借助向量求多元函数的最值问题
长春师范学院姜景宜
在有些二元函数求最值的问题中,构建向量模型,常常会使复杂的问题变得简洁明了,利用向量的坐标及向量的内积,会使繁琐的解题过程显得巧妙与自然,下面举例进行分析:
例1:已知:,求的最大值。
解:由已知,可取一定点M(3,2)
设N(x,y)为圆上任意一点,0为原点,
则OM=(3,2),ON=(x,y)
所以
那么
的最大值为
例2:已知:,求的最小值。
解:由已知,取一定点,M(1,1)
设N(x,y)为圆上的任意一点,0为原点。
则OM=(1,1),ON=(x,y)
所以
那么
又因为
所以
也就是
即
的最小值为8。
例3:已知,求的最小值。
解:由已知,可取一定点P(1,1)
再设,0为原点,
OP=(1,1)
所以
那么
的最小值为。
例4:已知:,求的最小值。
解:由已知,设,,O为原点。所以
那么
可得
因为
所以
那么
而
即
的最小值。
例5:已知,
求的最小值。
解:由已知,设点M(),N(),O为原点
则
所以
因为
所以
也就是
即,的最小值为2。
以上五道例题利用了向量独特的几何性质和代数运算的完美结合,即向量的内积,把复杂的、看似无从入手的代数问题转化为向量问题,这不仅有助于培养学生数形结合的数学思维,还会激励学生的发散思维,使其在以后的解题过程中,手法更具有灵活性和技巧性。
第十五章 多元函数的极限与连续性 §1 平面点集 1.设(){} ,n n n P x y =是平面点列,()000,P x y =是平面上的点. 证明0lim n n P P →∞=的充要条件是0lim n n x x →∞=,且0lim n n y y →∞ =. 2. 设平面点列{}n P 收敛,证明{}n P 有界. 3. 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域,并分别指出它们的聚点: (1)(){}2,|E x y y x = <; (2)(){}22,|1E x y x y = +≠; (3)(){},|0E x y xy = ≠; (4)(){},|0E x y xy = =; (5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+; (6)()1,|sin ,0E x y y x x ? ?==>????; (7)(){}22,|10,01E x y x y y x = +==≤≤或; (8)(){},|,E x y x y =均为整数. 4.设F 是闭集,G 是开集,证明\F G 是闭集,\G F 是开集. 5.证明开集的余集是闭集. 6.设E 是平面点集. 证明0P 是E 的聚点的充要条件是E 中存在点列{}n P ,满足 ()01,2,n P P n ≠= 且0lim n n P P →∞ =. 7.用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 8.用致密性定理证明柯西收敛原理. 9.设E 是平面点集,如果集合E 的任一覆盖都有有限子覆盖,则称E 是紧集. 证明紧集是有界闭集. 10.设E 是平面上的有界闭集,()d E 是E 的直径,即 ()()',''sup ',''P P E d E r P P ∈=.
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在(0,0)处的两个累次极限,并讨论在该点处的二重极限的存在性。 (1)y x y x y x f +-=),(; (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=; (3) y x y x y x f ++=23 3),(; (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 (1)2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→; (2)1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ; (3)2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→; (4)22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ,不妨设0|1|,0|2|<-<-y x , 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x , |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法,尤其是形如z=f (x 2-y 2 ,e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时,对一个变量求导时,将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ,z 为常数),32221z y x y y u ++=??(x ,z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则,即z=f (u ,v),u=u(x ,y),v=v(x ,y),有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种: (一)全部函数关系都给出:这时可按前边方法求偏导数,如求二元函数 )ln(2v u z +=,xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,,可以把u ,v 代入z 中,再求偏导数,即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy ),求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? (二)部分函数关系没有给出:此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ,x 2+y 3),
的一阶偏导数,则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ,v=x 2+y 3,用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=,23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则,有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数,是复合函数求偏导数的应用,方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ,z 为常数),32221z y x y y u ++=??(x ,z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t),y =y (t),z = z (t),在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ,则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ,y ,z)=0(或z=f (x ,y)),在曲面上的点P(x 0,y 0,z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ,则在点(x 0,y 0,z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000
第五章多元分布基础 前面所介绍的统计分析分法(除方差分析、回归分析),大多是适用于一个变量的总 体,一般称为一元统计分析方法。但在许多实际问题如在工农业生产(提高产品质量、降低成本、提高农作物产量及改进品种等),国民经济和科学研究领域(经济管理、金融、气象、地质、生物、医学、航天技术等)中,常常要处理多个变量的观测数据,即要研究多维随机变量的分布、数字特征及变量间的关系。如果仍用一元统计方法分别对每一个变量进行分析,这样往往忽视了各方面之间存在的相关性,一般来说会丢失很多信息,分析的结果不能客观全面地反映情况.如果说一元统计分析是研究一个随机变量统计规律性的数学方法,那么多元统计分析则是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律性的数学方法。 多元统计分析方法是以概率论、线性代数及一元统计方法为基础的数理统计学的一个分支。随着计算机的发展,特别是统计软件的应用,多元统计分析方法才被广泛的应用到解决实际问题中,本身也得到了迅猛的发展。 5.1多元分布 一、多元分布的概念 1. 分布函数 定义5.1.1设)',,,(21p X X X =X 是一随机向量,它的(多元)分布函数是 )(x F =),,,(21p x x x F =),,(11p p x x P ≤≤X X (5.1.1) 式中,),,,(' 21p x x x x =p R ∈,并记成X ~),,,(21p x x x F 多元分布函数的性质: Ⅰ),,,(21p x x x F 是每个变量x i (i =1,…, p )的非降右连续函数; Ⅱ1),,,(021≤≤p x x x F ; Ⅲ=-∞),,,(2p x x F ==-∞ ),,,(1p x x F ),,,(21-∞ x x F =0; Ⅳ1),,,(=∞∞∞ F 。 本章主要对连续型的多元分布进行讨论,离散型的的多元分布常用的有如:多项式分布、多元超几何分布。 2.两个常用的离散性多元分布 (1)多项分布 (2)多元超几何分布 3.多元分布密度函数