“三阶幻方”教学案例—张丽

数学思维四年级“三阶幻方”教学案例

背景介绍：

本节教材是我校校本课程《数学思维拓展》中四年级的教学内容。校本课程与原来老教材有所不同，更进一步从学生探究的角度出发，充分发挥学生是的主动性。选用这节课是因为这节课囊括了课堂活动、学生探究和师生完美配合等方面。当时这是一节常态课，授课方式为普通的启发式教学，所采用的上课方式是组讨论式。希望通过这节课同过去的课进行比较。考虑到本堂课的情况，未安排学生进行预习。

教学目标：

1．通过学生自主探究，得出“三阶幻方”的规律。

2．通过做一做，看一看，培养学生的操作能力，观察能力，判断能力，语言表达能力。

3．通过小组讨论培养学生合作交流的意识。

4．让学生体会到数学的无穷乐趣。

教学重难点：

通过讨论，分析出“三阶幻方”的规律和做“三阶幻方”的方法和技巧吗，。

教具学具：

Ppt、习题卡

教学过程：

一、创设情境，探求新知

师：同学们，我们学校的数学思维，玩转数学部分都包括什么？

生: 魔方、魔尺、数独、24点、围棋……

师：那谁能说一说数独的特点？

生：数独有四宫格、六宫格、九宫格。

生：我们四年级学的六宫数独很特殊，它有六个宫，每行、每列、每个宫内都填入数字1、2、3、4、5、6，并且不能重复。

师：嗯，这位同学真是一个善于总结、善于表达的好孩子！的确，数独有六个宫，行、列、宫之间都存在很独特的关系，今天，我们将学习和数独非常相像的内容——三节幻方。

板书：三阶幻方

点评：用回顾数独的特点导入本节课，很容易让孩子们把二者有机地联系起来，一是能把对数独的喜爱传递给“三阶幻方”；二是能通过回忆数独的做题方法联系到“三阶幻方”，有助于学生全力投入到课堂中，创设这种情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲望，放飞了学生的思维，使学生积极地投入到学习活动之中，为学好这节课起到了很好的铺垫作用。

二、联系课堂实际，探究发掘规律

1、大屏幕上出示3×3的方格布阵图，让学生充满想象。

师：同学们，这九个方格可不是数独，但是我们也把它称之为九个宫，中间这一宫称作中宫。

生：老师，因为它每行、每列都有三个格子，所以叫“三阶幻方”。

2、大屏幕上出示两道已经完成的三阶幻方题目。

师：同学们，仔细观察这两个方阵图，小组同学互相讨论，你发现了什么?

第一小组代表：我们发现中宫数字都是15。

第二小组代表：我们发现宫里的数字都是小于30的。

第三小组代表：我们发现第八宫数-中宫数=第四宫数-第三宫数。

第二组同学补充：我发现第一宫数-中宫数=第三宫数-第四宫数。

[学生回答，教师评价补充，让学生体会寻找共同规律要按照一定的标准，初步体会三阶幻方规律的存在。]

点评：充分发挥小组合作交流的优势，通过生生之间的交流，让学生思维互补，都能感知什么是三阶幻方，并且可以提高学生的观察能力，判断能力和语言表达能力。

3、师启发，学生进一步观察。

师：同学们，再从数字的角度出发，观察观察三阶幻方的规律。

学生讨论得热火朝天，纷纷发表自己的见解。

生：老师，我发现了，每行的三个数的和相等！

同学们好像都瞬时间明白了什么，纷纷举起手来。

生：老师，我发现了每列的三个数的和相等!

生：老师，还有，斜着看三个数字的和也相等。

[教师让各小组发表各自见解之后，让学生说明发现的规律的理由，教师及时地给予肯定和评价。]

师：同学们，你们从行、列、斜线的角度观察到和相等，还有什么补充吗？

幻方解法整理归纳

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 图一 2、单偶数阶幻方 ()1 2 2＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ①把()1 2 2＋ ＝m n阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图二) 图二

（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）(如图三) 图三 （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)： 图四 不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。（如图五） 图五 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六） 图六

2008.6.27_任意阶幻方的构造方法

任意阶幻方的构造方法 一、幻方分类 n 表示阶数 二、构造方法 以下幻方均指在n n ?（n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上1——2n 所构成的幻方。 1、奇数阶幻方——连续摆数法（如图一：以五阶幻方为例） ① 把1填在第一行正中； ② 把i a ()i ≤2放在1－i a 的右上一格；如：3、5、7、8、20等。 ③ 如果i a 所要放的格已超出了顶行，那么就把它放在1－i a 的右一列的最下行；如：2、9、18、25。 ④ 如果i a 所要放的格已超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的上一行的最左列；如：4、10、17、23。 ⑤ 如果i a 所要放的格已超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内；如：16。 ⑥ 如果i a 所要放的格已有数填入，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内。如：6、11、21。 图一 2、单偶数阶幻方()122＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D ；如图二（a ）； （注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入() 2221a a ——＋、在

C 中填入()22312a a ——＋、在 D 中填入() 22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）；如图二（b ）； （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调；如图二（c 、d ）， （不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在C 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与B 中相应方格中的数字对调。 （因为01＝－ m ，所以在C 中没有取数） 图二（d ）即为所求幻方。 图二（a ） 图二（b ） 图二（c ） 图二（d ） 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方；如图三（a ） ② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色（以便于区分），然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格；如图三（b ） （正确理解“每行每列中任取一半的方格”。本例中因为4＝m ，所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格） ③ 从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格；如图三（c ）

任意奇数阶幻方的罗伯移步法

任意奇数阶幻方的罗伯移步法 学习心得 范贤荣2016.2.25 在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（loubere ）法。读后，我有心得如下： 1、罗伯（loubere ）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。它只要一步一步 地填写就可以了。 2、有人称之为楼梯法。这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。因 此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现 了填写规律。但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。 3、罗伯法的填写步骤，非常经典。关于“出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。 4、罗伯法的口诀，对“1 居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。我现在看到的都是幻友们的介绍。因此，就与幻友们讨 论一下： 这个口诀，只适用于“1 居上行正中央”的这种幻方。或者说“1居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。 罗伯幻方每一阶都有多种。幻方数与阶数相同。 因此，我建议在这口诀下面加一个注：“1 居上行正中央”只是罗伯幻方有代表性的一种。1 还可以在其他点格上。 5、1 还可以在那些点格上呢？ 我们把方阵空格用（X，Y）即（行，列）表示。第一行，第三列表示为（1，3）

那么，各阶数方阵有几个幻方， 1 点在何处，可见下表： 我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到 1 的位置。 5 阶幻方的1 点在幻和为65 的格子内。 方法是： 1）与阶数一样，画出阶数方阵。例如， 5 阶 2）将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。例如5 阶幻和65。 3）在斜着把幻和，逐行向左移一位，填在各行。如下图 4）再利用罗伯法则，将出格的数移回来。就可以直观地看到 1 在那些点格了。5）顺便说说方阵中的其他数据是什么？从何而来？。这些数据都是一个不等于“幻和”的对角线之和。我是计算出来的，计算完5 阶，我就知道7 阶了。因此，就少画了许多方阵。

探寻神奇的幻方

综合与实践 探寻神奇的幻方 太原第二实验中学白志红 学生起点分析 “探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式. 教学任务分析 本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流； 教学目标 1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述. 2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力； 3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美. 教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：结识幻方；第三环节：研究三阶幻方；第四环节：制作三阶幻方；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.

幻方常规解法汇总

幻方常规解法汇总 没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。 奇数阶幻方（罗伯法） 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格； 2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。 例，用该填法获得的5阶幻方： 双偶数阶幻方（对称交换法） 所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。 双偶数阶幻方的对称交换解法： 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（16，11）（7，10）互换即可。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 以8阶幻方为例： (1) 先把数字按顺序填。然后，按

综合与实践“幻方”中的游戏20

“幻方”中的游戏 教学目标 1.综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征。 2．经历观察、猜想、归纳、类比等活动初步积累构造三阶幻方的经验。 3．进一步体验合作交流、自主探究的学习方式。 教学重点：探索三阶幻方的本质特征 教学难点:构造符合要求的三阶幻方 教法与学法指导: 教法：情景体验法、引导发现法。具体地，首先通过神话故事引入三阶幻方， 学生从图形感受三阶幻方的对称美，然后以游戏为背景设计一系列开放性的问 题串引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作，从而引导学生借助有理数混合 运算、字母表示数及其运算，揭示简单的三阶幻方的本质特征，最后在通过游 戏让学生应用归纳得到的本质特征尝试构造满足要求的三阶幻方，获取构造三 阶幻方的经验。最后让学生自己搜集幻方的相关资料，以故事的形式讲给同伴 听，提高学习兴趣。 学法：小组讨论、自主探究、合作交流． 教学过程： 一、巧设情景，引入主题 1.导入：相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。龟背上刻有 神奇的图案。（出示投影片：龟背图）这个龟背图很特别，用黑白圈来表示 数，并用直线连接这9个数。你能说出它们分别代表哪些数吗？ 2.幻方相关知识及辨析幻方。 【设计意图：以神话故事引出幻方，使学生对幻方的概念作简单的了解并能 辨析，同时进入本节课主题：游戏中的幻方】Array二、构造幻方，揭示规律 （一）游戏一：构造1—9九个数字的三阶幻方。 参与人员：小组全体成员 游戏要求： 1. 把1-9九个数字填到3×3方格中，尽可能多的构造三阶幻方 2. 如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线会构成一个怎样的图形？描述 你得到的图形有什么特点？ 3．在你构造的幻方中，最核心位置是什么？在这个位置上出现的数是几？它与 总和又有什么关系？有成对出现的数吗？ 4．你还有什么新的发现？ （二）.游戏二：构造新幻方，探究规律 1．试将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、 每条对角线上的三个数之和相等。 2．试将2、4、6、8、10、12、14、16、18填入到3×3的方格中，使得每行、 每列、每条对角线上的三个数之和相等。 猜想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？ 【设计意图：让学生构造三阶幻方是让学生通过实践来逐步显现规律，教学中 一定要留给学生充足的时间来操作、尝试。】 归纳升华——构造幻方有奥秘

(完整版)任意奇数阶幻方的杨辉斜排法

任意奇数阶幻方的杨辉斜排法 ——对杨辉口诀的讨论 范贤荣2016.3.8 关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。按照这个口诀，画出“上下对易，左右相更”之后，形成图1d的图面。因此，必定有一个“四维挺出”的步骤。最后得到“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”的三阶幻方。见图1。 图1 杨辉口诀的画法 可见，杨辉口诀是在利用5×5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出5×5方格的3阶的幻方，如图1e。 图2 菱中取方的画法 现在,我们很多人用的是“取方框”画法。即在5×5的方阵中，取出3×3方框来，如图2b的红框。红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的9，是走到框内的蓝方块中。因此1、9没有“对易”。同样，3、7也没有“相更”。因此，就没有“上下对易，左右相更”了。所以，就不需要“四维挺出”了。因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。 所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成： 各子斜排为菱形，中间取方当作城， 城外有子城内空，四围都往城中进。 挺进多少方可止，几阶就挺几步深。 注1：“四围”就是上下左右四边。“都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。 注2：“几阶就挺几步深”。如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。见图2。

下面，我将2~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况，列于后。 图3 5阶菱方阵与幻方 图4 7阶菱方阵与幻方

图5 9阶菱方阵与幻方 图6 11阶菱方阵与幻方

图7 11阶幻方 图8 13阶菱方阵

图9 13阶幻方

幻方填入规律

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方

方阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 (2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。 单偶阶幻方 n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……) 这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例。这时，k=2 (1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

幻方最优填法

如何填幻方 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。 数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k2个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 1 63 6 2 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64

幻方(教学设计)

幻方 教学目标： 1、让学生初步认识幻方，了解幻方的特征并能运用幻方的特征。让学生经历一个探究的过程。 2、感受中国古代文化的博大精深。 教学重点：发现幻方的特征。 教学难点：运用幻方的特征，判断一个九宫格是不是幻方，填缺数。 教学过程： 一、导入 师：大家喜欢听故事吗？我们来听一个故事。 （媒体播放）在很久很久以前，有条洛河经常发大水，当时的皇帝夏禹带领人们去治水，…… 师：今天这节课我们就来研究这个图案的奇特之处。 二．新课 （一）出示点子图 1、大家先来看看这个图案，请仔细观察说说你都看见了什么？ 2、出示九宫格框住点子图 老师用表格的形式把这些点子图框起来了，因为一共有9个格子，所以我们称之为九宫格。 （二）抽象成数字九宫格 1、九宫格的每个格子里这些点点，数起来挺麻烦的，能不能用我们学过的什么来代替呢？ 2、跟老师一起把点子图变成数字。 3、师：现在都变成我们熟悉的数字了，故事里面说了这是一幅奇特的图案，那么它奇妙在哪里？同学们想知道吗？我相信小朋友是很聪明的，你们一定能通过自己的努力找到这个奇特之处的，有信心吗？ （三）出示P.83幻方图，引导学生说出幻方的主要特征：幻和相等。 （1）先让我们仔细观察这个图案，这里一共有几个数字。有几个什么数字？按顺序说出来。

根据学生回答教师板书，再提问：有没有一个数字是重复出现两次的？没有出现两次的，就叫不重复。板书不重复。 （2）刚才我们用眼睛看，现在我们动笔算算，看看你还能发现什么哪些特征。（请小朋友计算书上P.83算一算） 希望学生回答，三个数加起来是15，两端的数加起来等于10。当学生说出答案时，要进行验证，整理和归纳。如果学生说出局部，要引导说出全部。如果学生说的已经很完整了，让别的学生再验证，加深印象。 师小结：能不能用一句话把八句话的意思都表达出来吗？（每行，每列，每条对角线的和都是15，）像有这样特征的我们就叫做幻方。（板书课题：幻方）三．练习 1、根据幻方的特征判断练习。 出示P.84两个九宫格让学生判断是否是幻方，让学生说出理由，为什么不是幻方。 2、根据幻方的特征做选择练习。P.85、3 老师告诉你们下面这一题里面肯定能找到幻方，但是只有一个幻方，看谁能最快找到它，用手势表示它的序号。 3、再出示四幅幻方图，经过比较，得到共性。 （将上题中不是幻方的改成幻方）这几个幻方通过比较你还能发现什么共同点呢，我们一起来找一找。 让小朋友四人一组讨论交流得出结论。 引导学生得出：1、5都在正中间 2、双数都在角上，单数都在中间。 4、根据幻方的特征做填数练习。 游戏：拯救小动物 要讲解填数的策略。 知识的拓展

小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解

幻方（一） 1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方 一、幻方起源 也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 二、幻方定义 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 87654 32 1 13 414151 6 1297 8 105113 2 16 三、解决这幻方常用的方法 ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 四、数独 知识点拨 教学目标

数阶幻方的编排方法

精心整理 奇数阶幻方的编排方法 简便易学的编排方法。 一、九子排列法 宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。 这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。 先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我 1 2 3 图1） 4 然后把5 5 1 下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。步骤如下： ①先画出一个5×5（五行五列）的方格，在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格（如下图1） ②把1～25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）； ③以3、15、23、11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形； ④把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全部平移5格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。 这种编排幻方的方法叫“巴舍法”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切的奇数阶幻方的编排。 需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写1～25这二十五个数时，可以从左向右上填写，也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。

另外，编排n 阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。 练习（一定要完成的哦） 1、使用“罗伯法”将4～12编排一个三阶幻方。 2、用“罗伯法”将21、31、32、41、4 3、61、121、125、12 7编成一个三阶幻方。 3、使用“巴舍法”将1～49编排一个七阶幻方。 双偶数阶幻方的编排方法 一、中心对称交换法 例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。 【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格 34。 是3412＋16＝40（即2与3，＋14＋16＝58（即8与12例如2又如，9称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。 由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下： ①把1～16按顺序排成四阶自然方阵； ②四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数； ③把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。 运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。 例2、用1～64这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。 【分析与解答】编排步骤如下: ①把1至64按顺序填入8×8的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图） ②把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角

(完整版)幻方教学设计方案

教学设计方案

书的奥秘，请你仔细观察，龟背上有什么奥秘呢？这些图案有什么奇特之处？ 总结：龟背上的图案代表了1~9九个不同的数。 （3）为了方便研究，人们把 这些图案所代表的数填在这张表格中（出示表格）数数这张表格有几格？（9格）我们把这样的表格称为“九宫格”。横着的三格叫“行”，竖着的三格叫“列”，斜着的三格叫做“斜行”，数一数它有几行几列几条斜行？ （4）然后把龟背上图案表示的数按照方位填在相应的格子里。先看中间的图案，可以用数字几来表示？剩下的黑点分别用数字几来表示？剩下的白点分别用数字几来表示？ 2.引入幻方 （1）小丁丁发现这个表格还有更神奇的地方。他想做什么？请你在练习纸上也计算下每行、每列、每斜行上三个数的和。看看能不能发现它的神奇之处。 你发现了什么秘密？ 总结：我们把像这样每行、每列、每斜行上的数之和相等 的方格叫做“幻方”（板书）。今天我们就来研究和是15的幻方。 （2）看来幻方确实很神奇，传说背上有洛书的龟是很幸运的，它向夏禹透露，其实它的每个姐妹背上都有奇怪的符号，但这种符号是按不同的顺学生发现九宫格有三行三 列两条斜行。 学生说，教师演示。 学生独立计算每行、每列、 每斜行上的三数之和。全班 汇报交流，教师板书。 指名汇报：它们的和都是 15。每行、每列、每斜行上 的三数之和相等。 背上的图案表示几 个不同的数，进而在 教师的引导下把龟 背图转变为九宫格。 计算是学习重点，本 环节是通过正确计 算来揭示幻方的第 一个秘密：行、列、 斜行计算三个数的 和都是15。

（二）和全是15，填空 1.这只龟姐妹背上的有些图案 已经看不清了，你能帮它找出 来吗？ 2.看!又来了一只龟爷爷，背上 的图案缺得更多了，请你帮帮 它好吗？ 学生独立完成练习，全班交 流。 学生掌握知识后应 能较好地解答问题， 但如何灵活、快速、 正确地解答也是教 学难点，所以策略的 运用就非常的重要。 他们自己意识到从 哪一步入手解答最 简单，最快、最准确 是关键。 四、拓展延伸 1.刚才表格里的数字都是1~9 九个数字。现在里面填的还是 1~9吗？那么它是幻方吗？请 你计算一下它每行、每列、每 斜行上的三数之和。 总结：幻方看来不局限于1～9， 还可以用其他数，只要每行、 每列、每斜行上的三数之和相 等。 2.不仅数可以换，形式也可以 变，如：4行4列 学生独立计算。全班汇报： 每行、每列、每斜行上的三 数之和都是24，相等。所以 它是幻方。 运用材料，借用数与 形的变换，拓宽视 野，丰富对幻方的认 识。

幻方教学案例

《幻方》教学案例 【案例背景】 《幻方》这一知识对于二年级学生来说是比较抽象、难理解的，是一个全新的数学问题。因此，在教学中我通过故事的讲述引入幻方，让学生简单了解幻方历史的同时激起学生对中国古代数学文化的兴趣；教学过程中采用观察、小组活动等形式让学生探讨三阶幻方的几个基本特点，初步培养学生比较、分析、判断、概括等能力。 【案例过程】 教学过程： 一、故事引入 1、播放Flash ：大禹治水的故事。 2、幻方的由来 3、揭题：幻方。 二、探究新知 （一）观察发现 1、仔细观察下面的幻方，有什么特点？ 生交流反馈 2、计算每行、每列、每条对角线三个数的和 （1）师提示：“计算前先找一找可以用一条笔直的线串起来的三个数 横着叫行（一共有3行）；竖着叫列（共有3列）；斜着叫对角线（2条对 角线） （2）每行、每列、每条对角线三个数的和是15 计算幻方每行、每列、每条对角线三数之和 横行：4+9+2=15 3+5+7=15 8+1+6=15 竖行：4+3+8=15 9+5+1=15 2+7+6=15 斜行：4+5+6=15 8+5+2=15 小结：每行 每列 三个数的和都是15（板书） 每条对角线 3、讨论为什么把5放在中间？ 小结：（1）一列数1、2、3、4、5、6、7、8、9。中5在中间。 （2）5在所有的加法算式中用了4次，其他的单数却只用了2次，双数用了3次、5是这些数中用的最多的一个数。 4、判断是否为幻方 （1） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 2 8 9 6 4 1 7 3 5 8 3 4 1 5 9 6 7 2

判断后观察第二个幻方（旋转第二个幻方：90°、180°、270°、360°） 生交流讨论 发现：1、双数都在角上 2、奇数都在边上 3、有5的算式中，另两个数相加的和都是10. （2）辨析：这个九宫格是幻方么？ 7 2 3 0 4 8 5 6 1 小组讨论 问：和刚才的幻方有什么不同？ （0-8这列数，中间的数字是4） 小结：连续9个单数或双数，只要是有规律的一列数。都能组成幻方。 （二）找出幻方中缺失的数 2 5 1 3 三、巩固练习 1、和全是15，填空 2、在方框中填入合适的数（不能重复），使每条线上的3个数之和相等。 四、总结：今天收获到了些什么？你有什么想要分享给大家吗？ 五、拓展 下面的幻方是用0到8构成的，请你开动脑筋，把它填完整。 3 8 1 找出0~8中间的数字填入九宫格的中间 【案例分析】 我通过讲述“大禹治水”的故事，营造了一个良好的氛围。通过语言组织如：“它神奇在哪里？”“它背上有怎样奇特的图案？”等问题引起生生、师生之间的互动，使每个学生真正投入到教学中，激发了学生学习的兴趣，学生的思维处于积极、兴奋状态。在认识幻方结构时，由情景生成有价值的问题，让学生自己发现龟背上的图案表示几个不同的数，进而在我的引导下把龟背图转变为九宫格，由我讲授它的行、列、对角线，并借助媒体演示，使学生从形象的乌龟壳上

浅谈幻方以及其解法

学号 1250901205 学年论文 （2016届本科） 题目：浅谈幻方以及其解法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 作者姓名：甘天明 指导教师：任天胜职称: 副教授 完成日期： 2014 年 12 月 18 日

浅谈幻方以及其解法 甘天明指导教师：任天胜 (河西学院数学与应用数学专业2016届2班05号甘肃张掖 734000) 摘要多少世纪以来，人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣，从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。 幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。 本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。 关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方. 1 引言 我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。 幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。 此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。 在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。 2预备知识 的方阵中，放入从1开始的2n个定义2.1 幻方，也叫纵横图，就是在n n 自然数，在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好相等。 定义2.2 幻方的各行、各列和两条对角线上的数字之和相等的和数即为幻和，也叫幻方常数。 定义2.3 奇阶幻方：当幻方中的n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。

“三阶幻方”教学案例—张丽上课讲义

“三阶幻方”教学案 例—张丽

数学思维四年级“三阶幻方”教学案例 背景介绍： 本节教材是我校校本课程《数学思维拓展》中四年级的教学内容。校本课程与原来老教材有所不同，更进一步从学生探究的角度出发，充分发挥学生是的主动性。选用这节课是因为这节课囊括了课堂活动、学生探究和师生完美配合等方面。当时这是一节常态课，授课方式为普通的启发式教学，所采用的上课方式是组讨论式。希望通过这节课同过去的课进行比较。考虑到本堂课的情况，未安排学生进行预习。 教学目标： 1．通过学生自主探究，得出“三阶幻方”的规律。 2．通过做一做，看一看，培养学生的操作能力，观察能力，判断能力，语言表达能力。 3．通过小组讨论培养学生合作交流的意识。 4．让学生体会到数学的无穷乐趣。 教学重难点： 通过讨论，分析出“三阶幻方”的规律和做“三阶幻方”的方法和技巧吗，。 教具学具： Ppt、习题卡 教学过程： 一、创设情境，探求新知

师：同学们，我们学校的数学思维，玩转数学部分都包括什么？ 生: 魔方、魔尺、数独、24点、围棋…… 师：那谁能说一说数独的特点？ 生：数独有四宫格、六宫格、九宫格。 生：我们四年级学的六宫数独很特殊，它有六个宫，每行、每列、每个宫内都填入数字1、2、3、4、5、6，并且不能重复。 师：嗯，这位同学真是一个善于总结、善于表达的好孩子！的确，数独有六个宫，行、列、宫之间都存在很独特的关系，今天，我们将学习和数独非常相像的内容——三节幻方。 板书：三阶幻方 点评：用回顾数独的特点导入本节课，很容易让孩子们把二者有机地联系起来，一是能把对数独的喜爱传递给“三阶幻方”；二是能通过回忆数独的做题方法联系到“三阶幻方”，有助于学生全力投入到课堂中，创设这种情境，激发了学生的学习兴趣和求知欲望，放飞了学生的思维，使学生积极地投入到学习活动之中，为学好这节课起到了很好的铺垫作用。 二、联系课堂实际，探究发掘规律 1、大屏幕上出示3×3的方格布阵图，让学生充满想象。 师：同学们，这九个方格可不是数独，但是我们也把它称之为九个宫，中间这一宫称作中宫。

四阶幻方解法

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 四阶幻方是最简单的双偶幻方,其构成方法就是两句话： 【顺序填数；以中心点对称互换数字】.以1-16构成的四阶幻方为例： 1、先把1放在四阶幻方4个角的任意一个角格,按同一个方向按顺序依次填 写其余数. 如图：按行从左向右顺序排数. 2、以中心点对称互换数字.（有两种对称交换的方法） 1）、以中心点对称交换对角线上的数（即1-16、4-13、6-11、7-10互换）,完成幻方,幻和值=34. 2）、以中心点对称交换非对角线上的数（即2-15、3-14、5-12、8-9互换）,完成幻方,幻和值=34. 什么样的16个数能构成四阶幻方呢?【4个数一组的4组数（共16个数）, 组与组对称等差,每组数与数对称等差,这样的16个数能构成四阶幻方（其中就包括等差的16个数）.】

如图 上图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以10-20-10对称等差. 下图,每组数与数以1-2-1对称等差,组与组以10-20-10对称等差. 再如：

上图,每组数与数等差为1,组与组等差为5. 中图,每组数与数等差为1,组与组以5-10-5对称等差. 下图,每组数与数以2-3-2对称等差,组与组以5-10-5对称等差. 【四阶幻方的特点：】 1、互换对称的行（列）,幻方成立. 2、互换一侧的行（或列）,再互换另一侧的行（或列）,幻方亦成立. 3、互换不对称的行（或列）,再互换另外不对称的行（或列）,幻方亦成立. 4、平移互换对角的行或列、平移互换对角,幻方成立. 另,每16个能构成四阶幻方的数,幻方的填法有880种.

人教版初中七年级上册数学导学案《三阶幻方》教学设计

人教版初中七年级上册数学导学案《三阶幻方》教案 一、教材分析： 本课题学习是在”有理数及其运算“”的基础上，通过阅读与欣赏引导学生数形结合上感受幻方的均衡对称美；借助有理数的运算探索规律揭示三阶幻方的本质特征；以探寻神奇的幻方为载体，在活动过程中提高学生对蕴含在客观现实事物中的规律性结论进行感受、发现、分析、拓展的能力。强调数学知识的关联性、整体性和综合应用性。 二、目标分析 1．知识与技能 （1）体验有理数混合运算、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系； （2）借助洛书、杨辉幻方等史料，让学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心; （3）引导学生从图形上感受幻方的均衡对称美；设计开放性问题引导学生独立思考、大胆质疑、交流合作; （4）以探寻神奇的幻方为载体提高学生对蕴含在客观现实事物中的规律性结论进行感受、发现、分析、拓展的能力。 2．过程与方法 （1）通过材料，对三阶幻方中所蕴含的规律进行分析、抽象。 （2）教师起到适当引导的作用，并对学生的回答给予肯定与鼓励。 （3）课件演示，辅助教学。采用学为主导，以学生为主体。 3．情感态度与价值观 （1）经历本节课的阅读与欣赏，养成主动探索、求知的学习态度，激发学生对数学的好奇心和求知欲,培养学生的合作精神。 （2）通过这节课让学生感受数学的好玩、欣赏的优美、体会数学家治学的严谨，初步感知数学中的真、善、美。 三、教学思路： 通过阅读欣赏河图、洛书的典故，了解九宫格（三阶幻方）的由来，感受祖国文化的博大精深通过鉴赏杨辉对三阶幻方规律的总结，让学生感知并寻找数

学中的乐趣，激发他们的好奇心和求知欲通过学生的小组合作，完成提出的问题，让学生感受成功的快乐。通过欣赏三阶幻方的诗，感受数学也是具有诗歌的内在气质的。 四、教学过程 一、阅读欣赏：幻方起源 相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一图，作为礼物献给他，这就是“河图”，伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。 这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个数，这九个数组成一个纵横图，无论是纵向、横向、斜向、三条线上的三个数字其和皆等于15，九宫格游戏正是在纵横图的基础上发展而来的。在现代数学中，九宫格被称为三阶幻方。 二：课题学习 《灵敏巧慧的数学 ---三阶幻方》[生]：学生欣赏洛书，得到三阶幻方的对应数字。如图所示。

(完整版)任意奇数阶幻方的杨辉斜排法(20210206050533)

任意奇数阶幻方的杨辉斜排法 --- 对杨辉口诀的讨论 范贤荣2016.3.8 关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法： “九子斜排，上下对易，左右相 更，四维挺出”。按照这个口诀，画出 “上下对易，左右相更”之后，形成图 1d 的图面。因此，必定有 一个“四维挺出”的步骤。最后得到“戴九履一，左三右七，二四爲肩，六八爲足”的三阶幻方。见图 1。 九子斜徘 a 上下对易 即 g 对易 b 左右相更 四錐艇出 巴 d 幻方即磁 - 图1杨辉口诀的画法 可见，杨辉口诀是在利用 5X 5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出 5X 5方格的3阶 的幻方，如图1e 。 图2 菱中取方的画法 现在,我们很多人用的是“取方框”画法 。即在5X 5的方阵中，取出 3X 3方框来，如图2b 的红框。 红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的 9,是走到框内的蓝方块中。因此 1、9没有“对易”。同 样，3、7也没有“相更”。因此，就没有“上下对易，左右相更”了。所以，就不需要“四维挺出”了。 因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。 所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成： 各子斜排为菱形，中间取方当作城， 城外有子城内空，四围都往城中进。 挺进多少方可止，几阶就挺几步深。 注1: “四围”就是上下左右四边。 “都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。 注2: “几阶就挺几步深”。如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。见图 2。 1 斗 1 7 S S 6 9 四團都向坝挺进 九彳網排成羞理 挺进三步幻方成