初探高考数学试题中的“思想方法”

初探高考数学试题中的“思想方法”

--观《2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）》有感 河南省鹤壁高中 蔡凤敏 caifengmin1981@https://www.wendangku.net/doc/7a9307588.html, 158********

摘要：高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化与化归思想这四种思想是高考的必考内容，也是高考的考查重点；通过对2012年新课标全国卷的探析，我们可以发现此卷有两大特点：一是同一数学思想的考察频率高；二是同一道题上集中体现多种数学思想。 关键词：高考试题 2012年新课标全国卷 数学思想方法 函数与方程思想 数形结合思想

分类讨论思想 转化与化归思想

高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,对数学思想和方法的考察是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考察。数学思想和数学基本方法蕴含了数学基础知识的运用，表现为数学观念，它与数学知识的形成同步发展，同时又贯穿于数学知识的学习、理解和应用过程。因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度。

函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化与划归思想这四种思想是高考的必考内容，也是高考的考查重点,各种题型都有。下面笔者仅就2012年新课标全国卷对这四种数学思想的考察进行一一探析。

一、函数与方程思想

函数与方程思想是高中数学的重要数学思想之一，它在高考中有着重要地位。函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组）,然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.

如2012年新课标全国卷的第5题，要求考生利用等比数列的性质，得出==6574a a a a -8，再结合已知条件274=+a a ，可得的两根，

是方程和08-2-274=x x a a 解方程得4,2-74==a a 或2-,474==a a ，再通过适当计算可得-7101=+a a 。本题是方程思想的典型体现：利用根与系数的关系构造方程，使问题得以解决。

再如第17题第二问，由三角型面积公式和余弦定理得出4=bc 和822=+c b ，解方程得2==c b

选择题的最后一道题（第12题）是求分别在两个函数图象上的任意两点间距离的最小值问题。要求考生先研究两个函数的关系，得出两个函数恰好互为反函数，图像关于y=x 对称，以下思路有两个：

思路一，函数x e y 21=上的点1(,)2x P x e 到直线y=x 的距离为2

-21x e d x =,设函数1-2

1(x ),-21)('x x e g x e x g ==则， 不难得出2ln -1)(min =x g ，所以22ln -1min =d ，又由于图像关于y=x 对称，

)2ln -1(22min ==d PQ 。

思路二，求平行于y=x 的直线与x e y 21=相切时的切点坐标，令12

1'==x e y 解得x=ln2,所以切点坐标为（ln2,1）,它关于y=x 的对称点坐标为(1,ln2),两点间的距离为)2ln -1(2，此即为所求。

二、数形结合思想

数形结合思想渗透于众多试题中，如第4,7,8,10,11,12,14,19,20,23题。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它的考察要求考生会根据数的结构特征构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。例如第14题考察可行域与目标函数的问题，把数转化为

形；第23题已知点A 的极坐标为(2,)3

π且,,,A B C D 依逆时针次序排列，求点,,,A B C D 的直角坐标，由图可知点,,,A B C D 的极角依次增加2

π,点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636

ππππ, 点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----,充分展示了把形转化为数；解析几何题第4,8,20题和立体几何题第7,11,19题则是在数与形之间相互转化。

三、分类讨论思想

分类讨论思想考察了考生的逻辑思维能力和思维的缜密性，它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维策略。

如第1题，受集合B 中的条件限制需以x 或y 为对象进行分类讨论；

第5题则是由计算结果有两个2-,44,2-7474====a a a a 或需进行分类讨论；

第18题是一道应用题，它则是根据实际问题的具体分析引起的分类讨论；

第20题确定直线m 的斜率时是由于图形的不确定性引起的分类讨论；

第21题第二问求b a )1(+的最大值是由参数a 取值不同需对“1+a ”进行分类讨论；

第24题第一问中解不等式需去掉绝对值，由绝对值的定义引起的分类讨论。

四、转化与化归思想

转化与化归思想是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.著名的数学家,莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”.数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。

如第10题函数x

x x f -)1ln(1)(+=是一个比较复杂的函数，对于函数的性质难以探究，可以把问题转化为探究x x y -)1ln(+=（x>-1）的性质，由1

-'+=x x y 得函数单调性是在（-1,0）上单调递增，在第四象限单调递减且在x=0时0max =y ，从而y ≤0恒成立，当且仅当x=0时0max =y ，所以原函数定义域为｛x|x>-1且x ≠0｝,单调性是在（-1,0）上单调递减，在第四象限单调递增。

第12题由前面分析可知，可以把求最值问题转化为点到直线的距离或两点间的距离问题。 第17题把角B 转化为角A 与角C;

第19题第二问，考生可以把求二面角的问题转化为求两个半平面法向量夹角的问题；

第20题第一问，根据抛物线的定义把p FA 2=转化为点A 到直线l 的距离为p 2； 第21题第二问，由已知得1)x (a -+x e ≥b,分类讨论如下

①若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<1

-1+a b 时，可得1)x (a -+x e

③若a+1>0,可将不等式问题转化为函数问题，令1)x (a -)(+=x e x g ，则1)(a -)('+=x e x g 当xln(a+1)时)('x g >0;故1)1)ln(a (a -1))1(ln()(min +++=+=a a g x g

所以)(x f ≥b ax x ++22

1等价于b ≤1)1)ln(a (a -1+++a 因此b a )1(+≤ 1)ln(a 1)(a -)1(22+++a (观察不等式左侧，易知转化为所求最值问题)

令2lnx)-(1)(F x,ln -)('22x x x x x F ==则

(将不等式问题转化为函数问题,建立目标函数求最值，其中还涉及到常量问题转化为变量问题) 00;x>e 时，)(F 'x <0;

2)(max e x F e x =

=时，当；故当时2

,e b e a ==，b a )1(+有最大值2e . 此题中数次用到转化与划归思想使解题过程更具灵活性，同时又结合分类讨论思想的应用，达到一题多种数学思想的集中体现，极大程度地考察了考生的应变能力和思维能力。

通过对2012年新课标全国卷的探析，我们可以发现此卷有两大特点：一是同一数学思想的考察频率高；二是同一道题上集中体现多种数学思想。对数学思想的考察是以知识为载体，所以考生必须先对基础知识熟练掌握，在平时训练时有意识的应用数学思想方法去分析问题和解决问题，提高思维能力，才能在高考中做到游刃有余。

参考文献：

[]1高中数学解题思想方法全部内容.人教版 资料类型:试卷 资料编号：37928 []2钟山.2006-2011全国（精华版）高考试题分类全解（母题5+1）专题（十）：思想方法.辽宁教育出版

社2011,（7）：305-307

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3 2012年高考考试大纲（全国版）：数学理

出师表

两汉：诸葛亮

先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。