第四讲 指数函数
教学目标:掌握指数函数及其性质 教学过程: 一、知识点总结
(一)指数与指数幂的运算 1、根式的概念
①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a
的n 当n 是偶数时,正数a 的正的n 负的n
次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.
n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.
③根式的性质:n a =;当
n 为奇数时,
a =;当n 为偶数时,
(0)
|| (0)
a a a a a ≥?==?
-. 2、分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.
②正数的负分数指数幂的意义是:
1()0,,,m m n
n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +?=>∈
②()(0,,)r s rs
a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r
r r
ab a b a b r R =>>∈ (二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或
)]a (f ),b (f [;
(2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =;
二、典型例题讲解
1.比较大小
例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()
x f c 的大小关系是_____.
分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x 的对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =.
∴函数()f x 在(]1-,
∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则321x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥.
评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式
例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵2225(1)441a a a ++=++>≥,
∴函数2(25)x y a a =++在()-+,
∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得14x >
.∴x 的取值范围是14??
+ ???
,
∞.
评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题
例3 求函数y = 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤,
∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-,∞.
令26x t -=,则y =
又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤.
∴函数的值域是[)01,.
评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响. 4.最值问题
例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]
-,上有最大值14,则a 的值是_______.
分析:令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t 的取值范围. 解:令x t a =,则0t >,函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-,其对称轴为1t =-.
∴当1a >时,∵[]11x ∈-,,
∴1x a a a ≤≤,即1
t a a
≤≤.
∴当t a =时,2max (1)214y a =+-=. 解得3a =或5a =-(舍去);
当01a <<时,∵[]11x ∈-,,
∴1x a a a ≤≤,即1
a t a ≤≤,
∴ 1t a =时,2
max 11214y a ??
=+-= ???
,
解得13a =或15a =-(舍去),∴a 的值是3或1
3
.
评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等.
5.解指数方程
例5 解方程223380x x +--=.
解:原方程可化为29(3)80390x x ?-?-=,令3(0)x t t =>,上述方程可化为298090t t --=,解得9t =或19
t =-(舍去),∴39x =,∴2x =,经检验原方程的解是2x =.
评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根. 6.图象变换及应用问题
例6 为了得到函数935x y =?+的图象,可以把函数3x y =的图象( ). A .向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B .向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C .向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度 D .向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度
分析:注意先将函数935x y =?+转化为235x t +=+,再利用图象的平移规律进行判断. 解:∵293535x x y +=?+=+,∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数935x y =?+的图象,故选(C ).
评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等.
家庭作业
1.函数y =a |x|(0<a <1)的图像是
[ ]
2a 0a 1f(x)g(x)f(x)[1a +1
2
]x .若>,且≠,是奇函数,则=-1
[ ]
A .是奇函数
B .不是奇函数也不是偶函数
C .是偶函数
D .不确定
3f(x)=a
a (a a ) x 2x x .已知函数-,∈.--1
R
(1)判断函数f(x)的奇偶性和单调性;
(2)对于函数f(x),当x ∈(-1,1)时,有f(1-t)+f(1-t 2)<0,求t 的集合A .
4f(x)F(x)=(a 1)(
2
a +1)f(x)x .已知是定义在上的奇函数,试判断-R -1
(a > 0且a ≠1)的奇偶性,并给出证明.
1.C ,2.C
3(1)x R f(x)=
a
a 1
(a a )=f(x)f(x)2
x x .定义域为∈,----,∴是奇- 函数.
当>时,
->,为增函数,-为增函数,a 10y =a y =a 1x 2x a
a 2
1
- ∴--在上为增函数.f(x)=a
a 1
(a a )R 2x x
当0<a <1时,类似可证,f(x)在R 上为增函数.
(2)∵f(1-t)+f(1-t 2)<0,f(x)是奇函数,且在R 上为增函数,
∴-<-,又∵∈-,,∴-<-<-<-<-<-<<<<+->f(1t)f(t 1)t (11)11t 1 1t 111t t 10t 20t 2t t 20
22222?????????
??
?1t A ={t|1t }<<,∴集合<<.22
4.定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)是关于原点对称的.F(-x)=(a
--+----+-----+---+----+,∴是偶函数.
1)(2a 1)f(x)=(a 1)(2a 1a 1)f(x)=(a 1)(2a a 1)f(x)=(a 1)
[2(a )1]f(x)=(a 1)(21)f(x)=(a 1)(2a 1)f(x)=F(x)F(x)x x x x
x x x -11121211ax a x
专题二函数概念与基本初等函数I 第四讲指数函数、对数函数、幂函数答案部分2019 年 1. 解析由题意知,m 太阳 E E 太阳 ,将数据代入,可得lg 太阳10.1 m lg E 天狼星天狼星 2 , E 天狼星 所以 E .故选A. 太阳 10 10.1 E 天狼星 sin xx , x[ n,n ], 2.解析因为cos x x f x 2 sin x x f x sin x x xcos x x 2 2
所 cos x x 所以f x为 [ n,n ]上的奇函数,因此排除A; n 0 ,因此排除B,C; sin n n f n 又 又 cos n n 2 1 n 2 故选D.3.解析:由函数y ,y log x 1 ,单调性相反,且函数 x 1 log a
1 a 图像恒 a x 2 2 1 可各满足要求的图象为D.故选D.过 ,0 2 2010-2018 年 1 1. D【解析】c log 1 y log x 为增函数, 3 log 5,因为 3 5 3 7 所以 log 5 log 3 3 log 3 1. 3 2 因为函数 1 x 1 1 1 0 y ()为减函数,所以()()1,故c a b,故选D. 3 4 2. B【解析】当x 0时,因为
ex 4 ex 4 x 0 ,所以此时 x e e f (x) x 2 1 0 ,故排除A. D; 1 又f (1) e 2 e ,故排除C,选B. 3. B【解析】解法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x, y),则其关于直线x 1的对称 点的坐标为(2 x, y) ,由对称性知点(2 x, y) 在函数f (x) ln x 的图象上,所以y ln(2 x) ,故选B. 解法二由题意知,对称轴上的点(1, 0) 即在函数y ln x 的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验, 排除A, 2(1 x) ,0 x 2知,f (x) 在(0,1) 上单调递增,在(1, 2) 上
第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数. 【考试要求】(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【考题分类】 (一)选择题(共15题) 1.(安徽卷文7)设 232555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾,选D 。 3.(辽宁卷文10)设525b m ==,且112a b +=,则m = (A (B )10 (C )20 (D )100 【答案】 D
解析:选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.(全国Ⅰ卷理8文10)设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a>,所以a=>,所以c,从而错选A,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或 1b a = ,所以a+2b=2 a a + 又0f(1)=1+2 1=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 6.(全国Ⅰ卷文7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视a 的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=12a a + ≥,从而错选D,这也是命 题者的用苦良心之处.
指数函数与对数函数专项练习 例1.设a >0, f (x)=x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f -1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解:设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤?? ???>≥. 综上所述: 1a > 1.(安徽卷文7)设 232 555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >, 2 ()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D
指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a >0, f (x)= x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性.
例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y =)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习:
§2.2.1 分数指数幂(1) 【教学目标】 1.理解n 次方根及根式的概念; 2.掌握n 次根式的性质,并能运用它进行化简,求值; 3.提高观察、抽象的能力. 【课前导学】 1.如果2x a =,则x 称为a 的 ; 如果3x a =,则x 称为a 的 . 2. 如果*(1,)n x a n n N =>∈,则x 称为a 的 ;0的n 次实数方根等于 . 3. 若n 是奇数,则a 的n 次实数方根记作n a ; 若0>a 则为 数,若o a <则为 数;若n 是偶数,且0>a ,则a 的n 次实数方根为 ;负数没有 次实数方根. 4. 式子n a ()1,n n N * >∈叫 ,n 叫 ,a 叫 ; n = . 5. 若n = ;若n = . 【例题讲解】 例1.求下列各式的值: (1)2 (2)3 (3 (4 *变式:解下列方程(1)3216x =-; (2)422240x x --=
例2.设-3 §2.2.1 分数指数幂(2) 【教学目标】 1.能熟练地进行分数指数幂与根式的互化; 2.熟练地掌握有理指数幂的运算法则,并能进行运算和化简. 3.会对根式、分数指数幂进行互化; 4.培养学生用联系观点看问题. 【课前导学】 1.正数的分数指数幂的意义: (1)正数的正分数指数幂的意义是m n a = ()0,,,1a m n N n *>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义m n a -= ()0,,,1a m n N n *>∈>. 2.分数指数幂的运算性质: 即()1r s a a = ()0,,a r s Q >∈, ()()2s r a = ()0,,a r s Q >∈, ()()3r ab = ()0,0,a b r Q >>∈. 3.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 指数幂同样适用. 4. 0的正分数指数幂等于 . 【例题讲解】 例1.求值(1) 12100, (2)23 8, (3)()32 9-, (4) 34 181- ?? ??? . 例2.用分数指数幂表示下列各式(0)a >: (1)a ;(2 ;(3. 经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1.已知f(x)=225x - (0≤x ≤4), 求f(x)的反函数. 思路点拨:这里要先求f(x)的范围(值域). 解:∵0≤x ≤4,∴0≤x 2≤16, 9≤25-x 2≤25,∴ 3≤y ≤5, ∵ y=225x -, y 2=25-x 2,∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4,∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x , y 互换,∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2.已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-,求f -1(x). 思路点拨:求分段函数的反函数问题,应逐段求其反函数,再合并. 解:当x ≥0时,y=x+1≥1,∴y ∈[1,+∞),∴ f -1(x)=x-1 (x ≥1); 当x<0时,y=1-x 2<1,∴ y ∈(-∞,1),反解 x 2=1-y , ,∴ f -1 ; ∴ 综上f -1 (x)=1(1)(1)x x x -≥????. 类型二、利用反函数概念解题 例3.已知f(x)=1 12-+x x (x ≥3), 求f -1(5). 思路点拨:这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值,所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实,转化成方程问题. 解:设f -1 (5)=x 0, 则 f(x 0)=5,即 20011x x +-=5 (x 0≥3)∴ x 02+1=5x 0-5, x 02-5x 0+6=0. 解得x 0=3或x 0=2(舍),∴ f -1 (5)=3. 举一反三: 【变式1】记函数y=1+3-x 的反函数为()y g x =,则g(10)=( ) A .2 B .-2 C .3 D .-1 (法一)依题意,函数13x y -=+的反函数y=-log 3(x-1),因此g(10)=-2. (法二)依题意,由互为反函数的两个函数的关系,得方程1+3-x =10,解得x=-2,即g(10)=-2.答案B. 例4.设点(4,1)既在f(x)=ax 2+b (a<0,x>0)的图象上,又在它的反函数图象上,求f(x)解析式. 思路点拨:由前面总结的性质我们知道,点(4,1)在反函数的图象上,则点(1,4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ,b 的点,也就有了两个求解a ,b 的方程. 解: ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51, b=521,∴ f(x)=-51x+521. 另:这个题告诉我们,函数的图象若与其反函数的图象相交,交点不一定都在直线y=x 上. 例5.已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-,求a ,b ,c 的值. 思路点拨:注意二者互为反函数,也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解:求f -1(x)=253 x x +-的反函数,令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2),f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-,∴ a=3, b=5, c=-2. 专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第四讲 指数函数、对数函数、幂函数 答案部分 2019年 1. 解析 由题意知,lg 2E m m E 5 -=太阳太阳天狼星天狼星,将数据代入,可得lg 10.1E E =太阳天狼星 , 所以 10.1 10E E =太阳天狼星 .故选A. 2.解析 因为()2 sin cos x x f x x x +=+,π[]πx ∈-,, 所以()()()22 sin sin cos cos x x x x f x f x x x x x --+-= ==--++, 所以()f x 为[ππ]-,上的奇函数,因此排除A ; 又()22 sin πππ π0cos ππ1π f +==>+-+,因此排除B ,C ; 故选D . 3.解析:由函数1x y a = ,1log 2a y x ??=+ ???,单调性相反,且函数1log 2a y x ? ?=+ ??? 图像恒 过1 ,02?? ??? 可各满足要求的图象为D .故选D . 2010-2018年 1.D 【解析】1 33 1 log log 55 c ==,因为3log y x =为增函数, 所以33 37 log 5log log 312 >>=. 因为函数1()4x y =为减函数,所以10311()()144<=,故c a b >>,故选D . 2.B 【解析】当0 又1 (1)2=- >f e e ,故排除C ,选B . 3.B 【解析】解法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ,则其关于直线1x =的对称 点的坐标为(2,)x y -,由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上,所以 ln(2)y x =-,故选B . 解法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)即在函数ln y x =的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A ,C ,D ,选B . 4.C 【解析】由2(1) ()(2) x f x x x -'= -,02x <<知,()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,2)上 单调递减,排除A 、B ;又(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=, 所以()f x 的图象关于1x =对称,C 正确. 5.D 【解析】由2 280x x -->,得2x <-或4x >,设2 28u x x =--,则 (,2)x ∈-∞-,u 关于x 单调递减,(4,)x ∈+∞,u 关于x 单调递增,由对数函数的性 质,可知ln y u =单调递增,所以根据同增异减,可知单调递增区间为(4,)+∞.选D . 6.C 【解析】函数()f x 为奇函数,所以221 (log )(log 5)5 a f f =-=, 又222log 5log 4.1log 42>>=,0.8 122<<, 由题意,a b c >>,选C . 7.B 【解析】由11 ()3 ()(3())()33 x x x x f x f x ---=-=--=-,得()f x 为奇函数, ()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>,所以()f x 在R 上是增函数.选B . 8.A 【解析】对于A,令()e 2 x x g x -=?,1 1()e (22ln )e 2(1ln )022 x x x x x g x ---'=+=+>, 则()g x 在R 上单调递增,故()f x 具有M 性质,故选A . 9.D 【解析】设361 80310 M x N ==,两边取对数得, 361 36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810 x ==-=?-≈, 2.1.2 指数函数及其性质(一) 一、学习目标:了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念和意义,掌握指数函数 的图象和性质;本节课的重点是在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质, 本节课的难点是弄清楚底数a对于指数函数图象和性质的影响。 二、问题引领: 1、指数函数的概念、图象和性质 2、指数函数图象分布图: 如图,,,,A B C D 分别为指数函数 ,,,x x x x y a y b y c y d ====的图象,则,,,a b c d 与 0、1的大小关系为01a b c d <<<<<。 三、典例剖析: 例题1:已知指数函数()(0>=a a x f x 且)1≠a 的图象经过点()2,π,求()()()012f f f -、、的值。 分析:要求()()()012f f f -、、的值,我们需要先求出指数函数()x a x f =的解析式,也就是要先求a 的值。根据函数图象过点()2,π这一条件,可以求得底数a 的值。 解: ()x a x f =的图象经过点()2,π, ()2f π∴= 即2 a π=,解得1 2 a π= ()2x f x π∴=,即:()( )()10 12 1 01,12f f f ππππ -====-== 。 点评:求函数解析式的典型方法是待定系数法,求指数函数需要待定的系数只有一个a ,只需要一个已知条件,就可以确定一个指数函数。 例题2:1、设1111333b a ???? <<< ? ????? ,求,,a b a a a b 的大小关系。 2、 比较235 4 0.5,1.2,1的大小。 分析:利用指数函数的单调性和特殊点比较大小。 解:1、因为函数13x y ?? = ??? 在R 上为减函数,又由1111333b a ????<<< ? ?????, 所以得:01a b <<<, 因为当01a <<时,函数x y a =为减函数,又a b <, 所以a b a a >,因为函数x y a =与x y b =在R 上同为减函数且当0x >时, 随着x 的增大,函数x y a =比函数x y b =减小的快,所以a a a b <, 即b a a a a b <<。 第四节 非线性回归模型 前面讨论的线性回归模型 n i b x b x b b y i ki i i i ,,2,122110 =+++++=ε 其结构具有两个特点:(1)被解释变量y 是解释变量的线性函数,即关于解释变量线性;(2)被解释变量y 也是参数的线性函数,即关于参数线性。但是在现实经济问题的研究中,经济变量之间大多数是非线性关系,即模型为非线性回归模型。对非线性模型,通常将其转化成线性模型进行估计。本节将讨论非线性回归模型的参数估计方法以及非线性模型中参数的特定含义。 一、 可线性化模型 在非线性回归模型中,有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型,从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计,称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有: (一) 倒数变换模型(双曲函数模型) 模型如下: ε++=x b a y 1 ε++=x b a y 11 设: y y x x 11==* *或 即进行变量的倒数变换,就可以将其转化成线性回归模型,所以称该模型为倒数变换模型。 倒数变换模型有一个明显特征:随着x 的无限扩大,y 将趋近于极限值a(或1/a),即有一个渐近下限或上限。有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、菲得普斯曲线等)恰好有类似的变动规律,因此可以由倒数变换模型进行描述。 (二) 双对数模型(幂函数模型) 模型如下: ε++=x b a y ln ln 设: x x y y ln ln ==* * 则将其转换成线性回归模型: ε++=* *bx a y 对于双对数模型,因为有: 的增长速度 的增长速度x y x x y y x dx y dy x d y d b =??≈==////ln ln 因此,双对数模型中的回归系数b 恰好就是被解释变量y 关于解释变量x 的弹性。即当x 增长1%时y 的增长率。由于弹性是经济分析中的一个十分重要的指标(需求函数中的价格弹性、收入弹性、生产函数中的资金弹性、劳动弹性等),如果所研究的经济关系可以用双对数模型描述,则估计模型之后就可以直接利用系数b 进行弹性分析。因此,双对数模型是人们经常采用的一类非线性回归模型。 (三) 半对数模型 模型如下: 指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 例1.设a >0, f (x)=x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解:设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤?? ???>≥. 综上所述: 1a > 1.(安徽卷文7)设 232 555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2 ()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0 ,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1 时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10,, 的图象的认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x 轴上方; (1)x 取任何实数值时,都有a x >0; (2)图象都经过点(0,1); (2)无论a 取任何正数,x =0时,y =1; (3)y y x x ==210,在第一象限内的纵坐标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,y x =?? ? ? ?12的图象正好相反; (3)当a >1时,x a x a x x >><????0101, 则,则 当01<<<>?????0101, 则, 则 (4)y y x x ==210,的图象自左到右逐渐(4)当a >1时,y a x =是增函数, 指数函数及其性质教案 课题:指数函数及其性质(第1课时) 教材:普通高中课程标准试验教科书人教社A版,数学必修1 教学内容:第二章,基本初等函数(I),指数函数及其性质 教学目标 知识目标:理解指数函数的概念,初步掌握指数函数的图像和性质 能力目标:通过定义的引入,图像特征的观察,培养学生的探索发现能力,在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法 情感目标:通过学生的参与过程,培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点 重点:指数函数的概念和图像 难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质 教学流程设计 (一)指数函数概念的构建 1.探究:本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征 师生活动:教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式,学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念 一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域是 & 3.剖析概念 (1)规定底数大于零且不等于1的理由: 如果=0, 如果等等时,在实数范围内实数值不存在 如果是一个常量,对它就没有研究的必要 (2)形式上的严格性 指数函数是形式定义的函数,就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念,因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中,前的系数必须是1,自变量在指数的位置上,否则,不是指数函数,比如等,都不是指数函数 (二)指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题:同学们能类比前面讨论函数性质时的思路,提出研究指数函数性质的方法吗 师生活动:教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质,讨论研究指数函数性质的方法,强调数形结合,强调函数图像在研究性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的应用,渗透概括能力的培养,学生独立思考,提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像 师生活动:学生用描点法独立画图,教师课堂巡视,个别辅导,展示画的较好的学生的图像 指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==,log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为 1,但y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ,,的图象的认识。 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x 轴上方; (1)x 取任何实数值时,都有a x >0; (2)图象都经过点(0,1); (2)无论a 取任何正数,x =0时,y =1; (3)y y x x ==210,在第一象限内的纵坐 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,y x =?? ???12的图象正好相反; (3)当a >1时,x a x a x x >><????01 01 ,则,则 当01<<<>?????0101 ,则,则 (4)y y x x ==210,的图象自左到右逐渐上升,y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 (4)当a >1时,y a x =是增函数, 当01< 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较, 指数函数和对数函数综合 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 【要点链接】 1.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较: 对数函数增长比较缓慢,指数函数增长的速度最快. 2.要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像,并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题. 【随堂练习】 一、选择题 1.下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A .1100 x y e = B .100ln y x = C .100y x = D .1002x y =? 2.若112 2 a a -<,则a 的取值范围是( ) A .1a ≥ B .0a > C .01a << D .01a ≤≤ 3.x x f 2)(=,x x g 3)(=,x x h )2 1()(=,当x ∈(-)0,∞时,它们的函数值的大小关系 是( ) A .)()()(x f x g x h << B .)()()(x h x f x g << C .)()()(x f x h x g << D .)()()(x h x g x f << 4.若b x <<1,2 )(log x a b =,x c a log =,则a 、b 、c 的关系是( ) A .c b a << B .b c a << C .a b c << D .b a c << 二、填空题 5.函数x e y x x y x y x y ====,ln ,,3 2 在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________. 6.若a >0,b >0,ab >1,a 2 1log =ln2,则log a b 与a 2 1log 的关系是_________________. 7.函数2 x y =与x y 2=的图象的交点的个数为____________. 三、解答题 8.比较下列各数的大小: 5 2)2(-、21 )23(-、3)3 1(-、54 )32(-. 9.设方程2 22x x =-在(0,1)内的实数根为m ,求证当x m >时,2 22x x >-. 答案 1.A 指数增长最快. 2.C 在同一坐标系内画出幂函数2 1 x y =及2 1- =x y 的图象,注意定义域,可知10< 精典专题系列第4讲 指数函数与对数函数 一、导入:名叫抛弃的水池 一个人得了难治之症,终日为疾病所苦。为了能早日痊愈,他看过了不少医生,都不见效果。他又听人说远处有一个小镇,镇上有一种包治百病的水,于是就急急忙忙赶过去,跳到水里去洗澡。但洗过澡后,他的病不但没好,反而加重了。这使他更加困苦不堪。 有一天晚上,他在梦里梦见一个精灵向他走来,很关切地询问他:“所有的方法你都试过了吗?” 他答道:“试过了。” “不,”精灵摇头说,“过来,我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。” 精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说:“进水里泡一泡,你很快就会康复。”说完,就不见了。 这病人跳进了水池,泡在水中。等他从水中出来时,所有的病痛竟然真地消失了。他欣喜若狂,猛地一抬头,发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。 这时他也醒了,梦中的情景让他猛然醒悟:原来自己一直以来任意放纵,受害已深。于是他就此发誓,要戒除一切恶习。他履行自己的誓言,先是苦恼从他的心中消失,没过多久,他的身体也康复了。 大道理:抛弃是治疗百病的万灵之药,人之所以有很多难缠的情感,就是因为在大多数情况下,舍不得放弃。把消极扔掉,让积极代替,就没有什么可抱怨的了。 二、知识点回顾: 1.根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 ,那么x 叫做a 的n 次方根 n >1且n ∈N * 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个 ,负数的n 次方根是一个 n a 零的n 次方根是零 当n 是偶数时,正数的n 次方根有 ,这两个数互为 ±n a(a>0) 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式.①n a n = ②(n a)n = (注意a 必须使n a 有意义). 2. 幂的有关概念 ①正分数指数幂: = (a >0,m 、n ∈N*,且n >1); ②负分数指数幂: = = (a >0,m 、n ∈N*,且n >1). ③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 . y =ax a >1 0<a <1 图象 DSE 金牌化学专题系列 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ,y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数: y x 且a 叫指数函数。 定义:函数 aa 0 1 定义域为 R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时, y 4 x ,当 x 1 时,函数值不存在。 4 a 0 , y 0x ,当 x 0 ,函数值不存在。 a 时, y 1 x x 虽有意义,函数值恒为 1,但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在, 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x , y 1 ,y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 ( 1)图象都位于 x 轴上方; ( 1) x 取任何实数值时,都有 a x 0 ; 2 0 1 ); ( 2)无论 a 取任何正数, x 0 时, y 1 ; ( )图象都经过点( , ( 3) y 2x , y 10 x 在第一象限内的纵坐 ( 3)当 a x 0,则 a x 1 1 时, 0,则 a x 1 标都大于 1,在第二象限内的纵坐标都小于 1, x 1 y 2 x x 0,则 a x 1 当 0 的图象正好相反; a 1时, 0,则 a x 1 x ( 4) y 2x , y 10 x 的图象自左到右逐渐 ( 4)当 a 1 时, y a x 是增函数, 第 讲 指数函数与对数函数 时间: 年 月 日 刘老师 学生签名: 一、 兴趣导入 二、 学前测试 log 1. log . 2. (1).; (); (). (2).log log log ; log log ;(0,0). 3. ; log ; a b a x y x y x y xy x x x a a a n a a N x a a N b N a a a a a ab a b MN M N M n M M N a N a x +=?=?===?=+=>>==指数式、对数式:指数、对数的运算性质: 常用关系式: log log ;log log ; log log . log 4. ; 5. 6. ,(, 111. 2a aM m N n b a a a b M N N n N M M M m y x R x x αααα== ==∈指数函数的定义、图象、性质对数函数的定义、图象、性质,指、对函数间的关系。幂函数 定义:是常数)叫幂函数。定义域是使的意义的的值的集合,与的取值有关。性质:()图象都过点(,)(0.+00 3 7. 8.ααα><)在(∞)上,当时,是增函数,时,是减函数。 ()若为有理数,且定义域关于原点对称,则是奇或偶函数。指数方程、对数方程: 均属超越方程,解法是化成同底数幂(同底的对数),从而幂指数(真数)相等。或用换元法、或两边取对数。 指数不等式、对数不等式:解法与指数方程、对数方程类似。 三、方法培养 ☆专题1:指数运算与对数运算 [例1] 已知,27log 12a =试用a 表示.16log 6 变式练习:1已知,ln .log log 3,12x x x x a +==/求证:.) 2(2log 3 e e e = 2若a >1,b >1且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a -1)+lg(b -1)的值 (A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数 ☆专题2:指数函数与对数函数 [例2] 求下列函数的定义域: 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 知识点一:反函数 1.已知函数y =f(x)有反函数,则方程f(x)=0的根的情况是 A .有且仅有一个实根 B .至少有一个实根 C .至多有一个实根 D .0个,1个或1个以上根 2.若函数y =f(x)的反函数是y =g(x),f(a)=b ,ab≠0,则g(b)等于 A .a B .a -1 C .b D .b -1 3.若函数f(x)的图象上有一点(0,1),则其反函数f -1 (x)上一定存在点 A .(0,1) B .(1,0) C .(0,0) D .不能确定 4.已知函数y =2x -a 的反函数是y =bx +3,则a =__________,b =__________. 5.函数y =3x (0指数函数与对数函数关系的典型例题
公众号:数学研讨 专题二 函数概念与基本初等函数 第四讲指数函数对数函数幂函数答案
指数函数及其性质
计量经济学第四讲
指数函数与对数函数知识点总结
高考指数函数与对数函数专题复习
指数函数 和 对数函数公式 (全)
指数函数及其性质教案
指数函数和对数函数的重点知识
指数函数和对数函数综合题目与标准答案
第四讲 对数函数与指数函数经典难题复习巩固综述
指数函数和对数函数公式(全)
指数函数与对数函数专题(含详细解析)
指数函数与对数函数的关系(附答案)