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高中数学北师大版选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》(章末小结)精品学案

高中数学北师大版选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》(章末小结)精品学案
高中数学北师大版选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》(章末小结)精品学案

章末小结

1.复数的概念及主要代数性质

(1)复数:形如z=a+b i(a,b∈R)的数叫作复数,其中i是虚数单位,i2=-1,a,b分别叫它的实部和虚部.

(2)复数的分类:设复数z=a+b i(a,b∈R),

①当b=0时,z为实数;

②当b≠0时,z为虚数;

③当a=0,且b≠0时,z为纯虚数.

(3)复数相等的条件:在复数集中任意两个复数a+b i,c+d i(a,b,c,d∈R),规定:a+b i与c+d i相等的充要条件是a=c且b=d,换句话说,如果两个复数实部和虚部分别相等,那么就说这两个复数相等.

(4)两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数,就不能比较它们的大小.

(5)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

2.对复平面与复数的几何性质的理解

(1)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面,x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.

(2)复数z=a+b i(a,b∈R)与复平面上的点Z(a,b)建立了一一对应的关系.

(3)复数的模:因为z=a+b i(a,b∈R)与复平面内的向量一一对应,所以向量的模就叫作复数z=a+b i的模,因此有|z|= ,且有z·=a2+b2.

3.复数的四则运算及运算律

(1)复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:

设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则

①z1±z2=(a±c)+(b±d)i;

②z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;

③== +i(z2≠0).

(2)结论:

①在复数代数形式的四则运算中,加法、减法、乘法运算都可以按多项式运算法则进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后实、虚部分别合并;除法法则需分子分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.

②记住一些常用的结果,如i的有关性质,可简化运算,提高运算速度.

③若z为虚数,则|z|2≠z2.

(3)运算律

①复数的加法运算满足交换律、结合律.

②复数的乘法运算满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律.

③复数的减法是加法的逆运算,复数的除法是乘法的逆运算.

4.复数与其他知识的联系与区别

(1)复数事实上是一对有序实数对,因此复数问题可以转化为实数问题来解决,复数z=a+b i(a,b∈R)与复平面内的向量=(a,b)一一对应,故复数与平面解析几何、平面向量联系密

切.

(2)复数代数形式的加、减运算与平面向量的加、减运算是一致的,复数代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算是类似的.

题型1:复数的基本概念和运算

已知复数z=(2+i)m2--2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:

(1)零;

(2)虚数;

(3)纯虚数;

(4)复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数?

【解析】z=(2+i)m-3m(1+i)-2(1-i)=(2m-3m-2)+(m2-3m+2)i.

(1)当即m=2时,z为零.

(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2且m≠1时,z为虚数.

(3)当即m=-时,z为纯虚数.

(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2时,z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.

【小结】本题考查了复数的四则运算、复数的分类、复数相等的充要条件、复数的几何意义等知识点.

题型2:复数的几何意义

已知z是复数,z+2i、均为实数,且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.

【解析】根据题意,设复数z=c+d i(c,d∈R),

则z+2i=c+(d+2)i为实数,即d+2=0,解得d=-2,所以z=c-2i.

又==为实数,即=0,

解得c=4,所以z=4-2i.

∵(z+a i)2=(4-2i+a i)2=16-(2-a)2-8(2-a)i对应的点在第一象限,

∴?解得2

∴实数a的取值范围是(2,6).

【小结】复数的几何意义使复数及复平面内的数学问题转化成一系列的实数问题.因而,需熟记各种转化的条件和实数、虚数、纯虚数满足的条件.

题型3:复数的综合应用

设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;

(2)设u=,求证:u为纯虚数;

(3)求ω-u2的最小值.

【方法指导】先设出z的代数形式,然后利用ω=z+是实数为突破口求出|z|,结合-1<ω<2的范围求出z的实部的取值范围.证明u为纯虚数只需求出u的代数形式后,说明它的实部为0,虚部不为0即可.求ω-u2的最小值,这里可利用重要不等式.

【解析】(1)设z=a+b i(a,b∈R,b≠0),

则ω=a+b i+=(a+)+(b-)i.

∵ω是实数,b≠0,∴b-=0,∴a2+b2=1,∴|z|=1,

∴ω=2a,又-1<ω<2,∴z的实部的取值范围是(-,1).

(2)u===

==-i.

又a∈(-,1),b≠0,∴u为纯虚数.

(3)ω-u2=2a+=2a+=2a-

=2a-1+=2[(a+1)+]-3.

∵a∈(-,1),∴

∴ω-u2≥1,当且仅当a+1=时,即a=0时等号成立.

故ω-u2的最小值为1.

【小结】没有给定复数的具体形式时,要注意首先设出其代数形式z=a+b i(a,b∈R),这是解决复数问题时的一般思路,本题将复数与不等式相结合考查,具有一定的综合性.

1.(2012年·全国新课标卷)下面关于复数z=的四个命题:

p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1.

其中的真命题为().

A.p2,p3

B.p1,p2

C.p2,p4

D.p3,p4

【解析】由题意得z===-1-i,则=,z2=(-1-i)2=2i,=-1+i,z的虚部为-1,所以p2,p4是正确的.

【答案】C

2.(2013年·全国Ⅱ卷)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=().

A.-1+i

B.-1-i

C.1+i

D.1-i

【解析】z===i(1+i)=-1+i.

【答案】A

3.(2013年·安徽卷)设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为().

A.-3

B.-1

C.1

D.3

【解析】a-=a-=a-=a-(3+i)=(a-3)-i,

所以a=3.

【答案】D

一、选择题

1.复数的虚部是().

A.-1

B.1

C.i

D.-i

【解析】==-1+i.

【答案】B

2.i为虚数单位,复平面内表示复数z=的点在().

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】因为z====--i,所以其在复平面上对应的点为(-,-),在第三象限.

【答案】C

3.已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=().

A.-3+4i

B.-3-4i

C.3+4i

D.3-4i

【解析】(法一)由(3+4i)z=25,得z===3-4i.

(法二)设z=a+b i(a,b∈R),则(3+4i)(a+b i)=25,即3a-4b+(4a+3b)i=25,所以解得故z=3-4i.

【答案】D

4.已知集合M={1,2,z i},i为虚数单位,N={3,4},M∩N={4},则复数z=().

A.-2i

B.2i

C.-4i

D.4i

【解析】∵M∩N={4},∴4∈M,∴z i=4,∴z==-4i.

【答案】C

5.已知复数z满足(1-i)z=2,则||为().

A.1+i

B.1-i

C.

D.2

【解析】z====1+i,=1-i,所以||=|1-i|=.

【答案】C

6.若复数(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数,则实数a的值为().

A.2

B.4

C.-6

D.6

【解析】==,根据已知条件a=-6.

【答案】C

7.若复数z满足方程z2+2=0,则z3等于().

A.±2

B.-2

C.±2 i

D.-2 i

【解析】z2+2=0?z=±i?z3=±2 i.

【答案】C

8.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于().

A.-1

B.1

C.2

D.3

【解析】由已知条件a+2i=-1+b i,

则a=-1,b=2,a+b=1.

【答案】B

9.若纯虚数z满足(2-i)z=4+b i,则实数b等于().

A.-2

B.2

C.-8

D.8

【解析】(法一)设z=a i(a∈R且a≠0),则a i(2-i)=4+b i,

即2a i-a i2=4+b i,∴a+2a i=4+b i,

即∴b=8.

(法二)由(2-i)z=4+b i,

得z====+i,则=0,∴b=8,选D.

【答案】D

10.定义运算=ad-bc,则符合条件=0的复数z的共轭复数对应的点在().

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】由题意得z(1+i)-(1-i)(1+2i)=0,即z=====2-i,

所以=2+i,对应点(2,1)在第一象限,选A.

【答案】A

二、填空题

11.复数=.

【解析】==-2i.

【答案】-2i

12.复数(i为虚数单位)的实部等于.

【解析】∵==-3-i,∴-3-i的实部等于-3.

【答案】-3

13.设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=.

【解析】由(z-2i)(2-i)=5,得z=2i+=2i+=2i+2+i=2+3i.

【答案】2+3i

14.若(x+i)i=-1+2i(x∈R),则x=.

【解析】由题意,得x+i====2+i,

所以x=2.

【解析】2

15.若z=,则z100+z50+1=.

【解析】z==,z100+z50+1=()100+()50+1=()50+()25+1=i50+i25+1=i2+i+1=i.

【答案】i

三、解答题

16.已知z1=5+10i,z2=3-4i,=+,求z.

【解析】=+=,则z=

===

=5-i.

17.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.

【解析】∵(z1-2)(1+i)=1-i,

∴z1=2-i.

设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.

∵z1·z2∈R,∴a=4,

∴z2=4+2i.

18.已知复数z=(3+b i)(1+3i)(b∈R)是纯虚数.

(1)求b的值;

(2)若w=,求复数w的模|w|.

【解析】(1)z=(3+b i)(1+3i)=(3-3b)+(9+b)i.

∵z是纯虚数,

∴3-3b=0,且9+b≠0,

∴b=1.

(2)w====-i,

∴|w|==.

19.已知复数z=1-2i(i为虚数单位).

(1)把复数z的共轭复数记作,若·z1=4+3i,求复数z1;

(2)已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.

【解析】(1)由题意得=1+2i,

所以z1===2-i.

(2)由题意知2(1-2i)2+p(1-2i)+q=0,

化简得(-6+p+q)+(-8-2p)i=0.

根据复数相等的条件,有-6+p+q=0且-8-2p=0,

解得p=-4,q=10.

20.已知z为复数,z+2i和均为实数,其中i是虚数单位.

(1)求复数z;

(2)若复数(z+c i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数c的取值范围.

【解析】(1)设复数z=a+b i(a,b∈R),

由题意知,z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i∈R,

∴b+2=0,即b=-2.

又==+i∈R,

∴2b+a=0,即a=-2b=4.

∴z=4-2i.

(2)由(1)可知z=4-2i,

∴(z+c i)2=(4-2i+c i)2=[4+(c-2)i]2

=16-(c-2)2+8(c-2)i,

其对应的点在复平面的第一象限,

∴解得2

即c的取值范围为(2,6).

21.已知动点P在复平面上对应的复数为z=t+3+3i,其中t是使为纯虚数的复数,求点P的轨迹

方程.

【解析】设t=x1+y1i(x1,y1∈R),则

===为纯虚数,得+=9.

设z=x+y i(x,y∈R),

则t=z-3-3i,x1+y1i=x+y i-3-3i,

代入+=9,得(x-3)2+(y-3)2=9.

选修1-2模块测试评估卷

一、选择题

1.下列两变量中具有相关关系的是().

A.球的体积与半径

B.匀速行驶车辆的行驶距离与时间

C.正方体外接球的表面积与正方体的棱长

D.日照时间与棉花的产量

【解析】A、B、C项都是具有确定性的函数关系.本题只有D项才具有相关关系.

【答案】D

2.i为虚数单位,()2=().

A.-1

B.1

C.-i

D.i

【解析】()2===-1.

【答案】A

3.某药厂生产某产品的工艺过程如下:

从上图可以看出药品生产过程需要检验().

A.1次

B.2次

C.3次

D.4次

【答案】C

4.把正整数按下图所示的规律排序,则从2003到2005的箭头方向依次为().

A.B.

C. D.

【答案】B

5.设f(z)=,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)等于().

A.1-3i

B.-2+11i

C.-2+i

D.5-5i

【答案】D

6.已知回归直线斜率的估计值为1.23,样本点的中心为点(4,5),则回归直线的方程为().

A.y=1.23x+4

B.y=1.23x+5

C.y=1.23x+0.08

D.y=0.08x+1.23

【解析】回归直线必过点(4,5),故其方程为y-5=1.23(x-4),即y=1.23x+0.08.

【答案】C

7.下列有关回归的说法,正确的是().

①相关关系的两个变量不一定是因果关系;

②散点图能直观地反映数据的相关程度;

③回归直线能代表线性相关的两个变量之间的关系;

④任何一组数据都有回归直线方程.

A.①②

B.①②③

C.②④

D.①②③④

【答案】B

8.在一次对性别与吃零食是否有关的调查中,得到如下数据:

根据此表,得到如下结论,其中正确的是().

A.在此次调查中有90%以上的把握认为吃零食与性别有关

B.在此次调查中有95%的把握认为吃零食与性别有关

C.在此次调查中有99%的把握认为吃零食与性别有关

D.在此次调查中没有充分的数据证明吃零食与性别有关

【解析】χ2=≈0.00242<2.706,选D.

【答案】D

9.在所给的四个选项中,选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性,选项为().

A. B.

C. D.

【解析】本题考查学生对图形类问题归纳的能力.在第一行中,第一个图叠加第二个图为第三个图,第二行也满足此规律,所以第三行也应满足此规律.又第三行的前两个图叠加为A 项,故选A.

【答案】A

10.对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数.对任意复数z1,z2,z3有如下四个命题:

①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3);

②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3);

③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);

④z1*z2=z2*z1.

则真命题的个数是().

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】由题意得(z1+z2)*z3=(z1+z2)=z1+z2=z1*z3+z2*z3,故①正确;z1*(z2+z3)=z1(+)=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),故②正确;(z1*z2)*z3=(z1)=z1,而z1*(z2*z3)=z1z3,故③不正确;z1*z2=z1,而z2*z1=z2,故④不正确.故选B.

【答案】B

二、填空题

11.已知i是虚数单位,实数x,y满足(x+i)i+y=1+i,则x-y的值为.

【解析】∵(x+i)i+y=1+i,∴y-1+x i=1+i(x, y∈R),

∴∴y=2,x=1,∴x-y=1-2=-1.

【答案】-1

12.已知复数z1=1-i,z1·z2=1+i,则z2=.

【解析】由z1·z2=1+i,

知z2===i.

【答案】i

13.观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律,第n个等式为.

【答案】n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

14.已知命题“若数列{a n}是等比数列,且a n>0,则数列b n=(n∈N*)也是等比数列”,类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个性质是.

【解析】设等差数列{a n}的公差为d,则b n===a1+(n-1),

所以数列{b n}是以a n为首项,为公差的等差数列.

【答案】若数列{a n}是等差数列,则数列b n=也是等差数列

15.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n的值为9,则输出S的值为.

【解析】根据程序框图阅读判断并求解,注意程序终止的条件.

由题意,程序运行如下:

k=1<9,S=21+1=3,k=2<9;S=3+22+2=9,k=3<9;

S=9+23+3=20,k=4<9;S=20+24+4=40,k=5<9;

S=40+25+5=77,k=6<9;S=77+26+6=147,k=7<9;

S=147+27+7=282,k=8<9;S=282+28+8=546,k=9≤9;

S=546+29+9=1067,k=10>9,输出S=1067,程序结束.

【答案】1067

三、解答题

16.为了研究性格与血型的关系,抽取80名被试验者,他们的血型与性格汇总如下,试判断性格与血型是否相关.

【解析】由列联表中的数据得到:

χ2=≈2.030<2.706.

故没有充分的证据显示“血型与性格有关系”.

17.对于直线l:y=kx+1,是否存在这样的实数k,使得l与双曲线C:3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

【解析】假设存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1)、B(x2,y2).

由?(3-k2)x2-2kx-2=0,④

由②③有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2,⑤

由④知x1+x2=,

代入⑤整理得:ak=3与①矛盾.

故不存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称.

18.已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P(x0,y0)到直线l的距离d,写出其算法并画出算法框图.

【解析】算法如下:

第一步,输入P点的坐标(x0,y0)及直线方程的系数A,B,C;

第二步,计算z1=Ax0+By0+C;

第三步,计算z2=A2+B2;

第四步,计算d=;

第五步,输出d.

程序框图如图所示.

19.已知w=-+i.

(1)求w2及w2+w+1的值;

(2)若等比数列{a n}的首项为a1=1,公比q=w,求数列{a n}的前n项和S n.

【解析】(1)w2=(-+i)2=-i-=--i.

w2+w+1=(--i)+(-+i)+1=0.

(2)由于w2+w+1=0,

w k+2+w k+1+w k=w k(w2+w+1)=0,k∈Z.

∴S n=1+w+w2+…+w n-1=

∴S n=

20.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:

(1)求y关于t的线性回归方程;

(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b=,a=-b.

【解析】(1)由所给数据计算得=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,

=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

(t i-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,

(t i-)(y i-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,

b===0.5,

a=-b=4.3-0.5×4=2.3,

所求回归方程为y=0.5t+2.3.

(2)由(1)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.

将2015年的年份代号t=9代入(1)中的回归方程,得

y=0.5×9+2.3=6.8,

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

21.已知函数f(x)=(a x-a-x),其中a>0,且a≠1.

(1)判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并加以证明;

(2)判断f(2)-2与f(1)-1,f(3)-3与f(2)-2的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明.

【解析】(1)由已知得f'(x)=(a x+a-x)>0,

所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

(2)f(2)-2>f(1)-1,f(3)-3>f(2)-2.

一般的结论:f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*).

证明如下:

上述不等式等价于f(n+1)-f(n)>1,即>1,

化简得(a n+1-1)(a n-1)>0,

在a>0且a≠1的条件下,(a n+1-1)(a n-1)>0显然成立,

故f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*)成立.

高中数学平面向量知识点总结

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法

(北师大版)高一数学必修1全套教案

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第一章集合 课题:§0 高中入学第一课(学法指导) 教学目标:了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求,了解新课程标准的基本思路,了解高考意向,掌握高中数学学习基本方法,激发学生学习数学兴趣,强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程: 一、欢迎词: 1、祝贺同学们通过自己的努力,进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动, 圆满完成高中三年的学习任务,并祝愿同 学们取得优异成绩,实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了,收获应是:吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学,暂定 一年,… 4、本节课和同学们谈谈几个问题:为什么 要学数学?如何学数学?高中数学知识结

构?新课程标准的基本思路?本期数学教 学、活动安排?作业要求? 二、几个问题: 1.为什么要学数学:数学是各科之研究工具,渗透到各个领域;活脑,训练思维;计算机等高科技应用的需要;生活实践应用的需要。 2.如何学数学: 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点:抓好自学和预习;带着问题认真听课;独立完成作业;及时复习。注重自学能力的培养,在学习中有的放矢,形成学习能力。 高中数学由于高考要求,学习时与初中有所不同,精通书本知识外,还要适当加大难度,即能够思考完成一些课后练习册,教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料,如订阅一份数学报刊,购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构: 书本:高一上期(必修①、②),高一下期(必

修③、④),高二上期(必修⑤、选修系列), 高二下期(选修系列),高三年级:复习资 料。 知识:密切联系,必修(五个模块)+选修系列(4个系列,分别有2、3、6、10个模块)能力:运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念: ①构建共同基础,提供发展平台;②提供多样课程,适应个性选择;③倡导积极主动、勇于探索的学习方式;④注重提高学生的数学思维能力;⑤发展学生的数学应用意识;⑥与时俱进地认识“双基”;⑦强调本质,注意适度形式化;⑧体现数学的文化价值;⑨注重信息技术与数学课程的整合;⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排: 本期学习内容:高一必修①、②,共72课时,

北师大版高中数学必修知识点

高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为 C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,211 22 S lr r α= = . 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是 (),x y ,它与原点的距离是() r r = >,则sin y r α=,cos x r α=, ()tan 0y x x α= ≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=12、同角三角函数的基本关系:()221sin cos 1αα+= ()2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-;() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?. 13、三角函数的诱导公式: ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ???. ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数sin y x =的图象上所有点向左(右)平移?个单位长度,

北师大版高中数学必修1-知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集, Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等

(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有 21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 B {|x x x ∈A A = ?=? B A ? A B B ? B {|x x x ∈A A = A ?= B A ?

B B ? ⑷ ⑼ 集合的运算律: 交换律: 结合律: 分配律: 0-1律: 等幂律: 求补律:A ∩ A ∪ =U 反演律: (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1.映射:设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的 元 素,在集合B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 .2.象与原象:如果f :A →B 是一个A 到B 的映射,那么和A 中的元素a 对应的 叫做象, 叫做原象。二、函数1.定义:设A 、B 是 ,f :A →B 是从A 到B 的一个映射,则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ,记作 .2.函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同 .;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A U A A U A U Φ =ΦΦ ===.,A A A A A A ==

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修) 2

北师大版高中数学 必修1 全书目录: 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题 必修2 全书目录: 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单 应用 阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动:随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动:结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行 趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计 §3 排序问题 §4 几种基本语句 课题学习确定线段n等分点的 算法 第三章概率 §1 随机事件的概率 §2 古典概型 §3模拟方法――概率的应用 探究活动用模拟方法估计圆周 率∏的值 必修4 全书目录: 第一章三角函数 §1 周期现象与周期函数 §2 角的概念的推广 §3 弧度制 §4 正弦函数 §5 余弦函数 §6 正切函数 §7 函数的图像 §8 同角三角函数的基本关系 阅读材料数学与音乐 课题学习利用现代信息技术探 究的图像 第二章平面向量 §1 从位移、速度、力到向量 §2 从位移的合成到向量的加法 §3 从速度的倍数到数乘向量 §4 平面向量的坐标 §5 从力做的功到向量的数量积 §6 平面向量数量积的坐标表示 §7 向量应用举例 阅读材料向量与中学数学 第三章三角恒等变形 §1 两角和与差的三角函数 §2 二倍角的正弦、余弦和正切 §3 半角的三角函数 §4 三角函数的和差化积与积化 和差 §5 三角函数的简单应用 课题学习摩天轮中的数学问题 探究活动升旗中的数学问题

高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学北师大版必修全册知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 (1)集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). (6)子集、真子集、集合相等

(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集. (8)交集、并集、补集

⑼ 集合的运算律: 交换律: 结合律: 分配律: 0-1律: 等幂律: 求补律:A ∩uA = A ∪CuA =U uU =u =U 反演律:u (A ∩B)=(u A)∪(u B) u (A ∪B)=(u A)∩(u B) .;A B B A A B B A Y Y I I ==)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I ==,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U .,A A A A A A ==Y I

高中数学目录——北师大版

北师大版高中数学必修一 ·第一章集合 · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算 ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性 · 4、二次函数性质的再研究 · 5、简单的幂函数 ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数 · 4、对数 · 5、对数函数 · 6、指数函数、幂函数、对数函数增·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图 · 3、直观图 · 4、空间图形的基本关系与公理· 5、平行关系 · 6、垂直关系 · 7、简单几何体的面积和体积 · 8、面积公式和体积公式的简单应用·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动:随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征

· 6、用样本估计总体 · 7、统计活动:结婚年龄的变化· 8、相关性 · 9、最小二乘法 ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计 · 3、排序问题 · 4、几种基本语句 ·第三章概率 · 1、随机事件的概率 · 2、古典概型 · 3、模拟方法――概率的应用 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数 · 2、角的概念的推广 · 3、弧度制 · 4、正弦函数 · 5、余弦函数 · 6、正切函数 · 7、函数的图像 · 8、同角三角函数的基本关系 ·第二章平面向量 · 1、从位移、速度、力到向量 · 2、从位移的合成到向量的加法· 3、从速度的倍数到数乘向量 · 4、平面向量的坐标 · 5、从力做的功到向量的数量积· 6、平面向量数量积的坐标表示· 7、向量应用举例 ·第三章三角恒等变形 · 1、两角和与差的三角函数 · 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数 · 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用 北师大版高中数学必修五 ·第一章数列 · 1、数列的概念 · 2、数列的函数特性 · 3、等差数列

高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习

北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解 第一章集合与函数概念 知识架构 第一讲集合

★知识梳理 一:集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法:列举法、描述法、韦恩图; 3.集合中元素与集合的关系: 三:集合的基本运算 ①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={} x x U x A ∈?且 {|B x x ={|B x x =

★重、难点突破 重点:集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点:正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化,准确进行集合 的交、并、补三种运算。 重难点: 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性,要特别注意集合中元素的互异性, 在解题过程中最易被忽视,因此要对结果进行检验; 2.集合的表示法 (1)列举法要注意元素的三个特性;(2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质,如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{} )(),(x f y y x =等的差别,如果对集合中代表元素认识不清,将导致求解错误: 问题:已知集合221,1,9432x y x y M x N y ????=+==+=????????? 则M N=( ) A. Φ; B. {})2,0(),0,3(; C. []3,3-; D. {}3,2 [错解]误以为集合M 表示椭圆 14 922=+y x ,集合N 表示直线123=+y x ,由于这直线过椭圆的两个顶点,于是错选B [正解] C ; 显然{} 33≤≤-=x x M ,R N =,故]3,3[-=N M (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法,在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn 图。 3.集合间的关系的几个重要结论 (1)空集是任何集合的子集,即A ?φ (2)任何集合都是它本身的子集,即A A ? (3)子集、真子集都有传递性,即若B A ?,C B ?,则C A ? 4.集合的运算性质 (1)交集:①A B B A =;②A A A = ;③φφ= A ;④A B A ? ,B B A ? ⑤B A A B A ??= ;

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(含必修和选修) 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录: 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题

必修2 全书目录: 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动:随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动:结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计

高中数学向量总结归纳

平面向量的数量积及平面向量的应用 1.定义及运算律. 两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数,而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”. 设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积,记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ,(λ·a )·b =λ(a ·b ),(a ±b )·c =a ·c ±b ·c . 2.平面向量数量积的重要性质. ①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=| |||) (b a b a ??;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号. ②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |= 21 21y x +;cos θ= 22 22 21 21 2121) (y x y x y y x x + ? + +;|x 1x 2+y 1y 2|≤ 2 2 222121y x y x +?+ 3.两向量垂直的充要条件 若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0. 4.向量的模及三角不等式 |a |2=a ·a 或|a |=a a ?;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 5.三角不等式的推广形式 |a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.

北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)

高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一 ·第一章集合(考点的难度不是很大,是高考的必考点) · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算(重点) (2课时) ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性(重点) · 4、二次函数性质的再研究(重点) · 5、简单的幂函数 (5课时) ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数(重点) · 4、对数 · 5、对数函数(重点) · 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性(重点) (3课时) ·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 (2课时) 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图(重点) · 3、直观图(1课时) · 4、空间图形的基本关系与公理(重点) · 5、平行关系(重点)

· 6、垂直关系(重点) · 7、简单几何体的面积和体积(重点) · 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点)(4课时) ·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 (4课时) 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动:随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征(重点) · 6、用样本估计总体 · 7、统计活动:结婚年龄的变化 · 8、相关性 · 9、最小二乘法 (3课时) ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计(重点) · 3、排序问题(重点) · 4、几种基本语句 (2课时) ·第三章概率 · 1、随机事件的概率(重点) · 2、古典概型(重点) · 3、模拟方法――概率的应用(重点、难点) (4课时) 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数

高中数学平面向量知识点总结及常见题型x

平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB几何表示法AB , a ;坐标表示法a =xi ? yj (x, y).向量 的大小即向量的模(长度),记作| A B |即向量的大小,记作I 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行零向量a = 0 = I a I = 0"由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为 亠% =x2 小相等,方向相同(x「yj = (x2, y2)=」 y2 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4 设AB 二a, BC =b,贝y a + b =AB BC = AC (1)0 a a,0二a ;( 2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ ? QR二AR,但这时必须“首尾相连” ? 3向量的减法 ①相反向量:与a长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有:(i) -(-a)=a ; (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ; (iii) 若a、b是互为相反向量, 则a=-b,b = -a,a + b=0 ②向量减法:向量a加上b的相反向量叫做a与b的差, 记作:a - b二a ? (-b)求两个向量差的运算,叫做向量的减法 ③作图法:a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 4实数与向量的积: ①实数入与向量a的积是一个向量,记作入a,它的长度与方向规定如下: (I) a a ;

北师大版高中数学课本目录标准版

必修1 第一章集合 §1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集 第二章函数 §1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射 §3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数 对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章函数应用 §1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解 §2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例 必修2 第一章立体几何初步 §1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状

第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式 必修3 第一章统计 §1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的 数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动:结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计 第二章算法初步 §1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句 第三章概率 §1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用 必修4 第一章三角函数 §1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像 从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用

2017新版北师大版小学数学教材内容整合

北师大版小学数学教材内容整合 册别单 元 内 容 版 块 标题课题摘要 一年级上册 前言数学来源于生活 第 一 单 元 生 活 中 的 数 数 与 代 数 1、可爱的校园10以内的个数有什么,有多少,数一数 2、快乐的家园数的意义1、2、 3、4分别可以表示什么。 3、玩具5以内的数数一数,说一说,写一写 4、小猫钓鱼0的认识生活中用到0的地方 5、文具6—10的认识数一数,写一写,6—10分别可以 表示什么。 第 二 单 元 比 较 统 计 与 概 率 1、动物乐园比多少知道符号>,=,<的意义;会读,会写 2、高矮比高矮谁高谁矮,比一比 3、轻重比轻重说一说、掂一掂、称一称 第 三 单 元 加 减 法 ( 一 ) 数 与 代 数 1、有几支铅笔什么是加法认识加号,理解加号的意义,会读 加法算式。 2、有几辆车加法交换律a+b=b+a;两个数相加,交换加数 的位置,和不变。 3、摘果子什么是减法认识减号,理解减号的意义,会读 减法算式。 4、小猫吃鱼得数是0的减法依次减,直到减到0为止。 练习一5以内的加减法 5、猜数游戏做加法想减法,做减法想加法 6、跳绳8和9的加减法数一数,算一算 7、可爱的企鹅8、9的应用题 练习二9以内的加减法 8、分苹果10的加减法10个苹果分成两堆,每堆有几个? 9、操场上求谁多谁少的应用题甲比乙多4→乙比甲少4 10、乘车一位数加减混合运算从前往后,依次计算 练习三10的加减法,加减混合运算整理与复习(一)0—10加减法表 11、大家来锻炼生活中处处有数学 第 四 单 元 分 类 统 计 与 概 率 1、整理房间大分类怎样整理,分类依据 2、整理书包小分类怎样整理,分类依据 第 五 单 元 位 置 与 顺 序 空 间 与 图 形 1、前后森林运动会,看图说一说 2、上下看图填一填,说一说 3、左右要发言的请举右手,另一只手是? 4、教室前后左右上下说一说教室里面有什么,是怎样摆 放的?

高一数学必修四,平面向量知识点总结,2020最新版

平面向量知识点专题 知识点梳理: 一、向量的基本概念 1. 向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量,一般用c b a ,,来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如(其中A 为起点,B 为终点)。 2. 向量的大小:又叫向量的模,也就是向量的长度,记作||a 或||。 3. 零向量:长度为0的向量,记作0,其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线(平行),即a ∥0。 4. 单位向量:模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时,很明显| |a a ± 是与向量a 共线(平行)的单位向量。 5. 相等向量:大小相等,方向相同的向量,记为b a =。 6. 相反向量:大小相等,方向相反的向量,向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量(平行向量):方向相同或方向相反的向量,叫做平行向量,也叫做共线向量,因为任何平行向量经过平移后,总可以移到同一条直线上。 二、向量的线性运算 1. 向量的加法: 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,,在平面内任取一点A ,作b a ==,,则向量叫做向量a 和b 的和(或和向量),即b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义:向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则,如图: 1.3. 若向量b a ,不共线,加法的三角形法则和平行四边形法则都适用;当向量b a ,共线时,只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和,如图:

2. 向量的减法: 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量,即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义:向量的减法符合三角形法则,同起点,指向被减数,如图: 3. 向量的数乘运算: 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量,记为a λ,其长度与方向规定如下: ①||||||a a λλ= ②当0>λ时,a λ与a 的方向相同;当0<λ时,a λ与a 的方向相反;当0=λ时,0=a λ,方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ,为实数,则 ①a a a μλμλ+=+)(; ②a a )()(λμμλ=; ③b a b a λλλ+=+)(。 三、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理:如果)(R b a ∈=λλ,则b a ∥;反之,如果b a ∥且0≠b 时,一定存在唯一实数λ,使b a λ=。 2. 平面向量基本定理: 2.1. 如果21,e e 是同一平面内不共线的两个向量,那么对于该平面内的任一向量a ,都存在唯一的一对实数21λλ,,使得2211e e a λλ+=。 2.2. 基底:我们把不共线的向量21,e e 叫做表示该平面内所有向量的一组基底,记为{21,e e }。2211e e λλ+叫做向量a 关于基底{21,e e }的分解式。 2.3. 平面向量基本定理又叫做平面向量分解定理,是平面向量正交分解的理论依据,也是向量坐标表示的基础。 3. 线段定比分点的向量表达:如图,在△ABC 中,若点D 是边BC 上的点,且)1(-≠=λλDC BD ,则向

北师大版高中数学必修知识点总结

北师大版高中数学必修3知识与题型归纳 第一章《统计》知识与题型归纳复习 (一)、抽样方法 1、简单随机抽样 (1)、相关概念:总体、个体、样本、样本容量。(2)、基本思想:用样本估计总体。 (3)、简单随机抽查概念。一般的,设一个总体含有N 个个体,从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤ ,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样。其特点:①总体个数有限;②逐个抽取;③不放回抽样;④等可能抽样。 (4)、抽样方法:①抽签法;②随机数表。 2、系统抽样 (1)、定义:当总体元素个数很大时,样本容量不宜太小,这时可将总体分为均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本(等距抽样)。 (2)、步骤:①编号;②分段;③不确定起始个体编号;④按规则抽取。 3、分层抽样 (1)、定义:当总体由差异明显的几部分组成时,为了使抽取的样本更好的反应总体情况,我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分,每一部分叫做层,在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样。 适用特征①总体由差异明显的几部分组成;②分成的各层互不重叠;③各层抽取的比例等于样本客样在总体中的比例,即 N n 。 (二)、用样本的频率分布估计总体的分布(统计图表) 1、列频率分布表,画频率分布直方图: (1)计算极差(2)决定组数和组距(3)决定分点(4)列频率分布表(5)画频率分布直方图 2、茎叶图;3、扇形图; 4、条形图;5、折线图; 6、散点图。 (三)、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、有关概念 (1)、众数:频率分布最大值所对应的样本数据(或出现最多的那个数据)。 (2)、中位数:累积频率为0.5时,所对应的样本数据。 (3)、平均数:)(1 21n x x x n x +++= Λ (4)、三个概念的区别:①都是描述一组数据集中趋势的量,平均数较重要。②平均数的大小与每个数相关。③众数考查各个数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,众数更能反映问题,中位数仅与排列有关。 2、样本方差与样本标准差 1样本方差:( )()( )[]2 22212 1 x x x x x x n S n -++-+-=Λ样本方差大说明样本差异和波动性大。 (2)、样本标准差:方差的算术平方根( )()( )[]2 22211 x x x x x x n S n -++-+-= Λ (3)、要有单位,方差的单位是原数据的单位的平方,标准差的单位与原数据单位同。 (四)、变量的相关性: 1、变量与变量之间存在着的两种关系①函数关系:确定性关系。②相关关系:自变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系。

高中数学平面向量知识点总结82641

平面向量知识点总结 第一部分:向量的概念与加减运算,向量与实数的积的运算。 一.向量的概念: 1. 向量:向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2. 向量的表示方法: (1)几何表示法:点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素:起点、方向、长度 记作(注意起讫) (2)字母表示法:可表示为 3.模的概念:向量的大小——长度称为向量的模。 记作:|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量: 1?零向量——长度(模)为0的向量,记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二.向量间的关系: 1.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作:∥∥ 规定:与任一向量平行 2. 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作:= 规定:= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。 3. 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上 , 所以平行向量也叫共线向量。 三.向量的加法: 1.定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。 注意:;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量) 2.三角形法则: 强调: a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a

1?“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则(三角形法则): 2?向量加法的交换律:+=+ 3?向量加法的结合律:(+) +=+ (+) 4.向量加法作图:两个向量相加的和向量,箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四.向量的减法: 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义:与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定:零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义:向量a 加上的b 相反向量,叫做a 与b 的差。 即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若b + x = a ,则x 叫做a 与b 的差,记作a - b 3.向量减法做图:表示a - b 。强调:差向量“箭头”指向被减数 总结:1?向量的概念:定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法:定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五:实数与向量的积(强调:“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积,记作:λa ρ 定义:实数λ与向量a ρ的积是一个向量,记作:λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同;λ<0时λa ρ与a ρ方向相反;λ=0时λa ρ = 2.运算定律:结合律:λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律:(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律:λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件:

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