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六年级奥数-第六讲.分数百分数应用题.教师版

第六讲：分数百分数应用题

教学目标

1.分析题目确定单位“1”

2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题

3.抓住不变量，统一单位“1”BJ03-Y0355

知识点拨：

一、知识点概述

分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键．

关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．

（2）甲比乙多1

，乙比甲少几分之几？

方法一：可设乙为单位“1”，则甲为

+=，因此乙比甲少

191

889

÷=.

方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少

1 19

9÷=.

二、怎样找准分数应用题中单位“1”

（一）、部分数和总数

在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么

总数就是单位“1”。

例如：

我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。

解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。

（二）、两种数量比较

分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带

有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就

作为标准量，也就是单位“1”。

例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），

解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”

谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。（三）、原数量与现数量

有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。这类分数应

用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字，然后在分析。

例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。

完善后：水结成冰后体积增加了→“水结成冰后体积比原来增加了”→原来的水是单位“1”

冰融化成水后，体积减少了→“冰融化成水后，体积比原来减少了”→原来的冰是单位“1”

解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析

例题精讲

【例 1】 (小数报数学竞赛初赛)甲、乙两人星期天一起上街买东西，两人身上所带的钱共计是86元.在人

民市场，甲买一双运动鞋花去了所带钱的4

，乙买一件衬衫花去了人民币16元．这样两人身上所

剩的钱正好一样多．问甲、乙两人原先各带了多少钱?

【解析】方法一：把甲所带的钱视为单位“1”，由题意，乙花去16元后所剩的钱与甲所带钱的5

一样多，

那么8616

-元钱正好是甲所带钱的519+，那么甲原来带了5

(8616)(1)459

-÷+=(元)，乙原来带了864541-=(元)．

方法二：

乙

甲

86元

16元

4份

设甲所带的钱数为9份，则甲和乙都还剩5份，所以每份是(8616(95)5-÷+=(元)，则甲原来带了5945?=(元)，乙原来带了551641?+=(元).

【巩固】一实验五年级共有学生152人，选出男同学的

和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女人数正好相等。五年级男、女同学各有多少人？

【解析】根据题意画出线段图，找出量率对应：

题中所给的已知数量虽然没有直接的对应关系，但从中可以看出，如果女工去掉5人就和男工人数

的（1－

111）相对应，因此总人数也应去掉5人，相应的与男工人数的（1－1

＋1）相对应。因此男工有：（152－5）÷（1－1

＋1）=77（名）女工有：152－77=75（名）答：男共有77

名，女工有75名。

【巩固】五年级有学生238人，选出男生的

和14名女生参加团体操，这时剩下的男生和女生人数一样多，问：五年级女生有多少人？

【解析】男生人数为3(23814)(1)1284

-÷+=(人)，女生有：3

128141104

?+=(人)．

【例 2】甲、乙两个书架共有1100本书，从甲书架借出1

，从乙书架借出75%以后，甲书架是乙书架的2倍

还多150本，问乙书架原有多少本书？

【解析】

这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化，变化之后的关系是两倍还多150本，也就是说：甲的

23比乙的1

的两倍还多150本，如果能够正确地理解和转化这个条件，这道题也就迎刃而解了，从上图中不难看出，“甲的

23比乙的14的两倍还多150本”其实也就是“甲的23比乙的1

多150本”，如果同时扩大两倍，他们之间的关系就变成了“甲的

比乙多300本”，结合“甲乙的和为1100本”这个条件，这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。 12133-=，1

175%4-=，1502300?=（本），11242?=， 21

(1100300)(22)60032+÷?+?=（本）…………甲的书本数目

1100600500-=（本）………………………………乙的书本数目

方法二：设甲原有x 本书，()111502175%11003x x ???

?--÷÷-+= ?????

，解得600x =，则乙为

500本。

【例 3】五年级上学期男、女生共有300人，这一学期男生增加

125，女生增加120

，共增加了13人．这一学年六年级男、女生各有多少人?

共1100本

同时扩大两倍

【解析】方法一：此题我们用假设法来解答．假设这一学期五年级男、女生人数都增加

，那么增加的人数应为13001225?=(人)，

这与实际增加的13人相差13121-=(人)．相差1人的原因是把女生增加的1

20看成125计算了，即少算了原女生人数的1112025100

，也就是说这1人正好相当于上学期女生人数的1%，可求出上学期女生的人数：111

(13300)()100252025

-?÷-=(人)，男生人数为：

300100200-=(人)，这学年女生的人数：1

100(1)10520

?+=(人)，这学年男生的人数：

200(1)20825

?+=(人)．

方法二：本题可以看成男生1份＋女生1份＝13（人），那么男生20份＋女生20份=13×20＝260

（人），对比分析可以看出：300—260＝40（人）对应男生的25—20＝5（份），所以男生有40÷5×（25＋1）＝208（人），女生有300＋13—208＝105（人）。

【巩固】把金放在水里称，其重量减轻

119，把银放在水里称，其重量减轻1

．现有一块金银合金重770克，放在水里称共减轻了50克，问这块合金含金、银各多少克？

【解析】方法一：设合金含金x 克，则银有(770)x -克．依题意，列方程得：11

(770)501910

x x +-=，

解得570x =，所以这块合金中金有570克，银有200克．

方法二：本题可以看成金1份＋银1份＝50（克），那么金10份＋银10份=50×10＝500（克），对比分析可以看出：770—500＝270（克）对应金的19—10＝9（份），所以金有270÷9×19＝570（人），银有770—570=200（人）。

【例 4】光明小学有学生900人，其中女生的

47与男生的2

参加了课外活动小组，剩下的340人没有参加．这所小学有男、女生各多少人?

【解析】（用假设法）假设男生、女生都有

23的人参加了课外活动小组，那么共有2

9006003

?=(人)，比现在多出了()60090034040--=(人)，这多出的40人即为女生的2437??

- ???

，所以女生人数为

244042037??

÷-= ???

(人)，男生人数为900420480-=(人)．

【巩固】二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占全班人数的

，二班少先队员占全班人数的

，求两个班各有多少人？【解析】本题与鸡兔同笼问题相似，根据鸡兔同笼问题的假设法，可求得一班人数为

553

(9071)()48664

?-÷-=(人)，那么二班人数为904842-=(人)．

【例 5】盒子里有红，黄两种玻璃球，红球为黄球个数的2

，如果每次取出4个红球，7个黄球，若干次后，

盒子里还剩2个红球，50个黄球，那么盒子里原有________个玻璃球．

【解析】由于红球与黄球个数比为2:5，所以若每次取4个红球，10个黄球，则最后剩下的红球与黄球的个

数比仍为2:5，即最后剩下2个红球，5个黄球，而实际上是每次取4个红球，7个黄球，最后剩2个红球，50个黄球，每次少取了3个黄球，最后多剩下45个黄球，所以一共取了45315÷=次，所

以球的总数为(47)15250217+?++=个．

【巩固】甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人数恰好是乙班未参

加人数的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一，问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？【解析】分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数，则：甲参+甲未=乙参+乙未，

11118

34349==+=+=末参末末末末末末末末甲将甲乙、乙甲代入上式，得乙甲甲乙,解得乙

【例 6】（2009年第七届“希望杯”五年级一试）工厂生产一批产品，原计划15天完成。实际生产时改进

了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天生产产品数量的5

多10件，结果提前4天完成了

生产任务。则这批产品有件。【解析】设原计划每天生产11份，则实际每天生产5份加10件，而根据题意这批产品共有1115165?=份，所

以实际每天生产165(154)15÷-=份，所以15份与5份加10件的和相同，所以每份就是1件，所以这批产品共有165件.或用方程来解.

【例 7】有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，

而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子将占32％．那么，共有棋子多少堆? 【解析】设每堆棋子为100个有x 堆棋子，那么每堆中白子为28个，黑子为72个，那走一半棋子且为黑子

时，还剩白子为28x 个，黑子为（72x —50）个，所以列方程为：2832%10050

x =-,解得=4x ，所

以有4堆。

【例 8】我从飞机的舷窗向外看去，看见了部分海岛、部分白云以及不大的一块海域，假定白云占窗口画

面的一半，它遮住了岛的14，因此岛在窗口画面上只占1

，问被白云遮住的那部分海洋占画面的多少？

【解析】 5/12.

【例 9】养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的1

倍．鸭比鸡少几分之几？

【解析】方法一：把鸭看成单位“1”，那么鸡就是1 14，鸭比鸡少：111

(11)1445

-÷=(此时的单位“1”是鸡

的只数)．

方法二：设鸭有4份，则鸡有5份，所以鸭比鸡少1

155

÷=.

【巩固】某校男生比女生多3

，女生比男生少几分之几？

【解析】方法一：男生比女生多37，则男生有310177+=，女生比男生少3103

7710

÷=.

方法二：设女生有7份，则男生有10份，所以女生比男生少3

31010

÷=.

【例 10】学校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占

，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的

．问后来又有几名女生来看书? 【解析】把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答．男生人数是4

36(1)209

?-=人，后来阅览室的

总人数是9

20(1)3819

÷-

=(名)，后来有38362-=(名)女生进来．

【巩固】（2009年五中小升初入学测试题）工厂原有职工128人，男工人数占总数的

，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的

，这时工厂共有职工人．【解析】在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为1

128(1)964

?-=人，调入后女职工

占总人数的23155-=，所以现在工厂共有职工3

961605

÷=人．

【巩固】有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的

倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的

倍，乙桶中原有油千克．【解析】原来甲桶油的质量是两桶油总质量的55

527

=+，甲桶中倒出5千克后剩下的油的质量是两桶油总质

量的44437

=+，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为54

5()3577÷-=千克，乙桶中原有油

35107

?=千克．

【例 11】（1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比元月份增产了还是

减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？【解析】（1）设二月份产量是1，所以元月份产量为： ()10

11+10%=

÷，三月份产量为：110%=0.9-，因为

＞0.9，所以三月份比元月份减产了（2）设商品的原价是1，涨价后为1+15%=1.15，降价15%为：()1.15115%=0.9775?-，现价和

原价比较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价降低了。

【例 12】某校三年级有学生240人，比四年级多

，比五年级少1

5 ．四年级、五年级各多少人？

【分析】比四年级,可以设四年级为4份,（一般情况下可设“比”、“是”、等词后面的实际量的份数为分数的

分母），则三年级为5份恰有240人,所以一每份就是240548÷=,所以四年级就有48?4=192人,同理可设五年级有5份,则三年级有4份恰是240人,所以五年级就有300人.

【巩固】把100个人分成四队，一队人数是二队人数的1

13倍，一队人数是三队人数的114

倍，那么四队有多

少个人?

【解析】方法一：设一队的人数是“1”，那么二队人数是：131134÷=

，三队的人数是：141145

÷=，345114520++=

，因此，一、二、三队之和是：一队人数51

?，因为人数是整数，一队人数一定是20的整数倍，而三个队的人数之和是51?(某一整数)，因为这是100以内的数，这个整数只能是1．所

以三个队共有51人，其中一、二、三队各有20，15，16人．而四队有：1005149-=(人)．方法二：设二队有3份，则一队有4份；设三队有4份，则一队有5份.为统一一队所以设一队有

[4,5]20=份，则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为15162051++=份，而四个队的

份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人，所以四队有

1005149-=人(人).

【例 13】新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的

，美术班人数相当于另外两个班人数的

，体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？【解析】条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的22

527

=+，美术班的学生人数是所有班人数的

337310=+，所以体育班的人数是所有班人数的2329171070--=，所以所有班的人数为29

5814070

÷=人，

其中音乐班有2140407?=人，美术班有3

1404210

?=人.

【巩固】甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20个，丙加工零件数是乙加工零件数的4

，甲

加工零件数是乙、丙加工零件总数的5

，则甲、丙加工的零件数分别为个、个．

【解析】把乙加工的零件数看作1，则丙加工的零件数为45，甲加工的零件数为453

(1)562

+?=，由于甲比乙

多加工20个，所以乙加工了320(1)402÷-=个，甲、丙加工的零件数分别为340602?=个、4

4032

?=个．

【例 14】王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的

，李先生的年龄是另外三人年龄和的13 ，赵先生的年龄是其他三人年龄和的1

，杨先生26岁，你知道王先生多少岁吗?

【解析】方法一：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少．而题目中出现了三个“另外

三人”所包含的对象并不同，即三个单位“1”是不同的，这就是所说的单位“1”不统一，因此，解答此题的关键便是抓不变量，统一单位“1”．题中四个人的年龄总和是不变的，如果以四个人的年龄总和为单位“1”，则单位“1”就统一了．那么王先生的年龄就是四人年龄和的11

123

=+，李先生的年龄就是四人年龄和的

11134=+，赵先生的年龄就是四人年龄和的11145

=+(这些过程就是所谓的转化单位“1”)．则杨先生的年龄就是四人年龄和的11113

134560

---=．由此便可求出四人

的年龄和：111261*********?

?÷---= ?

+++??

(岁)，王先生的年龄为：1120403?=(岁)．方法二：设王先生年龄是1份,则其他三人年龄和为2份,则四人年龄和为3份,同理设李先生年龄为1份,则四人年龄和为4份,设赵先生年龄为1份,则四人年龄和为5份,不管怎样四人年龄和应是相同的,但是现在四人年龄和分别是3份、4份、5份，它们的最小公倍数是60份，所以最后可以设四人年龄和为60份，则王先生的年龄就变为20份，李先生的年龄就变为15份，赵先生的年龄就变为12份，则杨先生的年龄为13份，恰好是26岁，所以1份是2岁，王先生年龄是20份所以就是40岁.

【巩固】甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的1

，乙队筑的

路是其他三个队的13 ，丙队筑的路是其他三个队的1

4 ，丁队筑了多少米？

【解析】甲队筑的路是其他三个队的

12，所以甲队筑的路占总公路长的11

=1+23；乙队筑的路是其他三个队的13，所以乙队筑的路占总公路长的11

=1+34；

丙队筑的路是其他三个队的14，所以丙队筑的路占总公路长的11

=1+45，

所以丁筑路为：11112001=260345??

?--- ???

（米）

【例 15】 (迎春杯决赛)小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的

，第二次运了50块，这时已运来的恰好是没运来的

．问还有多少块蜂窝煤没有运来？【解析】方法一:运完第一次后，还剩下58没运，再运来50块后，已运来的恰好是没运来的5

，也就是说没

运来的占全部的712

，所以，第二次运来的50块占全部的：571

81224-=

，全部蜂窝煤有：150120024÷=(块)，没运来的有：7120070012

?=(块)．

方法二：根据题意可以设全部为8份，因为已运来的恰好是没运来的5

，所以可以设全部为12份，

为了统一全部的蜂窝煤，所以设全部的蜂窝煤共有[8,12]24=份，则已运来应是5

241075

?=+份，

没运来的7

241475

?=+份，第一次运来9份，所以第二次运来是1091-=份恰好是50块，因此没

运来的蜂窝煤有5014700?=（块）.

【巩固】五(一)班原计划抽1

的人参加大扫除，临时又有2个同学主动参加，实际参加扫除的人数是其余人

数的1

．原计划抽多少个同学参加大扫除？

【解析】又有2个同学参加扫除后，实际参加扫除的人数与其余人数的比是1:3，实际参加人数比原计划多

11113520-=+．即全班共有1

24020

÷=(人)．原计划抽14085?=(人)参加大扫除．

【巩固】某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的

，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加的人数是未参加人数的

，这个学校有多少人？【解析】

1204003141??÷-= ?++??

（人）.

【例 16】小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少

；如果小刚给

小莉24个，则小刚的玻璃球比小莉少

，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？【解析】小莉给小刚24个时，小莉是小刚的74 (=1一73)，即两人球数和的11

；小刚给小莉24个时，小

莉是两人球数和的118(=5888-+)，因此24+24是两人球数和的118-114=11

．从而，和是(24+24)

÷11

=132(个)．

【巩固】某班一次集会，请假人数是出席人数的

，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的

，那么，这个班共有多少人？【解析】因为总人数未变，以总人数作为”1”．原来请假人数占总人数的

+，现在请假人数占总人数的3322+，这个班共有：l ÷(3322+-1

+)=50(人)．

【例 17】小明是从昨天开始看这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数

，他今天比昨天多读了14页，这时已经读完的页数是还没读的页数的

，问题是，这本书共有多少页？” 【解析】首先，可以直接运算得出，第一天小明读了全书的1

911019

=+，而前二天小明一共读了全书的

131413=+，所以第二天比第一天多读的14页对应全书的111241020-?=。所以整本书一共有1

1428020

÷=（页）

。此外，如果对分数的掌握还不是很熟练的话，那么这道题可以采用设份数的方法：把这本书看作20份，那么昨天他看了2份，而今天他看了2份还多14页，两天一共看了4份还多14页，或者可以表示成()20135÷+=（份）。那么每份是()145414÷-=（页），这本书共

1420280?=（页）

。两种方法都可以得到相同的结果。

【例 18】某校有学生465人，其中女生的

23比男生的4

少20人，那么男生比女生少多少人? 【解析】方法一：女生的23比男生的45少20人，426535÷=，220303

÷=，所以女生比男生的6

5少30人．男

生人数是6(46530)(1)2255+÷+=(人)，女生人数是6

225302405?-=（人），男生比女生少

24022515-=（人）

。方法二：

女生

通过画图比较女生的1份加10人恰好等于男生的两份，因此给每份女生加10后，男女生总份数就变为32511?+=份，因此每份有(465103)1145+?÷=人，男生有455225?=女生人数是

465225240-=(人)，男生比女生少24022515-=(人)．

【例 19】某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的13与原二班的1

组成新一班，将原一

班的1

与原二班的13组成新二班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多

，那么原一班有多少人？【解析】新三班人数占原来两班人数之和的115

13412

--=，所以，原来两班总人数为：5307212÷=(人)，新

一班与新二班人数之和为：723042-=(人)，新二班人数是：1

42(11)2010

÷++=(人)，新一班人数

为：422022-=(人)，新一班与新二班人数之差为22202-=，而新一班与新二班人数之差为(原一

班人数-原二班人数)11()34?-，故：原一班人数-原二班人数11

2()2434

=÷-=(人)，原一班人数

(7224)248=+÷=(人)．

【巩固】某工厂对一、二两个车间的职工进行重组，将原来的一车间人数的1

和二车间人数的13分到一车间，

将原来的一车间人数的13和二车间人数的1

分到二车间，两个车间剩余的140人组成劳动服务公司，

现在二车间人数比一车间人数多1

，现在一车间有人，二车间有人．

【解析】由“将一车间人数的12和二车间人数的13分到一车间，将一车间人数的13和二车间人数的1

分到二

车间”可知，现在一、二两车间的人数之和为总人数的115

236

+=，所以劳动服务公司的140人占总

人数的51166-=，那么总人数为：11408406÷=人，

现在一、二两车间的人数之和为5

8407006

?=人．由于现在二车间人数比一车间人数多117，所以现在一车间人数为1

700(11)34017

÷++=人，现在二车

间人数为700340360-=人．提示：可以继续求出原来一车间和二车间的人数．由于现在二车间比一

车间多20人，所以原来二车间人数的111236-=比一车间人数的1

多20人，那么原来二车间人数比

乙车间人数多1

201206

÷=人，原来一车间有(840120)2360-÷=人，原来二车间有360120480+=人．

【例 20】 2008年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(小学组)决赛林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了

13，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第二次林林又喝了1

，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的 (用分数表示)。

【解析】大家要先分析清楚的是不论是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的

，要是能想清楚这

第二次

212

339

（喝掉剩下4

的1

）

224

339

（剩下是第一次剩下2

的2

）

第三次

414

9327

（喝掉剩下4

的1

）

428

9327

（剩下是第一次剩下4

的2

）

第四次

818

27381

?=（喝掉剩下

的1

）

所以最后喝掉的牛奶为124865

39278181

+++=

【例 21】参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000多人.其中光明区占

，中心区占

，朝阳区占

，剩余的

全是远郊区的学生.比赛结果，光明区有去的学生得奖，中心区有

的学生得奖，朝阳区有

的

学生得奖，全部获奖者的号

远郊区的学生．那么参赛学生有多少名?获奖学生有多少名?

【解析】如下表所示，我们将题中所给的条件列在表格内：

有远郊区参赛的占参赛总数的1-12119

375105

--=而光明区、中心区、朝阳区获奖学生数占参赛总数

的111

32472

?=，

211

71656

?=，

111

51890

?=.所以有参赛学生数是3、7、5、72、56、90的倍数，即为2520的倍数，而参赛学生总数只有2000多人,所以只能是2520．光明区、中心区、朝阳区获奖学生共35+45+28=108人，占获奖总数的16

-=，所以获奖学生总数为108÷

=126.即参赛学生有2520名，获奖学生有126名．

【例 22】一炉铁水凝成铁块，其体积缩小了

，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加了几分之几?

【解析】方法一：设铁水的体积为1，则铁块为133

3434

-=．现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，则铁水的体积就为3334

3433

÷=，故体积增加了：

341

(1)1

3333

-÷=.

方法二：体积缩小是铁块比铁水缩小,所以可以设铁水为34份,则铁块为33份,铁块又熔化成铁水,体积增加是比铁块增加,所以用差的1份除以铁块的33份就是答案

133

. 【巩固】水结成冰后体积增大它的

. 问：冰化成水后体积减少它的几分之几？【解析】设水的体积是10份，则结成冰后体积为11份，冰化成水后比冰减少111111

÷=.

【例 23】 (2008年清华附中考题)在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少

；在上升的电梯中称重，显示的重量比实际体重增加

．小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际体重的比是．

【解析】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的6

，小刚在上升的电梯中称得的体重为其实际体重

的7

，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，所以小明和小刚实际体重的比是：671:149:3676????

÷÷= ? ?????

．

【例 24】某工厂二月份比元月份增产110，三月份比二月份减产1

10．问三月份比元月份增产了还是减产了？【解析】工厂二月份比元月份增产110，将元月份产量看作1，则二月份产量为：111

1(1)1010

?+=，三月比二

月减产110，则三月份产量为： 11199

(1)11010100

?-=<，所以三月份比元月份减产了．

【巩固】一件商品先涨价15，然后再降价1

，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？

【解析】 11

1(1)(1)0.96155

?+?-=<，所以现在的价格比原价降低了.

【例 25】如图⑴，线段MN 将长方形纸分成面积相等的两部分．沿MN 将这张长方形纸对折后得到图⑵，

将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的3

，阴影部分面积为6平方厘米．长方形的面积是多少？

(3)

(2)

(1)

【解析】如图⑶所示，阴影部分是2层，空白部分是4层，如果将阴影部分缩小一半，即变为3平方厘米，

那么阴影部分也变成4层，此时覆盖面的面积占长方形纸片面积的1

，即缩小的3平方厘米相当于长方形纸片面积的31(

)104-，所以长方形纸片面积为31

3()60104

÷-=(平方厘米).

练习1. 某小学六年级有三个班，一班和二班人数相等，三班的人数是全年级总人数的

，并且比一班多3人，六年级共有多少人？

【解析】根据条件“三班的人数占全年级的

720，并且比二班多3人”可知一班、二班都比全年级的7

20少3人，假设一班、二班都占全年级的720，那么将比实际人数多出3×2=6人，比单位“1”多出（

＋720＋720－1），两个数量正好对应。因此全年级的人数为：3×2÷（720＋720＋720

－1）=120（人）六年级共有120人。

练习2. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子

一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的2

，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几?

【解析】不妨认为第二堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)，第二堆黑子是全

部棋子的31，同时，又是黑子的1-52．所以黑子占全部棋子的31÷(1-52)=5

，白子占全部棋子的1-

59=49

练习3. 有红、黄、白三种球共160个。如果取出红球的1/3，黄球的1/4，白球的1/5，则还剩120个；如

果取出红球的1/5，黄球的1/4，白球的1/3，则剰116个，问：（1）原有黄球几个？（2）原有红球、白球各有几个？【解析】（1）两次共取出球160×2-（120＋116）＝84（个），共取出红、白球的

1183515+=，

黄球的111

442

+=。推知原有黄球881

(16084)()40()15152

-÷-=个 1604011140160120345+=-???+?+=-??红白（2）红白120

3035+=??

?+=??

红白整理得红白，解得红=45，白=75

练习4. 有一块菜地和一块稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公顷，稻田的一半和菜地的三

分之一合在一起是12公顷。那么这块稻田有多少公顷？【解析】 ()11++=13+1223??

???

菜地稻田，整理得到+=菜地稻田30，()1+=152菜地稻田，而题目中

11+=1323菜地稻田，两者对比分析得到，稻田为()1115131223??

-÷-= ???

(公顷)

练习5. 学校派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占

．正式比赛时有几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛选手总数的

．正式参赛的女选手有多少名？【解析】因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解．把总人数视为“1”，男

选手人数是60×(1-

14)=45(人)，男选手人数占正式参赛选手总数的1-2

，所以正式参赛选手总数课后练习

是：45÷(1-211)=55(人)，正式参赛的女选手人数是55×2

=10(人)。

练习6. 四只小猴吃桃，第一只小猴吃的是另外三只的总数的

13，第二只小猴吃的是另外三只吃的总数的1

，第三只小猴吃的是另外三只的总数的1

，第四只小猴将剩下的46个桃全吃了.问四只小猴共吃了多少个桃？

【解析】根据题意知前三只小猴分别吃了总数的

14，15，16

，所以四只小猴共吃了111

46(1)120456

÷-

--=（个）

【备选1】五年级选出男生的

和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生的2倍．已知五年级共有学生156人，其中男生有多少人?

【解析】方法一：把男生人数视为单位“1”，未参加比赛的女生是：15

(1)21111

-÷=，15612144-=(人)是男

生和剩下的女生人数，所以男生有5

144(1)9911

÷+=(人).

方法二：设五年级男生有11份，所以每份是(15612)[(11(111)2]9-÷+-÷=(人)，所以男生有

91199?=(人).

【备选2】甲、乙两个书架，已知甲书架有600本书，从甲书架借出1

，从乙书架借出75%以后，甲书架是

乙书架的2倍还多150本，乙书架原有多少本书？

【解析】甲原有600本书，借出去13之后还有1

600(1)4003

?-=本，这个时候是乙现在的两倍还多150，因此

现在乙剩下的书为(400150)2125-÷=本，而这125本正好是乙借出去75%以后剩下的，因此乙原来

的书本数目便很容易求出了。根据题意可知，乙书架原有1

(600600150)2(175%)5003

-?-÷÷-=本

书．

【备选3】甲、乙两班共有学生100人，甲班的34比乙班的5

6少1人，乙班有学生人．

【解析】根据题意可知，甲班人数比乙班人数的5410639?=少4

人，那么甲、乙两班人数之和比乙班人数的

10(1)9+少43人，故乙班人数为410

(100)(1)4839

+÷+=人．

【备选4】一堆围棋子，黑子的个数是白子的3倍，每次拿5枚黑子，2枚白子，拿了若干次后，白子拿完，

还剩11枚黑子．这堆棋子中，共有白子个．

【解析】由于原来黑子的个数是白子的3倍，假如拿的时候每次拿6枚黑子和2枚白子，则当白子拿完的时

候黑子也恰好拿完，而现在每次拿5枚黑子，比每次拿6枚少拿1枚，最后还剩下11枚黑子，所以共拿了11次，这堆棋子中共有白子21122?=枚．

月测备选

【备选5】某公司有1

的职员参加新产品的开发工作，后来又有2名职工主动参加，这样参加新产品开发的职

工人数是其余人数的1

，原来有多少职工参加开发工作？

【解析】后来参加新产品开发的职工人数是总人数的11134=+，所以新加入的2个人占总人数的111

4520

，那么职工总人数为1

24020

÷=人，原来参加开发的职工数是14085?=人．

【备选6】兄弟四人去买电视,老大带的钱是另外三人的一半,老二带的钱是另外三人的1/3,老三带

的钱是另外三人总钱数的1/4，老四带91元，兄弟四人一共带了多少钱？

【解析】老大带的钱是另外三人的一半，也就说老大带的钱是一共带钱的1/3，同理老二带的钱是一共带钱

的1/4，老三带的钱是一共带钱的1/5，所以老四带的钱是一共带钱的：1-1/3-1/4-1/5=13/60 四人一共带的钱：91除以13/60=420（元）