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精心整理线性代数公式大全

1. n 行列式共有2

n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n

行列式; 2. 代数余子式的性质:

①、ij A 和ij

a 的大小无关；

②、某行(列）的元素乘以其它行（列)元素的代数余子式为０； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；

3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j

i j

M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D :

将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2

(1)n n D D -=-；

将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2

D ，则(1)2

(1)

n n D

-=-;

将D 主对角线翻转后（转置)，所得行列式为3

D ，则3

D D

=；

将D 主副角线翻转后，所得行列式为4

D ,则4

5. 行列式的重要公式:

①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -? -;

③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积；

④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2

(1)n n -? -;

⑤、拉普拉斯展开式

A O A C A B

O B

=、

(1)m n C

A O

A B

B O B C

==-

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1

(1)

n n

n k

k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k

S 为k 阶主子

式；

7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法;

③、构造齐次方程组0Ax =,证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <; ⑤、证明0是其特征值;

２、矩阵

1. A 是n 阶可逆矩阵：

?0A ≠（是非奇异矩阵）;

?()r A n =(是满秩矩阵）

?A 的行（列）向量组线性无关; ?

齐次方程组0Ax =有非零解; ?n b R ?∈,

Ax b =总有唯一解;

?A 与E 等价;

?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A

的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵；

?A 的行（列)向量组是n

R 的一组基; ?A

是n

R 中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n 阶矩阵A ：*

AA A A A E == 无条件恒成立;

3. 1*

()()

()()()()T

T T

T A A A A A A ----=== ***111

()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---===

4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆: 若

s A A A A ?? ?

?= ? ??

，则:

Ⅰ、1

A A

A A =；

Ⅱ、11112

1s A A A A ----?? ?

?= ? ? ??

?；

②、1

11A O A O O B O B ---????

= ? ?????;（主对角分块） ③、1

11O A O B B O A O ---??

= ? ?

????

;（副对角分块) ④、11111A C A A CB O B O

B -----??

-??= ? ?????

；(拉普拉斯） ⑤、

11111A O A O C B B CA B -----??

= ? ?-????

;(拉普拉斯）

３、矩阵的初等变换与线性方程组

1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯

一确定的：r

m n

E O

F O O

???

= ???；等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B

= ? ；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非０元素必须为1；

③、每行首个非０元素所在列的其他元素必须为0;

3. 初等行变换的应用:（初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)

①、若(,)(,)r

A E E X ，则A 可逆,且1

X A -=；

②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时，B 就变成1

A B -,即：

1(,)(,)

A B E A B - ~ ;

③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)

A b E x ,

则A 可逆，且1

x A b -=；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初

等行矩阵、右乘为初等列矩阵； ②、

n ?? ?

?Λ= ? ??

λλλ，左乘矩阵A ,i

λ乘A 的各行元素;右乘,i

λ乘A 的

各列元素；

③、对调两行或两列,符号

(,)

E i j ,且

1(,)(,)

E i j E i j -=，例如：

111111-???? ? ?= ? ? ? ?????

；

④、倍乘某行或某列,符号(())

E i k ,且

(())(())

E i k E i k

-=，例

如:

11(0)11k k k -????

? ?=≠ ? ? ? ???

;

⑤、倍加某行或某列,符号(())

E ij k ,且

1(())(())

E ij k E ij k -=-,

如:

11(0)11k k k --???? ? ?

=≠ ? ? ? ?????

；

5. 矩阵秩的基本性质： ①、0()min(,)m n

r A m n ?≤≤;

②、()()T

r A r A =；

③、若A B

,则()()r A r B =；

④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===;(可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+;（※) ⑥、()()()r A B r A r B +≤+；(※） ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；(※）

⑧、如果A 是m n ?矩阵，B 是n s ?矩阵，且0AB =，则：(※） Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论)；

Ⅱ、()()r A r B n +≤

⑨、若A 、B 均为n 阶方阵,则()()()r AB r A r B n ≥+-;

6. 三种特殊矩阵的方幂:

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）

?行矩阵(向量）的形式,再采用结合律； ②、型如

101001a c b ?? ? ? ???

的矩阵:利用二项展开式;

?二项展开式：0111

1110()

n n m n m m

n n n n m m n m

n n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b

-----=+=++

++=∑；

注:Ⅰ、()n

a b +展开后有1n +项; Ⅱ、0(1)(1)!

123!()!

--+=

==-m

n n

n n n n n m n C

C C m m n m

Ⅲ、组合的性质:111

2---+-===+==∑n

n m

m m m r n

r r n

n n n

n n r C

C C

rC nC ;

③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：

*()()1

()10()1

r A n r A r A n r A n = ??

==-??<-?

;

②、伴随矩阵的特征值:*

1*(,)

AX X A

A A A X X λλλ

- == ? =

；

③、*

A A -=、1

n A

8. 关于A 矩阵秩的描述:

①、()r A n =，A 中有n 阶子式不为0,1n +阶子式全部为0;（两句话) ②、()r A n <，A 中有n 阶子式全部为0; ③、()r A n ≥,A 中有n 阶子式不为0;

9. 线性方程组:Ax b =，其中A 为m n ?矩阵，则：

①、m 与方程的个数相同，即方程组Ax b =有m 个方程； ②、n 与方程组得未知数个数相同，方程组Ax b =为n 元方程； 10. 线性方程组Ax b =的求解:

①、对增广矩阵B 进行初等行变换(只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解:自由变量赋初值后求得；

11. 由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程： ①、

11112211211222221122n n n n m m nm n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++= ??+++= ????+++=?;

②、

1112111212222212n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b ??????

??? ? ??? ?

=?= ??? ?

??? ???????

(向量方程，

A 为m n ?矩阵,m 个方程，n

个未知数) ③、()121

n n x x

a a x β??

? ?= ? ???

(全部按列分块,其中12n b b b β?? ? ?

= ? ???

）；

④、11

n n a x a x

a x β

+=（线性表出)

⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1. m 个n 维列向量所组成的向量组A ：1

,,,m

ααα构成n m ?矩阵

(,,,)m

A =ααα；

个n 维行向量所组成的向量组B :12,,,T T T

ββ构成m n ?矩阵

12T T T m B βββ?? ? ?

= ? ? ???

；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关0Ax ?=?有、无非零解；(齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 Ax b ?=是否有解;（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 AX B ?=是否有解;(矩阵方程) 3. 矩阵m n

A ?与l n

B ?行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0

Ax =和0Bx =同解;（101

P 例14） 4. ()()T

r A A r A =；(101

P 例15)

5. n 维向量线性相关的几何意义：

①、α线性相关? ?0α=; ②、,αβ线性相关

?,αβ

坐标成比例或共线(平行）; ③、,,αβγ线性相关,,αβγ

?共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若1

,,,s

ααα线性相关，则1

,,,,s

s αααα+必线性相关；

若1

ααα线性无关，则1

,s ααα-必线性无关；（向量的个数加

加减减,二者为对偶)

若r 维向量组A 的每个向量上添上n r -个分量,构成n 维向量组B ：若A 线性无关,则B 也线性无关;反之若B 线性相关,则A 也线性相关；(向量组的维数加加减减)

简言之:无关组延长后仍无关,反之，不确定；

7. 向量组A (个数为r ）能由向量组B (个数为s ）线性表示，且A 线性无关,则r s ≤（二版74

P 定理7);

向量组A 能由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤；（86

P 定理３) 向量组A 能由向量组B 线性表示 AX B ?=有解； ??()(,)r A r A B ?=（85

P 定理2)

向量组A 能由向量组B 等价()()(,)r A r B r A B ? ==(85

P 定理2推论) 8. 方阵A 可逆?存在有限个初等矩阵1

,,,l

P P P ,使12

A P P P =；

①、矩阵行等价:~r

A B PA B ?=（左乘,P 可逆)0Ax ?=与0Bx =同解 ②、矩阵列等价：~c

A B AQ B ?=（右乘，Q 可逆)； ③、矩阵等价:~A B PAQ B ?=（P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵m n A ?与l n

B ?:

①、若A 与B 行等价,则A 与B 的行秩相等；

②、若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A 的行秩等于列秩； 10. 若m s s n m n

A B C ???=，则：

①、C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵； ②、C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T

A 为系数矩阵;（转置)

11. 齐次方程组0Bx =的解一定是0ABx =的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、0ABx = 只有零解0Bx ? =只有零解;

②、0Bx = 有非零解0ABx ? =一定存在非零解;

12. 设向量组1

:,,,n r

B b b b ?可由向量组1

:,,,n s

A a a a ?线性表示为：(110

P 题19结论）

1212(,,,)(,,,)r s

b b b a a a K =（B AK =)

?其中K 为s r ?,且A 线性无关，则B 组线性无关()r K r ?=;(B 与K 的列向量组具有相同线性相关性)

(必要性:()()(),(),()r r B r AK r K r K r r K r ==≤≤∴=；充分性:反证法)

?注:当r s =时，K 为方阵,可当作定理使用；

13. ①、对矩阵m n

A ?,存在n m

Q ?，m

AQ E = ()r A m ?=、Q 的列向量线性无关；(87

P ）

②、对矩阵m n A ?,存在n m P ?,n

PA E = ()r A n ?=、P 的行向量线性无关； 14. 12,,,s

ααα线性相关

?存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s

k k k ααα+++=成立;(定

义)

?1212(,,

,)0

s s x x

x ααα?? ? ?= ? ???

有非零解，即0Ax =有非零解;

?12(,,,)s r s

ααα<,系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设m n ?的矩阵A 的秩为r ，则n 元齐次线性方程组0Ax =的解集S

的秩为:()r S n r =-；

16. 若*

η为Ax b =的一个解，12,,,n r

ξξξ-为0Ax =的一个基础解系，则*

12,,,,n r ηξξξ-线性无关;（111

P 题33结论）

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵T

A A E ?=或1

A -=(定义)，性质：

①、

的列向量都是单位向量,且两两正交，即1(,1,2,)0

T i j i j

a a i j n i j

=?==?

≠?; ②、若A 为正交矩阵,则1

A A -=也为正交阵，且1A =±；

③、若A 、B 正交阵，则AB 也是正交阵;

注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化：1

(,,,)r

a a a 1

b a =;

12221

11[,]

[,]

b a b a b b b =-

?121121

112211[,][,]

[,]

[,][,]

[,]

r r r r r

r r r r b a b a b a b

a b b b b b b b b b ----=-

---

;

3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交;

4. ①、A 与B 等价A ??经过初等变换得到B ;

?=PAQ B ，P 、Q 可逆； ()()?=r A r B ,A 、B 同型；

②、A 与B 合同,?=T

C AC B ?其中可逆;

?? ?T

x Ax 与T

x Bx 有相同的正、负惯性指数； ③、A 与B 相似1

-?=P AP B ?；

5. 相似一定合同、合同未必相似;

若C 为正交矩阵,则T

C AC B =?A B ,(合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6. A 为对称阵，则A 为二次型矩阵;

7. n 元二次型T

x Ax 为正定： A ?的正惯性指数为n ;

A ?与E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T

C AC E =； A ?的所有特征值均为正数;

A ?的各阶顺序主子式均大于０; 0,0ii

a A ?>>；(必要条件)