2009年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)[1]

2009年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷

（2009年3月22日 星期日 上午8：30~10：30）

【说明】解答本试卷不得使用计算器

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1. 设1210,,,(1,)a a a ∈+∞ ，则1210

1210

200920092009

2009

log log log log a a a a a a +++ 的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1

2121999x y -+++=++++ ，则将y 表示成x 的函数，其解析式是y = 。

3. 已知函数2()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。

4. 满足方程22

22

13log [2cos ()]2cos ()4

xy y y xy +=-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2[tan ]2sin x x =的解是 。 6.

不等式223242x x ≤?+?的解集是 。

7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2,,2009}A = ，集合L A ?，且

L 中任意两个不同元素之差都不等于4，

则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题

9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意

,[0,1],x y x y ∈≤，都有22()(1)()()2

x y

f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的

值。

10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2

214

x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的

直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN

在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点

11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。

12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --+++≤ 对一切

*k N ∈恒成立。记该数列若干连续项的和

1

j

p

p i a

=+∑为(,)S i j ，其中,*i j N ∈，且i j <。求证：

所有(,)S i j 构成的集合等于*N 。

答案：一、

1、100；

2、312x -；

3、(0,2)；

4、1

22

ππ∈（k +,）(k Z )

5、x k π=或(,)4

x l k l Z π

π=+

∈； 6、[0,4]； 7、1005； 8、960。

二、9、解：因为2101()()22f f a +==，2210112()()()422

f f a f a +

=== 222411

312()()(1)()(1)2422

f f a f a f a a +==-+=- 所以22641311344()()(1)()()232244

f f a f a f a a +

==-+=-+ 8分 由此得26423a a a =-+，而01a <<

，所以a =分

10、解法一：(2,0)A ，将y 轴向右平移2个单位，使点A 成为新直角坐标系的原点，

在新坐标系下，双曲线的方程为2

2('2)14

x y +-=，即224'4'0y x x --= (*)

若MN x ⊥轴，则1AM k =，即:'AM l y x =，代入（*）式可得44(,)33M ，进而44

(,)33

N -。

所以4(,0)3P ，则点P 在原坐标系中的坐标为10

(,0)3

。 5分

若MN 不垂直x 轴，设:'(0)MN l y kx t t =+≠，则'

1y kx t

-=，

于是（*）可以改写成22'4'4'0y kx y x x t ---?=，即24()4()40''

y y

t k t x x -+-=

该方程的两个根12,k k 既是,AM AN 的斜率。

因为AM AN ⊥，所以12414k t

k k t

-==-， 10分

所以43t k =-，故44

:'(')33

MN l y kx k k x =-=-

所以过定点4(,0)3P ，则点P 在原坐标系中的坐标为10

(,0)3

。

综上所述，直线MN 过x 轴上的定点10

(,0)3

P 14分

解法二：设直线AM 的斜率为1

(0,,2)2

k k k k >≠±≠±

由2222244824(,)4141(2)x y k k M k k y k x ?-=+??--=-?

，同理得222

284(,)44k k

N k k +--- 当1k =±时，103M N x x ==

，所以过10

(,0)3

8分 当11,2,2k k k ≠±≠≠±时，由直线MN 的方程得，10

'()3

y k x =- 10分

所以，直线MN 过x 轴上的定点10

(,0)3P 14分

11、解：集合12345{,,,,}a a a a a 有5

2个子集，不同的有序集合对(,)A B 有552(21)-组。

2分

若A B ?，并设B 中含有(15)k k ≤≤个元素，则满足A B ?的有序集合对(,)A B 有

5

55

555

5

51

(21)232k k

k k

k k k k C

C C ===-=-=-∑∑∑组 8分

同理，满足B A ?的有序集合对(,)A B 也有5532-组。 10分

所以，满足条件的有序集合对(,)A B 的组数为55552(21)2(32)570---=组。 16分 12、证明：显然(,)*S i j N ∈ 2分 下证对任意0*n N ∈，存在0(,)S i j n =

用n S 表示数列{}n a 的前n 项和，考虑01010n +个前n 项和：

0121010n S S S +<<< （1）

由题设0001010121011201011010()()()n n n S a a a a a a a +++=++++++++++ 6分 另外，再考虑如下01010n +个正整数：

010*******n S n S n S n ++<+<<+ （2）

显然 010********n S n n ++≤+ 10分 这样（1），（2）中出现02020n +个正整数，都不超过02019n +，

由抽屉原理，必有两个相等。由于（1）式中各数两两不相等，（2）式中各数也两两不等，故存在,*i j N ∈，使得0j i S S n =+，即j i >，且0(,)j i n S S S i j =-=

所以，所有(,)S i j 构成的集合等于*N 。 16分

2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析

2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -=． 7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? ． （1）求证：1()2 A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数． 11．设,,, abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值．

全国高中数学联赛(上海)赛区竞赛试卷

上海市高中数学竞赛 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数1210,, ,a a a 满足: 3 ,1102 >≤<≤j i a i j a ,则10a 的最小可能值是 . 3.若17tan tan tan 6αβγ++= ，4 cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17 cot cot cot cot 5 βγγα++=-，则()tan αβγ++= . 4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 . 5．如图，?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知 90∠=?AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x . 6．方程1233213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()122 1211,2,,1,2,22 +++===-=++n n n n n a a a a a n n n .若 2011 22012 >+ m a ，则正整数m 的最小值为 . E1 D 1 A

二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin ) ()1sin a x x f x x ++=+的最小值． 11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）43 xy yz zx ++≥ ； （2）2x y z ++≥． O D C B A

上海市高三数学竞赛解答 供参考

2017年上海市高三数学竞赛（）解答（供参 考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域： ]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 计算可得：

归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2－18a n ＋81 = 0 ； 由求根公式可得：2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得：|3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49，

由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *时，3±= 1+n n a a ， 进而3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9 ，从中任意

2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1

2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．

2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)

2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 （2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30） 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞，则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1 2121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2, ,2009}A =，集合L A ?， 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤，都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。 10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P 11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的 子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切

新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开

2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案

2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数 ()2f x 的解析式为 ． 答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()2 1f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ，得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ． 答案：2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22 1a b +=， ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=，于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 答案：2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=，所以arctan 2arctan 22 x x π -+= ， 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ，则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．

上海市高中数学竞赛

上海市高中数学竞赛 说明：解答本试题不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分） 1.方程组2 71211x x y x y ++?=??+=??的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动（点A 在点B 的左边）,点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 . 3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r = 4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则 AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C 的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x －1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 . 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组. 7.已知圆C 的方程为x 2+y 2－4x －2y +1=0（圆心为C ）,直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 . 二、解答题： 9.（本题满分为14分）对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x , 使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }. 10. （本题满分为14分）如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且

2007 年新知杯上海市初中数学竞赛

2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.

2004年上海市高中数学竞赛(CASl0杯)

2004年上海市高中数学竞赛(CASl0杯) 说明：解答本试题不得使用计算器. 一、填空题 1.若a 、b 、c∈Z +，且a=(b+ci)3 -47i ，则a 的值是 . 2.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边依次为a 、b 、c ．若a 2+b 2=tc 2，且cot C=2004(cot A+cotB)，那么，常数t 的值是 . 3.三边长是三个连续的正整数，且它的周长小于或等于l00的锐角三角形有 个． 4.设M k =P 1·P 2·……·R k ，其中P 1，P 2,…，R k 是从小到大排列的质数：2，3，5，…中 的前k 个质数．若s 、t 是两个正整数，t ＞s ，使M t -M s =510300，则t+s 的值是 ． 5.n 为已知正整数，0≤r ≤n ，r ∈Z．则当r!(n-r)!取最小值时，r= . 6.已知集合A= ,若（A ∪B ）∩C 是由两个元素构成的集合，则实数a 的值是 . 7.已知集合-+=22)4(|),{(a y b a M 1222)8(222++++++b bx x a by xy 是关于x 、y 一次式的平方}．当(a,b)取遍集合M 中的所有元素时，点(a ，b)到原点O 的最大距离是 . 8.如图1，三个半径都是10cm 的小球放在一个半球面的碗中， 小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一个水平面．则这个碗的半径 是 cm ． 9.如图2，AB 为抛物线过焦点F 的弦，且与该抛物线的对称轴成 450角，O 为该抛物线的顶点．则∠AOB 的大小是 (用反三角函 数式表示)． 10.已知集合},667023{Z k k k A ∈≤≤+=,若在A 中任取n 个 数，都能从中找出 2个不同的数a,b ，使得a+b=2104，则n 的最小值是 . 二、已知n m nx mx x x f 、,5)(23+++=Z ∈,求： (1)使f(x)=0有3个整数根(包括重根)的所有数组(m 、n)； ‘ (2)使f(x)=0至少有1个整数根，且0≤m≤5，O≤n ≤5的所有的数组(m 、n)． 三、数列{a n }满足),1(2)1()1(1--+=-+n a n a n n n n=1，2，…，且a 100=10098．求数列{a n }的通项公式． 四、在各位数码各不相同的l0位数中，是111ll 的倍数的有多少个?证明你的结论. {}{}， 、、R y x ay x y x B R y x y ax y x ∈=+=∈=+,1),(,,1|),({}|,1|,22R y x y x y x C ∈=+、）（ ＝

2019年上海市高三数学竞赛试卷答案

2016年上海市高三数学竞赛试卷 2016年3月27日上午9：30～11：30 【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上. 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像与函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像与函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的解析式是 ． 2．复数z 满足|z |=1, w=3z 22 2 z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ． 3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 1 2 - (a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ． 6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示） 7. 在空间，四个不共线的向量OA 、OB 、 OC 、OD ,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ． 8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ．

二、解答题（本大题满分60分） 9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ； 求证：五边形A 1B 1C 1D 1E 1中至少有一条边的长度不小于cos 5 π ． 10．（本题满分15分）设p ，q 和r 是素数，且p |qr 1-(p |qr 1-表示qr 1-能被p 整除)，q |rp 1-和r |pq 1-;求pqr 的所有可能的值． 11．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足递推关系111 23 n n n a a +=-+（*n N ∈）; 求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列. 12．（本题满分15分）已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得|AP |=9. D 是线段BC 上一点（包括端点），直线AD 与BPC ?的外接圆交于E 、F 两点，其中|EA |<|ED |. (1)设|BD |=x ,试将|EA |-|DF |表示为关于x 的函数f (x ); (2)求f (x )的最小值. A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 A B C D E F P

奥数-2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答

A F P E C B 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ?b=a (a +b ) +b, 已知a ?2.5=28.5，则实数a 的值是 。 【答案】4，132 - 2、在三角形ABC 中，2 2 b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94 4、已知关于x 的方程4 3 2 2(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 5、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 。 【答案】 25 5 6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610 x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a ? d )( b ? d )的值 。 【答案】2772 7、在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx ?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。 【答案】 13 32 k << 8、方程xyz =2009的所有整数解有 组。 【答案】72 9、如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。 【答案】21°

2011年上海市新知杯初中数学竞赛试题及答案

2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷 一、 填空题（每题10分，共80分） 1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02 =++m x x ②，其中 0≠m 。 若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。 2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，?=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ， 则梯形ABCD 的面积为_______________。 3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号 都大于等于2的概率为______________。 4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ， h ，使得()()2 2 h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。 5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ， 2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。 6. 在等腰直角三角形ABC 中，?=∠90ACB ，P 是ABC ?内一点，使得11=PA ， 7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。 7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1 分，负得0分。比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的 5 4 ，则第2名选手的得分是_________。 8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd 是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。 二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分） 9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知?=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边 DC 交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。求证：LC SM //。

上海市高中数学竞赛试题及参考答案

上海市高中数学竞赛 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数1210,, ,a a a 满足: 3 ,1102 >≤<≤j i a i j a ,则10a 的最小可能值是 . 3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4 cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17 cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= . 4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 . 5．如图，?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知 90∠=?AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x . 6．方程1233213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++=== -=++n n n n n a a a a a n n n .若 2011 22012 >+ m a ，则正整数m 的最小值为 . E1 C D 1

二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin ) ()1sin a x x f x x ++=+的最小 值． 11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）4 3 xy yz zx ++≥ ； （2）2x y z ++≥． O D C B A

试题：2000年上海市初中数学竞赛试题(含答案解析)

2000年上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（每小题7分，共70分） 1、如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与AC 相交于点E 、与AD 相较于点F 、与CD 的延长线相交于点G ，若BE=5，EF=2，则FG= 2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3， C 、 D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和． 3 若n 的十进制表示为99…9（共20位9），则n 3的十进制表示中含有 个数码9。 4 在△ABC 中，若AB=5，BC=6，CA=7，H 为垂心，则AH= 5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m ，则m 的取值范围是 6、若关于的方程|1-x|=mx 有解，则实数m 的取值范围 7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8、方程211134 x y xy ++=的整数解（x ，y ）= 9、如图，在正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN=BM ，BN 与CM 相交于点O ，若△ABC 的面积为7，△OBC 的面积为2，则BM BA =

=，则y的最大值为 10、设x、y y 二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分） 11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。 12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论． 13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。

2017年上海市高三数学竞赛真题(打印版)

2017年上海市高三数学竞赛 （2017.03.26） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2 －x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ，n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4张，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ . 5、设1 211=)(2＋＋＋x x x f ，则)°89(tan )°2(tan )°1(tan f f f ＋＋＋ = __________ . 6、设集合A = {a 1，a 2，a 3}是集合{1，2，……，16}的子集， 满足a 1＋7 ≤ a 2＋4 ≤ a 3，则这样的子集A 共有__________个。 7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3)，B (2，3)，及圆C ： 2 15=)1()(222a y a x ＋＋＋－，若线段AB （包括端点A ，B ）在圆C 的外部，则实数a 的取值范围是__________ .

2018年上海市初中数学竞赛(第1试 含答案)

2018年上海市初中数学竞赛（第一试） 1．已知1.1=a ，9.01.1=b ，1.19.0=c ，则将a 、b 、c 从小到大排列，并用“<”表示是 ． 2．若16 842321321161814121218x x x x x x x a +++++++++=-=-，则a 的值是 ． 3．已知a 为无理数，且525102-+-+=b a ab b a b a ，则b a 的值为 ． 4．由1-=x y 的图象与2=y 的图象围成的图形的面积是 ． 5．三角形的三条边a ，b ，c 满足7531≤≤≤≤≤≤c b a ，当此三角形的面积最大时，它的周长是 ． 6．方程2002 111=+y x 的正整数解构成的有序数组（x ，y ）共有 组． 7．如图，在△ABC 中，F 、G 是BC 边上两点，使∠B 、∠C 的平分线BE 、CD 分别垂直AG ，AF （E 、D 为垂足）．若△ABC 的周长为22，BC 边长为9，则DE 的长为 ． 8．已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 为正整数）经过点A （1-，4）与点B （2，1），且与x 轴有两个不同的交点，则c b +的最大值为 ． 9．如图，点P 、Q 在△ABC 的AC 边上，且AP ∶PQ ∶QC=1∶2∶3，点R 在BC 边上，且BR ∶RC=1∶2，AR 与BP 、BQ 分别相交于D 、E ，则S PQED ∶S △ABC = ． 10．整数x 、y 满足x xy y x 10244522<+++，则y x +的值是 ． 11．设abc d 是一个四位数，且满足d c ab d c b a ?==+++（ab 表示为两位数），则具有上述性质的最大四位数是 ． 12．已知m 、n 是正整数，且n m ≥．由mn 5个单位正方体组成长、宽、高顺次为m 、n 、5的长方体，将此长方体相交于某一顶点三个面涂色，若恰有一半的单位正方体各面都没有涂到颜色，则有序数组（m ，n ）= ． 13．在△ABC 中，点D 、E 、F 顺次在边AB 、BC 、CA 上，设AB p AD ?=， BC q BE ?=，CA r CF ?=，其中p 、q 、r 是正数，且使32=++r q p ，5 2222=++r q p ，

2018年上海市初中数学竞赛

2018年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5，则实数a 的值是。 【答案】4，13 2 2、在三角形ABC 中，22b 1,,2a AB BC a CA ，其中a,b 是大于1的整 数，则b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是。 【答案】50,94 4、已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。【答案】55、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC=2，P 为斜 边AB 上一动点。PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的 最小值为 。【答案】25 5 6、设a ，b 是方程26810x x 的两个根，c ，d 是方程28610x x 的两个根，则(a+ c)( b + c)( a -d)( b -d)的值。 【答案】2772 第五题图F E C B A P

7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx-1的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。 【答案】1 3 32k 8方程xyz=2018的所有整数解有 组。 【答案】72 9如图，四边形ABCD 中AB=BC=CD ，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC 延长线交于E ，则∠AEB= 。【答案】21° 10、如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10，点M 在BC 上，使得ΔADM 是正三角形，则ΔABM 与ΔDCM 的面积和是。 【答案】3001503 二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D 在CA 上，使得CD=1, AD=3，并且∠BDC=3∠BAC ， 求BC 的长。 解：设BC=x ，则21BD x ，216AB x ，如图，作∠ABD 平分 第九题图A B C D E 第十题图M C D A B 第二大题图C B A D E

上海市全国高中数学联合竞赛试题(上海卷)

2012年上海市高中数学竞赛 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数1210,, ,a a a 满足: 3 ,1102 >≤<≤j i a i j a ,则10a 的最小可能值是 . 3.若17tan tan tan 6αβγ++= ，4 cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17 cot cot cot cot 5 βγγα++=-，则()tan αβγ++= . 4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 . 5．如图，?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知 90∠=?AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x . 6．方程1 233 213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221 211,2,,1,2,22 +++===-=++n n n n n a a a a a n n n .若 2011 22012 >+ m a ，则正整数m 的最小值为 . E1 D 1 A

二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin ) ()1sin a x x f x x ++=+的最小值． 11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）43 xy yz zx ++≥ ； （2）2x y z ++≥． O D C B A