[整理]三重积分重积分习题.

第九章 重积分

第六讲 三重积分、重积分应用习题课

教学目的 使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活

的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算

教学重点 通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及

各是如何化为三次积分．

教学难点 柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数 2学时 教学过程

一、知识回顾

1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量) 2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 (1) 柱面坐标与球面坐标.

(2) 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. (3) 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. (4) 何时用何种坐标计算.

3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算

曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 (1) 往何坐标面上投 (2) 如何找投影区域

物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性.

二、练习

1．将I=

zdv

Ω

???分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下

的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面

z=2

2

2y x --及z=x 2+y 2

所围成的闭区域.

分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标

平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及2

2y x z +=，而由这两个方程所组成的方

程组z z ?=?=? 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标

系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．

解 将Ω投影到xoy 平面上，

由z z ?=?=?消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)，

或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2

=1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2

≤1 ．

为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰

到的曲面为2

2y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1)

(1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积

分．因此再由D ：x 2+y 2

≤1，有22y x z +=≤222y x z --=

，于是在直角坐标下，Ω

可表示为

Ω

:22y x y z ??≤??+≤≤?，

于是有

I=??----2

2

111

1

x x dy dx ?--+2

22

22y x y x zdz

.

(2) 柱面坐标下

首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2

表示为z= 2ρ，z=2

22y

x --表示为z=2

2ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可

表示为

Ω：???

?

???-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz

将所给三重积分中的体积元素υd 用υd =dz d d θρρ去替换，有

I=

Ω

???υzd =

Ω

???dz d d z θρρ=

?π

θ

20

d ?1

ρ

d ?-22

22ρρρdz

.

(3) 球面坐标下

用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x

2

+y

2

变为ρ=φφ

2

sin cos ；曲面

z=2

22y x --变为ρ=2．

由Ω在xoy 平面上的投影为x 2

+y 2

≤1知0θ≤≤2π，下边找φ的变化范围．

正z 轴在Ω内，即Ω内有点P ，使→

op 与→

oz 夹角为零，即φ的下界为零．又曲面z=x 2+y

2

与xoy 平面相切，故φ的上界为2π，于是0≤φ≤2π

再找ρ的变化范围．

原点在Ω的表面上，故ρ取到最小值为零．

为找ρ的上界，从原点出发作射线穿过Ω，由于Ω的表面由两张曲面所组成，因而ρ

的上界随相应的φ的不同而不同．为此在两曲面的交线?????--=+=222

22y x z y x z ，上取一点A(0，1，

1)，故A 所对应的

4π

φ=

．

当24π

φπ≤≤时，r 的上界由曲面r=φφ2sin cos 所给，故这时r φφφφ

csc cot sin cos 2

≤≤．即

r 的变化范围为

0??????

?≤≤≤≤≤≤时。，当时，当24cot 40,2πφπφπφr

因此

I=

???????+?φ

φπ

π

π

π

π

φφφθφφφθ2sin cos 0

2

2

4

20

2

2

4

20

sin cos sin cos dr r r d d dr r r d d ．

由Ω的特点(在xoy 平面上的投影为圆域，而Ω本身不是球或球锥)，故采用柱面坐标

计算比较简单，这时

I=

?π

θ

20

d ?1

dr

?-2

2

2r r rzdz

=dr

z

r d r r

??????????-1

022

20

22

21πθ=2π247=127

π．

小结 (1) 计算三重积分时，欲用何种坐标，就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式．

(2) 将区域Ω向坐标平面作投影时，应考虑向哪个坐标平面更简单．

(3) 不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标．球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分．本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用球面坐标的．

2．计算三重积分

???Ω

++υ

d z y x z

222，其中Ω是由曲面x

2

+y

2

+z

2

=1及

z=)(32

2

y x +所围成的区域．

分析 Ω为球面和圆锥面所围成的区域．故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐标．同时，被积函数中含有因式x 2+y 2

+z 2，故从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面坐标．

解 在球面坐标下，球面x 2+y 2

+z 2

=1的方程为r=1，锥面z=

)(322y x +的方程为 tan φ=33，即

6πφ=，又z 轴的正向穿过Ω故φ的下界为零，因此06π

φ≤

≤． 将Ω投影到xoy 面，由方程组??

???+==++)(3,

12

22

22y x z z y x 消去z 得x 2+y 2=41．因此

0πθ2≤≤．该锥体的顶点在原点，故r 下界为零，由穿线法可知r ,1≤故0≤r ≤1. 于是

dv

z y x Z

???Ω

++2

22=

???Ω

θ

φφφd drd r sin cos 4

=

dr r d d ???1

4

6

20

cos sin π

π

?φφθ

=2π20]1[][sin 2

110

62π

φπ

=?s r s ． 小结 当积分区域为由球面与锥角0??=所围成的球锥体时．若锥题的顶点为原点，且

Z 轴正向穿过积分区域，则有0≤≤?0?，且r 的下界为零，上界由球面的方程所给出．

3．计算

,)(22dv z y ???Ω

+其中Ω是由xoy 平面上的曲线2

y =2x 绕x 轴旋转而成的曲面

与平面x=5所围成的闭区域

分析 由第七章的知识知，Ω为由旋转抛物面2x=y 2

2

z +与平面x=5所围成．遵循上题的小结2所说的原则由于从两方程要消去x,我们将它投影到yoz 平面，(见图2)，不难求出，投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把y,z 用极坐标代换．

还应注意积分区域关于平面y=0,z=0皆对称，且被积函数关于y,z 皆为偶函数．因此还应利用积分区域关于坐标平面的对称性与被积函数关于某相应变量的奇偶性先进行化简．

解 曲线

y

2

=2x 或x=22y 绕x 轴旋转得的旋转抛物面方程为x=21

(2

2z y +),故Ω由抛

物面x=21

(2

2z y +)与z=0所围成．

由于被积函数分别是y 和z 的偶函数，而积分区域关于平面y=0及z=0都对称，因此

dv z y ???Ω

+)(22=4

dv

z y

???Ω+,

)(22

，其中Ω,

为Ω在第一卦限内的部分

由???

?

?

=+=5),(2122x z y x 知，Ω在yoz 平面上的投影为22z y +10≤．Ω,

在yoz 平面上

的投影为yoz 平面上第一象限内的１／４个圆，因此有Ω'：?????

????

≤≤≤≤≤≤.52,100,202

x r ρπθ

于

是

???Ω

=

+dv z y )(2

2

4

???Ω=

+,

)(2

2dv z y 4???Ω

,

2

dx d d θρρρ

=

?

??10

5

2

320

2

4r dx

d d ρρθπ

=2

ρ

ρπd p 3

10

2)25(?

-=3250π.

小结 (1) 当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时，应首先将所给积分化简，其原则为Ω关于平面Z=0对称，f(x,y,z)关于z

是奇函数时，积分

为零;f(x,y,z)关于z 是偶函数时，所求积分为2(,,)f x y z dv

'Ω???，其中Ω'为Ω被z=0所分的

上半个子区域．

其余类同．

(2) 对柱面坐标，不要硬性记为x=ρcos θ,y=ρsin θ,z=z,而应清楚这是把积分区域投影到xoy 平面时的相应的柱面坐标，而当投影平面不是xoy 平面时，应做相应的变化．如本题，由于我们把Ω投影到yoz 平面,就有y=ρcos θ,z=ρsin θ,x=x ．

类似地，对球面坐标也应做相应理解，即穿过Ω的坐标轴如果不是z 轴而是x 轴或y 轴．

球面坐标公式x=rsin ?cos θ,

y=rsin ?sin θ, z=rcos ?

也应做相应变化．

4．证明当f(z)连续时，dv

z f ???Ω

,

)(=

,

)1)((1

1

2dz z z f ?--π并用此公式计算

dz

z z z

???Ω

+++)1(23

的值，其中Ω：x

12

22

≤++z y 分析 积分区域见图3，题目要求把三重积分化成只剩下对z 的定积分，我们可以把它看作对该三重积分先计算一个关于x,y 的二重积分再计算对z 的定积分．显然这种计算方法和我们前边的计算方法是不同的，前边的计算方法(如例1，2)是先将Ω投影到坐标平面 xoy 上得投影区域D ，计算时先对z 积分再计算在D 上的二重积分，比如练习题1在直角坐标下可看作

I=

???

--+D

y x y x zdz

dxdy 2

22

22，

即采用 “穿线法”，本题欲先计算一个二重积分再计算定积分，应采用为“先二后一”法．

亦称“切片法”，即先将Ω投影到z 轴上得线段[-1，1]．在(-1，1)上任意点z 作一垂直于z 轴的平面截Ω得一平面区域z D ，在每个

z D 上作对x,y 的二重积分，然后再把这些积分值累加起来，既再对z 从-1到1积分．

解 由Ω的表面方程为12

2

2

=++z y x 知，z ∈[]1,1-，既Ω在轴上的投影为线段

[]1,1-，在()1,1-内任取一点

z ，过z 作垂直于z 轴的平面截Ω得一平面区域z D

：

2221z y x -≤+．于是z D 的面积为()

21z -π．因此

??????????---Ω

-===1

1

2

1

1

1

1

)1)(()()()(dz

z

z f dxdy dz z f dxdy z f dz dz z f Z

Z

D D π,

当f(z)=z 12

3+++z z

时，有

dz z z z z d z z )1()1()1z (21

12323

-+++=+++????=Ω

πυ=π

85.

小结 “切片法”适用于被积函数为某变量的一元函数，而垂直于相应坐标轴的平面截Ω所得截面面积易求()

表示出时的情形．一般的，若被积函数为x 的一元函数()x f 时，作垂直于x 轴的平面；被积函数为()y ?时，作垂直于y 轴的截面；被积函数为()z ?时，作垂直于z 轴的截面．

5． 求底圆半径相等的两个直交圆柱面

x 2

2

2

R y =+及x 2

22R z =+所围立体的表面积.

分析 该两圆柱面直交时所围立体处在八个卦限内．其表面为82?个面积相等的曲面，我们只经计算其中一个曲面面积即可．要注意计算曲面面积时，要找其在坐标面内的投影区域．要注意向哪个坐标面作投影要依据曲面方程而定

解 为计算该住体的表面积．我们只须计算图4阴影部分的面积S 1再乘以16即可．

该曲面的方程为z=2

2

x R -．它在xoy 面上的投影为

D={}

0,0,),(222≥≥≤+y x R y x y x ．

22x R x

x z --

=??, 于是

S 1=

dxdy

x R R dxdy x R x D

d

??

??

-=--

+2

222

2)(1=

2

2

20

2

2R dy x R R dx

x R R

=-?

?-,

故S=16S 1=16R 2

.

确定选用何种坐标，一般要从积分区域与被积函数两方面考虑，通常可参阅下表

6．设均匀柱体密度为ρ，占有闭区域h z R y x z y x

≤≤≤+=

Ω0,),,(222．求它对

于位于点M 0(0，0，a)(a h >)处的单位质量的质点的引力

分析 用公式求引力时，要注意利用当ρ≡常数时．以及立体对坐标面的对称性，来简化计算．

解 Ω是一位于xoy 面上方的圆柱体，它关于xoz 面yoz 面都是对称的，因此有

F X =F Y =0

下面计算F z

F z =

[]

υρ

d a z y x

a

z G ???Ω

-++-2

3

22

2

)

(=G

[]

?

??-+-a

h

a z d d dz a z 0

2

3

22

20

)

()(ρ

ρ

ρθρπ

=-2

G h πρ?

?．

故引力为

=

{}

0,0,2G h πρ?

-? 小结 在计算三重积分时，要注意何种情况下用何种坐标．一般应遵循先判定是否可用

球面坐标，柱面坐标或直角坐标的先后原则.

作业习题9-3(106页) 4，6，8，9(2)，10(2) 习题9-4(116页) 4(3)，7(2)，9(2)．

重积分部分练习题

(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )

2016年专项练习题集-定积分的计算

2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 22-?=（ ） A.233 B. 31 C.3 4 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(122-?=123153x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函

数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由? ??==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 81034129942303 =??? ??-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.2 2-?2412x x -+dx =（ ） A.π 4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y =2412x x -+,即(x -2)2+y 2=16(y ≥0).∵2 2-?2412x x -+dx 表示以4为半径的圆的四分之一面积.∴2 2-?2412x x -+dx =π4. 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A 设定v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B 设定在A 的正前方5 m 处，同时以v

定积分典型例题11198

定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ． 例18 计算2 1 ||x dx -?． 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分． 解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ． 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?． 分析 被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ． 解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =． 分析 本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）． 解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．

重积分部分练习题

重积分部分练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

题目部分，(卷面共有100题,分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）1 4 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =??__________1 22 (,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)1 1 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 1 (,)y dy f x y dx --?? (C)11 01 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)20 1 (,)dy f x y dx -?? 答 ( )

(3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可 化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)21 (,)y dy f x y dx ? 答 ( ) (3分)[7]设f (x ,y ) 为连续函数，则二次积分2 1 1 02 (,)y dy f x y dx ??可交换积分次序为 (A)10010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +? (B)11 210 2 (,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++??? (C)1 0(,)dx f x y dy ? (D)222cos 0 sin (cos ,sin )d f r r rdr π θθ θθθ?? 答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数，则积分 可交换积分次序为 (A)1 2 20 1 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+???? (B)2 1 2200 1 (,)(,)x x dy f x y dx dy f x y dx -+?? ?? (C)120 (,)y dy f x y dx -? (D)2120 (,)x x dy f x y dx -?? 答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)D f x y dxdy ??化成累次积分为 (A)2cos 0 (,)d F r dr πθ θθ?? (B)2cos 0 (,)d F r dr πθ π θθ-??

重积分_期末复习题_高等数学下册_(上海电机学院)

第九章 重积分 一、选择题 1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω ++Ω++=???球面部， 则I= [ C ] A. ???Ω Ω=dv 的体积 B.???1 42020sin dr r d d θ?θππ C. ???104 020sin dr r d d ??θππ D. ???104 020sin dr r d d θ?θππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则???Ω =xdxdydz [ B ] A. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 B. ???---y x x dz x dy dx 210 21010 C. ???-1 021021 0dz x dx dy y D. ???---y x y dz x dx dy 210 21010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ] （A ）()()1 cos d d 2d d D D xy x xy x y xy x y +=???? （B ）()()()1 cos d d 2cos d d D D xy x xy x y x xy x y +=???? （C ）()()1 cos d d 2(cos())d d D D xy x xy x y xy x xy x y +=+???? （D ）()()cos d d 0D xy x xy x y +=?? 4. Ω:12 22≤++z y x ， 则??? Ω =++++++dxdydz z y x z y x z 1 )1ln(2 2 2 222 [ C ] A. 1 B. π C. 0 D. 3 4π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则D xy d σ=?? D A.2 20 sin cos a d r dr π θθθ?? B. 30 sin cos a d r dr π θθθ? ?

二重积分练习题

二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ）

定积分典型例题20例答案

定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，

(完整版)重积分习题及答案

第九章 重积分 (A) 1．填空题 (1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<

高中数学定积分计算习题

定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+

三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积

二重积分练习题,DOC

二重积分自测题（一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+=D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22，则（） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（） A ．??-+212 2 ),(x x dy y x f dx B ．??-212 0),(dy y x f dx C ．??-+1 22 2 ),(x x dy y x f dx D ．??+1 02 2 ),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分??=4 02),(x x dy y x f dx （） A ．??404 12 ),(y y dx y x f dy B ．?? -4 0412),(y y dx y x f dy C ．??4041),(y dx y x f dy D ．??402 12 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分??=-202 2 x y dy e dx （） A ．)1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 12--e 6．设D 由 141 22≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2 2 11，??σ+=D d y x I )(222， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（）

二重积分习题答案

二重积分习题答案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

第八章二重积分习题答 案 练习题 1.设D ：0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义 计算d D x y 解：d D x y =200 d π θ?? =222 01()2r d a r π θ=--?? 2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =?? 解：2dxdy =??22 1 26d rdr π θπ=? ? 练习题 1.2d D x σ??其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域. 解：2d D x σ??=22 222301 001515 cos [cos2]84 d r dr d d πππθθθθθπ= +=???? 2计算二重积分σd y x D )3 41(-- ??，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。 解：σd y x D )341(--??= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--??? =222(1)84 x dx --=?

3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积. 解： 2 2 2 42 20 2320(42) 28(2)|33 x x x D A dxdy dx dy x x x x -===-=- =????? 4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积 解： 22 222 2 (4)(4)48D V x y d d r rdr d ππ σθθπ=--=-==????? 习 题 八 一．判断题 1.d D σ??等于平面区域D 的面积.（√） 2.二重积分 100f(x,y)d y dy x ??交换积分次序后为1 1 f(x,y)d x dx x ? ? （×） 二．填空题 1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy = ?? 12π12π. 2.二重积分d d D xy x y ??的值为 1 12 ，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤. 112 3.二重积分10 (,)y dy f x y dx ??交换积分次序后为 11 (,)x dx f x y dy ?? . 11 (,)x dx f x y dy ?? 4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则??（sin x x -）d d x y = 0.0 5.交换积分次序

[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202

三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

高等数学(同济五版)第九章重积分理解练习知识题册

第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ

第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则

?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ? ? ? ? ?????? +----=1 10 221 102 2 101 02210 102210 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 22222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求

习题课11--三重积分部分

宁波工程学院 高等数学AI 教案 习题课11（三重积分部分） 1.利用二重积分、三重积分求下列立体Ω的体积： ⑵ Ω是由平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体. 2.化三重积分dv z y x f ???Ω ).,(为三次积分，其中积分区域Ω是：由曲面z x y =及平面 1,0,0,0x y z x y +====围成的位于第一卦限的闭区域. 3.dv z ???Ω 2其中Ω为两个球体2222R z y x =++与2222x y z Rz ++=的公共部分(0)R >. 提示：用坐标轴投影法. 4.利用柱面坐标计算下列三重积分： （1）v d y x ???+Ω22，其中Ω是由曲面22 9z x y =--及平面0z =所围成的闭区域； （2）v d y ???Ω ，其中Ω是由曲面22z x y =+及平面2z y =所围成的闭区域. （3）??? Ω++1 22y x dxdydz ，其中Ω为锥面222z y x =+及平面1=z 所围成的闭区域； （4）dxdydz y x z ???Ω+22，其中Ω由曲面22x x y -= ，0=z ，)0(>=a a z ， 0=y 所围成的闭区域。 5.利用球面坐标计算下列三重积分： （1）dv y ??? Ω2，其中Ω为介于两球面2222 x y z a ++=与2222b z y x =++之间的部分(0)a b ≤<. （2）v d y x ???Ω+)(22，其中Ω是由曲面z = 与z =所围成的闭区域. （3）计算???Ω ++dv z y x f )(2 22，Ω： 1222≤++z y x （4）计算 dv e z y x Z ???≤++1 222 6.选用适当的坐标系计算下列三重积分。

定积分计算例题

第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y

§-9-重积分习题与答案

第九章 重积分 A 1、 填空题 1）交换下列二次积分的积分次序 （1） ()=??-dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2） ()=??dx y x f dy y y 2022,______________________________________________ （3） ()=??dx y x f dy y 100,_______________________________________________ （4） ()=??---dx y x f dy y y 101122,___________________________________________ （5） ()=??dy y x f dx e x 1ln 0,______________________________________________ （6） ()()=??---dx y x f dy y y 404214,________________________________________ 2）积分dy e dx x y ??-2 022的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D ??+=的 值则 。 4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2??+=与()σd y x I D 3 ??+=的大小________________________________ 5）设()?????? ≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D ??+-=2sin 1 ___________________________________________ 6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ???Ω =xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I 7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分

重积分练习题及答案

重积分练习题 A 一、填空题 1. 2 22 x y R σ+≤=?? 3 23 R π； 2. 1 (1)x y x y d σ+≤++=?? 2； （对称性及积分性质3） 3. 将二重积分 (,)D f x y d σ??化为二次积分 1 (,)(,)(,)x y f x y dx f x y dy f x y dy =+?，其中D 为 ,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域； 4. 改变积分次序 (1)2 120 (,)y y dy f x y dx -=?? 1 220 1 (,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+? ?? ； (2) 1 20 (,)x x dx f x y dx -=? ? 1 220 1 (,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+? ??? ； 5. 将二重积分 (,)D f x y d σ?? 转化为极坐标系下的两次单积分2cos 20 (cos ,sin )d f d π θ θρθρθρρ?? ，其中 D 为0,y y == 6. 将三重积分 (,,)f x y z dv Ω ??? 化为三次积分 1 10 (,,)x xy dx dy f x y z dz -? ? ?，其中Ω为z xy =， 1,0x y z +==所围成的封闭区域； 7. 将 三重积分 (,,)f x y z dv Ω ???化为柱面坐标系下的三次积 分 21 (cos ,cos ,)d d f z dz π ρ θρρρθρθ? ?，其中Ω 为z = ，z =所围成的封闭 区域. 二、计算题 1. 计算二重积分D xydxdy ??，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域； 解： 3321 21 1111()10ln 322 x x D xydxdy dx xydy x x dx x ==-=-??? ?? 2. 计算二重积分 ()D x y dxdy +??，其中D 是由,2,1y x y x y ===所围成的区域； 解：1 1 12200022 177 ()()()2824y y y y D x y dxdy dy x y dx x xy dy y dy +=+=+==?????? 3. 计算二重积分 D ，其中D : 22(1)1x y -+≤； 解：极坐标系下，由对称性 2cos 2 3220 01632 2cos 39 D d d d π πθ θρρθθ===?? ? 4. 计算二重积分 2211D xy dxdy x y +++??，其中D :221,0x y x +≤≥；

重积分典型例题解析

高等数学（2）第11章重积分典型例题解析 例1 填空 （1）根据二重积分的几何意义， ?? --D y x y x d d R 222= 。（其中 {}222),(R y x y x D ≤+=） （2）累次积分 ? ? x x y y x f x d ),(d 1 交换积分次序后，得到的积分为 。 （3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D (,)d d ??在直角 坐标系下化为累次积分的结果是 。 解（1）由二重积分的几何意义，?? --D y x y x d d R 222表示球心在圆点，半径为R 的 上半球体的体积，故为3 3 2 R π。 应该填写：3 3 2R π。 （2）由已知的累次积分，得积分区域为? ??≤≤≤≤x y x x 1 0，若变换积分次序，即先积x 后 积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是 y 的函数，因此积分区域应表为?? ?≤≤≤≤1 02y y x y ，于是交换后的积分为??y y x y x f y 2d ),(d 10。 应该填写： ? ?y y x y x f y 2 d ),(d 10 。 （3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式 组?? ?≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得???≤≤-≤≤-0 21 1y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以 可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填 ? ?--0 2 1 1 d ),(d x y x f y ，反之应填 d d x f x y y (,)--?? 2 1 1。 应该填写： d d x f x y y (,)--?? 2 01 1或??--02 1 1 d ),(d x y x f y 例2 单项选择 （1）二重积分 x x y x y 2 d d 14 22≤+≤??可表达为累次积分（ ）。 A. d d θθπr r 321 2 2cos ??； B. r r 321 2 2d d cos θθπ??；

定积分练习题

题型 1.定积分与极限的计算 2.计算下列定积分 3.计算下列广义积分 内容 一．定积分的概念与性质 1.定积分的定义 2.定积分的性质 3.变上限函数及其导数 4.牛顿—莱布尼茨公式 5.换元积分公式与分部积分公式 6.广义积分 题型 题型I 利用定积分定义求极限 题型II比较定积分的大小 题型III利用积分估值定理解题 题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题 题型V定积分的计算

题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算 自测题五 1.根据极限计算定积分 2.根据定积分求导 3.求极限 4.求下列定积分 5.证明题 4月21日定积分练习题 基础题： 一．选择题、填空题 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?1 01 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．将和式)21 .........2111(lim n n n n +++++∞→表示为定积分 ． 3．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+1 )1( C ．dx ? 1 1 D ． dx ?1 021 4．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ． 3 25 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ）

A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6． dx e e x x ?-+1 )(= （ ） A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1- 7.若10x m e dx =?，11e n dx x =?，则m 与n 的大小关系是（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2 2 1r m m k F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ． 9．由曲线2 1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ① 1 21 (1)x dx --? ；②121 (1)x dx --?；③120 2(1)x dx -?；④0 21 2(1)x dx --?． 则S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④ 10.0 (sin cos sin )x y t t t dt =+? ，则y 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．7 2 - D ．0 11. 若()f x 是一次函数，且1 ()5f x dx =? ，1 017 ()6xf x dx =?，那么21()f x dx x ?的值是 ． 12．???????=≠?=0 ,0,)()(2 x c x x dt t tf x F x ,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ） 。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .