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3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

10-6 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1. 主振型的正交性

正交的概念:两个向量,其中,

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

,称为正交;矢量的概念。

正交关系有许多用途,详见线性代数的有关部分。

这里我们讨论主振型的正交性:

以两个自由度体系为例:

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

功的互等定理(Betti’s law)

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

即:

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

故有

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

上式可推广到一般情况

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

第一个正交关系为:

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

证明:

由特征方程有

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

将上式两边分别乘以得

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

对其中任一式转置并相减得

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

如果

同理也可推得

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

(也可直接利用关于质量矩阵得正交性得到。)

对k=L 时,我们定义

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M k , K k分别叫做第k个主振型相应得广义质量和广义刚度。

由特征方程有:

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

即:

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

由此得:

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

这就是根据广义刚度Kk和广义质量Mk来求频率Wk的公式。这个公式是单自由度体系频率公式的推广。

正交关系的利用:

判断主振型的形状是否正确;

在振型分解法中的应用。

例17-8讲解重点正交性的验算

2*. 主振型矩阵

如果将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵,即

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

这个方阵称为主振型矩阵,它的转置矩阵为

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

根据主振型向量的两个正交关系,可以导出主振型矩阵[Y]的两个性质,即[Y]T[M][Y] 和[Y]T[K][Y] 都应是对角矩阵。下面证明:

[Y]T[M][Y]=

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

上式中的对角线元素就是广义质量M1,M2,……M n, 由正交关系知其余元素均为零,故[Y]T[M][Y]为对角矩阵。即

[Y]T[M][Y]=

对角矩阵[M*]称为广义质量矩阵。

同样可得

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

3多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

其中Ki为广义刚度,对角矩阵[K*]叫做广义刚度矩阵。在后续章节中,我们将利用这一性质将多自由度体系的振动方程变为简单的形式。