第一章_固体表面

第一章固体表面

概述

因为摩擦和磨损都发生在表面上，表面的状态影响着摩擦的大小、磨损的类型以及润滑剂的选择。因此，表面是摩擦学研究的重要对象。在讨论摩擦磨损之前，首先需要对表面进行了解，正确判断表面对摩擦磨损的影响。

表面的定义：在物理学中，把两种物质的界面称为表面（在弹性力学中，表面应该满足以下边界条件：其上各点的法向应力ζn和切向应力ηn均为零）。

本文讨论的对象：几个到几十个原子（或分子）的表面膜或几个晶粒的表面层，以及几个mm的表层。

通常，这个表面层的状态是复杂的。宏观上具有一定的几何形状，微观上存在各种晶格缺陷，在一定的环境下还存在各种吸附膜、反应膜和污染膜。

人们将不存在其它任何物质（包括自然污染膜）的表面称作纯净表面。自然污染膜是指物体表面不是由于人为的原因，而是自然形成的表面覆盖膜，如水汽吸附膜、氧化膜或其它异物。这种表面可以在固体发生显著的塑性变形时，或表面污染膜被破坏时可能出现，也可以在真空条件下获得。

裸露的纯净表面性能十分活泼，极易吸附其它物质的分子，或与其起化学作用。纯净表面摩擦时摩擦系数一般很高，同时会发生粘着（有时被称作冷焊）。

1.1固体表面的几何性质

1.1.1表面粗糙度

表面的凹凸不平程度与表面积之比称为表面粗糙度，是表面的亚微观状况。它直接影响摩擦系数和磨损。

对于一个工程表面，不论其加工得怎样精细，从微观角度看，总是存在着某种程度的高低起伏。即工程表面都是粗糙的，不是理想光滑的表面。描述表面粗糙程度的参数称为表面粗糙度（过去也称表面光洁度）。

用显微镜观察表面，如地球表面的地形。要用三维图像才能精确描述其表面形貌。如图1.1

所示。

如果表面加工方法有一定规律（如车、铣、刨），人们通常用二维图形来表示。（如图

图1.1 表面的三维形貌图

|

|1||11

0∑?===n

i i L

i Z n dx Z L

CLA 图1.4 具有相同CLA

值的不同形貌

1.2所示）。由于加工方法造成的宏观粗糙度呈一定方向和波长的波形（称波度）。微观粗糙度的波长很短，且具有不同的幅度和间距。表面上的微小凸起部分称微凸体。如经过抛光研磨等加工，这种波度明显消失，粗糙度显示出各向同性。

描述表面粗糙度，不是用其最大的波峰波谷之差。国标（GB1031-83）规定了两种表面粗糙度的表示方法：中线平均值（CLA ）和平均平方根值（均方根）（RMS ）。

图1.3为粗糙表面轮廓的二维示意图。

先取一中线（x 轴），把二维轮廓分成上下两半，并满足：中线上方的轮廓与中线所围的面积等于中线下方轮廓的面积。令从中线到轮廓的高度为Z i 。

①中线平均值（CLA ）

表示表面轮廓上各点相对于中线的算术平均偏差。

②平均平方根值（均方根）（RMS ）

表示表面轮廓上各点相对于中线的偏差值之平方的平均值的开方。

微凸体

微观粗糙度

宏观粗糙度

图1.2 粗糙表面的二维图

图1.3 粗糙表面示意图

21

1

22

102]

1[]1[∑?===n i i L i Z n dx Z L RMS

通常使用RMS 比较好，因为，同样的CLA 值其表面形貌是可以很不相同的，对摩擦磨损的影响也是不同的。如图1.4。而用RMS,图中各不相同的形貌具有不同的表面粗糙度。

1.1.2表面微凸体

用触针式表面轮廓仪可直接测得表面的起伏不平。不过因其高度方向的放大比例远大于平面方向的。故所得图形并不能反映峰谷起伏的实际形状。而用电子显微镜观测到的表面，因其各向放大比例相等而比较真实。

由电子显微镜观测到的图形可以看到，表面上的峰与谷实际上是比较平缓的，因此人们通常取微凸体为近似的半球状、锥状或柱状来进行几何因素的分析。

表面微凸体的高度各点不同，如用统计学的方法进行研究，可以画出表面轮廓上各点的高度（Z i ）是个随机的变量，将其不同高度出现的频率（概率）记录下来画成光滑的曲线（图1.5），称为高度分布曲线。

凡经过一般机械加工的表面，其微凸体高度的分布通常接近于正态分布（高斯分布）。

正态分布曲线理论上应延伸到处。

而实际上在的范围内已包括了99.5％的高度（ζ为分布的标准差）。

正态分布曲线

高度Z i

图1.5 微凸体的高度分布曲线

∞

±σ

3±

1.2固体表面的原子排列和结构缺陷

经过不同加工过程形成的表面，因机械作用，往往导致材料的晶格扭歪、晶界开裂；由于温升导致金属发生相变而再结晶，使晶粒长大；或因为表层材料变形导致表层密度和体积发生变化，从而在表层的塑性变形层中产生残余应力，甚至产生微裂纹。金属表层内种种微观性状的改变，均对其摩擦磨损有密切的关系。因此需对其进行仔细的观察。

金属表面的原子排列具有一定的形状，对于没有缺陷的纯单晶体，表面上的原子排列应是整体材料内部原子排列的延伸。

不同的金属具有不同的晶体结构。图1.6所示为金属的几种典型结构。

在各种晶体结构中，不同晶面上的原子密度不等。当承受载荷发生滑动时，原子密度高（原子数多）表面能低的面上，容易发生滑移。图1.7为立方晶系中几个可能滑移的晶面：（100）面、（110）面和（111）面。面心立方的（111）面和体心立方的（110）面，以及密排六方的（001）面都是原子密度高的晶面，沿这类晶面滑移的阻力最小。

图1.6 几种典型的晶体结构

面心立方 体心立方 密排六方

图1.7 立方晶系中几个可能滑移的晶面

但是表面的原子排列，往往不是整体材料内部原子排列的延伸，原子排列得不像理想的那样整齐。如多晶体表面有镶嵌块结构；多晶体的晶界交错，原子排列常没有规律，而且还有缺陷。如多晶体表面有镶嵌块结构。单晶体的表层也会出现各种结构缺陷（如图1.8所示）。如刀刃位错，形成通向内部的线缺陷；螺型位错，表示

该处形成断层，由表面伸向内部，于是在表面上产生台阶；解理断裂形成了曲折和台阶；表面上的原子可能逸出而出现晶格空位，外来的原子可能形成填隙原子；如外来原子局域表面可形成“增附原子”；加上外部的杂质原子，使大多数金属晶体出现很多位错。这些位错在滑移时会形成台阶。见图1.5。

晶体材料接触滑动而引起变形的过程中会产生位错台阶（称为表面滑移带或滑移线），滑移带的移动可能与杂质相交，生成更多的位错。位错堆积的地方会形成早期的微观裂纹。在有结构缺陷（位错、台阶或空位）的地方会发生晶粒长大、溶解、吸附或化学反应（如腐蚀）等现象。这些对摩擦磨损都有一定的影响。

这类结构缺陷不仅金属会有，一些非金属晶体（如层状晶体、金刚石、氯化钠和有机润滑剂等）也存在这类结构上的缺陷。

这些缺陷都比较小，需依靠现代的仪器设备才能看到。如场离子显微镜（FIM ）,低能电子衍射（LEED ）,场发射显微镜（FEM ）等。

图1.8 表面结构缺陷模型

1.3表面张力和表面能

液体受到拉向内部力的作用，使其表面肌收缩和凝聚，这种力叫表面张力。表面能是

指将液体内部分子拉到表面上所需作的功。

当液滴落在固体表面上时（见图1.9），由于液体具有各自的表面张力，它同时受到固体与

空气的界面张力（γs ）、液体与空气的界面张力（γl ）和液体与

固体的界面张力（γsl ）的作用。当 时，液滴在表面上达到平衡，且具有一固定的形态。

式中：θ为固液表面间的接触角

不同的液体在同种固体表面上，得到不同的接触角。接触角小的液体表面张力小。接触角的大小衡量着固体表面与液体之间的润湿性。图1.9（a ）中的接触角小，表示固液间的润湿性好。而图1.9（b ）中的接触角大，表示固液间的润湿性差。

固体也有表面能和表面张力。固体的表面能是指将固体拉开而形成新表面时需作的功。如果固体表面十分洁净（未被污染，也无吸附膜等），则表面处于高能状态。如其它固体表面与这种表面接触，将显示出高的粘着能力，摩擦明显增大。表面能高的固体与液体接触时，具有较小的接触角，能很好地与液体润湿，使液体润滑剂能很好地与之亲和，得到低摩擦。 同种液体在不同的固体表面上，也得到不同的接触角。接触角小的表示固体的表面能高。是亲水性表面。接触角大的，说明固体的表面能低，是疏水性表面。不易与液体亲和也不易

sl

l s γθγγ+=cos

与其它固体表面粘着。

对于结晶固体来说，表面能是沿晶面解理而形成新表面所需的解理能。由于晶体各面的原子数不同，原子数高的表面易于解理，即这些表面的表面能低，易于发生滑移。

1.4表面膜

在一般条件下，固体表面总是被周围介质所包围。而这些介质（包括气态或液态介质）常常与固体表面发生物理与化学作用，使固体表面的结构变得更复杂。通常摩擦副由金属制成，金属表面在大气环境中总有一层薄薄的氧化膜覆盖着，氧化膜的外层还有污染膜和吸附膜等，构成了复杂的表面层。

1.4.1吸附膜

表面的洁净程度较高时，极易将周围介质的分子吸附到表面上形成吸附膜。如果是靠范德华力键合在表面上的称物理吸附膜。

吸附的量是吸附物的分压（当吸附分子为气体时）或吸附物浓度（当吸附物为液体）和绝对温度的函数。

n s=f（p,T）

n s=f（c,T）

式中：n s为吸附量；p为吸附气体分压；c为吸附液体浓度；T为绝对温度。

吸附膜的牢固程度（吸附力的大小），可以用吸附热来衡量。吸附热是变量。开始吸附时的吸附热高，当固体表面布满吸附分子后开始第二层吸附时，固体表面与吸附分子的作用随层数增多而减弱，吸附热就逐渐降低。直到吸附热降低到没有能力再吸附时，吸附达到饱和。要除去这种吸附膜，除了机械作用外，用加热可使其脱附。故物理吸附膜是可逆的吸附膜。

吸附分子与固体表面发生电子交换时（即改变了吸附层分子的电子分布），吸附分子与固体表面的作用是化学键结合，称化学吸附膜。其作用力比物理吸附膜强。化学吸附的吸附热值比较高，所以脱附时需要比脱附物理吸附膜更高的温度（更高的能量）。化学吸附常常是单分子层。而物理吸附则可能是多分子层。

化学吸附需要一定的活化能，且与吸附剂的表面有关。所以化学吸附有一定的选择性。而物理吸附可以在任何表面上发生。

在固体表面上吸附的还有污染膜。

润滑剂分子可在固体表面上形成吸附膜（单分子层或多分子层）。例如，脂肪酸类的润滑剂，具有很长的分子链，这种细长的分子链被密集地吸附在固体表面上，形成具有一定刚性的边界膜，把承受载荷的接触面分开。同时，细长的分子有一定的柔性，当承载表面相对运动时，其剪切阻力很低，有明显的减摩效果。

润滑剂分子中如果电子分布不均匀（不对称），则分子链的形状不对称。缺少（或多余）电荷的分子称偶极子，其一端带正电荷，另一端带负电荷，故也称为极性分子。极性分子与固体表面的亲和力很强，能牢固地附着在表面上。常用润滑剂都是长链的碳氢化合物，一端带有氨基（-NH2）、氰基（-CN）、羟基（-OH）、羧基（-COOH）等极性基。这类极性分子的吸附效果很好。如果使用的润滑剂无极性分子，可以加入少量具有极性的分子（称为油性剂），使吸附速度加快。但如果第一层已吸附饱和，则再加入极性分子已不发挥作用，有时反而有副作用。

摩擦面上吸附膜的存在是一种动态过程。在摩擦过程中，可能因为微凸体使吸附膜受到机械损伤，也可能因为局部摩擦热而被解吸。同时，吸附又会在新生的表面上再次发生，所以是个动态过程。如摩擦条件更有利于解吸，则此类吸附膜的减摩作用也将大大降低。

1.4.2表面氧化膜和反应膜

固体表面材料与周围介质起反应，形成的表面覆盖膜称为反应膜。化学反应总是在物质的相与相的界面上发生。化学反应必须有原子交换，即需提供一定能量，以得到反应物。如反应所需的热量越高，表示起反应的温度也越高。摩擦表面的温升如不能及时散逸，则会加快反应膜的生成速度。反应速度除与温度有关外，还与压力、浓度和是否使用催化剂有关。 金属表面的氧化膜是典型的反应膜。金属固体表面在有氧环境中很容易氧化生成氧化物。氧化物多数以分层形式出现。如铁的氧化首先是氧在铁表面上的化学吸附，然后氧化层增厚。增厚过程中，往往出现孔隙和裂纹，有助于氧分子与新鲜表面的金属元素相接触而生成新的氧化物。由于氧的浓度和反应温度的不确定，故而出现不同化学成分的氧化膜。图1.10为570℃以上的氧化铁层。

润滑剂吸附膜的极性端与活性的金属表面分子及其氧化

物反应生成金属皂膜。这种皂膜的结构类似于晶态固体，其解吸温度比化学吸附膜还高。 在润滑剂中加入极压添加剂（EP 剂），可促使其与金属形成反应膜。常用的添加剂为含硫、磷、氯等的极性有机化合物。当这些化合物在高温下与金属表面起化学反应，在金属表面上形成一层抗剪强度低的硫化物、磷化物或氯化物这类无机覆盖物。这类膜可将摩擦表面隔开，而且承载能力比吸附膜高。在摩擦过程中如因机械作用被破坏，还能再生。但是对金属磨损作用，却有复杂的效果。因为硫、磷、氯等成分对金属有腐蚀作用。

为了防止这类腐蚀作用，可以采用复合添加剂，如加入含锌、铅、钡、釹等元素的有机盐，而生成另一类反应膜，以改善其热稳定性和化学安定性。

以上所述的表面膜（吸附膜和反应膜）通常都覆盖在表面上，使摩擦的固体表面被隔开，有效地防止了固体与固体间的直接接触。这些表面膜具有一定的承载能力，而其机械强度一

图1.10 铁的氧化膜

般都低于固体自身的整体强度，这种表面膜都对摩擦磨损有明显的影响。

1.5固体表面的接触

1.5.1分子（或原子）间的接触

分子（或原子）间存在着吸力和斥力，当吸力和斥力相平衡时，分子（或原子）间有一个正常的距离d。当施加外力使分子（或原子）间的距离大于d时，其间存在着吸力；反之，如使其间距离小于d时，则存在着斥力。当施加的拉力较大，使分子（或原子）间的距离拉开到一定程度时就会发生材料分子的断裂。

原子沿解理面滑移比较容易，晶体往往沿解理面开裂。要拉开晶格中相互键联的原子（或分子）就必须作功。要拉开非解理面的原子需要的能量就比沿解理面移动原子的能量大。在洁净的表面（或由于开裂而形成的初生面）上与介质分子间键联的力通常为范德华力。而晶格中有的原子间的键力比范德华力高，就难以将这些原子分开。

单晶体不同方位解理而裂开时所需的功是不一样的，所以是各向异性的。而金属（多晶体）因晶体排列错乱，故为各向同性。

对于金属晶体来说，施加外力可使晶格变形。当外力卸除后能恢复到原有形状的称为弹性变形；如外力卸除后不能（或不能完全）恢复到原有形状时，残留下来的永久变形称塑性变形。外力产生弹性变形作的功是可逆的，而产生塑性变形作的功是不可逆的。

1.5.2两表面间的接触

①接触面积

固体表面不论如何精加工都是凹凸不平的。当在法向力N的作用下，使两固体表面相

∑==n

1

i ri

r A A 互压紧时，通常只在很小的面积上发生接触。

接触表面的面积可分为：

a.名义接触面积：即表面宏观面积——A n

b.真实接触面积：在表观接触面积中，实际传递力的微小面积的总和称真实接触面积A r 。如图1.11所示。

一般材料在塑性变形范围内的真实接触面积与载荷成正比，与表面的大小和形状无

关。假设接触材料的压缩屈服极限（塑性流动极限）为ζb ，在法向载荷N 作用下相互压紧时，真实接触面积可表示为： A r =N/ζb

②赫兹（Hertz ）接触

经过精细加工的表面，常假定其微凸体为半球状、柱状、锥状等。对于工程上单个微凸体而言，也并非几何学中的球、柱、锥形。

赫兹接触是

在弹性接触范围内分析理想光滑的球（柱、锥）在无润滑条件下

N

塑性流动压力分布

赫兹分布

图1.12 赫兹接触和实际接触

σ0 N

的接触。而实际上也并非全是弹性变形，在接触点处有塑性变形。从图1.12所示的“光滑”半球体赫兹接触下真实情况的照片，证实了赫兹压力中心处的接触斑点比较密集，而在赫兹压力边远处接触分布比较稀疏。说明固体表面接触只在传力的微凸体顶端发生塑性变形，离开这小小的塑性变形区变形在弹性范围中。

因此，可以根据弹性理论来计算微凸体（球、柱或锥）接触时的压力分布。

a.椭球与椭球接触：在法向压力N 的作用下相互压紧（见图1.13），在接触部分产生弹性变形。形成的接触面积，假定为以a 和b 为半径的椭圆形。

椭园形表面上赫兹压力的分布曲线为： 式中：ζ为坐标在x ，y 处的压力

ζ0为最大赫兹压力，在x=y=0处； a 为接触区面积的x 方向半径，

b 为接触区面积的y 方向半径

在应力椭圆上积分，求ζ的总和得接触面上的正压力为：

由正压力N 可求得：

b.球与球接触：

2

122

2201???

?

?

?

--

=b y a x σσmax

023σπσ==

ab

N

3

2

σπab N =2

122

2201???

?

?

?

--

=a y a x σσ

则接触面积呈圆形，即a ＝b 。其压力分布曲线为：

同样经积分可求得最大压力： 平均压力：

即

接触区的半径：

式中：R 为接触两球的综合曲率半径，与两接触球半径的关系如下：

2

11

11R R R +

= E 为两球的综合弹性模量，与两接触材料性能的关系如下：2

2

2

12

1111E E E νν-+

-= 式中：R 1,R 2分别为两接触球的半径；E 1和E 2以及ν1，

和ν2分别为两球材料的弹性模量和泊松比。

则最大赫兹压力ζH （x=y=0处）：

c.球与平面的接触：可对两球接触的公式中取： R 2=∝ R 1=R,

则

d.圆柱与圆柱的接触：接触面积为矩形。长度为L ，宽度为b 。则

2

023a N πσ=

2

a N m πσ=

m

σσ5.10=3

143?

?

? ???=E R N a max 3

12

2

058.0σσσ=??

??

??==R NE H 3

12

1

2

058.0???

? ??=R NE

σ2

12

2

01???

? ?

?

-

=b y

σσ3

1

43?

?

? ???=E R N a

总压力为

最大压力 接触半宽

经代入简化，得

式中：R 综合曲率半径； E 综合弹性模量。

e.圆柱对平面的接触：将R 2＝∞，R 1＝R 代入圆柱对圆柱接触公式 则

f.赫兹接触的变形和接触面积

赫兹压力分布曲线表明，最大压应力在接触区的中心。最大剪切应力在距压力中心处深度约0.5a 的表层下，ηmax ≈0.3ζ0。最大拉应力作用在接触面边界处，ζ≈0.133ζ0。

2

σπbL

N =

bL

N πσ20=

2

113.1?

?

?

??=LE NR b 2

10564.0??

?

??=LR NE σ2

110564.0???

?

??=LR NE σN

接触承载时，表层下的某一深度处（0.5a ）剪应力最大，材料在该处首先屈服。但此屈服区很小，而且处于三个方向受压的状态。而这小范围的塑变区，被四周弹性状态的材料包围着（见图1.14）。

通常材料在接触承载时，表面的最大压力：

ζ0＝3.1ηs （ηs 为材料的剪切屈服极限）时，表层下剪应力的最大值ηmax 达到ηs ，就开始屈服。但图中的塑性区很小，且处于三向受压状态。所以当ζ0＝3.1ηs 时，表面材料仍未屈服。直到表面平均压力ζm ≈6ηs 时，塑性区才扩展到表面，材料才开始屈服，表面上才留下压痕。这时的平均压应力ζm ≈6ηs ≈ζb （ζb 相当于压痕硬度H ）。

剪切屈服极限与抗拉屈服极限的关系为：ηs ≈0.5ζs （ζs 材料拉伸时的屈服极限）。即在接触承载时，材料发生塑性变形时的压应力相当于3倍的拉伸屈服极限。

对于大多数金属而言，都有以下关系： H≈6ηs ≈3ζs 因此材料发生

塑性变形时的

真实接 触面积：

此值大约只有表观接触面积的1／1000。由此可见，真实接触面积的大小只取决于载荷和材料的流动压力，而与表面粗糙度的关系不大，与宏观表面积也无关。

H

N

N

A b

r =

=

σ图1.15 球和平面的弹性接触

N

③赫兹接触的法向接近

当一个球与平面在法向载荷N 的作用下弹性接触时，球将发生变形，使球的中心下移，此下移量称为法向接近量δ。如图1.15所示。

如只在球上发生弹性变形（图中ａ），根据几何图形可知R 2=(R-z)2-r 2,即 因为ｚ<<2R ，所以

式中 r=a （接触面积的半径） 如球与平面都发生弹性变形，

将球对平面的赫兹接触中的

代入上式

则得或

式中：E 为综合弹性模量；R 球的半径；δ 法向接近量。 变形后的接触面积A=πα2 式中α 为接触面积的半径。 α2=R δ

即在弹性范围内，变形后的接触区面积 A=πα2=πR δ。

2

3

213

4

δER N =z

R r Z -=

22

3

2

2

3169RE N ∝δR

a R a z w z 2

2222=

=≈+=δ3

143?

?? ???=E R N a

1.5.3理想的粗糙表面接触

假设微凸体都是理想光滑的半球，而且具有等高度、等半径的。当一个理想光滑的刚性平面在法向力N 的作用下与之接触时的情况如图1.16所示。 当处于弹性变形范围内，每个微凸 体承受的法向载荷 为：

式中：ρ 为微凸体的顶端半径；

δ 为法向接近（图1.16中δ＝Z －d ）； N=n·N i

每个微凸体的接触面积A i =πρδ

经代入前面导出的公式，并简化后得到接触总面积：

式中：

这说明，弹性变形范围内，具有等高度、等半径的微凸体表面，在承载时，其接触面积A r 与载荷N 成指数关系，为与N 的2／3次幂成正比。

如法向载荷N 增大，使微凸体顶端压力达到流动极限H 时，微凸体发生塑性变形。此

2

3

213

4

δρE N i =3

2

1

1

N K A A n

i r ==∑2

12

3

134n

E K -

=

ρ

πH

N A r =

图1.16 理想的粗糙表面接触

时的接触面积为与法向载荷N 呈线性关系。

1.5.4实际粗糙表面的接触

实际工程表面微凸体的高度为正态分布。假设与理想平面接触，法相接近量为δ＝Z －d 。那么只有高度Z>d 的微凸体才能与之接触（见1.17）。

根据赫兹接触公式及假设微凸体高度为指数分布，并设h=d/ε。可 推导出：

比较上面两式，可见

式中：N 为法向载荷；A 为总支承面积；c 为常数项；ε＝d/h 表面粗糙度RMS ； h 微凸体高度指数分布的指数。

这说明，高度为指数分布的微凸体发生弹性变形时，实际接触面积与法向载荷之间为简单的线性关系。

当微凸体顶端为塑性变形时： A=N/H 。这一结果与高度分布无关。

实际上工程表面上微凸体的高度是按正态分布的。由于高斯曲线顶端一段（约占25％的一部分），与指数函数十分接近，所以可以把它看作指数分布。由此得到的结论是：两个实际工程表面接触时，不论微凸体的顶端在弹性变形范围，还是在塑性变形范围，

变形后所

图1.17 实际粗糙表面的接触

()

πρε

h ne A -=2

32

12

1

)(ε

ρπE ne N h -=cN

A =

《固体物理学答案》第一章晶体的结构

第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体 积，则致密度ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为, , 4 33a V r a= =晶胞内包含2个原子，所以 ρ=π π 8 3 ) ( * 2 3 3 4 3 3 4 = a a

图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ=6 2)( *4334234 ππ=a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23232c r a == 晶胞体积 V = 222 360sin ca ca =ο, 一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ=ππ62) (*2223 3234 =ca a .

固体物理课后答案

1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为

面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线

根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；

《固体物理学答案》第一章晶体的结构

第一章、 晶体的结构 1． 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6π; （2）体心立方, ;8 3π （3）面心立方， ;62π （4）六角密积，;62 π （5）金刚石结构， ;16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设 n 为一个晶胞中的刚性原子球数,r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体 积，则致密度ρ=V r n 3 34π （1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积， 如图1.2所示，中心在1，2，3，4 处的原子球将依次相切，因为 ,,433a V r a == 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) (3 3 23 4π π= a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如 图1.3所示，体心位置O 的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以 ρ= ππ8 3) ( *23 3 4 334= a a

图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为 3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ= 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23 2 32c r a == 晶胞体积 V = 2 22 360sin ca ca = , 一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ= ππ6 2)(*22 2 3 3 234= ca a .

固体物理第一章习题解答

固体物理学第一章习题解答 1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。 答：晶态：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质：（1）长程有序；（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。 非晶态特点：不具有长程序。具有短程序。短程序包括：（1）近邻原子的数目和种类；（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配臵的几何方位（键角）。 准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。 晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2、什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点构 成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。 答：布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。 NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。

3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。 （1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子） （2）底心立方（3）底心四方 （4）面心四方（5）侧心立方 （6）边心立方 并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？ 答：要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之，则为复式格子。 （1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。 （2）底心立方如下图所示，它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的，因而都是等价的，所以它的基元也由一个原子组成，是简单格子，属于四角晶系。 （3）底心四方如下图所示，每个原子的周围情况完全相同，基元中只有一个原子，属于简单格子，属于四角晶系。

固体物理学答案详细版

《固体物理学》部分习题参考解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b a 那么， Rf Rb 31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100） （010）(213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 123o o o a n hd a n kd a n id === ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°

固体物理题库 第一章 晶体的结构

第一章晶体的结构 一、填空体（每空1分） 1. 晶体具有的共同性质为长程有序、自限性、各向异性。 2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，次近邻原子间 ，原胞与晶胞的体积比1：1 ，配位数为 6 。 3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a a2/，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：2 ，配位数为8 。 4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a 邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：4 ，配位数为12 。 5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。 6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。 7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。 8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。 9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。 10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素：1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ，m ，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32 个点群。 11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有 1 个原子。 12. 晶体原胞中含有 1 个格点。 13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。 二、基本概念 1. 原胞 原胞：晶格最小的周期性单元。 2. 晶胞 结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。 3. 散射因子 原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。 4. 几何结构因子 原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射

黄昆版固体物理学课后答案解析答案

《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3

固体物理学概念和习题答案

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）

16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。

固体物理第一章

7、体心立方元素晶体，［111］方向上的结晶学周期为多大？实际 周期为多大？ ［答］对于晶胞，基矢为a，b，c，格矢为c + h+ =，因此， a b R l k 体心立方元素晶体［111］方向上的结晶学周期是立方体的体对角线，其长度为a3（a为立方体的边长）；实际周期为a3／2。 8、非晶态材料的基本特点是什么？ ［答］非晶态材料的基本特点是：失去了晶体材料的长程有序性，而具有短程有序性。其短程有序性包括：近邻原子的种类、数目；近邻原子的间距以及近邻原子配置的几何方位。 9、什么是表面的弛豫与重构？ ［答］晶体表面附近垂直于表面的面间距与晶体内部的差别称为弛豫。多数弛豫只表现在表层原子与次表层原子之间距离的下降。 晶体中表层原子排列的周期与晶体内部不同的情形称为重构。多是在半导体材料中有这种现象。 11、简述晶面角守恒定律，并说明晶体的晶面角守恒的原因。

［答］同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）之间的夹角恒定不变，这就是晶面角守恒定律。 对于同一品种的晶体，尽管外界条件的变化使晶体的外形不同，但其内部结构相同，其共同性就表现为晶面夹角的守恒。 二、填空题(fill in the blanks)(并用英语表达) 1、构成阵点的具体原子、离子、分子或其集团，都是构成晶体的 基本结构单元，当晶体中含有数种原子时，这数种原子构成的基 本结构单元，称为 基元（basis ） 。 2、布喇菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线上而 无遗漏，这样的直线叫 晶列(crystal array ) , 晶列的取向称 为 晶向（crystal direction ）, 一组能表示晶列方向的数称 为 晶向指数（indices of crystal direction ） 。 3、布喇菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、间距相等的 平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为 晶面（crystal face ） ；而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同的总 体，称为 晶面族(crystal face cluster) ；同一格子可能有 无 穷多（endless ）个取向的晶面族。能够标志晶面取向的一组数， 称为 晶面指数(indices of crystal face )。 4、正格子基矢与倒格子基矢之间满足 。正格 矢与倒格矢的关系为 ( μ为整数） 。 ij j i δ=?b a πμ2=?h l K R

《固体物理学答案》第一章晶体的结构

《固体物理学答案》第一章晶体的结构

第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密 度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子 球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致 密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示 刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度 ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原 子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2， 3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个 最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体 心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，

因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以 ρ= ππ8 3) ( *23 3 4 334= a a 图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ = 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，

固体物理学概念和习题答案

固体物理学概念和习题 答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）

16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。

固体物理学1~6章习题解答

《固体物理学》习题解答 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b 那么， Rf Rb 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分 别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010） (213) 答：证明 设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°

《固体物理学》房晓勇-习题01第一章 晶体的结构

第一章 晶体的结构 1.1试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 解：我们知体心立方格子的基矢为： () () () 123222a a i j k a a i j k a a i j k ?=-++?? ?=-+? ? ?=+-?? 根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为： ()( )( ) 1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ?=??? ? =??? ?=??? () 3 1231Ω2 a a a a =??= 23222222222222 2 2 2 2 2 2 i j k a a a a a a a a a a a i j k a a a a a a a a a - - ?= - =++--- 22 22 a a j k =+ ()()() 223132π2π2πΩ22 a b a a j k j k a a =?=+=+ 同理 ()() 232π2π ,b i k b i j a a = +=+ () () () 1232π2π2πb j k a b i k a b i j a ?=+?? ?=+? ? ?=+?? 由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。

我们知面心立方格子的基矢为 () () () 123222a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+? ? ?=+?? ()( )( ) 1232313122πΩ2πΩ2πΩb a a b a a b a a ? =??? ?=?? ? ?=??? () 31231Ω4 a a a a =??= 230 02222022 00 22 2 2 2 2 i j k a a a a a a a a i j k a a a a a a ?= =++- 222444 a a a i j k =-++ ()() 222223132π2π2π Ω24444 a a a a b a a i j k i j k a a ??=?=-+ +=-++ ???同理 ()() 232π2π,b i j k b i j k a a =-+=+- () () () 1232π2π2πb i j k a b i j k a b i j k a ?=-++?? ? =-+?? ?=+-?? 由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil ）来表示，如图所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成1200的共面轴123,,a a a 上的截距为 3 12,,a a a h k i ，第四个指数表示该晶面在六重轴c 上的截距为c l 。证明： ()i h k =-+ 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：

固体物理第三章晶格振动与晶体的热力学函数

第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。

《固体物理学》房晓勇-思考题01第一章 晶体的结构

第一章 晶体的结构 思考题 1.1 为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？ 解答： 在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距d 较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定，因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容易在晶体生长过程中显露在外表面，所以面指数简单的晶面往往暴露在外表面。 1.2 任何晶面族中最靠近原点的那个晶面必定通过一个或多个基矢的末端吗？ 解答： 根据《固体物理学》式（1-10a ） ()()( ) ()111222333cos ,cos ,110cos ,a a n h d a a n h d a a a n h d ?=?? =-?? ?=? 1.3 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 1.4在14种布喇菲格子中，为什么没有底心四方、面心四方和底心立方？ 解答：参考陈金富P33页，徐至中1-13 1）图（a ）代表向c 轴俯视所观察到的体心四方的格点分布。格点②距离由格点①组成的晶面的C/2处。如C=a ，则点阵为bcc;如图所示，为已经伸长的bcc ，c ≠a ，它是体心四方点阵。如 图（b ）与图（a ）代表同样的点阵，只是观察的角度不同，图中①构成四方面心格点， 面心格点间的距离a '= ，如2a C '= =，则点阵为fcc ；对于一般的C 值，图（b ） 是沿c 轴伸长后的点阵，因此相同的点阵从（a ）是体心点阵，从（b ）看是面心点阵，本质上相同，都称为体心四方点阵。 2）类似的底心四方和简单四方是同一种点阵。 3）底心立方不再具有立方对称性。所以不存在。 1.5 许多金属既可以形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积

固体物理(黄昆)第一章总结

第一章晶体结构 1.晶格实例 1.1面心立方（fcc）配位数12格点等价格点数4致密度0.74 原胞基矢： () () () 1 2 3 2 2 2 a a j k a a k i a a i j =+ =+ =+ 原胞体积3 123 ()/4 Ωa a a a =??= NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl- 具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等） 1.2简单立方（SC）配位数6格点等价格点数1致密度0.52 CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl- 钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3 氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等 1.3体心立方（bcc）配位数8格点等价格点数2致密度0.68 原胞基矢： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a a i j k a a i j k a a i j k =-++ =-+ =+- 原胞体积：3 123 ()/2 Ωa a a a =??= 体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等 1.4六角密堆（hcp）配位数12两种格点原子数6基元数3致密度0.74 典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等 1.5金刚石结构最近邻原子数4次近邻原子数12致密度0.34 晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B) *将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等 2.晶体的周期性结构 2.1基本概念 晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同

固体物理 第一章 晶体结构习题

第一章晶体结构 1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。 另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？ 解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为： 晶格点阵＋基元＝实际晶体结构 3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？ 解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。 4.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？ （a）（b）（c）（d） 图1.34 （a）“面心＋体心”立方；（b）“边心”立方；（c）“边心＋体心”立方；（d）面心四方解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。 从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （b）“边心”立方不是布喇菲格子。 从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。 （c）“边心+体心”立方不是布喇菲格子。

固体物理学 要点

固体物理复习要点 第一章，第二章的前三节，第三章的1,2,4节，第五章（第四节除外），第六章的前四节 第一章 1、晶体有哪些宏观特性？ 答：自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的均匀性、晶体的对称性、固定的熔点 这是由构成晶体的原子和晶体内部结构的周期性决定的。说明晶体宏观特性是微观特性的反映 2、什么是空间点阵？ 答：晶体可以看成由相同的格点在三维空间作周期性无限分布所构成的系统，这些格点的总和称为点阵。 3、什么是简单晶格和复式晶格？ 答：简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格。复式晶格：如果晶体的基元由两个或两个以上原子组成，相应原子分别构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。 4、试述固体物理学原胞和结晶学原胞的相似点和区别。 答：(1)固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。 (2)结晶学原胞（简称晶胞） 构造：使三个基矢的方向尽可能地沿着空间对称轴的方向，它具有明显的对称性和周期性。 特点：结晶学原胞不仅在平行六面体顶角上有格点，面上及内部亦可有格点。其体积是固体物理学原胞体积的整数倍。 5、晶体包含7大晶系，14种布拉维格子，32个点群？试写出7大晶系名称；并写出立方晶系包含哪几种布拉维格子。 答：七大晶系：三斜、单斜、正交、正方、六方、菱方、立方晶系。 6．在晶体的宏观对称性中有哪几种独立的对称元素？写出这些独立元素。 答： 7.密堆积结构包含哪两种？各有什么特点？ 答：(1)六角密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1,3,5空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB······排列方式。 六角密积是复式格，其布拉维晶格是简单六角晶格。 基元由两个原子组成，一个位于(000)，另一个原子位于 (2)立方密积 第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。

固体物理简答题及答案汇编

简答题 1、原子结合成晶体时，原子的价电子产生重新分布，从而产生不同的结合力，分析离子性、共价性、金属性和范德瓦耳斯性结合力的特点。 答案：离子性结合：正、负离子之间靠库仑吸引力作用而相互靠近，当靠近到一定程度时，由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层的电子云的交迭会产生强大的排斥力。当排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体； 共价性结合：靠两个原子各贡献一个电子，形成所谓的共价键； 金属性结合：组成晶体时每个原子的最外层电子为所有原子所共有，因此在结合成金属晶体时，失去了最外层（价）电子的原子实“沉浸”在由价电子组成的“电子云”中。在这种情况下，电子云和原子实之间存在库仑作用，体积越小电子云密度越高，库仑相互作用的库仑能愈低，表现为原子聚合起来的作用。 范德瓦耳斯性结合：惰性元素最外层的电子为8个，具有球对称的稳定封闭结构。但在某一瞬时由于正、负电中心不重合而使原子呈现出瞬时偶极矩，这就会使其它原子产生感应极矩。非极性分子晶体就是依靠这瞬时偶极矩的互作用而结合的。 2. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ 答案：为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N. 3. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 答案：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 4. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 答案：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化. 5. 何谓极化声子? 何谓电磁声子? 答案：长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵波声子为极化声子. 由本教科书的(3.103)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子. 6、什么是声子？ 答案：晶格振动的能量量子。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动，晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以被激发，也可以湮灭。