,
所以若，则函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，从而f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(a)=a 2+1。
若，则函数f(x)在(-∞,a]上的最小值为，且；
当x≥a 时，函数；
若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为，且。
若，则函数f(x)在[a,+∞)上的最小值为f(a)=a 2+1。
综上，当时，函数f(x)的最小值是；
当时，函数f(x)的最小值是a 2+1；
当时，函数f(x)的最小值是
。
(2005上海高考题)对定义域分别是
,f
g
D D
的函数(),()y f x y g x ==.规定：
函数()(),,
()(),(),
f g
f g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ?∈∈??
=∈???
∈???当且当且当且
（I ）若函数21
(),()1
f x
g x x x =
=-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的最大值；
注：分段函数的最值求解的方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的。
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
222(10)
.()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤?
222(10)
.()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤?
222(12)
.()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤?
226(12)
.()3(24)
x x x D f x x -≤≤?=?-<≤?
【解析】
当[2,0]x ∈-时, 12
1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下
平移
1
个单位, 得解析式为1122
(2)111y x x =-+-=
-, 所以
()22([f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2
y x
个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以
12
()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得222(10)
()2(02)
x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A .
5．作分段函数的图像 例5．函数|ln |
|1|x y e
x =--的图像大致是（ ）
A
C
D
例9．已知函数f(x)=|x 2-2x-3|的图象与直线y=a 有且仅有3个交点，求a 的值。
解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,
∴
由图象易知a=4。
注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数解析式，更简单。
6．求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x
f x =-, 设
()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.
【解析】
设0x <, 则0x ->, 所以()3
1x
f x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,
所以()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13x
f x -=-, 因此
31(0)()0(0)13(0)x x x f x x x -?->?==??-
, 从而可得33log (1)(0)()0(0)log (1)(0)
x x g x x x x +>??==??--
注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数2
2(1)(0)
()(1)(0)
x x x f x x x x ?-≥?=?-+
【解析】
当0x >时, 0x -<, 2
2
()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,
(0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()
f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.
注：分段函数的奇偶性必须对x 的值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数32(0)
()(0)x x x f x x
x ?+≥?=?-
【解析】
显然()f x 连续. 当0x ≥时, '
2
()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函
数, 当0x <时, '
()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.
注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论。
例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
【解析】121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-??
=+-<
, 画图易知单调
减区间为12(,]-∞-.
9．解分段函数的方程
1、.函数f(x)=?????>≤-)
1|(|||)1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足
A.a<0
B.0≤a<1
C.a=1
D.a>1
2、设定义为R 的函数lg 1,1,()0,
0.x x f x x ?-≠?=?
=??则关于x 的方程2
()()0f x bf x c ++=
有7个不同的实数解的充要条件是 （ ）
A. 0b <且0c >
B. 0b >且0c <
C. 0b <且0c =
D. 0b ≥且0c = 3、设函数
()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)f x -=(7)f x +，
且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.
（Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程
()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论.
例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)
x x f x x x -?∈-∞=?∈+∞?, 则满足方程1
()4f x =的x 的
值为
【解析】 若142
x
-=, 则222x
--=, 得2(,1]x =?-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =
,
x
则14
81x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.
10．解分段函数的不等式
2已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________
3、（山东理）设f(x)= 1
2
32,2,
log (1),2,
x e x x x -?2的解集为 (A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）? （10 ，+∞）(D)（1，2）
4、 设f (x)=1()
0x x ???为有理数(为无理数)
，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）
A ．g (x)=sinx
B ．g (x)=x
C ．g (x)=x 2
D ．g (x)=|x|
例11．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -?-≤?
=??>?, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）
.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-?+∞ .(,1)(1,)D -∞-?+∞
【解析1】
首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知
0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-?+∞.
【解析2】
因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x
-->, 解得01x <-, 当00x >时, 12
01x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-?+∞. 故选D.
例12．
设函数2
(1)
(1)()4(1)
x x f x x ?+
（ ）
x
y
A ．(,2][0,10]-∞-? B. (,2][0,1]-∞-? C. (,2][1,10]-∞-? D. [2,0][1,10]-? 【解析】
当1x <时, 2
()1(1)120f x x x x ≥?+≥?≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0,
当1x ≥时, ()141310f x x ≥???≤, 所以110x ≤≤, 综
上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.
【点评：】
以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.
