科斯定理及其应用

前言：本人这学期刚好修了新制度经济学，初入其门不得其法，诸多问题反复斟酌无定论，沉思良久，决定讨教于人大经济学论坛诸位前辈和同道中人。望各位高手多多批评，以增见识，亦可使本人读书笔记得以上交，万分致谢！！

科斯定理及其应用问题浅析

国内外文献中对“科斯定理”的内涵理解，可谓五花八门。本文首先对“科斯定理”的各种表述进行总结，然后对其含义和应用问题做出简单的评价。

一、科斯定理的含义

1、科斯的表述

科斯在其论文《社会成本问题》中，实质上提出了定理的两层含义[1]，具体表述如下[2]：（1）、如果假定价格体系无成本地运行，资源配置的最终结果（即产值最大化）不受法定权利的分配影响。（2）、一旦考虑进行交易的成本……在这样的情况下，法定权利的最初分配确实对经济运行的效率产生影响。[ii]

2、斯蒂格勒的总结

在《价格理论》中，斯蒂格勒总结道：“科斯定理这样断言，在完全竞

3、新帕尔格拉夫经济学大辞典的概括

由Robert Cooter撰写的“科斯定理”词条概括了对科斯定理的三种主要

一为“自由交换论”：法定权利的最初分配从效率角度看是无关紧要的，只要这些权利能自由交换；二为“交易成本论”：法定权利的

最初分配从效率角度看是无关紧要的，只要交换的交易成本为零；三为“完全竞争论”：法定权利的最初分配从效率角度看是无关紧要的，只要权利能够在完全竞争的市场进行交换。这三个阐发结论相同，条件各异，

4、张五常的阐释

张五常把科斯定理的前提条件“交易成本为零”放宽到交易费用为正的情况，断言：“高斯定律的主旨，就是不管权利谁属，只要是清楚地界定是私有，市场的运作能力便会应运而起；权利的买卖者互定合约，使

他说，市场的相对价格不变，

他的结论和科斯定理的第二层含义矛盾。

5、总结

科斯本人没有提出所谓定理，在斯蒂格勒第一次总结“科斯定理”之后，各种解释纷繁复杂。值得注意的是，科斯的原意是指出存在交易成本时法定权利的最初分配影响经济效率的问题，但得到广泛流传的却是不存在交易成本的第一层含义。张五常则更进一步，把清晰界定产权作为资源达到最佳配置的必要条件。对此，科斯曾表示：“我的论点是说明将正的交易成本引人经济分析的必要，从而使我们得以研究现实的世界。但这并不是我的文章的效果。各种杂志上充斥的是关于交易成本为零的科斯定理的讨论”。[8]这是值得思考的。

二、科斯定理及张五常的阐释存在的问题

科斯定理的第二层含义自然是不存在问题的，问题主要集中在第一层，即无交易成本的情况。

1、权利需求缺失

科斯的牛吃麦例子中，无论决定牛吃麦的权利界定给谁，最终通过市场交易都会达到资源的有效利用。科斯实质上指出：无效率的法定权利界定，会通过权利市场的交易得到矫正。其交易费用为零的假定，意味着权利市场没有阻碍，权利可以自由交换。但同时，科斯没有指出的是，它还暗含着另外一个假定：人们对权利有供给，有需求，同时需求和供给会如同产品市场一样达到均衡。供给指愿意并且能够提供权利的能力，产权界定清晰确保了权利能够被提供（即可转让），而资源配置的不同效率，则确保了权利愿意被提供，两方面确保权利供给不存在问题。同时，无交易成本确保了需求和供给两者可以无阻碍达到均衡，但我要着重指出权利需求方面可能有问题。需求指愿意并且能够购买某种权利的能力，两种情况下权利需求缺失。

（1）、有一方不能购买权利。如科斯所举例子，如果吃麦的权利界定

给养牛人，那么他的个人最优养牛数是9头，而农民可以通过付给养牛人一个报酬以使其降低到3头的社会最优水平。这是假定农民可以付得起这个负担。如果农民付不起，或者只能承担一部分呢？当我们把养牛人因为牛吃麦而增加的收益数字改大一些，那么，农民是否有能力付给这个报酬，或者即使有能力，是否愿意付给这个报酬，就值得商榷了。例如在工厂排污的例子中，如果安装净化器的费用极其高昂，很难想象居民能够承担如此高的费用。

（2）、有一方不愿购买权利。同样的例子，假定耕地年纯收益带有风险（这个假定和现实世界更加契合），固定成本5万元，1/2的概率卖得30万，1/2概率得0。而牛吃麦一年增加收益9万元但会完全破坏麦地，从社会角度看，种麦的期望纯收益为（1/2*30+1/2*0）-5=10万元,应该禁止牛吃麦。如果牛吃麦权利归农民所有，最终配置是有效率的。但如果牛吃麦的权利界定给养牛人，那么农民是否愿意付给养牛人超过9万的报酬以换取牛不吃麦呢？这里要区分两种情况，一种是沉淀成本已经投入，麦已经播种了，为了避免损失，农民宁愿付出9万元代价；另一种情况农民尚未播种，需要额外增加9万元成本，而10万元的纯期望收益尚存在天气、市场等方面的风险，理性人不会愿意进行权利交易，见表1。这是经常出现的状况，凯尼曼（Kanhnman ）的研究表明人们的选择行为受到心理因素的支配，人们往往对收益持风险回避的态度

这两方面的情况会导致权利不能完成交易，于是法定权利的最初分配就会导致不同的资源配置结果。这就引出一个问题：所有阻碍权利交易完成的因素，能否全部归于交易成本？换言之，科斯定理中的“交易成本” 如果说交易成本泛指一切使交易无法形成的

成本，包括上述的权利需求缺失问题，那么科斯定理就变成了循环论证的同义反复。

2、双方博弈无均衡

博弈问题指出权利需求和供给双方的谈判有可能达不成一致。设出售权利一方对权利最低评价为X,欲购买权利一方对权利最高评价为Y，X

议无法达成。博弈论证明，当事人大于三个时，达成的协议常常是无效

3、交易成本为正的现实世界

张五常把交易成本为零的条件放宽，认为只要产权明晰化，就会导致市场交易完成，资源达到最佳配置。我不能同意。在现实世界中，除了以上所述问题外，还有两种情况：（1）、交易成本足够大，以致市场交

易根本无法完成。如涉及铁轨溅火花例子中上千人和铁路公司的博弈，双方信息不对称，谈判成本高，如何达成交易？（2）、从实际上看，

存在交易成本时，通过市场交易权利只是其中一种办法。更现实的是，拥有权利和优势的一方，会采取非市场手段获得资源。现实中房地产开发商和农民之间的博弈，时常以强势一方我行我素告终，谁见过房地产老总拉下脸皮和农民面对面谈判的？

以上分析表明，在交易成本为零情况下尚且存在交易不能完成的问题，因而在交易成本为正的现实世界中，市场交易通常受到更大阻力而夭折，这表明张五常的结论是不合现实的。

4、收入分配和财富效应

明显地，权利交易双方的收入分配不在科斯定理的关注范围之内。这种收入分配的不平等，最终会累积成财富效应，对权利的交易产生影响。

同时，不注重收入分配自然会遭致关于社会公平方面的批评。

三、应用科斯定理出现的问题

1、国有企业改革只有私有化一条路吗？

科斯指出，经济绩效内生决定于产权安排，而最佳的产权安排是使交易成本最小的安排。张五常在此基础上，认为私有产权下由市场发挥作用的交易费用最低，因此主张对国有企业进行私有化改革。张五常说：“我

对此我不敢苟同。共有产权固然存在激励不足、产权界定不明晰的问题，但同时它也有一些优势，如避免了私有产权之间的各种纠纷、矛盾。同时，从共有产权转向私有产权的过程也是需要成本的，有时候这个成本巨大到私有化根本不可能，这个成本的大小和私有产权带来的净收益的大小，没有定量研究的基础，贸然断言似乎是不够科学的。共有产权的租金消散问题，未必一定要通过界定私有产权来解决，世界上同样存在管理得相当好的公共财产，如瑞士北部的森林、新加坡航空公司等，说明并非私有化才有效率，只要存在足够良好的激励机制。如诺斯所批评的，“把成功的西方市场经济政治和经济规则搬到第三世界和东欧国家并不是它们取得良好绩效的充分条件，私有化并不是解决经济绩效最好

这有意无意给官商勾结掠夺国有资产留下口实，这也是私有化遭受责难最直接的地方之一。

2、经济效率决定一切吗？

即使按照张五常的结论，私有化能收到最高的经济效率，那么，社会决策仅需要考虑经济效率的因素吗？或者说，效率的提高，是否一定是政策制定的充要条件？不尽然。收入分配问题、社会稳定问题，也是决策必须考虑的变量。换言之，一项政策没有提高效率，但是使收入分配更加合理，也是常常出现的情况，如转移支付。另外，在提供基础设施和公共品、保障社会稳定等方面，国有企业私有化后未必就能解决。简单套用科斯定理，采取激进式的私有化改革，不注重产权界定的结果，可能会导致严重的社会问题。

圆幂定理

圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等） 几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理） 概述 相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定理为： 切割线定理 割线定理 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB ∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。其逆定理也可用于证明四点共圆。 P 不是圆心 3比较

切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA·PB（切割线定理） 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理） 由上可知:PT2=PA·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=PA·PB

证明：连接AT, BT ∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·PA 3比较 相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求直线段长度。 割线定理：指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等， 1定义 文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有LA·LB=LC·LD=LT^2。如下图所示。(LT为切线）

2019年中考数学复习【垂径定理的应用】专项精练卷及答案解析

2019年中考数学复习 【垂径定理的应用】专项精练卷 一．填空题 1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田（如图阴影部分面积）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指 圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为． 2．位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，其中一处中式圆形门，它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为． 3．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸． 4．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是cm． 5．如图，某种鱼缸的主视图可视为弓形，该鱼缸装满水时的最大深度CD为18cm，半径OC为13cm，则鱼缸口的直径AB＝cm．

6．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D 的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm． 7．如图，有一块矩形木板ABCD，AB＝13dm，BC＝8dm，工人师傅在该木板上锯下一块宽为xdm的矩形木板MBCN，并将其拼接在剩下的矩形木板AMND的正下方，其中M′、B′、C′、N′分别与M、B、C、N 对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则x的取值范围是，且最大圆的面积是dm2． 8．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是cm． 二．选择题 9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是（）

公开课教学设计(正余弦定理及其应用)

解三角形教学设计 四川泸县二中吴超 教学目标 1.知识与技能 掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法 通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观 培养转化与化归的数学思想。 教学重、难点 重点：正、余弦定理的应用 难点: 正、余弦定理的实际问题应用 拟解决的主要问题 这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题： （1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用 （2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用 （3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开 教学流程

教学过程 一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等 二、典例探究 例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用） 如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法） 解3：等面积法 解4：观察角的关系，两角和正切公式 解5：向量数量积定义 练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED

初中数学中被删掉的有用知识圆幂定理及其应用

圆幂定理及其应用 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD 是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外 一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过 的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点 旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可 得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2； 在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2 ＝OP2-R2 在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2 ＝OP2-R2. 教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理. 二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行) 例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆

垂径定理练习题及答案

垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D ★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ． B ． C ． D ．

答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米

勾股定理及其应用总结归纳

精心整理第五次课勾股定理及其应用 本章知识要点 A. 勾股定理及其逆定理。 B. 验证、证明勾股定理及其依据（面积法）。

重点知识勾股定理的验证

重点知识确定几何体上的最短路线 例1 B A

图 AC=c ，请利用四边形D C BC ''的面积验证勾股定理222c b a =+. （2）如图1-1-9（2），台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，已知旗杆原长16 m ，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？ 例7 如图1-2-6，A 、B 两个小镇在河流CD 同侧，到河的距离分别为AC ＝10千米，BD ＝30千米， 图 图1-2-9

且CD＝30千米，现在要在河岸上修建一个自来水厂，分别向A、B两镇供水.铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河岸上选择自来水厂的位置，使铺设水管的总费用最低，并求出最低总费用. 例8 如图1-2-7，一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m，如果 家庭作业 ＝，CH＝，5.△ABC中，AB＝25，BC＝20，CA＝15，CM和CH分别是中线和高。那么S △ABC MH＝ 图 6.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．

7.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，AD ⊥BC 于D ，则AD= . 8.如图1-1-2，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB=13，AD=12， AC=15,BD=5，则BC 的长为 9.如图1-1-5，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米， 且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万 元，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 10.如图1-1-6，一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。 这个梯子顶端离地面有多高？ 如果梯子的顶端下滑了4 11.如图1-2-11，长方体的长为15cm ，宽为10果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B 图1-1-2 B 图

垂径定理的应用教案

课题：垂径定理的应用 一、引入：简要复习垂径定理及其推论的内容。 二、题组训练： 教学意图：通过题组训练强化学生对垂径定理及其推论的应用，在此过程中逐步渗透用方程思想来解决几何运算的问题，并介绍弓形的高的概念，目的是分解课本上例3“赵州桥问题”的难度，为下面顺利建立数学模型解决此例题做好准备。 1、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，于D ，AB = 8cm ，OD = 3cm. 求 ⊙O 的半径OA. （直接应用垂径定理） 2、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦， OC 交AB 于D 且D 为AB 的中点，AB = 8cm ，OA = 5cm. 求CD. （应用垂径定理的推论） 3、已知：如图，⊙O 中， AB 为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC 交 AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 2cm. 求 ⊙O 的半径OA . （应用垂径定理的推论和方程的思想） 4、如图，在弓形ACB 中，AB ＝16cm ，弓形的高CD 为4cm ，求弓形所在的圆的半径。 （强化垂径定理和方程思想的运用，逐步渗透数学建模的思想。） 5、小结：对于一个圆中的弦长a 、圆心到弦的距离d 、圆半径r 、弓形高 h ，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有： （1）h d r +=；（2）222)2(h a r += 三、解决“赵州桥问题” 例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧 形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧的中点到弦的 距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）. 教学程序及意图说明： 1、先用图片和文字介绍赵州桥的历史和特点，激发学生学习的兴趣； 2、展示赵州桥的平面示意图，帮助学生理解题意并初步建立数学模型。 3、分析、讲解建模的过程，给出解题过程。 四、建模强化训练： 1、在直径为650mm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面 宽AB = 600mm ，求油的最大深度. 2、如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米，半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3 米的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由。 五、小结和布置作业。 ·A B O C D ·A B O C D A B

新人教A版版高考数学一轮复习三角函数解三角形正弦定理余弦定理及其应用教学案理解析版

[考纲传真] １．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.２．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． １．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 内容错误!＝错误!＝错误!＝２R. a２＝b２＋c２—２bc cos_A； b２＝c２＋a２—２ca cos_B； c２＝a２＋b２—２ab cos_C. 变形 （１）a＝２R sin A，b＝２R sin B，c＝２R sin C； （２）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； （３）错误!＝错误!＝２R. cos A＝错误!； cos B＝错误!； cos C＝错误!. （１）S＝错误!a·h a（h a表示边a上的高）； （２）S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误!bc sin A； （３）S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）． ３．实际问题中的常用角 （１）仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角（如图１）． （２）方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东３0°、北偏西４５°、西偏北60°等． （３）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α（如图２）．（４）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． [常用结论]

１．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. ２．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B. ３．内角和公式的变形 （１）sin（A＋B）＝sin C； （２）cos（A＋B）＝—cos C. ４．在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形． [基础自测] １．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（） （２）在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.（） （３）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（） （４）当b２＋c２—a２＞0时，△ABC为锐角三角形；当b２＋c２—a２＝0时，△ABC为直角三角形；当b ２＋c２—a２＜0时，△ABC为钝角三角形． [答案] （１）×（２）√（３）×（４）× ２．（教材改编）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝错误!，B＝错误!，a＝１，则b＝（） Ａ．２Ｂ．１ Ｃ．错误!Ｄ．错误! D [由错误!＝错误!得b＝错误!＝错误!＝错误!×２＝错误!.] ３．（教材改编）在△ABC中，若a＝１8，b＝２４，A＝４５°，则此三角形有（） Ａ．无解Ｂ．两解 Ｃ．一解Ｄ．解的个数不确定 B [∵b sin A＝２４sin ４５°＝１２错误!， ∴１２错误!＜１8＜２４，即b sin A＜a＜b.

《1.3.1圆幂定理》教学案3

《1.3.1圆幂定理》教学案 【教学目标】 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 【教学重难点】 重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用； 难点：灵活运用圆幂定理解题. 【教学过程】 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等. 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等) 几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P D(相交弦定理) 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆 周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.) ∴△P AC∽△PDB ∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆. 3比较 相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度. 4相交弦定理推论 定理 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项. 说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)

切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种. 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=P A·PB(切割线定理) 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT2=P A·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=P A·PB 证明：连接AT，BT ∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·P A

垂径定理在实际问题中的应用举例

- 1 - 垂径定理在实际问题中的应用 “数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者． 例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块 析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B. 例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A.5 B.7 C. 537 D. 7 37 析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r= 7 37 .故选D. 例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知 AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ． 析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO 是Rt △,所以OD=2 2 1610()62 -=,CD=10－6=4,填4. 例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根 O D A B C 图3 D B A O C 图 4 O M N G 图5 图1

圆幂定理及其应用

[文件] sxc3jja0008.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [章节] [关键词] 圆/圆幂定理/应用 [标题] 圆幂定理及其应用 [内容] 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程， 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一 点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的 切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2；

(文章)垂径定理在实际问题中的应用

垂径定理在实际问题中的应用 “数学源于生活，生活中充满着数学”,我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例,以飨读者． 例1小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A ．第①块 B ．第②块 C ．第③块 D ．第④块 析解：显然，小明带到商店去的应是一块能确定其 圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的玻璃碎片，根据垂径定理 可知，由第②块可确定出圆心和半径（如图2所示），故选答案B. 例2高速公路的隧道和桥梁最多．如图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高C D =7米，则此圆的半径O A =（ ） A.5 B.7 C. 5 37 D. 7 37 析解：本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r ，有(7－r)2+52=r 2. 解之得,r= 7 37.故选D. 例3兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ． 析解:考查垂径定理及其应用,如图根据垂径定理,三角形ADO 是Rt △,所以 6=,CD=10－6=4,填4. 例4如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm ，且AB ，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 析解:本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径. 如图5，连接AC ，作AC 的中垂线交AC 于G ，交BD 于N ，交圆的另一点为M ，由垂径定理可知：MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN 的中点O ，则O 为圆心，连接OA 、OC ， ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴AB ∥CD ． ∵AB=CD,∴四边形ABCD 为矩形, ∴AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm, 图3 图 4 O M N G 图1

(完整word版)余弦定理及其应用

余弦定理及其应用 【教学目标】 【知识与技能目标】 (1)了解并掌握余弦定理及其推导过程． (2)会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边、角方面的问题． (3)能利用计算器进行简单的计算（反三角）． 【过程与能力目标】 (1)用向量的方法证明余弦定理，不仅可以体现向量的工具性，更能加深对向量知识应用的认识． (2)通过引导、启发、诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力． 【情感与态度目标】 通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间的联系，来体现事物之间的普遍联系与辩证统一． 【教学重点】 余弦定理的证明及应用． 【教学难点】 (1)用向量知识证明余弦定理时的思路分析与探索． (2)余弦定理在解三角形时的应用思路． 【教学过程】 一、引入 问：在R t △ABC 中，若C=090，三边之间满足什么关系？ 答：222b a c += 问：若C ≠090，三边之间是否还满足上述关系？ 答：应该不会有了！ 问：何以见得？ 答：假如b a ,不变，将A 、B 往里压缩，则C ＜090，且222b a c +<； 同理，假如b a ,不变，将A 、B 往外拉伸，则C ＞090，且222b a c +>． 师：非常正确！那么，这样的变化有没有什么规律呢？ 答：规律肯定会有，否则，您就不会拿它来说事了． 问：仔细观察，然后想想，到底会有什么规律呢？ 答：有点象向量的加法或减法，→→→+=a c b 或→→→-=c b a ． A C B a b c A C B a b c

【探求】 设△ABC 的三边长分别为c b a ,,， 由于→→→+=BC AB AC B ac c a b a B ac c BC B B C AB AB b BC BC BC AB AB AB AC BC AB BC AB AC AC cos 2cos 2)180cos(22) ()(2222 220222-+=+-=+-+=∴?+?+?=+?+=?∴→→→→→→→→→→→→→→→→→即即 问：仔细观察这个式子，你能否找出它的内在特点？ 答：能！式子中有三边一角，具体包括如下三个方面： 第一、左边是什么边，右边就是什么角； 第二、左边有什么边，右边就没有什么边； 第三、边是平方和，乘积那里是“减号”． 师：很好！那么，你能否仿照这个形式写出类似的另外两个？ 答：可以！它们是：A bc c b a cos 2222-+=和C abc b a c cos 2222-+=． 【总结】这就是我们今天要讲的余弦定理，现在，让我们来继续研究它的结构特点以及其应用问题． 板书课题 余弦定理及其应用 二、新课 （一）余弦定理的文字表述： 三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （二）余弦定理的另一种表述形式： bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 2 22-+= （三）归纳 1. 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等； 2. 每个式子中都有四个量，知道其中的三个就可以求另外的一个； 3. 当夹角为090（即三角形为直角三角形）时即为勾股定理 (特例)． A C B a b c

专题13相似三角形定理与圆幂定理

专题十三相似三角形定理与圆幂定理 本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识．通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【知识要点】 1．相似三角形概念 相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形． 相似比：相似三角形对应边的比． 2．相似三角形的判定 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)． 如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)． 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)． 3．直角三角形相似的判定定理 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似． 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 4．相似三角形的性质 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 5．相关结论 平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例． 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比． 经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰． 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． 若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行． 6．弦切角定理 弦切角定义：切线与弦所夹的角． 弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 7．圆内接四边形的性质 圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角． 8．圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有PA·PB＝PC·PD．【复习要求】 1．了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理． 2．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推

10.中考数学垂径定理的应用 原卷版

计算力专训四十三、垂径定理的应用 1．（2020·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，4AP =，8BP =，45APC ∠=?，则CD 的长为（ ） A B ．C ． D ．12 2．（2020·江苏江都·初三月考）如图，O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt ABC ?的内部，BAC 90?∠=， OA 1=，BC 8=．则O 的半径为（ ） A ．5 B C ．D 3．（2020·无锡市东北塘中学月考）下列语句，错误的是（ ） A ．直径是弦 B ．相等的圆心角所对的弧相等 C ．弦的垂直平分线一定经过圆心 D ．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 4．（2020·江苏南京·文昌初级中学月考）如图为一半径为3m 的圆形会议室区域，其中放有4个宽为1m 的长方形会议桌，这些会议桌均有两个顶点在圆形边上，另两个顶点紧靠相邻桌子的顶点，则每个会议桌的长

为_________． 5．（2020·常州市武进区遥观初级中学初三月考）如图，⊙O 的半径为10，弦AB 的长为12，OD⊙AB ，交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，则CD=______． 6．（2020·兰溪市实验中学初三月考）已知O 的半径为5，弦6AB =，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的最小值为_____． 7．（2020·北京市三帆中学初三月考）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交O 于点D ．若1,4CD AB ==，则O 的半径是_________．

8．（2020·滨海县滨淮初级中学初三月考）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，2BD =，则直径AB 的长为__________． 9．（2020·浙江温州·初三月考）如图，D 是O 弦BC 的中点，A 是BC 上一点，OA 与BC 交于点E ，已 知8AO =，12BC =． （1）求线段OD 的长． （2）当EO =时，求ED ，EO 的长． 10．（2020·杭州市实验外国语学校初三月考）如图，在O 中，DE 是O 的直径，AB 是O 的弦，AB 的中点C 在直径DE 上．已知8AB cm =，2CD cm =． （1）求O 的半径； （2）连接AE ，过圆心O 向AE 作垂线，垂足为F ，求OF 的长．

勾股定理的应用

卓邦教育勾股定理应用练习 1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（） A、3 B、5 C、4.2 D、4 1题2题3题4题 2.如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（） A、10米 B、6米 C、7米 D、8米 3．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺． A、10 B、12 C、13 D、14 4.如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（） A、10米 B、16米 C、15米 D、14米 5.如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA=10km，CB=15km．DA⊥AB 于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km． A、5 B、10 C、15 D、25 6．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB=8m，AD=6m，CD=24m，BC=26m，又已知∠A=90°．求这块土地的面积． 7.如图，某地方政府决定在相距50km的两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且C、D两村到点E的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=30km，CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？

三余弦定理及其应用举例

三余弦定理及其应用举例一、三余弦定理（又叫最小角定理） 如图所示，设A为面α上一点，过A的斜线AO在面α上的射影为 AB， AC为面α内的一条直线，那么∠OAC,∠OAB,∠BAC三角的余弦关系为： OAB BAC OAC∠ ? ∠ = ∠cos cos cos(∠BAC和∠OAB只能是锐角） 不难验证：cosθ=cosθ1×cosθ2． 特别地，当∠BAC为零角时，由于1 cos0=， ∴斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的角．二、应用练习 在ABC Rt?中,4 ,3 , 2 = = = ∠AC AB π A,PA是面ABC的斜线, 3 π PAC PAB = ∠ = ∠． (1)求PA与面ABC所成的角的大小； (2)当PA的长度等于多少的时候，点P在平面ABC内的射影恰好落在边BC上？ 图（1）图（2）图（3） 解：(1)依题意，斜线PA在面ABC上的射影必在∠BAC的角平分线上，设垂足为O，连结AO,并延长AO∩BC=D,设θ PAO= ∠,则θ即为斜线PA与面ABC所成的角, 因此 2 2 2 2 2 1 4 cos 3 cos cos= = = π π θ,∴ 4 π θ=,即斜线PA与面ABC所成的角为 4 π ； B

∵直角三角形ABC 的直角平分线长AD=7 212， ∴当延长AP 到/p 时，AD 成为斜线/Ap 的射影，垂足D 恰好落在边BC 上， ∴7 2472122/=?=Ap ， 即当PA 的长度等于 724的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上． 辅助例题.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影必在这个角的平分线上． 已知：,,,,AC PF AB PE αP αBAC ⊥⊥??∠ αPO PF PE ⊥=,， 求证：OAC OAB ∠=∠． 证明：连OA 、OE 、OF ， ∵PF PE αOF OE αPO =?⊥,,、， ∴OPE Rt ?≌OPF Rt ?，故OE=OF ； 由??? ???==⊥⊥PA PA PF PE AC PF AB PE ,PAE Rt ?≌PAF Rt ?，故AE=AF ； 由??? ???===AO AO AF AE OF OE OAE Rt ?≌OAF Rt ?，故OAC OAB ∠=∠． 说明：此结论可以作为定理来用．

《1.3.1圆幂定理》教学案1

《1.3.1圆幂定理》教学案 教学目标 1．知识与技能：(1)理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；(2)学会作两条已知线段的比例中项； 2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知； 3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．教学重、难点 重点：正确理解相交弦定理及其推论 难点：相交弦定理及其推论的熟练运用 教学过程 前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题. 探究1如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB.AB与CD相交于P，线段P A、PB、PC、P D之间有什么关系？ ?=?(老师引导学生完成推导过程) . PA PB PC PD 探究2将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？ 连接AD、BC，请同学们自己给出证明. 探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？ 事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明. 由上诉探究和论证，我们有 1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段P A(或PB)、PC、P D之间有什么关系？ 2. =?(老师引导学生完成推导过程) PA PC PD

由上诉探究和论证，我们有 3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析： 由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则P A? PB都是定值. 设定植为k，则： 当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得 k = P A? PB = PT2= PO2- r2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于OP，则： k = P A? PB = P A2= r2 - PO2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆上时，显然k=0. 由上，我们可以得到： 圆幂定理： 已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，则： 当点P在圆外时，k= PO2- r2； 当点P在圆内时，k= r2- PO2； 当点P在⊙O上时，k= 0. 我们称定值k为点P对⊙O的“幂” 【自主检测】 1. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_ ____. 2. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若P A·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_______. 3 . 若P A为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，P A=P C的长为_______. 4. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，⊙O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF ＝______．