命题与证明讲义
主题：预初：命题与证明
一、知识点：
命题:
1.一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．
2.注意事项：（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命
题；（2）必须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一。
3.须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一。
注意：句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．
命题的结构:
1.命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
2.命题的条件和结论不明显时，一般先添上省略掉的词语，再进行分析，这样易于分辨。在改写过
程中，不能简单地把条件部分和结论部分分别在“如果”，“那么”后面，要适当的增减词语，保证句子通顺而不改变愿意，同时也可以结合图形进行分析。
3.有些命题的条件和结论不一定只有一个，此时要注意分清它们的条件和结论。
真命题和假命题：
1.正确的命题称为真命题，不真确的命题称为假命题。
2.要判断一个命题是真命题，可以通过实践是方式，也可以通过推理的方式，即根据已知事实来推
断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后公认的真命题，如“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”等，判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。
公理，定理：
1.经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。
例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”。用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
2.公理是不需要堆理论证的真命题，它可以作为判断其余命题真假的原始依据。
3.定理都是真命题，但并不是所有的真命题都能作为定理，定理可以作为判断其他命题真假是依据。
二、例题讲解：（解题技巧）
类型一：
例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
（1）对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等；
（４），两条直线平行吗? (5)鸟是动物；(6)若，求的值；(7)若，则．
思路点拨:通过本题熟悉命题的定义
解析：句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的．
总结升华：数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究数学命题。
举一反三：
【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?
(1)若a＜b，则；(2)三角形的三条高交于一点；
(3)在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗?(4)两点之间线段最短；
(5)解方程；(6)1＋2≠3．
【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．
类型二：
例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；
(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；
(5)三角形的内角和等于180°；(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．
思路点拨:找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．
解析：（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．
（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．
（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．
（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；
(6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。”
总结升华：注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。
例1．证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直．
证法(一)：∵a⊥c，(已知)
∴∠1=90°．(垂直的定义)
∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2，(两直线平行，同位角相等)
∴∠2=90°，(等量代换)
∴b⊥c．(垂直定义)
证法(二)：∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2．(两直线平行，同位角相等)
∵a⊥c，(已知)
∴∠1=90°，(垂直定义)
∴∠2=90°，(等量代换)
∴b⊥c．(垂直定义)
例2. 证明：邻补角的平分线互相垂直。
已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°
OE平分∠AOB，OF平分∠BOC
求证：OE⊥OF
分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF=90°，即∠1+∠2=90°即可
证明：∵OE平分∠AOB
∴∠1=∠AOB，同理∠2=∠BOC
∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=∠AOC=90°，∴OE⊥OF(垂直定义)
三、课堂练习
【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假．
(1)对顶角相等；(2)两直线平行，同位角相等；
(3)若a=0，则ab=0；(4)两条直线不平行，则一定相交；
【答案】(l)对顶角相等(真)；相等的角是对顶角(假)；不是对顶角不相等(假)；不相等的角不是对顶角(真)．
(2)两直线平行，同位角相等(真)；同位角相等，两直线平行(真)；
两直线不平行，同位角不相等(真)；同位角不相等，两直线不平行(真)．
(3)若a=0，则ab=0(真)；若ab=0，则a=0(假)；若a≠0，则ab≠0(假)；若ab≠0，则a≠0(真)．
(4)两条直线不平行，则一定相交(假)；两条直线相交，则一定不平行(真)；
两条直线平行，则一定不相交(真)；两条直线不相交，则一定平行(假)．
【变式2】判断正误：
(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。（）
(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。（）
(3)如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。（）
(4)如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补角。（）
(5)如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。（）
(6)如果两个角的和是180°，那么这两个角是邻补角。（）
(7)对顶角的角平分线在同一条直线上。（）
(8)如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这两个角是对顶角。
例2. 如图所示，已知：∠A=∠F，∠C=∠D，求证：BD∥CE
例1.求证：两个对顶角的平分线在同一直线上
四、总结：
通过以上的题组训练说明初中和小学的不同，第一需要举一反三，第二需要吃透定义，第三需要认真仔细审题，找准方法而不是单纯的模仿。
五、回家作业
选择题：
1．下列语句中，不是命题的是（）
两点之间线段最短. (B) 直线AB//CD.
钝角和锐角之差等于直角. (D) 三点确定一个圆.
2．下列命题中，
⑴两个角对应相等的两个三角形相似.
⑵两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
⑶如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
⑷两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 被作为公理的有( )
(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个
3．下列命题中，有（）假命题
⑴经过两点有且只有一条直线. ⑵三角形任一外角等于两个内角的和.
⑶面积相等的两个三角形全等. ⑷有两条边分别相等的两个等腰三角形全等.
⑸等角的补角相等. ⑹三边对应平行的两个三角形全等.
(A) 5个 (B) 4个 (C) 3个 (D) 2个
4．下列命题中，有（）真命题
⑴互为补角的两个角的平分线互相垂直.
⑵三角形的三个内角与三个外角的和为540度.
⑶有一边相等其余两边对应平行的两个三角形全等.
⑷有一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等.
(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个
5．根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）；
两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；
在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
2012夏八年级数学辅导
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D A'B'C'D'
已知：如图?ABC 和?A /B /C /
中，
AB =A /B /，BC =B /C /，AD 、A /D /分别是BC 、B /C /边上的中线且AD=A /D /.
求证: ?ABC ≌?A /B /C /
不等式证明方法讲义.doc
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相似三角形的判定及证明技巧讲义
- 1 - / 4 相似三角形（三） 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1.相似三角形的基本图形 2.相似三角形判定定理（3条） 3.相似三角形的具体解题方法 1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF。
A D E F B C
2.过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的 延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． - 2 - / 4 (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代
高中数学全套讲义 选修1-2 证明方法中档 学生版
目录 目录 (1) 考点一分析法和综合法 (2) 课后综合巩固练习 (3)
考点一分析法和综合法 1．分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可表示为： [Q?P1]→[P1?P2]→[P2?P3]→…→[得到一个明显的成立条件]． 2．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可表示为： [P?Q1]→[Q1?Q2]→[Q2?Q3]→…→[Q n?Q]． 3．分析法和综合法的区别 综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述． 1．（2019春?滁州期末）只要证1020 +， 5，只要证：2125 <．这种证明方法是() A．反证法B．分析法C．综合法D．间接证法 2．（2018春?未央区校级期中）可选择的方法有以下几种，其中最合理的是() A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法3．（2018春?湖北期中）以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①-分析法，②-反证法 B ．①-分析法，②-综合法 C ．①-综合法，②-反证法 D ．①-综合法，②-分析法 4．（2018春?龙华区校级期中）已知函数()|sin |f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三 个交点，交点的横坐标的最大值为α，2 1,34cos A B sin sin ααααα +==+令．则( ) A ．A B > B ．A B < C ．A B = D ．A 与B 的大小不确定 课后综合巩固练习 5．（2018春?龙岗区期末）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a b c >>，且 0a b c ++=””索的因应是( ) A ．0a b -> B ．0a c -> C ．()()0a b a c --> D ．()()0a b a c --< 6．（2017春?菏泽期中）命题：“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的证明过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．综合法与分析法结合使用 D ．演绎法 7．（2016?石景山区一模）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整 数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即)2 n ；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31)n +，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注:1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为( ) A ．4 B ．6 C ．32 D ．128 8．（2016春?邹平县校级期中）若a b c >>，则使11k a b b c a c +---恒成立的最大的正整数
三角形的证明讲义
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D C B A F E 121、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为 ____ 。 2、如图在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥AC ，∠BAC = 100°。求：∠1、∠B 的度数。 3、如图，已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。求证：AD = BC 。 4、如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠ C = 29°，求∠A 。 5.如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，且DE ⊥AB ，DF ⊥ AC 。 求证：∠1 =∠2。 总结一下： 1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）； 2、推论（三线合一）： 第二篇章 1、 如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC ，连接AE 、BE 、CE ，且BE = CE ，延长AE ，交BC 边于点D 。求证：AD ⊥BC 。 2、已知：如图，点D,E 在三角形ABC 的边BC 上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE 3、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C,求证：AB=AC （提示：构造两个全等三角形证明） 归纳：1、有两个角相等的三角形是______三角形。（简称“等角对等边”） 推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边) 2、反证法证明问题的一般步骤： 从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 __ ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 __ 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 ____ 。 1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 2.如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形。 321A B C D A B C D E F D C B A C B A E A B C D
推理与证明讲义
1．1 归纳推理 【学习要求】 1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理． 2．了解归纳推理在数学发展中的作用． 【学法指导】 一，基础知识回顾： 归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养 1．归纳推理定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理． 2．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论． 3．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定 正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理． 二，问题探究 探究点一：归纳推理的定义 例1：在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？ 答：根据一个或几个已知的命题得出另一个新的命题的思维过程就叫作推理． 变式迁移1：观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 16＝5＋11…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863……猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．回答 ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？②其结论一定正确吗？ 答：①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确． 小结 归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． 探究点二：归纳推理在数列中的应用 例2：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由． 解：在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25 ，…，所以猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1 ＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12 ，所以数列??????1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，所以通项公式a n ＝2n ＋1 变式迁移2：已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…) (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . 解：(1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3， a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. (2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1， a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．
第一章三角形的证明复习资料
精品文档 《第1章三角形的证明》复习资料 知识点： 一、全等三角形的判定及性质 性质：全等三角形对应角相等、对应边相等 判定：①判定一般三角形全等：（SSS、SAS、ASA、AAS）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 推论：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合（即“三线合 一”）． 等边三角形的性质及判定定理 性质：等边三角形的三个角都相等，每个角都等于 60°；等边三角形是轴对图形，有 3 条对称轴. 判定：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 222a?bc。tp://w ww.xk =、b、c，则如果直角三角形的两直角边长和斜边分别为为a222a?bc，那么这个=a、b、c满足关系勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长三角形是直角三角形。常见的勾股数有：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 2.含30°的直角三角形的边的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 四. 线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 精品文档． 精品文档 . 垂直平分线上判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 . 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等角平分线五. 的距离相等；角两边性质：角平分线上的点到 . 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
证明(三)经典讲义
证明（三）主要知识点： 一、三角形 按角分 三角形 按边分 二、四边形 1. 知识结构如下图 （1）弄清定义及四边形之间关系图1： （2）四边形之间关系图2： 四边形 正方形 两腰相等 有一个角是直角 直角梯形 平行四边形 矩形菱形 正 方 形 等腰梯形直角梯形 梯形 四边形 直角三角形 钝角三角形 三条边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形（正三角形） 1
2、几种特殊的四边形的性质和判定： 2
3 3、一些定理和推论： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 推论：夹在两平行线间的平行线段相等。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 4、一些思想方法： ⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。 ⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。 ⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。 ⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。 ⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。 ⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。 5、注意： ⑴四边形中基本图形 ⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形 ) ⑶菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。
相似三角形详细讲义
知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：
BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若
四边形证明(讲义及答案)
四边形证明（讲义） 知识点睛 菱形 精讲精练 1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接 CD．求证：四边形ABCD是菱形． O A E B C F D 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG， CD的中点，连接DE，FG，DG． （1）求证：四边形DEGF是平行四边形； （2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形． 3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点 E，使OE=DO，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由． O E D C B A A D F E B G C
4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在 DE 上，且AF =CE =AE ． （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由． F E D C B A 5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延 长线于点F ，连接CF ．若 AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论． F E D C B 6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ． （1）求证：BE =DF ； （2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论． M O F E D C B A
北师版八年级数学下册第一章三角形的证明易错题进阶辅导讲义
北师版八年级数学下册第一章三角形的证明易 错题进阶辅导讲义 北师版八年级数学下册第一章三角形的证明易错题进阶辅导讲义1 【第一阶梯】 【专题一】等腰三角形的内角 题目 1．（2021秋?农安县期末）等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是（） A．50° B．50°或65° C．80° D．65° 2．（2021秋?平南县期末）等腰三角形的一个角为50°，则它的底角为（） A．50° B．65° C．50°或65° D．80° 3．（2021秋?昆山市校级期末）已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 4．（2021秋?连城县期末）等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为．【专题二】等腰三角形的边的 题目
5．（2021秋?太仓市期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（） A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm 6．（2021秋?顺义区期末）若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（） A．22 B．17 C．13 D．17或22 7．（2021春?洛宁县期末）等腰三角形两边长分别为5和7，则它的周长是（） A．19 B．11 C．17 D．17或19 8．（2021秋?余干县期末）如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（） A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定 9．（2021春?道里区期末）如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（） A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm 10．（2021秋?如东县期末）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为2，则它的周长等于（） A．8 B．7 C．8或5 D．8或7
立体几何平行证明问题讲义教师
立体几何平行证明问题讲义 （一）平行的问题 一“线线平行”与“线面平行”的转化问题 （一）中位线法：当直线上没有中点，平面内有一个中点的时候，（如例1求证：PB//平面AEC P 、B 为顶点，平面AEC 内E 为中点）采用中位线法。 具体做法：如例1,平面AEC 的三个顶点，除中点E 夕卜，取AC 的中点0,连接EQ 再 确定由直线 PB 和中点E 、O D 确定的 PBD （连接 PBD 的第三边BD ），在 PBD 中，E0为 PB 的中位线。a 【习题巩固一】 1. （2011天津文）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，0为AC 中点 M 为PD 中点.（I ）证明：PB//平面ACM ; 规范写法： a//b,a ,b , b// 例1如图，在底面为平行四边形的四棱锥 求证：PB//平面AEC ； P ABCD 中，点E 是PD 的中点 . 例2三棱柱ABC ABiG 中，D 为AB 边中点。求证: AG // 平面 CDB ,; b A B 1 B A C B
21. （2013年高考课标U卷（文））如图,直三棱柱ABC-ABG中,D是AB的中点.（1）证明 BC// 平面A i CD; 2. （2011 四川文）如图，在直三棱柱ABC —A1B1C1 中，/ BAC=90° AB=AC=AA i=1 ,延长A i C i 至点P,使C1P = A1C1，连接AP交棱CC1于D . 求证：PB1//平面 BDA1； （二）平行四边形法：当直线上有一个中点（如例1证明：FO//平面CDE ；O为中点）采用平行四边形法。 具体做法：FO先与E连接（原因是ECD的三个顶点E、C D中只有E与已知平行条件EF//BC有关）,再与ECD的另两个顶点CD的中点M相连，构成平行四边形FOE（原因是EF//OM, EF=OM,从而FO//EM。 规范写法（如图）： EF//GH,EF GH , EFGH 是平行四边形EH//FG,EH ,FG , EH // 例1【天津高考】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF〃〔BC . （1）证明：FO//平面CDE ; 2
初二三角形的证明培优同步讲义
学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识梳理 1、等腰三角形的性质定理 （1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定定理
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形的性质和判定方法 定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 7、逆命题、逆定理 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。 8、斜边、直角边定理 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。 9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 10、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理） 定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 11、三角形三条边的垂直平分线的性质 性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。 12、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 13、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 14、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
人教版八年级上册全等三角形证明过程训练(讲义及答案)
全等三角形证明过程训练（讲义） ? 课前预习 1. 判定三角形全等的方法有______，______，______，______． 要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____． 2. 在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化， 请学习下图中的标注． ①如图1，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ． ②如图2，在四边形ABCD 中，连接BD ，∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，∠A =∠C ． ③如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，BD 相交于点O ，AO =OC ，BO =DO ． D C B A × ×A B C D O A B C D 图1 图2 图3 3. 数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后， 完整书写过程． 如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB ∥CD ），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数． 321 D C B A
? 知识点睛 1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________． 2. 已知：如图，在△ABC 与△A′B′C′中，∠C =∠C′=90°，AB =A′B′，AC =A′C′． 求证：△ABC ≌△A′B′C′． C' B'A' C B A 证明：如图， 在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中 AB A'B' AC A'C' =?? =?（已知）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′（HL ） ? 精讲精练 1. 如图，AC =AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，则___________ ≌___________，从而BC ________BD ．
A证明(二)经典讲义
第一章 知识要点 1. （1）三角形全等的性质（公理）：全等三角形的对应边相等，对应角也相等 . B F （2）三角形全等的判定（公理及推论）：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、 2. 等腰三角形的判定、性质及推论 (1)性质定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） . A B C (2)推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）. A B C D (3)判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 3. 等边三角形的性质及判定定理 （1）性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 °. B C B C
①有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形 . B C ②三个角都相等的三角形是等边三角形 . 4. 直角三角形 (1)勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 . A B C (2)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 . A B C (3)含30°角的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . (4)判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ） A C E 5. 线段的垂直平分线 . A B A B C
A B (3)三角形三边垂直平分线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 . 6. 角平分线 (1)性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. B (2)判定定理：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上 . B (3)三角形三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 . B C 7. 尺规作图（基本作图） （1）用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于 AB 的长为半径作弧，两弧交于点C 、D 两点；作直线CD ，则直线CD 就 是线段AB 的垂直平分线.
最新全等三角形证明基础知识梳理及证明
高坪剑桥英语一对一讲义：第一讲 全等三角形证明基础知识梳理及证明 一、填空题 1．_ ____的两个图形叫做全等形. 2．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质． 3．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF 的对应角是_____． 图1－1 图1－2 图1－3 4．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____ （2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____； （3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____． 5．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°． 6．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 二、选择题 7．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（） A．DB B．BC C．CD D．AD 8．下列命题中，真命题的个数是（） ①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等 ③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等 A．4B．3C．2D．1 9．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（） A．6 B．5C．4D．无法确定 图1-4 图1-5 图1-6 10．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC 11．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25° 三、解答题 12．已知：如图1－7所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．
命题与证明讲义
主题：预初：命题与证明 一、知识点： 命题: 1.一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题． 2.注意事项：（1）命题通常是一个陈述句，包括肯定句和否定句，而疑问句和命令性语句都不是命 题；（2）必须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一。 3.须是对某一事件作出肯定或否定的判断，两者必具其一。 注意：句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系． 命题的结构: 1.命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 2.命题的条件和结论不明显时，一般先添上省略掉的词语，再进行分析，这样易于分辨。在改写过 程中，不能简单地把条件部分和结论部分分别在“如果”，“那么”后面，要适当的增减词语，保证句子通顺而不改变愿意，同时也可以结合图形进行分析。 3.有些命题的条件和结论不一定只有一个，此时要注意分清它们的条件和结论。 真命题和假命题： 1.正确的命题称为真命题，不真确的命题称为假命题。 2.要判断一个命题是真命题，可以通过实践是方式，也可以通过推理的方式，即根据已知事实来推 断未知事实，也有一些命题是人们经过长期实践后公认的真命题，如“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”等，判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。 公理，定理： 1.经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。 例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”。用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 2.公理是不需要堆理论证的真命题，它可以作为判断其余命题真假的原始依据。 3.定理都是真命题，但并不是所有的真命题都能作为定理，定理可以作为判断其他命题真假是依据。 二、例题讲解：（解题技巧） 类型一： 例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？ （1）对顶角相等；(2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； （４），两条直线平行吗? (5)鸟是动物；(6)若，求的值；(7)若，则．
三角形讲义--角
第二讲三角形的角 一、教学内容 1.理解三角形内角、外角的概念； 2.探索并证明三角形的内角和定理； 3.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； 4.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 5.能够运用三角形内角和定理解决简单问题. 二、思维导图 三、知识重难点 考点：三角形内角、外角的概念. 重难点：能够运用三角形内角和、外角和定理解决简单问题. 易错点： 三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，但每个顶点处只算一次，因此三角形共有三个外角．
模块一三角形的内角 一、教学内容 1、三角形的内角 三角形的内角： 2、三角形的内角和 三角形内角和定理． 直角三角形中，． 二、例题精讲 【例1-1】如图，△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C 等于（）A．100°B．80° C．60°D．40° 【例1-2】△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠A：∠B：∠C=2：3：7，则这个三角形是（） A.锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形 【例1-3】在△ABC 中，∠A=2∠B=80°，则∠C 等于（） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 练1-1．下列图形中的x＝． 练1-2．在△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C 等于（） A．45°B．60°C．75°D．90° 练1-3. 在△ABC 中，∠A+∠B=130°，∠A－∠B=30°，则△ABC 中最大角等于（）A.50° B. 60° C.70° D. 80°
练1-4. 如图，AC⊥BD，∠1＝∠2，∠D＝40°，则∠BAD 的度数是（）A．85°B．90° C．95°D．100° 【例2】如图，△ABC 为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 等于（） A．90°B．135° C．150°D．270° 练2-1. 如图，将直角三角形沿虚线截去顶角后，则∠1+∠2 的度数为（）A．225°B．235° C．270°D．300° 练2-2. 如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=( ) A.360° B.250° C.180° D.140° 【例3-1】如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线BE，CD 相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BFC 的度数
三角形的证明(二)经典讲义
第 1 页 共 11 页 图2 图1 A B C D O O D C B A 第二章三角形的证明 1．等腰三角形 一、主要知识点 1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形 的性质是对应边相等，对应角相等。 2、 等腰三角形的有关知识点。 等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 3、 等边三角形的有关知识点。 判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60°的三角形是等边三角形； 有两个叫是60°的三角形是等边三角形。 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果， 从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 二、重点例题分析 例1: 如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD ⊥BC ，交∠ABC 的平分线于点D ，求证：MD =M A . 例2 如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD . 例3： 如图：已知AB=AE ，BC ＝ED ，∠B ＝∠E ，AF ⊥CD ，F 为垂足, 求证: ① AC ＝AD ； ②CF ＝DF 。 例4 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o， （1）在图1中，AC 与BD 相等吗？请说明理由（4分） （2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？
八下数学第一章三角形的证明讲义讲解
第一章三角形的证明 1.1等腰三角形（一） 一、问题引入：列举我们已知道的公理：. （1）公理：同位角，两直线平行. （2）公理：两直线，同位角. （3）公理：的两个三角形全等. （4）公理：的两个三角形全等. （5）公理：的两个三角形全等. （6）公理：全等三角形的对应边，对应角. 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理. 二、基础训练： 1. 利用已有的公理和定理证明： “两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.” 2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ （2)等边对等角三线合一 三、例题展示： 在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC， 试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想. 四、课堂检测： 1. 如图，已知：AB∥CD，AB=CD， 若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个 条件，下列条件中，哪一个不能使 △ABE≌△CDF的是（） A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF. 2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.
3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为. （2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为. 4. △ABC中，AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数. 5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE 中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G 是垂足，求证： （1）G是CE中点. （2）∠B=2∠BCE. 1.1 等腰三角形（二） 一、问题引入： 1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一 些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？
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