ?. x ?0 ? x e ?1 ?
（“
解
1 ? (e x ? 1) ? x ?1 lim ? ? x ? ? lim x?0 ? x e ? 1 ? x?0 x(e x ? 1) ex ?1 ex ? lim x x?0 (e x ? 1) ? xe x x?0 e ? e x ? xe x
0 ”型） 0
＝ lim
＝ lim
1 1 ? x?0
2 ? x 2
求 lim(
x ?0
特训题 12、
1 cos
2 x ? ). sin 2 x x2
解
x 2 ? sin 2 x?cos 2 x 原式＝ lim x ?0 x 2 sin 2 x
1 x
2 ? sin 2 2 x 4 ＝ lim x ?0 x4 4 2 x ? sin 2 x cos 2 x 4 ＝ lim x ?0 4 x
3 1 x ? sin
4 x 4 ＝ lim x ?0 2 x3 1 ? cos 4 x 4sin 4 x 4 ＝ lim ? lim ? 2 x ?0 x ?0 6x 12 x 3
x 2 ? 1, x ? c ? 特训题 13、设函数 f ( x) ? ? 2 在 (??, ??) 内连续，则 c ? x ?c ?x, ?
解：1 分析：由 lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? c ? 1 ? ? ?
2 x ?c x ?c
.
2 ? c ?1 c
特训题 14、解
x ?0?
求 lim x ?
x ?0
sin 2 x
.
令y?x
x ?0 0
sin 2 x
， ln y ? sin 2 x ln x
lim ln y ? lim sin 2 x ln x ? 0 （见 2 中例 3） ?
x ?0
∴ lim y ? e ? 1 ? 特训题 15、解求 lim ? cos x ?
x ?0
cot 2 x
cot 2 x
（前面已用重要公式的方法）.
2
令 y ? ? cos x ?
x ?0
， ln y ? cot x ln cos x
lim ln y ? lim cot 2 x ln cos x ? lim
x ?0
ln cos x ln cos x ? lim 2 x ?0 tan x x ?0 x2
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0 ? tan x 1 ”型）＝ lim ? ? ，∴ lim y ? e 2 x ?0 x ?0 0 2x 2 1
（“
1 1? ? 特训题 16、求 lim ? sin ? cos ? . x ?? x x? ?
解
1 1? 1 1? ? ? 令 y ? ? sin ? cos ? ， ln y ? x ln ? sin ? cos ? x x? x x? ? ? x
1 1? ? ln ? sin ? cos ? ln(sin t ? cos t ) x x? lim ln y ? lim ? ? lim x ?? x ?? t ?0 1 t x
＝ lim
t ?0
cos t ? sin t ?1 sin t ? cos t
∴ lim y ? e
x ??
特训题 17、
求极限 lim
x ?0
1 sin x . ln x
2 x
解： lim
x ?0
1 sin x 1 ? sin x ? ln ? lim
2 ln ?1 ? ? 1? 2 x ?0 x x x x ? ?
lim
x ?0
sin x ? x cos x ? 1 sin x 1 ? lim ? ? lim ?? 3 2 x ?0 x ?0 6 x x 3x 6 求 lim
特训题 18、解
(1 ? cos 2 x) arctan 3x . x ?0 (e x ? 1) ln(1 ? 2 x)sin 5 x
用等价无穷小量代换
1 (
2 x)2 ?(3x)
3 2 原式＝ lim ? x ? 0 x ? x )? x ) (2 (5 5 1 x . 特训题 19、求lim x ?0 (1 ? cos x) ln(1 ? x) 3sin x ? x 2 cos
0 ”型，但分子、分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则. 0 1? ? sin x 3 ? x cos ? ? x 1 x ?3 原式＝ lim ? ? x ?0 1 ? cos x ln(1 ? x) ? ? 2 x ? ? 1 sin x ? x ? x3 6 . 特训题 20、求 lim 5 x ?0 x
解这个极限虽是“
x3 x5 ? ? o( x 5 ) 解∵ sin x ? x ? 3! 5!
（当 x ? 0 时）
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x5 ? o( x 5 ) 1 1 ∴原式＝ lim 5! 5 ? ? x ?0 x 5! 120
特训题 21、设 f ?( x0 ) ? 2 ，求 lim
x ?0
f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ? 2?x) . ?x
解
原式＝ lim
f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 )? ? ? f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 )?
x ?0
＝ 3 lim
x ?0
f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 2 lim ?x ?0 3?x ? ?2?x ?
＝ 3 f ?( x0 ) ? 2 f ?( x0 ) ? 5 f ?( x0 ) ? 10 特训题 22、解设曲线 y ? f ( x) 与 y ? sin x 在原点相切，求 lim nf ( ) .
n ??
2 n
由题设可知 f (0) ? 0 ， f ?(0) ? (sin x)?
x ?0
1
于是
2? f ? ?? f ( 0 ) n ?2? l i m ? ?? nf l ? m 2? i ? ? f? n ?? n ?? 2 ?n? ?0 n 设 a ? 0 ， x1 ? b ? 0 ， x2 ?
2
( 0 )
2
特训题 23、
1? a? 1? a ? ? 求 lim xn . ? x1 ? ? ，? xn ? ? xn?1 ? 2? x1 ? 2? xn?1 ? n??
解
∵ xn ?
a xn?1 ? ? a ? 0 （算术平均值≥几何平均值） xn?1
2 a ? xn 1? a ? xn ? ? ? xn ? ? 0 ，则 xn?1 ? xn ? 2? xn ? 2 xn
又 xn?1 ? xn ?
因此 ? xn ? 单调减少，又有下界，根据准则 1， lim xn ? A
n ??
存在
把 xn ?
1? a ? 1? a? ? xn?1 ? ? 两边取极限，得 A ? ? A ? ? 2? xn?1 ? 2? A?
n ??
A2 ? a ，∵A＞0，∴取 A ? a ，于是 lim xn ? a
特训题 24、求下列函数在分段点处的极限
sin 2 x ? x ? f ( x) ? ? 2 ? x ?1 ? cos x ?
解
x <0 x >0
sin 2 x sin 2 x ? lim 2 ?2 x ?0? x 2x
f (0 ? 0) ? lim ?
x ?0
f (0 ? 0) ? lim ?
x ?0
x2 x2 ? lim ?2 1 ? cos x x?0? 1 x 2 2
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∴ lim f ( x) ? 2
x ?0
1 ? ? x ?
2 ? e ? sin x ? . 特训题 25、求 lim 4 x ?0 ? x ? ? 1? ex ? ? ? 1 ? ?
2 ? e x sin x ? ? lim ? ? 2 ?1 ? 1 4 ? x ? 0? ? ? 1 ? e x ( ? x) ? ? ?
解
3 ? ? ?
4 ? 2e x ? e x sin x ? ? lim ? ? 0 ?1 ? 1 4 x ?0? ? x ? ? e? x ? 1 ? ? ?
1 ? ? x ?
2 ? e ? sin x ? ? 1 ∴ lim 4 x ?0 ? x ? ? 1? e x ? ? ?
特训题 26、
设 lim
x ?1
x 2 ? ax ? b ? 3 ，求 a 和 b. sin( x 2 ? 1)
2
解
由题设可知 lim( x ? ax ? b) ? 0 ，∴1+a+b=0
x ?1
再对极限用洛必达法则
x 2 ? ax ? b 2x ? a 2?a lim ? lim ? ?3 x ?1 sin( x 2 ? 1) x ?1 2 x cos( x 2 ?
1) 2
特训题 27、 f ( x) 连续， lim
x ?0
a ? 4,
b ? ?5
1 ? cos(sin x ) (e x ? 1) f ( x)
2
1 ，则 f (0) ? ?????????????????
解：
1 2
1 2 1 sin x 1 分析： lim 2 2 ? 1, 则 lim 2 ? 1 ，由 f ( x) 连续，则 f (0) ? x ?0 x f ( x ) x ?0 f ( x ) 2
特训题 28、讨论函数
1 ?e x x ? 0 ? f ? x ? ? ?0 x ? 0 ? 1 ? x sin x ?
0 x ?
在点 x ? 0 处的连续性。解因
f ? 0 ? 0 ? ? lim f ? x ? ? lim e x ? 0 ? ?
1
x ?0
x ?0
f ? 0 ? 0 ? ? lim f ? x ? ? lim x sin ? ?
x ?0 x ?0
1 ?0 x
f ? 0? ? 0
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即有 f ? 0 ? 0 ? ? f ? 0 ? 0 ? ? f ? 0? ，故 f ? x ? 在点 x ? 0 连续. 特训题 29、讨论函数
ì ln(1- x) ? ? x < 0 ? ? x ? ? ?1 f ( x) = ? x= 0 í ?2 ? ? ? 1+ x - 1 ? ? x > 0 ? ? x ?
在点 x ? 0 的连续性. 解
1 ln(1 ? x) ? lim ln(1 ? x) x ? ?1 x ?0? x
f ? 0 ? 0 ? ? lim ?
x ?0
f ? 0 ? 0 ? ? lim ?
x ?0
1 ? x ?1 1 1 ? lim ? ? x ?0 x 1? x ?1 2
x ?0
因 f ? 0 ? 0 ? ? f ? 0 ? 0 ? ，因而 lim f ? x ? 不存在，故 f ? x ? 在点 x ? 0 不连续.
ì sin x ? ? x 1 0 特训题 30、设 f ( x) = ? x 在 x = 0 处连续，求常数 k. í ? ? k x = 0 ? ?
解∵ lim f ? x ? ? lim
x ?0 x ?0
sin x ?1 x
f ? 0 ? ? k ，由连续性可知
特训题 31、求函数 f ( x) ? 解
3
k ?1
x ?1 的间断点，并确定其类型. x ?1
显然 x ? 1 是间断点，由于
3
lim
x ?1
x ?1 ＝lim x ?1 x ?1
1
3
3
x ?1
1 3
x ?1
3
x2 ? 3 x ? 1
＝ lim
x ?1 3
x2 ? 3 x ? 1
所以 x ? 1 是 f ? x ? 的可去间断点. 特训题 32、求函数 f ( x) ?
x2 ? 2 x 的间断点，并确定其类型. x ? x2 ? 4?
解所给函数在点 x ? 0 ，-2，2 没有定义，因此 x ? 0 ，-2，2 是所给函数的间断点.下面确定它们的类型. 对于 x ? 0 ，由于
f (0 ? 0) ? lim ?
x ?0
x( x ? 2) 1 x( x ? 2) 1 ? ? ， f (0 ? 0) ? lim ? ? x ?0 x( x ? 2)( x ? 2) ? x( x ?
2)( x ? 2) 2 2
故 x ? 0 是第一类间断点，且为跳跃间断点. 对于 x ? ?2 ，由于
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f (?2 ? 0) ? f (?2 ? 0) ? lim
x ??2
x( x ? 2) ?? x ( x ? 2)( x ? 2)
故 x ? ?2 是第二类间断点，且为无穷间断点. 对于 x ? 2 ，由于
f (2 ? 0) ? f (2 ? 0) ? lim ?
x ?2
x( x ? 2) 1 ? x( x ? 2)( x ? 2) 4
1 ，则 f ? x ? 在 x ?
2 连续. 4
故 x ? 2 是第一类间断点，且为可去间断点.若补充定义 f (2) ? 特训题 33、设 f ( x) 在 (??, ??) 内有定义，且 lim f ( x) ? a
x??
?1? x?0 ?f g ( x) ? ? ? x ? ? ? ?0 x?0 ?
则下列结论中正确的是（） (A) x ? 0 必是 g ( x) 的第一类间断点 (B) x ? 0 必是g ( x) 的第二类间断点 (C) x ? 0 必是 g ( x) 的连续点 (D) g ( x) 在 x ? 0 处的连续性与 a 的取值有关
解
1? lim g ( x) ? lim f ? ? ? lim f (t ) ? a x?0 x?0 ? x ? t ??
∴ a ? 0 时 x ? 0 是 g ( x) 的连续点， a ? 0 时， x ? 0 是 g ( x) 的可去间断点故选 D.
特训题 34、求 lim arctan ?
x?0
sin x ? ?. ? x ?
解
因 lim
sin x ? 1 ，而函数 y ? arctan u 在点 u ? 1 连续，所以 x ?0 x
sin x ? ? ? sin x ? ? lim arctan ? ?＝arctan ? lim ? ? arctan1 ? x?0 4 ? x ? ? x?0 x ?
特训题 35、设 f ( x) 在 x=2 处连续，且 f (2) ? 3 ，求 lim f ( x) ?
x ?2
4 ? ? 1 . ? 2 ? x ? 2 x ? 4? ?
解
由于 f ( x) 在 x=2 处连续，且 f (2) ? 3 ，所以 lim f ( x) ? 3
x?2
则 lim f ( x) ?
x?2
4 ? ( x ? 2) ? 4 1 ? 1 ? 2 = lim f ( x) ? lim f ( x)? x?2 x?2 x2 ? 4 ? x ? 2 x ?
4 ? x?2 ?
1 3 ? x ?
2 x ? 2 4
＝ lim f ( x)?lim
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特训题 36、证
设 f ( x) 在 [a，b ]上连续，且 f (a) ? a ， f (b) ? b ，证明： f ( x) ? x 在 (a，b) 内至少有一个根.
令 g ( x) ? f ( x) ? x ，可知 g ( x) 在 [a，b ]上连续，
g (a) ? f (a) ? a ? 0 g (b) ? f (b) ? b ? 0
由介值定理的推论，可知 g ( x) 在 (a，b) 内至少有一个零点，即 f ( x) ? x 在 (a，b) 内至少有一个根. 特训题 37、证求证：方程 e x ? e? x ? 4 ? cos x 在 (??, ??) 内恰有两个根.
令 f ( x) ? e x ? e? x ? cos x ? 4 ，它是偶函数，所以只需讨论 f ( x) 在 (0, ??) 内恰有一个根.
f (0) ? ?3 ? 0 ， f (2) ? e2 ? e?2 ? cos 2 ? 4 ? 0
f ( x) 在 ? 0, 2? 上连续，根据介值定理推论，至少有一个 ? ? (0, 2) ，使 f (? ) ?
0 .
又因为 f ?( x) ? e ? e
x ?x
sin x ? 0 ? x ? 0? ，所以 f ( x) 在 (0, ??) 内单调增加，因此， f ( x) 在 (0, ??) 内最多只有一
个零点，于是 f ( x) 在 (0, ??) 内恰有一个零点，由偶函数的对称性， f ( x) 在(??, ??) 内恰有两个零点，也即所给方程在 (??, ??) 内恰有两个根.
特训题 38、解
设 f ? x ? ? ? x ? a ? g ? x ? ，其中 g ? x ? 在点 a 处连续，求 f ? ? a ? 。
没有假设 g ? x ? 可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义f ? ? a ? ? lim
x ?a
f ? x? ? f ?a? ? x ? a?
g ? x? ? 0 ? lim x ?a x?a x?a
= l i gmx ? ? g ? a ? 。 ?
x ?a
特训题 39、解： y ? x ? 1.
曲线 sin ? xy ? ? ln ? y ? x ? ? x 在点 ? 0,1? 处的切线方程为 ????????????????? .
1 ?1 Fx y?x 分析：设 F ( x, y) ? sin( xy) ? ln( y ? x) ? x ，斜率 k ? ? ，在 (0,1) 处， k ? 1 ，所以切线 ? 1 Fy x cos( xy ) ? y?x y cos( xy ) ?
方程为 y ? 1 ? x ，即 y ? x ? 1 特训题 40、讨论函数
x x ? 0 y ? f ? x? ? x ? ? ? x x ? 0
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在 x0 ? 0 处连续性与可导性。解函数 y ? f ? x ? ? x 在 x0 ? 0 处连续，因为 f ?
0 ? ? 0
x ?0
x ?0?
lim f ? x ? ? lim f ? ? x ? ? 0 ?
lim f ? x ? ? lim x ? 0 ?
x ?0?
则
l i m? f x
x ?0
0 ? ??
但是，在 x0 ? 0 处 f ? x ? 没有导数，因为
f ?? ? 0 ? ? lim?
x ?0
0 ? ?x ? 0 ?y ? lim? ?x ?x?0 ?x ?x ?x ? lim?
x ?0
lim?
x ?0
x ? ?1 ?x
f ?? ? 0 ? ? lim?
x ?0
0 ? ?x ? 0 ?y ? lim? ?x ?x?0 ?x ?x ?1 ?x
lim?
x ?0
x ?x
lim?
x ?0
f ?? ? 0 ? ? f ?? ? 0 ? 曲线 y ? x 在原点的切线不存在（见上图）。
特训题 41、设函数
x 2 x ? 1 f ? x? ? ? ?ax ? b x ? 1
试确定 a、b 的值，使 f ? x ? 在点 x ? 1 处可导。解? 可导一定连续，? f ? x ? 在x ? 1 处也是连续的，由
f ?1 ? 0 ? ? lim f ? x ? ? lim x 2 ? 1 ? ?
x ?1 x ?1
f ?1 ? 0 ? ? lim f ? x ? ? lim ? ax ? b ? ? a ? b ? ?
x ?1 x ?1
要使 f ? x ? 在点 x ? 1 处连续，必须有 a ? b ? 1或 b ? 1 ? a 又 f ?? ?1? ? lim ? x ?1
f ? x ? ? f ?1? x2 ?1 ? lim ? lim ? x ? 1? ? 2 x ?1? x ? 1 x ?1? x ?1
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f ?? ?1? ? lim ?
x ?1
f ? x ? ? f ?1? a ? x ? 1? ax ? b ? 1 ? lim ? lim ?a ? ? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
要使 f ? x ? 在点 x ? 1 处可导，必须 f ?? ?1? ? f ?? ?1? ，即 2 ? a 故当 a ? 2，b ? 1 ? a ? 1 ? 2 ? ?1 时， f ? x ? 在点 x ? 1 处可导。特训题 42、求下列函数的导数：（1） y ? 1 ? x 2 ln( x ? 1 ? x 2 ) （1） y? ? （2） y ? cot 2 x ? arccos 1 ? x 2
1? x ?? ln ? x ?
2
1 ? x
2 ? 1 ? x 2 ln x ? 1 ? x 2
?? ?? ??
＝
? 1 x ln x ? 1 ? x 2 ? 1 ? x 2 ? ? 1? ? 2 2 ? ? x ? 1? x ? 1? x 1 ? x2 ? x ＝
x 1 ? x2
ln x ? 1 ? x 2 ? 1
（2） y? ? cot 2 x ? arccos 1 ? x 2
＝ ?2cot x csc2 x ?
1 1 ?1 ? x2
x
( ? x) 1 ? x2
＝ ??
2 cos x ? sin
3 x ?
2
? 2 ? x 1? x ?
特训题 43、
求下列函数的微分
（1） y ? e x sin （1） dy ? sin
x
2 2
（2） y ?
2
ln x ? cot x sin x
解
xde x ? e x d sin x ? 2 xe x sin xdx ?
cos x x2 ? dx e 2 x
2 ? cos x ? ? e x ? 2 x sin x ? ? dx ? 2 x ? ? ?
（2） dy ?
sin xd (ln x ? cot x) ? (ln x ? cot x)d sin x (sin x)2 1 ?1 2 ? ? ? csc x ? dx ? cos x(ln x ? cot x)dx sin x ? x ? ? 1 ? ? csc3 x ? cos x ln x ? cos x cot x ? dx ? x sin x ?
设 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? 100) ，求 f ?(50) .
＝
＝? 特训题 44、解令
g ( x) ?
x( ? 1 ) ? ? 2 ) ? ( x x ( x
4? ) ( ?9 x
1) 5 x
(
1 0 0 )
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则因此
f ( x) ? f ?( x) ?
(? x
5 0g) x( ) ?5 0g) x( )
g( ? ) ? (x x
f ?(50) ?
g (50) ? (50!)(?1)50 (50!) ? (50!)2
特训题 45、解设 f ( x) 可微， y ? f (ln x)e f ( x ) ，求 dy.
d y (f l n x)f (dx)? ? e
f ( x)
e
(dl fn
)x
＝ f ?( x)e f ( x ) f (ln x)dx ? ＝ e f ( x ) f ?( x) f (ln x) ? ?
1 f ?(ln x)e f ( x ) dx x
?
1 ? f ?(ln x) ? dx x ?
x
特训题 46、设 y ? y( x) 由方程 arctan( x 2 ? y 2 ) ? ye 解一
所确定，求
dy 和 dy . dx
对方程两边关于 x 求导，y 看作 x 的函数，按中间变量处理.
1 1 ? x
2 ? y 2
2
(2 x ? 2 yy?) ? y?e
x
y 2 x
e
x
2y y? ? ? 2 2 ?1 ? x ? y ?
2
e
x?
y ??2 xe ? ?
x
2x 1 ? x2 ? y 2
2
y 2 x y? ?
e
x
1 ? x
2 ? y 2
2
2x
2
1? x ? y
2
2y
2
e
x
1 ? x
2 ? y 2 2 ? ? 4 xx ? ? ? ? ? ?1 ? x 2 ? y 2 2 ? e x 4y x ? 2 x ? ? ? ? ye x
1 ? x
2 ? y 2 2 ? ? 4 xx ? ? ? ? 于是， dy ? dx 2 4 y x ? 2 x ?1 ? x 2 ? y 2 ?
e x ? ? ? ? ye
x
解二
对方程两边求微分，根据一阶微分形式不变性.
x?
d ?arctan( x 2 ? y 2 ) ? ? d ? y
e ? ? ? ?
?
x
1 1 ? x
2 ? y 2 2 1 ? x2 ? y 2
?
2
d x 2 ? y 2 ?
e x dy ? yde y 2 x
xdx ? ydy ? ? e 2?
x
dy ?
e x dx
2y ? ? 2 2 ?1 ? x ? y ?
2
e
x?
y dy ? ? ? ?2 x e ? ? ? ?
x
? dx ? 2? 1 ? x2 ? y 2 ? ? 2x
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2 4 y x ? 2 x ?1 ? x 2 ? y 2 ? e ? ? ? ? 2? 2 x ?1 ? x 2 ? y 2 ? ? ? ?
x
ye dy ?
x
1 ? x
2 ? y 2 2 ? ? 4 xx ? ? ? ? dx 2 2 x ?1 ? x 2 ? y 2 ? ? ? ? ?
1 ? x
2 ? y 2 2 ? ? 4 xx ? ? ? ? dy ? dx ?1 ? x 2 ? y 2 2 ? e x 4y x ? 2 x ? ? ? ? ye
x
于是
1 ? x
2 ? y 2 2 ? ? 4 xx ? ? dy ? ? ? 2 dx 4 y x ? 2 x ?1 ? x 2 ? y 2 ? e x ? ? ? ? ye
x
特训题 47、
求y? 3
x( x ? 1)( x ? 2) 的导数 y ? . ( x 2 ? 1)(e x ? x)
lxn ? ? ( 1?)x ?l n (2 ? x 2 ) ?
x l? (? n e?
解
1 l ny ? ? l x n ? 3?
x ) 1
l n (
)
对 x 求导，得
1 1 ?1 1 1 2x ex ?1 ? y? ? ? ? ? ?
2 ? x ? y
3 ? x x ?1 x ? 2 x ?1 e ? x ?
因此， y? ?
1 x( x ? 1)( x ? 2) 3 3 ( x
2 ? 1)(e x ? x)
1 1 1 2x ex ?1 ? ? ? ?
2 ? x ? ? ? x x ?1 x ? 2 x ?1 e ? x ?
特训题 48、设í
ì x = ln(1 + t 3 ) ? dy ? ，求 . ? y = t 2 sin t dx ? ?
解
dy dy 2t sin t + t 2 cos t = dt = dx dx 3t 2 dt 1+ t 3
(1+ t 3 )(2t sin t + t 2 cos t ) = (1+ t 3 )(2sin t + t cos t ) =
3t 2 3t
特训题 49、证明曲线 y ?
1 ? 1 ( x ? 0) 上任一点 ? x0 , ? 处切线与两坐标轴所围成的直角三角形面积恒为 2. x0 ? x ?
证
所求切线方程为 y ?
1 ?1 ?
2 ? x ? x0 ? x0 x0
令 y ? 0 ，得切线截 x 轴的截距 X ? 2 x0 ，令 x ? 0 ，得切线截 y 轴的截距 Y ?
2 ， x0
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直角三角形面积
S?
2? 1 1 XY ? (2 x0 ) ? ? ? 2 2 2 ? x0 ?
ì x = 1+ t 2 ? 特训题 50、求曲线 ? 在 t = 2 处的切线方程. í ? y = t3 ? ?
解
x0 ? 1 ? 22 ? 5 ， y0 ? 23 ? 8 .
dy 3t 2 3 = = t dx 2t 2
dy = 3 ，故切线方程为 y - 8 = 3( x - 5) dx t = 2
即
3x - y - 7 = 0
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2016-2017年考研数学二真题及答案
2016考研数学二真题及答案 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值 范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，αα α2 1 1 2 1 1x x ~ )cos (-是 α 2 阶无穷小，由题意可知??? ??>>121α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐 近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
2017年考研数学二试题及详解
2017年考研数学二试题及详解 一、选择题 （1 ）设1231),1a x a a =，则（ ）. A. 123,,a a a B. 231,,a a a C. 213,,a a a D. 321,,a a a 【答案】B 【解析】 2 11513 6 2 2311 01()22ln(11 13 x a x x x x a x x x a x +→=-=-=+== 当时， 所以，从低到高的顺序为a 2,a 3,a 1,选B. （2）已知函数2(1),1 ()ln ,1x x f x x x -
因此选择D. （3）反常函数①1 21x e dx x -∞?，②1 201x e dx x +∞?的敛散性为（ ）. A. ①收敛，②收敛 B. ①收敛，②发散 C. ①发散，②收敛 D. ①发散，②发散 【答案】B 【解析】①11 11 02011[lim lim ](01)1x x x x x x e dx e d e e x x --∞-∞→∞→=-=--=--=??收敛。 ② 1 1 1 110 20 00 11 [lim lim ]x x x x x x x e dx e d e e e x x + ∞ +∞+∞→∞ →=-=-=--=+∞? ?发散。 所以，选B. （4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ）. A. 函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 B. 函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 C. 函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 D. 函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 【答案】B 【解析】根据图像可知导数为零的点有3个，但是最右边的点左右两侧导数均为正值，因此不是极值点，故有2个极值点，而拐点是一阶导数的极值点或者是不可导点，在这个图像上，一阶导数的极值点有2个，不可导点有1个，因此有3个拐点 .
2012年考研数学二试题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目 要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 曲线221 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C 【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 （ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞ =，b 为常数）、垂直渐近线（0 lim ()x x f x →=∞）和斜渐 近线（lim[()()]0x f x ax b →∞ -+=，,a b 为常数）。 （iii ）注意：如果 （1）() lim x f x x →∞不存在； （2）() lim x f x a x →∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。 在本题中，函数221 x x y x +=-的间断点只有1x =±. 由于1 lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线. （而1 1(1)1 lim lim (1)(1)2 x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）. 又2 1 1lim lim 11 1x x x y x →∞→∞+ ==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0) f '= ( ) (A) 1 (1) (1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -
2018年考研数学二真题及答案
2018年考研数学二真题及答案 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1 若1) (lim 2 12 =++→x x x bx ax e ,则（ ） A 1,21-== b a B 1,21 -=-=b a C 1,21==b a D 1,2 1 =-=b a 2下列函数中不可导的是（ ） A. )sin()(x x x f = B.)sin()(x x x f = C. x x f cos )(= D.) cos()(x x f = 3设函数?? ???≥-<<--≤-=???≥<-=0 011 ,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若) ()(x g x f +在R 上连续，则（ ） A 1 ,3==b a B 2 ,3==b a C 1 ,3=-=b a D 2 ,3=-=b a 4 设函数 ) (x f 在 ] 1,0[上二阶可导，且 )(1 =? dx x f 则 （ ） A 当0 )(<'x f 时，0)21(
2017年考研数学二真题与解析
2017年考研数学二真题与解析
2017年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数 1cos 0(),0x x f x b x ->=?≤? 在0x =处连续，则 （A ）12ab = （B ）1 2 ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 【详解】 0001 1cos 12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f - →==，要使函 数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=，(0)1f =-，且()0f x ''>，则（ ） （A ）11()0f x dx ->? （B ）1 1 ()0 f x dx -? ? （D ）0 11 ()()f x dx f x dx -，则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然当[]1,0x ∈-时， ()21 f x x ≤--，当[]0,1x ∈时，()21f x x ≤-，而且两个式子的等号不 是处处成立，否则不满足二阶可导．所以 1 1 1 1 ()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=???．所以选择（B ） ． 当然，如果在考场上，不用这么详细考虑，可以考虑代一个特殊函数2 ()21 f x x =-，此时0 11011 (),()33 f x dx f x dx -=-=-? ?，可判断 出选项（A ），（C ），（D ）都是错误的，当然选择（B ）．希
2018年考研数学二真题
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 1.若()212 0lim 1→++=x x x e ax bx ，则A.1,12= =-a b B.1,12=-=-a b C.1,12= =a b D.1,12=-=a b 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是 A.()sin f x x x = B.( )sin f x x =C.()cos f x x = D.( )f x =3.设函数()()2,11,0,,10,1,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-?f x 时，102??< ??? f D.当()0''>f x 时，102??< ???f 5.设( )(22 22222211,,1,1ππππππ---++===++???x x x M dx N dx K dx x e 则A.>>M N K B.>>M K N C.>>K M N D.>>K N M 6. ()()2202121011x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=????A.5 3 B.5 6 ——印校园考研 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸． 指定位置上.
2017年考研数学一真题及答案(全)
2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续，则 (A) 12 ab =． (B) 12 ab =- ． (C) 0ab =． (D) 2ab =． 【答案】A 【详解】由0 1 lim 2x b a + →==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ． 【答案】D 【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则
2012年考研数学三真题及标准答案
２0１2年考研数学三真题 一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。下列每题给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。） (1)曲线y=x 2+x x2?1 渐近线的条数为 (Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。 【解析】 由lim x→+∞y=lim x→+∞ x2+x x2?1 =1=lim x→?∞ y=lim x→?∞ x2+x x2?1 ， 得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由lim x→1y=lim x→1 x2+x x?1 =∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线； 由lim x→?1y=lim x→?1 x2+x x?1 =1 2 得x=?1不是曲线的渐近线; 综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2)设函数f(x)=(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n)，其中n为正整数， 则f′(0)= （A）(?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)! （C)(?1)n?1(n)! (D）(?1)n(n)! 【答案】A 【解析】 【方法1】
令g (x )=(e 2x ?2)?(e nx ?n)，则 f (x )=(e x ?1) g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x ?1)g′(x ) f ′(0)= g (0)=(?1)(?2)?(?(n ?1)) =(?1)n?1(n ?1)! 故应选Ａ． 【方法2】 由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0 (e x ?1)(e 2x ?2)?(e nx ?n)x =lim x→0(e x ?1)x ?lim x→0(e 2x ?2)?(e nx ?n) =(?1)(?2)?(?(n ?1))=(?1)n?1(n ?1)!. 【方法3】 排除法，令n =2,则 f (x )=(e x ?1)(e 2x ?2) f ′(x )=e x (e 2x ?2)+2e 2x (e x ?1) f ′(0)=1?2=?1 则（B)(C)（D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A ） 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ = (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 (Ｂ) ∫dx 20 ∫f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2
2013年考研数三真题及答案解析(完整版)
2013年考研数三真题及答案解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、 １．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）)()(3 2 x o x o x =? （B ）)()()(3 2 x o x o x o = （C ）)()()(2 2 2 x o x o x o =+ （D ）)()()(2 2 x o x o x o =+ 【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2 3 3 2 x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是 )(2x o 故应该选（D ）． 2．函数x x x x x f x ln )1(1)(+-= 的可去间断点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x e x x x x ln ~11ln -=-， 1ln ln lim ln )1(1lim )(lim 0 ==+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点． 2 1 ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 0 1 1 = =+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→x x x x x x x x x f x x x x ln )1(ln lim ln )1(1lim )(lim 1 1 1 ，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的 可去间断点． 故应该选（C ）． ３．设k D 是圆域{ } 1|),(2 2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记??-=k D k dxdy x y I )(，则 （ ） （A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
2017数学2考研真题及答案详解
绝密★启用前 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二） （科目代码302） 考生注意事项 1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。 精选
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >，则（ ） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >
2017年考研数学二真题与答案解析
2017考研数学二真题及答案解析 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分） （1）若函数?? ? ??≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax x x f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21= ab 。 )(B 2 1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。 【答案】)(A 【解】a ax x f x 21 cos 1lim )00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(， 因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而2 1 = ab ，应选)(A 。 （2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（ ） ) (A ? ->1 10)(x f 。 ) (B ? -<1 1 0)(x f 。 )(C ??->10 1 )()(dx x f x f 。 )(D ??-<1 1 )()(dx x f x f 。 【答案】)(B 【解】取12)(2 -=x x f ，显然 ? -<1 1 0)(x f ，应选)(B 。 （3）设数列}{n x 收敛，则 （ ） )(A 当0sin lim =∞ →n n x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(B 当0)||(lim =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(C 当0)(lim 2 =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。 【答案】)(D 【解】令A x n n =∞ →lim ，由0sin )sin (lim =+=+∞ →A A x x n n n 得0=A 。 （4）微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=* y （ ） )(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。 )(B )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。 )(C )2sin 2cos (22x C x B xe Ae x x ++。)(D )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。
2012考研数学二真题及参考答案
2012考研数学二真题及参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C 【解析】：22 1lim 1 x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的 22 lim 11 x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1 (1) (1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1 (1) !n n -- （D ）(1)!n n - 【答案】：C 【解析】： '222()(2)()(1)(22)()(1)(2)() x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---L L L L 所以' (0)f =1 (1) !n n -- （3）设a n >0(n =1,2,…)，S n =a 1+a 2+…a n ，则数列(s n )有界是数列（a n ）收敛的 (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. 【答案】：(A)
【解析】：由于0n a >，则1n n a ∞=∑为正项级数，S n =a 1 +a 2 +…a n 为正项级数1 n n a ∞ =∑的前n 项 和。正项级数前n 项和有界与正向级数1 n n a ∞ =∑收敛是充要条件。故选A （4）设2 k x k e I e =? sin x d x (k=1,2,3),则有D （A ）I 1< I 2 0,(,)f x y y ??<0,f (x 1 ,y 1 )
2012考研数学模拟题带答案数学三
2012年考研数学模拟试题（数学三） 参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） (1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则2 )(lim x x x y x -→ （ ） （A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2. （D ）不存在. 解 20 00()()1 ()1 l i m l i m l i m (0)222 x x x y x x y x y x y x x →→→'''--''===， 将0x =代入方程，得2(0)(1)(0)(0)1y x y x y '''+-+=，又0)0(=y ，1)0(='y ，故(0 )2y ''=， 所以2 ()lim 1x y x x x →-=，选择B. （2）设在全平面上有0) ,(??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ） （A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >. （D ）21x x <，21y y >. 解 (,) 0(,)f x y f x y x ???关于y 单调增加， 当21x x >，21y y <时，112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y <<，选择A. （3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0
2017考研数学二真题及解析
2017年考研数学二真题及解析 一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定的位置上. (1) 若函数10(),0x f x ax b x ?->? =??≤? 在x =0连续，则 (A)12ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答】应选（A ） 【解】由连续的定义可知：0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，其中0 (0)lim ()x f f x b - →== ，2 0001 112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。 (2) 设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且()0f x ''>,则 (A) 1 1()d 0 f x x ->? (B) 1 2 ()d 0f x x -? ? (D)111 ()d ()d f x x f x x -
2017年考研数学一真题_最新修正版
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（ ） (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > ()s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆 （6）已知矩阵200021001A ????=?????? 2100200 01B ????=??????100020002C ????=??????，则（ ） (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似
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